Ngoài việc MTBT giúp cho việc giảm đáng kể thời gian tính toán trong một giờ học mà từ kết quả tính toán đó ta có thể dự đoán, ớc đoán về các tính chất của dãy số tính đơn điệu, bị chặn.[r]
(1)B 1: Híng dÉn sö dông m¸y tÝnh bá tói casio 500-MS; fx 570-MS * Giíi thiÖu m«n hoc gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio lµ nh÷ng bµi to¸n cã sù trî gióp cña m¸y tÝnh Bµi thi HSG "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio" ph¶i lµ nh÷ng bµi to¸n cã sù trî gióp cña m¸y tính để thử nghiệm tìm qui luật toán học, tăng tốc độ tính toán Đằng sau bài toán ẩn tàng định lý, chí lí thuyết toán học:Số học, dãy truy håi, Ph¬ng tr×nh sai ph©n, I>Giíi thiÖu c¸c phÝm vµ chøc n¨ng cña chóng: Gåm : - PhÝm chung - PhÝm nhí - Phím đặc biệt - PhÝm hµm - PhÝm thèng kª - ; : Di chuyển trỏ qua lại để sửa chèn số hay phép tính để tÝnh to¸n - ; : Gäi c¸c biÓu thøc vµ c¸c kÕt qu¶ - RCL : Gọi số nhớ (số đã gán vào ô nhớ) - STO : Gán số nhớ để thực phép tính với nhiều lần sử dụng nó - : :(Phím đỏ) Ghi dấu cách biểu thức - Ans : Gäi kÕt qu¶ võa tÝnh( sau dÊu võa Ên) - CLR :(PhÝm vµng) Gäi menu xãa - CALC : Gọi gán các giá trị biến đã ghi biểu thức lên màn hình (gán xong biến cuối cïng Ên cho kÕt qu¶ biÓu thøc) - ALPHA :( Phím đỏ) ấn trớc các phím chữ đỏ Gọi số nhớ để sử dụng tính to¸n - RND :( PhÝm vµng) Lµm trßn gi¸ trÞ - RAN # :(PhÝm vµng) Cho sè ngÉu nhiªn - SHIFT :(PhÝm vµng) Ên tríc phÝm vµng * - C¸c phÝm ch÷ tr¾ng Ên trùc tiÕp - C¸c PhÝm ch÷ vµng Ên sau SHIFT - Các phím chữ đỏ ấn sau phím ALPHA, ấn sau STO * Mµn h×nh dßng gióp ta xem cïng lóc c¶ biÓu thøc vµ kÕt qu¶ - Dßng trªn lµ biÓu thøc - Dßng díi lµ kÕt qu¶ - Khi kết chữ số phần nguyên thì có dấu cách nhóm ba chữ số kể từ đơn vị * Tríc tÝnh to¸n ph¶i chän MODE ch¬ng tr×nh - Tính thông thờng: ấn MODE đến màn hình COMP ấn tiếp - Giải hệ phơng trình ấn MODE đến màn hình EQN ấn tiếp + Ên => gi¶i hÖ PT bËc nhÊt hai Èn + Ên => gi¶i hÖ PT bËc nhÊt ba Èn - Giải phơng trình ấn MODE đến màn hình EQN ấn tiếp chuyển phải: + Chän => Gi¶i PT bËc hai + Chän => Gi¶i PT bËc ba - Thống kê: ấn MODE đến màn hình SD ấn tiếp * Muốn xóa giá trị đã nhớ A B : ấn SHIFT STO A B Muèn xãa tÊt c¶ c¸c sè nhí ë A; B: Ên SHIFT CLR (2) * - Dùng hai phím ; : để di chuyển trỏ đến chổ cần chỉnh sửa + ấn DEL để xóa kí tự nhấp nháy + Ên SHIFT; INS : §Ó chÌn kÝ tù + ấn ta đợc trạng thái bình thờng * HiÖn l¹i biÓu thøc: - Sau mçi lÇn tÝnh to¸n m¸y lu biÓu thøc vµ kÕt qu¶ vµo bé nhí Khi Ên th× mµn h×nh cò (biểu thức và kết vừa tính) lại