Đề cương ôn tập

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP TỐN A3 TỐN CAO CẤP BỔ TÚC KIẾN THỨC (NHẮC LẠI) I PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN ĐẠO HÀM CẤP a) Bảng đạo hàm x     x  ' log a x '   1 x ln a e   e ln x '  sin x '  cos x tg x '  cotg x '   b) Các quy tắc tính đạo hàm ' ' ' uv  '  u v  uv x sin x 1 x2 c  u '  c  u ' u  v '  u '  v ' u v ' cos x arctgx '  1 x2 u  v  x ' x cos x'   sin x arcsin x '  a x '  a x ln a ' ' ' u u v uv    v v2 ' c) Đạo hàm hàm hợp Nếu y  y u  , ' ' ' u  ux  y  yux  hàm hợp x Khi y x  yu  u x Bảng đạo hàm hàm hợp u '    u 1u' log a u '  u' u ln a cosu '  u ' sin u arcsin u '  u'  u2 au '  au ln a  u' ln u '  u eu '  eu  u' ' sin u '  u ' cosu u tg u  '  cotg u '   u' cos2 u arctan u '  u' 1 u b) c) d) e) f) Ví dụ Tính đạo hàm hàm số sau a) b) ĐẠO HÀM CẤP CAO Đạo hàm cấp hai: Đạo hàm cấp n bất kì: đạo hàm đạo hàm cấp gọi đạo hàm cấp sin u ( u )'  Ví dụ Tính đạo hàm hàm số sau a) u' c) u' u Tổng quát : đạo hàm đạo hàm cấp n - gọi đạo hàm cấp n, ký hiệu y(n) Như : Quy ước : y(0)= y Ví dụ Tính đạo hàm cấp hai hàm số sau a) b) √ d) e) Ví dụ Tính đạo hàm cấp n hàm số sau a) b) c) f) c) VI PHÂN a) Vi phân cấp Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm y’(x) ta nói f(x) khả vi x Biểu thức y’(x)dx gọi vi phân (cấp 1) hàm số ký hiệu dy hay df Như : ' ' dy  y dx hay df  f x dx b) Vi phân cấp cao Vi phân vi phân cấp gọi vi phân cấp hai, kí hiệu d²y, tính cơng thức d2y = d(dy) = y”dx2 Tổng quát : vi phân vi phân cấp n – gọi vi phân cấp n, ký hiệu d n(y) Cơng thức tính vi phâncấp n: dny = y(n)dxn Ví dụ 10 Tính vi phân hàm số sau a) y  ln( x2  x  1) b) Giải : a)  y c) y  sin(ln x  x ) ex  x3 Ví dụ 11 Tính vi phân cấp hai hàm số sau b) y  ecos x a) y  ln(sin x  cos x) y  arc tan( ex ) c) II PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN II.1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH BẢNG CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN   x dx  x  a dx  x 1  C ,   1  1 ax C ln a x x  e dx  e  C    sin xdx   cos x  C   cos xdx  sin x  C  dx  eax  c, a  a f x  dx dx ax '  x  ln x  C  e  f x  dx  ln f x   C  sin axdx   1a cos ax  c, a   cos axdx  1a sin ax  c, a  dx  sin  tg x  C cos x 2 x  cotg x  C dx   1 x  arcsin x  C dx  x2  arctg x  C  dx x  a2  x2  a arctg a  C, a  CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN : - ∫[ ] -∫ ∫ ∫ ∫ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH a) Phân tích thành tổng tích phân Ví dụ Tính tích phân sau a) ∫ b) ∫ √ c) ∫ d) ∫ Ví dụ Tính tích phân sau a) ∫ b) ∫ c) ∫ d) ∫ b) Phương pháp tích phân