DE THI GVG TINH HA TINH 2013 2014

SỞ GDDT HÀ TĨNH KÌ THI CHỌN GIÁO VIÊN DẠY GIỎI THCS CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm : 120 phút (Đề thi có 01 trang, gồm 05 bài) Bài 1: a) Cho phương trình: x2 + ax + = với tham số a 2 x  x  Tìm a để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn        x   x1  b) Cho số nguyên m, n, p thỏa mãn m + n + p = 2014 Chứng minh m3 + n3 + p3 - chia hết cho 2   x y  xy  x  y  Bài 2: Giải hệ phương trình    x  2y  Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, tìm a để đồ thị hàm số bậc y = ax + cắt trục hoành trục tung hai điểm A, B phân biệt cho tam giác OAB có chu vi Bài 4: Cho hình vng ABCD điểm M cạnh CD cho CM = 2DM Gọi E giao điểm đường thẳng AM đường thẳng BD Gọi H chân đường vng góc hạ từ điểm E xuống cạnh AD, O N trung điểm DE BC Chứng minh: a) Tứ giác ABOH nội tiếp đường trịn b) Đường thẳng AM vng góc với đường thẳng EN Bài 5: Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P  2x  (y  z)2  yz Lời giải: Bài 1: a) Để phương trình có hai nghiệm    a    a  2 2 x  x  x x   x1  x  a Theo Viet ta có  Do             x1x   x   x1   x x1  Do   x  x   3x x  2 2 2 a   2 2     x1  x      a        a   3 a   Đối chiếu ĐK a  ta có a   thỏa mãn toán  a  1  b) Từ gt m  n  p  2014  m  n  p   2022  m  n  p  chia hết cho Ta có  m3  n  p3     m  n  p  8  m3  m  n  n  p3  p  12   m  1 m  m  1   n  1 n  n  1   p 1 p  p  1 12 chia hêt cho Vậy m3  n  p3  chia hết cho   xy  1  x  y   Bài 2: Hệ phương trình   Ta có hệ phương trình sau : 2y   x   2 xy   1  1   x 1  x     x  x     x     x     (loại) Ta có  2  2  2y   x  y  x y  x   y  x    2  x  2y    x  2x      x  1  x  x  1  x = -1  y = 1 1  3  x  x 1    x     x  y 2 2    1     1       Tập nghiệm hệ phương trình  x; y    1;1 ;  ; ;  ;      2      2 Bài 3: Vì hàm số bậc nên a  Tọa độ giao điểm đồ thị hàm số y = ax + với trục hoành   trục tung A   ;0  ; B  0;  Vì OAB vng O nên theo Pitago ta có  a  AB  OA  OB2   Theo OA + OB + AB = a  4 2 4   4  4 a a a a  1 4 16 16 1    1         a2   a   a a a a a a a   450 (gt) Bài 4: a) EH  DH (gt) HDE nên DHE vng cân có OD = OE (gt)  HO  DE    BAH  hay HOE  900  HOE  1800 tứ giác ABOH nội tiếp đường trịn (Tổng hai góc đối 1800) A B N E b) Tia HE cắt BC F Ta có HF // AB, theo TaLet H HE AH HE DM DM HD        O DM AD AH AD DC AH D M HD (Vì HE = HD, DHE vuông cân)   AD Mặt khác tứ giác HFCD hình chữ nhật  FC = HD BC = AD FC FC nên     NF  FC  HE = NF (1) BC NC Ta lại có EFB vuông cân  EF = BF mà BF = AH nên AH = EF (2)    ENF Từ (1) (2)  AHE = EFN (c – g – c)  AEH   NEF   900  NEF   AEH   900  AE  NE mà ENF F C Bài 5: Từ x  y  z   x   y  z  P  1  y  z    y  z   yz    y  z   2  2  y z   y z   2     y z  2  y  z      2x  (Áp dụng BĐT  a  b    a  b2  ) GTLN P Đạt x = y = z = Lời giải : Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn  y z y z  2  ... 450 (gt) Bài 4: a) EH  DH (gt) HDE nên DHE vng cân có OD = OE (gt)  HO  DE    BAH  hay HOE  900  HOE  1800 tứ giác ABOH nội tiếp đường trịn (Tổng hai góc đối 1800) A B N E b) Tia HE