ấn tiếp thì biểu thức và kết trớc đó lại - Khi Ên AC mµn h×nh kh«ng bÞ xãa bé nhí - Ên ON th× bé nhí mµn h×nh bÞ xãa * Nèi kÕt nhiÒu biÓu thøc Ên ALPHA : VÝ dô: tÝnh + råi lÊy KQ nh©n víi Ên: 3ANPHA * : Ans KQ: 20 Häc sinh thao t¸c t×m c¸c phÝm trªn m¸y B 2: II> Thao t¸c, ¸p dông c¬ b¶n: 1/ Céng, trõ, nh©n, chia: - Tríc tÝnh to¸n chän COMP vµ Ên - NÕu thÊy mµn h×nh hiÖn FIX, SCI th× Ên thªm MODE, chän Norm Ên råi Ên tiÕp hoÆc - NÕu mµn h×nh hiÖn ch÷ M(m¸y ®ang cã sè nhí) Ên SHIFT CLR * M¸y thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh tõ tr¸i qua ph¶i, nh©n chia tríc, céng trõ sau 2> PhÐp tÝnh cã dÊu ngoÆc: - Khi ghi biểu thức thì các dấu ngoặc cuối cùng( trớc dấu =) thì đợc miễn ấn - Dấu nhân trớc dấu ngoặc: vd: 3( + 8); dấu nhân trớc chữ: vd: 3x thì đợc miễn ấn 3> B×nh ph¬ng, lòy thõa, C¨n thøc: x2 ; x ; ; (3) - Ên: a x kÕt qu¶ : b×nh ph¬ng cña a - Ên: a SHIFT x lËp ph¬ng cña a (m¸y fx-500MS kh«ng Ên SHIFT) - Ên: a n lòy thõa bËc n cña a - Ên: a Ta đợc bậc hai a (a 0) Bµi tËp 1) Tính giá trị biểu thức chính xác đến 0,01 ,75 a) , 25(¿ ¿ 2+ , ❑15 ) , 35 , 05 ¿ b) ,23 22 ,15(¿ ¿ 2+3 , 452 ) 15 , 252 , 453 ¿ Quy trình ấn phím sau: Ấn MODE nhiều lần đến màn hình xuất Fix Sci Norm Ấn tiếp Ấn tiếp (Kết phép tính làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2) a) Ấn tiếp 1,25 ( 3,75 x2 + 4,15 x2) : 5,35 : 7,05 = KQ : 1,04 b) Tương tự ta KQ : 166,95 2) Thực phép tính : 4 0,8: ( , 25) (1 ,08 − ) : 25 + +(1,2 0,5): A= 5 ,64 − (6 − ) 25 17 Ấn ( 0,8 : ( , 25 ¿ ) : (0,64 - 25 ) = SHIFT STO A Ấn tiếp ( (1,08 - 25 ) : ) : ( −3 ¿ :2 17 = SHIFT STO B Ấn tiếp 1,2 0,5 : = + ALPHA A + ALPHA B = KQ:2,333333333 1 1+ 1,5 , 25 + + 50 46 B = : - 0,8 : 0,4 6− 1+2,2 10 1: Ấn 1,5 : ( 0,4 50 :(1: ) ¿ = SHIFT STO A 1 46 Ấn tiếp (1 + , 25 ¿ :( − 1+ 2,2 10 )=¿ SHIFT STO B 1 Ấn tiếp : −0,8=¿ : ALPHA A + ALPHA B + = KQ : 3) Tính chính xác đến 0, 0001 a) + √ 3+ √ 3+ √ 3+ √3 b) +7 Ấn MODE nhiều lần giống bài √ 5+7 √5+ √5+7 √5 (4) Ấn tiếp + 3+ √ ¿ ¿ 3+ √ ¿ ) = ¿ 3+ √ ¿ ¿ √¿ KQ : 5,2967 5+7 √ ¿ ¿ ¿ 5+7 5+7¿ √ ¿ = ¿ 5+7 √ ¿ ¿ √¿ KQ :53,2293 4) Không cần biến đổi hãy tính trực tiếp giá trị các biểu thức √ − √ √ 216 14 − √7 √ 15− √ − ) (√ + ): A= ( B = 1− √ 1− √ √8 −2 √6 √7 −√5 A) ((2 √ 3− √ ¿:( √ −2)− √216 : ¿ 1: √ = KQ : - 1,5 √¿ − B) (( √ 14 − √ ¿ :(¿+(√ 15 − √ 5) :( 1− √3)).