phần Cơng thức :  u dv  uv   v du Lưu ý chọn cho dễ tìm du, v tích phân phải đơn giản tích phân ban đầu Ví dụ Tính tích phân sau phương pháp tích phân phần a) ∫ b) ∫ c) ∫ d) ∫ c) Phương pháp đổi biến số  Các bước thực hiện: - chọn biến số mới, tính vi phân - viết tích phân ban đầu theo biến số tính tích phân thu theo biến số - trả kết biến số ban đầu  Ta thường gặp hai loại đổi biến số sau : - tích phân cần tính gần giống với tích phân bản, khác vị trí x thay ax + b Chẳng hạn : ∫ ;∫ Trong trường hợp ta đặt t = ax + b - Biểu thức dấu tích phân có dạng f (x).[gk(x)] f(x) /[gk(x)] g’(x) = .f(x) trường hợp ta đặt t = g(x) Ví dụ Tính tích phân sau phương pháp đổi biến số a) ∫ b) ∫ √ c) ∫ d) ∫ II.2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH CƠNG THỨC CƠ BẢN b  f x dx  F x  b a  F b   F a  a F(x) ngun hàm f(x) TÍNH CHẤT Tích phân xác định có tính chất tương tự tích phân bất định Chẳng hạn, quan hệ đạo hàm tích phân phát biểu sau : (∫ ) ;∫ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Tích phân xác định tính tích phân bất định, với lưu ý : - Cơng thức tích phân phần : b  u dv  uv a b b a   v du a - Khi đổi biến số phải đổi cận theo biến số Các bước thực hiện: - chọn biến số mới, tính vi phân - đổi cận tích phân theo biến số - viết tích phân ban đầu theo biến số tính tích phân Ví dụ Tính tích phân xác định sau e  /2 a)  x cos xdx b)  x ln xdx c)  e x dx 0 e sin(ln x )dx dx dx d)  e)  f)  x  x  x  1 Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ HÀM NHIỀU BIẾN Hàm nhiều biến Cho tập hợp D  Rn Quy tắc f đặt tương ứng điểm (x1, x2, …, xn)  D với số thực nhất, ký hiệu f(x1, x2, …, xn), gọi hàm n biến xác định tập hợp D x1, x2, …, xn gọi biến số độc lập, f(x1,x2, …,xn) giá trị hàm n biến ứng với điểm (x1, x2, …, xn)D Thông thường cho hàm số, người ta phải cho trước tập xác định D cho quy tắc f để tính giá trị tương ứng hàm số điểm thuộc D Tuy nhiên, nhiều trường hợp, người ta cho quy tắc f mà khơng cho tập xác định Khi đó, ta quy ước tập xác định D hàm số tập hợp điểm (x1, x2, …, xn)  Rn cho giá trị biểu thức f(x1, x2, …, xn) số thực xác định Ví dụ Cho f(x, y) = x3 – y² + xy Rõ ràng ứng với cặp (x, y)  R² ta lại xác định giá trị z (chẳng hạn, giá trị z (2,-1) z  f (2, 1)   ( 1)  2.