SỞ GDDT HÀ TĨNH KÌ THI CHỌN GIÁO VIÊN DẠY GIỎI THCS CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm : 120 phút (Đề thi có 01 trang, gồm 05 bài) Bài 1: a) Cho phương trình: x2 + ax + = với tham số a 2 x x Tìm a để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x x1 b) Cho số nguyên m, n, p thỏa mãn m + n + p = 2014 Chứng minh m3 + n3 + p3 - chia hết cho 2 x y xy x y Bài 2: Giải hệ phương trình x 2y Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, tìm a để đồ thị hàm số bậc y = ax + cắt trục hoành trục tung hai điểm A, B phân biệt cho tam giác OAB có chu vi Bài 4: Cho hình vng ABCD điểm M cạnh CD cho CM = 2DM Gọi E giao điểm đường thẳng AM đường thẳng BD Gọi H chân đường vng góc hạ từ điểm E xuống cạnh AD, O N trung điểm DE BC Chứng minh: a) Tứ giác ABOH nội tiếp đường trịn b) Đường thẳng AM vng góc với đường thẳng EN Bài 5: Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P 2x (y z)2 yz Lời giải: Bài 1: a) Để phương trình có hai nghiệm a a 2 2 x x x x x1 x a Theo Viet ta có Do x1x x x1 x x1 Do x x 3x x 2 2 2 a 2 2 x1 x a a 3 a Đối chiếu ĐK a ta có a thỏa mãn toán a 1 b) Từ gt m n p 2014 m n p 2022 m n p chia hết cho Ta có m3 n p3 m n p 8 m3 m n n p3 p 12 m 1 m m 1 n 1 n n 1 p 1 p p 1 12 chia hêt cho Vậy m3 n p3 chia hết cho xy 1 x y Bài 2: Hệ phương trình Ta có hệ phương trình sau : 2y x 2 xy 1 1 x 1 x x x x x (loại) Ta có 2 2 2y x y x y x y x 2 x 2y x 2x x 1 x x 1 x = -1 y = 1 1 3 x x 1 x x y 2 2 1 1 Tập nghiệm hệ phương trình x; y 1;1 ; ; ; ; 2 2 Bài 3: Vì hàm số bậc nên a Tọa độ giao điểm đồ thị hàm số y = ax + với trục hoành trục tung A ;0 ; B 0; Vì OAB vng O nên theo Pitago ta có a AB OA OB2 Theo OA + OB + AB = a 4 2 4 4 4 a a a a 1 4 16 16 1 1 a2 a a a a a a a a 450 (gt) Bài 4: a) EH DH (gt) HDE nên DHE vng cân có OD = OE (gt) HO DE BAH hay HOE 900 HOE 1800 tứ giác ABOH nội tiếp đường trịn (Tổng hai góc đối 1800) A B N E b) Tia HE cắt BC F Ta có HF // AB, theo TaLet H HE AH HE DM DM HD O DM AD AH AD DC AH D M HD (Vì HE = HD, DHE vuông cân) AD Mặt khác tứ giác HFCD hình chữ nhật FC = HD BC = AD FC FC nên NF FC HE = NF (1) BC NC Ta lại có EFB vuông cân EF = BF mà BF = AH nên AH = EF (2) ENF Từ (1) (2) AHE = EFN (c – g – c) AEH NEF 900 NEF AEH 900 AE NE mà ENF F C Bài 5: Từ x y z x y z P 1 y z y z yz y z 2 2 y z y z 2 y z 2 y z 2x (Áp dụng BĐT a b a b2 ) GTLN P Đạt x = y = z = Lời giải : Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn y z y z 2 ... 450 (gt) Bài 4: a) EH DH (gt) HDE nên DHE vng cân có OD = OE (gt) HO DE BAH hay HOE 900 HOE 1800 tứ giác ABOH nội tiếp đường trịn (Tổng hai góc đối 1800) A B N E b) Tia HE