( √7 − √5) = KQ : - Chó ý : Phép nhân trµn mµn h×nh: Tính 8567899 * 654787 Giải : Ta có 8567899 * 654787 = (8567 * 103 + 899) * (654 * 103 + 787) 8567 * 103 * 654 * 103 = 602 818 000 000 8567 * 103 * 787 = 742 229 000 899 * 654 * 103 = 587 946 000 899 * 787 = Cộng dọc ta Bài tập vÒ nhµ : 707 513 610 148 882 513 1) a) Tìm 2,5% (85 b −83 ): 30 18 , 04 b) Tìm 5% 3 (6 −3 ) 5 14 (21 −1 ,25) :2,5 2) Tìm 12% a+ , biết a= − −0 , 09 :(0 ,15 :2 ) ,32 +0 , 03 −(5,3 − ,88)+0 , 67 b= (2,1 −1 , 95) :(1,2 , 045) , 00325 :0 , 013 :0 , 25 - 1,6 , 625 (5) 3) Tính √ √(243 , 5+0 , 125) +108 √ + KQ : ,745780316 √ 24 , 12: , 016 −2 √5 4) Giải phương trình : 1 :2 12 18 = 6,48 17 11 (5 − :2+2 ):27 ,74 + 32 27 3 2 (1 ,25 −3 , 267 )(3 x+ − , 23): − +6 5 = , 235 : ,326 2,75 +4 −0 , 73 , 456 :2 ,73 , 5649 x +2 , 8769 2, 4838 x +5 , 3143 = − , 9675 x +11 , 9564 , 5379 x − ,3152 (17 , 125+19 ,38 : x ) 0,2+3 a) b) c) 3 4,6 :(4 + 2,4) 4) Tính chính xác giá trị A = 14142135622 ; B = 2012200092 5) Tính giá trị gần đúng N = 13032006 * 13032007 M = 3333355555 * 3333377777 Q = 1212 + 1414 (kq: 11120922926006272) B 3: 4> Sö dông phÝm nhí: - Ghi sè nhí a(hay g¸n sè nhí) Ên : a SHIFT STO A th× m¸y nhí a vµo sè nhí A - Gọi số nhớ đã gán ô nhớ A ấn ALPHA A Máy gọi số nhớ A màn hình - Khi sö dông sè nhí a tÝnh to¸n: Ên ALPHA A - Phím Ans dùng để gọi kết sau ấn cuối cùng sau ấn SHIFT % , ấn M+ * VÝ dô ¸p dông: ViÕt qui tr×nh Ên phÝm tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc sau (theo hai c¸ch) a, Kh«ng sö dông phÝm nhí: 325 325 3.25 : 3 325 :13 + ViÕt biÓu thøc vµ Ên (6) + Quy tr×nh Ên phÝm cho kÕt qu¶: 2764,583333 b, Sö dông phÝm nhí: Ghi 325 vµo « nhí A: Ên 325 SHIFT STO A ; Ghi biÓu thøc víi sè 325 Ên ALPHA A kÕt qu¶ : 2764,583333 5> Số nghịch đảo: x-1 1 kết : là giá trị nghịch đảo a - Ên: a x - với biểu thức ấn (kết quả) ấn tiếp x-1 cho giá trị nghịch đảo kết biểu thức a 6> Ph©n sè: b c m - Rót gän n thµnh ph©n sè tèi gi¶n : b m1 a Ên: m c n kÕt qu¶: n1 ( ph©n sè tèi gi¶n) (NÕu tæng c¸c chö sè cua m1 vµ n1 nhá h¬n 10 chö sè) n -ViÕt m díi d¹ng hçn sè : n b a n2 Ên n c m kq m1 ( hçn sè) b b d n a a - §æi ph©n sè hçn sè: n2 c n3 c m1 SHIFT c kÕt qu¶ : m m1 b b a a - §æi ph©n sè sè thËp ph©n : n1 : Ên m1 c n1 c kÕt qu¶ ( sè thËp ph©n) * c¸c phÐp tÝnh vÒ ph©n sè ( t¬ng tù sè nguyªn) 7> C¸c phÐp tÝnh vÒ sè thËp ph©n: T¬ng tù c¸c phÐp tÝnh vÒ sè nguyªn - §æi sè thËp ph©n ph©n sè: d Ghi sè thËp ph©n Ên SHIFT c kÕt qu¶ ( lµ ph©n sè) d VÝ dô: 0.375 SHIFT c kÕt qu¶ : 8> ¦íc sè vµ béi sè: * T×m íc cña a ta lÇn lît chia a cho 1; 2, .b, víi b a (b N) VD: t×m íc cña 720; ta chia 720 lÇn lît cho 26 ( 720 26.832 ) 1; 2;3; ; 24; 240;360; 720 ¦ 720 = Khi phép chia nào chia hết ta đợc ớc