( 1)  Vậy hàm hai biến Tập xác định hàm số không gian R² ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN Đạo hàm riêng (cấp 1) Các định nghĩa mục phát biểu cho hàm biến Đối với hàm nhiều biến hơn, ta có định nghĩa tương tự Cho hàm hai biến f(x, y) xác định tập hợp D Nếu xem biến số y số, ta có hàm biến theo x Lấy đạo hàm hàm số thu theo x, ta gọi đạo hàm riêng theo x hàm hai biến cho, kí hiệu z'x z x Tương tự, xem x số, ta có hàm biến theo y ta tính đạo hàm riêng theo y hàm ' hai biến, kí hiệu zy z y Ví dụ Cho hàm số z  x3  y2  xy ' Xem y số, lấy đạo hàm hàm số theo x, ta có zx  x  y Tương tự, cố định x (xem số) tính đạo hàm theo y, ta có đạo hàm riêng theo y z'y  2 y  x Vậy, thực chất đạo hàm riêng theo biến số đạo hàm hàm biến xem biến số lại số Ví dụ Tính đạo hàm riêng hàm số sau x a) z  b) z  ln( x2  y3 ) y xy c) z  e d) z  sin( xy  y2 ) Vi phân cấp  Khái niệm : Cho hàm hai biến z = f(x, y) xác định tập hợp D có đạo hàm riêng z’x, z’y Khi đó, biểu thức dz = z’x dx + z’y dy gọi vi phân (toàn phần) hàm hai biến cho Đối với hàm số nhiều biến ta có định nghĩa tương tự Chẳng hạn, hàm biến w=f(x,y,z) có vi phân toàn phần dw=w’x dx + w’y dy + w’z dz Ví dụ Hàm số z  x3  y2  xy có vi phân dz  (3 x2  y)dx  ( x  y)dy Ví dụ Tính đạo hàm riêng vi phân hàm số a) z  x3 y2  xy4 b) z  ln( xy  y2  x) c) z  cos( xy  1) d) z  arctg( xy) Đạo hàm riêng cấp cao  Đạo hàm riêng cấp hai ' ' Cho hàm hai biến z = f(x, y) có đạo hàm riêng zx , zy Ta gọi đạo hàm riêng cấp Rõ ràng chúng hàm hai biến nên lại có đạo hàm riêng Đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp gọi đạo hàm riêng cấp hai hàm số ban đầu Ta có đạo hàm riêng cấp hai sau đây:  x z'x '  z" , x   y  z"xy ,  z  z'x ' ' y ' x  z"yx ,  z'y  y  z"y ' với tên gọi : đạo hàm riêng cấp hai theo x hai lần; đạo hàm riêng cấp hai theo x theo y; đạo hàm riêng cấp hai theo y theo x; đạo hàm riêng cấp hai theo y hai lần Các đạo hàm riêng cấp hai cịn kí hiệu 2 z 2 z 2 z 2 z , , , x2 yx xy y2 Ví dụ Hàm số z  x3  y2  xy có đạo hàm riêng cấp z'x  x2  y, z'y  2 y  x Ta tính tiếp đạo hàm riêng cấp hai: z"  x, z"xy  1; z"yx  1, z"  2 x y Ta nhận thấy đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp nhau, nghĩa z"xy  z"yx Điều cho hàm số có đạo hàm riêng liên tục Cụ thể, ta có định lý :  Định lý Schwarz : Nếu lân cận điểm (x, y) hàm z = f(x, y) có đạo hàm hỗn hợp đạo hàm liên tục (x, y) z”xy (x, y) = z”yx(x, y) Do đó, ví dụ sau, hàm hai biến ta cần tính đạo hàm riêng cấp hai: z" , z"xy , z" x y Định lý Schwarz mở rộng cho hàm nhiều biến cho đạo hàm cấp cao hơn, chẳng hạn : z"'xyz  z"'yxz  z"'zxy  Ví dụ Tính đạo hàm riêng cấp hai hàm số xy a) z  e b) z  ln  x  c) z  ar ctg( xy) d) z  x3  y3  xy  y  Đạo hàm riêng cấp cao : Đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp n – gọi đạo hàm riêng cấp n hàm số cho Vi phân cấp cao  Vi phân cấp hai : Vi phân vi phân cấp hàm hai biến z = f(x, y) gọi vi phân cấp hàm đó, ký hiệu d²z Dễ dàng tính vi phân cấp hai hàm hai biến biểu thức: d z  d( dz)  z" dx2  2z"xydxdy  z" dy2 x y Ví dụ Hàm số z  x3  y2  xy có đạo hàm riêng cấp hai: z"  x, z"xy  1; z"yx  1, z"  2 x Vậy, vi phân cấp hai hàm số : y d z  xdx2  2dxdy  2dy2 Ví dụ 13’ Tính vi phân cấp hai hàm số z  arctg x y Ví dụ 14 Tính vi phân cấp hai hàm số a) z = exy c) z  xy2  x3 y3 b) z  ln( x2  y2 ) d) z  sin( x2  y2 )  Vi phân cấp cao : Vi phân vi phân cấp (n – 1) gọi vi phân cấp n CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN Khái niệm Cho hàm số f(x, y) xác định tập hợp D M0(x0, y0)  D Ta nói M0 điểm cực đại hàm số f(x, y) điểm M(x, y) nằm xung quanh M0, M  M0, ta có : f(x, y) < f(x0, y0), hay f(M) < f(M0) (nghĩa f(M) – f(M0) < 0)) Tương tự ta có khái niệm điểm cực tiểu thay bất đẳng thức f(M) < f(M0) bất đẳng thức f(M) > f(M0) Điểm cực đại, cực tiểu gọi chung điểm cực trị Ví dụ Xét hàm số f(x, y) = x² + y² - 2x + điểm M0(1, 0)  D = R² Giả sử M(x,y) điểm thuộc tập xác định, nằm xung quanh điểm M0, M  M0.Ta có f ( M )  f ( x, y)  x2  y2  2x  3; f ( M )  f (1,0)  Suy f ( M )  f ( M )  x2  y2  2x   ( x  1)2  y2  0, M  M Vậy, f(M) > f(M0) Suy M0 điểm cực tiểu hàm số cho Điều kiện có cực trị a) Điều kiện cần : Nếu f(x, y) có cực trị M0(x0, y0)  D điểm tồn đạo hàm riêng đạo hàm riêng phải 0: f x' ( M )  f y' ( M )  Điểm mà đạo hàm riêng gọi điểm dừng hàm số Ví dụ Hàm số cho ví dụ có đạo hàm riêng:  x   z 'x  z ' x  x  2, z 'y  y    Vậy hàm số có điểm dừng M0(1, 0) z '  y  y    Lưu ý: Định lý nói điều kiện cần, điều kiện đủ, nghĩa M0 điểm dừng điểm nghi ngờ có cực trị, chưa thể kết luận điều b) Điều kiện đủ để hàm đạt cực trị Định lý : Cho hàm số z = f(x, y) Giả sử M0(x0, y0)  D điểm dừng hàm số f(x, y) M0 hàm số có đạo hàm riêng cấp hai A  f "2 ( M ), B  f " ( M ), C  f "2 ( M ) Khi đó: x xy y - Nếu = A B  0, A  hàm số đạt cực tiểu M0 B C - Nếu = A B  0, A  B C hàm số đạt cực đại M0 - Nếu = A B  hàm số khơng có cực trị M0 B C Lưu ý: Nếu = A B  khơng sử dụng định lý Trong trường hợp ta phải dùng định B C nghĩa cực trị hàm số Các bước tìm cực trị hàm hai biến Từ hai định lý suy bước cần thực để tìm cực trị hàm hai biến z = f(x, y) là: Tìm tập xác định  z'  x Tính đạo hàm riêng cấp hàm số cho Giải hệ phương trình  '   zy  dừng Tính đạo hàm riêng cấp hai Tại điểm dừng tính A, B, C  (định thức cấp hai tạo A, B, C) xét dấu  Kết luận cực trị hàm số cho tính giá trị cực trị (nếu có) Ví dụ Tìm cực trị (nếu có) hàm số : z = x3+ 3y2 - 3x - 6y Giải - Tập xác định hàm số cho D = R2 - Tìm điểm dừng :  z 'x   x  1    z ' y  y 1 z’x= 3x2- ; z’y= 6y -   Hàm số có hai