a * T×m béi cña a: - Ên a SHIFT STO A Ên tiÕp ALPHA A +Ans VD: t×m béi cña 12 nhá h¬n 100 * T×m ¦CLN (a, b) ; BCNN (a, b) (7) a c ( toán học: b = d ( tối giản) tức là ta đã chia a và b cho ƯCLN (a, b) - T×m ¦CLN : a c hoÆc b d a c - T×m BCNN : v× b = d ad = bc chÝnh lµ BCNN (a, b) a c b = d ( tèi gi¶n) ¦CLN (a, b) = a c (hoÆc b d) BCNN (a, b) = ad ( hoÆc bc) VD: T×m ¦CLN vµ BCNN cña 209865 vµ 283935 a Ên: 209865 b 17 c 283635 ( 23 ) b - §a trá vÒ dßng biÓu thøc söa a c thµnh 17 kÕt qu¶ ¦CLN (209865, 282935) = 12345 - §a trá vÒ dßng b vµ söa thµnh 23 kÕt qu¶ BCNN(209865,282935) = 4826995 9> phÐp chia cã d, phÐp chia hÕt: *DÊu hiÖu chia hÕt: - Chia hÕt cho2: Sè ch¼n - Chia hÕt cho 3: Tæng c¸c chö sè chia hÕt cho - Chia hÕt cho 5: TËn cïng b»ng hoÆc - Chia hÕt cho 9: Tæng c¸c chö sè chia hÕt cho - Chia hÕt cho 4: Sè t¹o bëi chö sè tËn cïng chia hÕt cho - Chia hÕt cho 8: Sè t¹o bëi chö sè tËn cïng chia hÕt cho - Chia hÕt cho 25: Sè t¹o bëi chö sè tËn cïng chia hÕt cho 25 - Chia hÕt cho 125: Sè t¹o bëi chö sè tËn cïng chia hÕt cho 125 - Chia hÕt cho 11: Tæng c¸c chö sè hµng lÏ trõ Tæng c¸c chö sè hµng ch½n(kÓ tõ ph¶i sang tr¸i) chia hÕt cho 11 - a.bc vµ (a,c) = bc - m a, m b; m c vµ (a,b), (b,c), (a,c) = m (a.b.c) - p (a.b.c) p a hoÆc p b hoÆc p c - a chia hÕt cho nÕu a chia hÕt cho vµ a chia hÕt cho - a chia hÕt cho 12 nÕu a chia hÕt cho vµ a chia hÕt cho - a chia hÕt cho 30 nÕu a chia hÕt cho 2, a chia hÕt cho vµ a chia hÕt cho VÝ dô: Số dư a chia cho b a – b * phần nguyên (a : b) VD 1: T×m d phÐp chia: 143946 32147 Ên: 143946 32147 ( 4,477742869) §a trá vÒ dßng biÓu thøc thay thµnh 32147 kÕt qu¶ d lµ: 15359 VD 2: Tìm số dư phép chia 9124565217 : 123456 Ghi vào màn hình 9124565217 : 123456 ấn = máy thương số là 73909,45128 Đưa trỏ lên dòng biểu thức sửa lại là (8) 9124565217 - 123456 * 73909 = Kết quả: Số dư là 55713 * PhÐp chia hai sè víi víi sè bÞ chia lín h¬n 10 ch÷ sè: ( tõ 11 ch÷ sè trë lªn) - C¸ch thùc hiÖn t×m sè d: + T¸ch thµnh nhãm ch÷ sè ®Çu kÓ tõ bªn tr¸i Tìm số d chữ số đầu cho số chia, ta đợc d thứ + Ghi tiếp các chữ số số bị chia vào bên phải d thứ đợc số không quá ch÷ sè vµ t×m d thø hai + Tiếp tục thực nh trên đến d cuối cùng là d phép chia cần tìm VD 3: T×m d cña phÐp chia: 1234567891234567 : 123456 Giải: Ta tìm số d phép chia: 123456789 : 123456 đợc d thứ là 789 Tìm tiếp số d phép chia: 789123456 : 123456 đợc d thứ hai là 116160 Tìm tiếp số d phép chia: 116160 : 123456 đợc d thứ ba là 50503 VËy d cña phÐp chia 1234567891234567 : 123456 