điểm dừng M1(1, 1), M2(-1, 1) - Các đạo hàm riêng cấp : z"  x , z"  0, z" x2 - y2 xy 6 Tại M1(1, 1) : A  z" ( M1 )  6, B  z"xy ( M1 )  0, C  z" ( M1 )  x  y 0  36  A = > nên M1 điểm cực tiểu zmin= - Tại M2(-1, 1) : A  z" ( M1 )   6, B  z"xy ( M1 )  0, C  z" ( M1 )  x  y 6 0   36  nên M2 điểm cực trị Ví dụ Tìm cực trị hàm số sau a) z  xy  x5  y5 để tìm điểm b) z   x  y x y c) z = x2 + xy + y2 - 3x - 6y ; d) z = x3 + y3 + 6xy CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA HÀM HAI BIẾN Khái niệm Ta xét tốn tìm cực trị hàm hai biến z = f(x, y), biến số x, y khơng bị ràng buộc điều kiện Ta gọi cực trị tự hay cực trị không điều kiện Ở mục ta xét tốn tìm cực trị hàm hai biến z x, y bị ràng buộc với điều kiện Ta nói hàm số z = f(x, y) đạt cực đại điểm M0(x0, y0) với điều kiện  (x, y) = tồn lân cận D điểm M0 cho f(M) < f(M0) với điểm M D, M  M0, thỏa mãn điều kiện (M) = Thơng thường phương trình  (x, y) = cho ta đường cong C Như ta so sánh f(M) với f(M0) điểm M nằm C mà Tương tự ta có khái niệm cực tiểu có điều kiện Điều kiện có cực trị : Ta thừa nhận kết sau : a) Điều kiện cần : Giả sử M0(x0, y0) điểm cực trị hàm số z = f(x, y) với điều kiện  (x, y) = 0, f (x, y),  (x, y) hàm số có đạo hàm riêng liên tục Khi tồn số  cho f x' ( x0 , y0 )   x' ( x0 , y0 )  f y' ( x0 , y0 )   'y ( x0 , y0 )  (1)  ( x0 , y0 )  Số  số chưa biết ta cần phải tìm gọi nhân tử Lagrange Hàm số L(x, y) = f(x, y) + (x, y) gọi hàm số Lagrange ứng với f(x, y) điều kiện  (x, y) = Điều kiện (1) cho thấy M0 điểm dừng hàm số Lagrange thỏa mãn thêm phương trình  (x, y) = b) Điều kiện đủ : Giả sử điểm M0(x0, y0) thoả mãn (1) Xét vi phân cấp hai hàm số L(x,y) điểm M0: d L ( M )  L" ( M )dx2  L"xy( M )dxdy  L" ( M )dy2 , dx, dy khơng đồng thời bị ràng x y buộc điều kiện d( M )   x' ( M )dx   'y ( M )dy  Người ta chứng minh rằng: - Nếu d L ( M )  M0 điểm cực tiểu có điều kiện hàm số cho - Nếu d L ( M )  M0 điểm cực đại có điều kiện hàm số cho Như vậy, để tìm cực trị hàm số z =f(x, y) với điều kiện (x, y) = 0, ta thực sau : - Tìm tập xác định hàm số z = f(x, y) - Lập hàm số Lagrange L(x, y) = f(x, y) + (x, y) Tính đạo hàm riêng L’x, L’y giải hệ phương trình  L 'x   L 'y    ( x, y )  để tìm điểm dừng hàm số Lagrange - Tính vi phân cấp L(x, y) - Tại điểm dừng (x0, y0) xét dấu vi phân cấp L(x0, y0) vào để kết luận Ví dụ Tìm cực trị hàm số z = – 4x – 3y với điều kiện x2  y2  Giải Ở : f(x, y) = – 4x – 3y (x, y) = x² + y² - - Ta có hàm số Lagrange L ( x, y)   x  y  ( x2  y2  1) Giải hệ { Do L'x  4  2 x , L'y  3  2 y ta tìm hai điểm dừng 3 4 3  M1  ;  , 1  ; M   ;   , 2   5 