lµ 50503 VD 4: Tìm số dư phép chia 2345678901234 cho 4567 Ta tìm số dư phép chia 234567890 cho 4567 Được kết là 2203 Tìm tiếp số dư phép chia 22031234 cho 4567 Kết cuối cùng là 26 Bài tập : 1) Tìm số dư phép chia 143946 cho 23147 Kết : 5064 2) Tìm số dư phép chia 143946789034568 cho 134578 Kết 3) Tìm số dư phép chia 247283034986074 cho 2003 Kết : 401 4) T×m mét phÐp chia cã: sè bÞ chia 18 ch÷ sè, sè chia lµ ch÷ sè * Các dạng toán cho học sinh lấy ví dụ và thực trên máy; ghi vào (9) B 4: 10> TØ sè phÇn tr¨m, tØ xÝch sè (T¨ng, gi¶m % víi sè cho tríc) * TÝnh tØ sè cña hai sè a vµ b: a b c c b kÕt qu¶: d Ên a * TÝnh tØ sè % cña hai sè a vµ b: a b SHIFT % KÕt qu¶: * TÝnh a% cña b: a b SHIFT % kÕt qu¶: * a t¨ng lªn c lµ t¨ng bao nhiªu % so víi a: Ên c a SHIFT % kÕt qu¶ ( nÕu lµ sè d¬ng th× a < c, nÕu lµ sè ©m th× a > c) * Thùc hiÖn phÐp tÝnh: - T¨ng n¨ng suÊt: a + m% a Ên a m SHIFT % kÕt qu¶: ( m¸y tÝnh sè lîng t¨ng råi céng víi sè cho tríc) VD: Dự tính sản xuất 100 sản phẩm nhng thực tế sản suất tăng 15% : sản xuất đợc? Ên 100 15 SHIFT % kÕt qu¶: 115 s¶n phÈm - Gi¶m n¨ng suÊt: a - m% a Ên a m SHIFT % kÕt qu¶: ( m¸y tÝnh sè lîng gi¶m råi trõ vµo sè cho tríc) VD: Dự tính sản xuất 100 sản phẩm nhng thực tế sản suất giảm15% : sản xuất đợc? Ên 100 15 SHIFT % kÕt qu¶: s¶n phÈm 11> Phép tính gần đúng- làm tròn số a, Phép tính gần đúng: MODE fix ấn máy fix - VD: tính chính xác đến 0,001của : 2 a, x = b, A = ( ):0,26 -Ên MODE fix Ên m¸y hiÖn fix Ên tiÕp 18 (10) b b b a a a, 18 c c = c kq18,429 b b b a a a b, (3 c + c c 7): 0,26 = kq: 13,324 a b, Lµm trßn sè võa ghi Ên sè chän Fix Ên kq: * Xo¸ Fix: chän Norm Ên hoÆc 12> PhÐp tÝnh ®o gãc ®o thêi gian: MODE COMP Ên mµn h×nh chØ hiÖn D Nhập: độ, phút, giây ; giờ, phút, giây - Nếu số đo phút và giây ta ấn ( độ) là đủ - NÕu khuyÕt phót cã gi©y th× nhËp phót 13> C¸ch sö dông EXP: d¹ng to¸n a 10n; tØ lÖ xÝch Phím EXP để ghi các số dạng a 10n ( EXP không cần dùng phím và ) Trong đó a là số tuỳ ý còn n Z+ n ZVí dụ: ghí số 7,5 105 Ên 7,5 EXP kq: 750000 Tæng qu¸t a 10n Ên a EXP n kq 14> Bµi to¸n c¬ b¶n vÒ tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: a Víi biÓu thøc biÕn: * Ghi biÓu thøc vµo mµn h×nh: phÝm ALPHA VÝ dô: TÝnh 3x2 - 6x2 - x3 - 0,5x víi x = 1,6278 Gi¶i: ghi vµo mµn h×nh biÓu thøc: 3x2 - 6x2 - x3 - 0,5x Ên ALPHA x ALPHA x x a b c ALPHA x 0,5 ALPHA x Ên tiÕp CALC 1,6278 kq: 11,10461249 HoÆc Ên: 1,6278 SHIFT STO x ALPHA x kq: * Sö dông phÝm Ans a b c Ans 0,5 Ans kq: Ên 1,6278 Ans x 11,10461249 Lu ý: NÕu