5     - Tính vi phân cấp hai hàm Lagrange : L"  2 , L"xy  , L"  2 x y  d L( x, y )  2 dx  2 dy  2 (dx  dy ) - Tại M1 ta có  = 5/2 nên vi phân cấp hai d²L(M1) = 5(dx² + dy²) > Vậy M1 điểm cực tiểu có điều kiện hàm số cho với zmin  z( M1 )  - Tại M2 ta có  = - 5/2 nên vi phân cấp hai d²L(M2) = - 5(dx² + dy²) < Vậy M2 điểm cực đại có điều kiện hàm số cho với zmax  z( M )  11 Ví dụ Tìm cực trị hàm số z = x + 2y với điều kiện x² + y² = Ví dụ Tìm cực trị hàm số z = x.y2 với điều kiện x² + y² = 25 Lưu ý Nếu từ điều kiện (x, y) = tính y theo x (hoặc x theo y) thay vào hàm số z = f(x, y) cho, ta hàm theo x (hoặc theo y) Khi tốn tìm cực trị có điều kiện hàm hai biến đưa tốn tìm cực trị hàm biến theo x (hoặc theo y) Ví dụ Tìm cực trị hàm số z  x2  y  x  y  với điều kiện x + y = Giải : Từ điều kiện x + y = ta có y = – x Thay vào z : z = x² + (1 – x)2 – 2x + 2(1 – x) – = 2x2 – 6x – Hàm số đạt cực tiểu điểm x = 3/2 zmin = -13/2 Ví dụ Tìm cực trị hàm số : a) z = x.y2 với điều kiện x² + y² = 25 b) z=xy với điều kiện 2x + 3y – = Ví dụ Tìm cực trị hàm số z= x2+y2-xy+x+y-4 với điều kiện x+y+3=0 CỰC TRỊ TUYỆT ĐỐI (GTLN, GTNN) CỦA HÀM HAI BIẾN Ta xét tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (còn gọi cực trị tuyệt đối) hàm hai biến f(x,y) liên tục miền đóng bị chặn D Cũng với hàm biến, cực trị tuyệt đối đạt điểm cực trị miền D biên D Do đó, muốn tìm cực trị tuyệt đối hàm f(x,y) miền D, ta cần - tìm điểm cực trị miền D - tìm điểm cực trị biên D Bài tốn tìm điểm cực trị biên D tốn tìm cực trị hàm số cho với điều kiện (x, y) = 0, (x, y) = phương trình đường biên D Trong thực hành, người ta cần làm sau : - Bước : Tìm điểm dừng f(x, y) bên miền D (điểm D mà ta nghi ngờ có cực trị) Muốn ta 10 giải hệ phương trình z’x= 0, z’y = với (x, y)  D - Bước : Tìm điểm nghi ngờ điểm cực trị biên D Đó điểm nghi ngờ điểm cực trị với điều kiện (x, y) = Muốn ta lập hàm số Lagrange giải hệ phương trình { - Bước : Tính giá trị z(x, y) điểm thu hai bước so sánh để chọn GTLN, GTNN Lưu ý: D đa giác lồi dễ dàng chứng minh điểm nghi ngờ có cực trị biên D đỉnh đa giác Do đó, trường hợp này, thay giải hệ phương trình bước người ta cần tìm tọa độ đỉnh đa giác Ví dụ Tìm GTLN, GTNN hàm số z = xy miền D xác định x2 + y2  D hình trịn tâm O(0, 0), bán kính  Tìm điểm dừng miền D : Giải hệ phương trình { ta điểm dừng O(0, 0) Điểm miền D  Tìm điểm dừng biên miền D : Biên miền D có phương trình x2 + y2- = Xét hàm số Lagrange L(x,y) = xy + (x2 + y2- 4) { Giải hệ phương trình { Ta có điểm dừng : (√ √ ) ( √ √ ) (√  Tính giá trị z điểm tìm trên: Z(0, 0) = 0; (√ √ ) ( √ √ ) (√ √ ) ( √ √ ) √ ) ( √ √ ) Suy GTLN z 2, đạt (√ √ ) ( √ √ ) GTNN z (-2), đạt (√ ( √ √ ) Ví dụ Tìm GTLN, GTNN hàm số z = x2 + y2 - 4x - y giới hạn đường x=1, y=1, x+y=3 D tam giác đóng ABC, xác định điều kiện  x  2, 1 y  x + y   Trước hết ta tìm điểm dừng miền D  { miền D B A { C  { Điểm không miền D  Biên D cạnh tam giác nên điểm nghi ngờ có cực trị đỉnh A, B, C  Tóm lại, có điểm nghi ngờ có cực trị A, B, C z (A) = z (1, 1) = - z (B) = z (1, 2) = -1 z (C) = z (2, 1) = - Vậy z có GTLN z (B) = -1 ; GTNN z (C) = -4 Ví dụ Tìm GTLN, GTNN hàm số z = x2 + y2 – xy - x - y miền D xác định x  0, y  0, x + y  - Ví dụ Tìm GTLN, GTNN hàm số z = x2 – y2 miền D xác định x2 + y2  Ví dụ Tìm GTLN, GTNN hàm số z = xy2 miền D xác định x2 + y2  25 11 √ ) BÀI TẬP Tính đạo hàm riêng hàm số sau điểm a) z  x2  xy  y2 , (1, 1) b) z  xyex , (0,2) xy c) z  d) z  l n x2  y2 , (0,1) , (1, 1) x y Tính đạo hàm riêng vi phân cấp hai hàm số sau a) z  x2  xy  y2 b) z  c) u  xey  yez  zex Tìm cực trị hàm số sau xy x y d) z  ln(3 x  y)  y2 a) z   x2  y2 b) z  e x c) z  xy   d) z  2x3  y3  x2  y  12x  x y Tìm cực trị với điều kiện hàm số sau a) f(x,y) = xy, x + y = 100 b) f(x,y)= x² + y², x + y = 10 c) f(x,y)= x + 3y, xy = 64 d) z = – 4x – 3y, x2 + y2 = Tìm GTLN, GTNN hàm số z  x2  y2  x miền x2  y2  CHƯƠNG II TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN TÍCH PHÂN HAI LỚP Khái niệm Cho hàm hai biến ƒ (x, y) xác định tập hợp D  R2 Ta xét tích phân hàm số lấy D gọi tích phân hai lớp, kí hiệu  f ( x , y )dxdy Ở đây, ƒ (x, y) hàm số lấy tích phân, D miền lấy tích phân, D dx, dy vi phân x, y (để tích phân lấy theo biến số x, y) Tính chất Tích phân hai lớp có tính chất tương tự tích phân xác định:  cf ( x , y )dxdy  c  f ( x , y )dxdy , c  const D D  [ f ( x , y )  g( x , y )]dxdy   f ( x , y )dxdy   g( x , y )dxdy D D Tính chất bảo tồn quan hệ thứ tự : Nếu f(x,y)  g(x,y) (x,y)  D D  f ( x, y)dxdy   g ( x, y)dxdy D D Tính chất cộng tính : Nếu miến lấy tích phân D chia thành hai miền nhỏ D1, D2 không dẫm lên  f ( x, y)dxdy  f ( x, y)dxdy   f ( x, y)dxdy D  dxdy  S ( D) D1 D2 , với S(D) diện tích miền D D Cách tính tích phân hai lớp Cơng thức tính tích phân hàm hai biến phụ thuộc vào hình dạng miền D 12 Sau ta xét vài trường hợp đặc biệt miền lấy tích phân a) Miền lấy tích phân hình chữ nhật xác định a  x  b  c  y  d d (a, b, c, d  const ) b a (Các cạnh hình chữ nhật song song với hai trục tọa độ) Khi ta có cơng thức tính tích phân hai lớp:  c b d d b a c c a f ( x, y )dxdy   dx  f ( x, y )dy  dy  f ( x, y )dx (1) D Các tích phân vế phải tính theo thứ tự từ phải sang trái, trừ tính phân độc lập với tính chúng lúc 0 x2 Ví dụ Tính tích phân hai lớp  ( x  y )dxdy , D xác định bởi:  1  y  D Cách : y2 dx  ( x  y )dxdy   dx  ( x  y )dy   ( x y  ) D 1 y  1 2 2 2   ( x  )dx  ( x  x )  3 Cách : 2 2 3 1 1  ( x  y )dxdy   x dxdy   ydy   x dx  dy   dx  ydy D D D 23 x3 8 y ( )( y 1 )  ( x )( )   2.4  3 1 Ví dụ Tính tích phân hai lớp  x ydxdy , D xác định bởi: D Ví dụ Tính tích phân hai lớp 0 x2  1  y   ( x  y )dxdy , D hình chữ nhật giới hạn đường thẳng: D x = 1, x = 3, y = 0, y = b) Miền lấy tích phân hình thang cong xác định bởi: a xb  (a, b  const )   y1 ( x)  y  y2 ( x) y = y2(x) a y = y2(x) b a b y = y1(x) y = y1(x) Ở biên miền D có cạnh song song với Oy Khi 13 b y2 ( x ) a y1 ( x )  f ( x, y)dxdy   dx  D f ( x, y )dy (2) c) Miền lấy tích phân hình thang cong xác định bởi:  x1 ( y )  x  x2 ( y ) (c, d  const )  c yd  d x = x1(y) d x = x1(y) x = x2(y) x = x2(y) c c Trong trường hợp biên miền D có cạnh song song với Ox Khi d x2 ( y ) c x1 ( y )  f ( x, y)dxdy   dy  D Ví dụ Tính tích phân hai lớp f ( x, y )dx (3)  xydxdy , D xác định bởi: D x x x2 x2   x 1  x  y  x  xydxdy   dx  xydy   xdx  ydy D y2   x x 1 1 1 dx   ( x3  x )dx  (  )  20 24 y  x2 Ví dụ Tính tích phân hai lớp  ( x  y)dxdy D giới hạn đường y = x, y = 5x, x = D Giải : Trước hết phải vẽ hình, tìm tọa độ giao điểm để xác định miền D Ví dụ Tính D giới hạn đường x = 0, y = 0, x + y =  (2 x  y)dxdy D Ví dụ Tính tích phân hai lớp  ( x  y )dxdy , D giới hạn đường y = x, y = x +1, y = 1, D y = ĐS : 14 Ví dụ Tính tích phân hai lớp y  x  2y  y dxdy , D xác định bởi:   y  D Ví dụ Tính tích phân hai lớp  ( y  1)dxdy , D xác định : xy  1; x  y ; x  D Tóm lại : Nguyên tắc chung: - Việc tính tích phân hai lớp đưa tính hai tích phân xác định theo biến số - Khi tính tích phân theo biến số xem biến số lại số - Thứ tự viết tích phân xác định cận chúng phụ thuộc vào cách xác định miền lấy tích phân - Các tích phân tính theo thứ tự từ phải sang trái Khi tính phân độc lập với tính chúng lúc 14 ... Thông thường cho hàm số, người ta phải cho trước tập xác định D cho quy tắc f để tính giá trị tương ứng hàm số điểm thuộc D Tuy nhiên, nhiều trường hợp, người ta cho quy tắc f mà không cho tập. .. NHIỀU BIẾN Hàm nhiều biến Cho tập hợp D  Rn Quy tắc f đặt tương ứng điểm (x1, x2, …, xn)  D với số thực nhất, ký hiệu f(x1, x2, …, xn), gọi hàm n biến xác định tập hợp D x1, x2, …, xn gọi biến... nhiều trường hợp, người ta cho quy tắc f mà không cho tập xác định Khi đó, ta quy ước tập xác định D hàm số tập hợp điểm (x1, x2, …, xn)  Rn cho giá trị biểu thức f(x1, x2, …, xn) số thực xác