biÓu thøc biÕn tÝnh gi¸ trÞ nªn sö dông phÝm Ans b Víi biÓu thøc tõ biÕn trë lªn ( nhiÒu biÕn) Ghi biÓu thøc vµo mµn h×nh dïng phÝm ALPHA hoÆc c¶ ALPHA vµ Ans * Cách 1: Dùng phím ALPHA ghi biểu thức vào màn hình sau đó dùng phím CALC nhập giá trị cña c¸c biÕn * Cách 2: Dùng phím SHIFT STO để gán giá trị biến vào các ô nhớ và ghi biểu thức vào mµn h×nh ( kh«ng sö dông phÝm CALC) (11) VÝ dô: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: x y xz 2 I = x y z víi x = 1,75; y = -2,641; z = Kq: 2,968416223 ( Yªu cÇu häc sinh thùc hiÖn c¸ch) Chú ý: Việc tính giá trị biểu thức cần rút gọn biểu thức dạng đơn giản thực ë m¸y tÝnh * Gi¸o viªn cho häc sinh lÊy vÝ dô ¸p dông theo c¸c d¹ng to¸n Bµi tËp luyÖn tËp: (Yªu cÇu häc sinh lµm ë nhµ vµ nép bµi) 1> Thùc hiÖn tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: a BiÓu thøc gåm c¸c phÐp tÝnh céng, trõ, nh©n, chia, luü thõa ( kh«ng cã dÊu ngoÆc) b BiÓu thøc gåm c¸c phÐp tÝnh céng, trõ, nh©n, chia, luü thõa ( cã dÊu ngoÆc) 2> T×m ¦CLN vµ BCNN cña hai sè cã ch÷ sè 3> T×m sè d cña phÐp chia: a Sè bÞ chia cã ch÷ sè; sè chia cã ch÷ sè b Sè bÞ chia cã ch÷ sè; sè chia cã ch÷ sè 4> Cho a = 125 a TÝnh sè míi cã thªm 5% cña a b TÝnh sè míi gi¶m bít 8% cña a c Số là 150 thì a đợc tăng bao nhiêu % d số là 75 thì a đợc tăng bao nhiêu % (12) B 5: LuyÖn tËp: 1> Thực phép tính (chính xác đến 0,01) (12, 25 3,15)(5, 05 3,55) 15,35 4,15 a 2 b 3 HD: b = + Kq: 2,06 1 3 1 7 = 4 + 7 Lu ý: lµm trßn tríc tÝnh 2> Sö dông phÝm EXP tÝnh: Kq: 0,08 1,5.105 4.104 1,9.105 a 12.10 1,8.10 0, 2.10 3678 1768 3 500000 : 4,5 20000 800000 2 2 3, 6.800000 : 700000 4 b 3> a.Quãng đờng từ Vinh Hà Nội dài 290km Trên đồ đoạn đờng đó dài 29cm Tính tỉ xích số đồ b Củng trên đồ đó quãng đờng t Vinh Đà Nẵng dài 450km thì đợc vẽ dài bao nhiêu c Nếu quãng đờng từ Hà Nội đến thành phố Hồ Chí Minh đợc vẽ 183,2cm thì thực tế dài bao nhiªu km HD: 29 a Tỉ xích số: 29.10 ( đổi 290km = 29.106cm) b §æi 465km = 465.105 cm kq: 10 465.105 10 kq: 46,5 cm c 183,2 : 10 ( kq: 1832km) 4> Có nhóm ngời đắp 600m đê chống lũ Nhóm ngời lớn đắp 5m/ngời, nhóm học sinh phổ thông trung học đắp 3m/học sinh, nhóm học sinh trung học sở đắp 2m/học sinh Tính số ngời mçi nhãm? ( BiÕt r»ng sè ngêi nhãm b»ng nhau) HD: Học sinh lập đợc biểu thức : x( + + 2) = 600 x = 60 5> Một hình vuông đợc chia thành 16 ô ( 25 ô) vuông Ô thứ đặt hạt thóc, ô thứ hai đặt hạt thóc, ô thứ ba đặt hạt thóc, ô thứ năm đặt hạt thóc, đặt liên tiếp ô cuối cùng ( ô sau gấp đôi ô trớc) Tính tổng số hạt thóc HD: Gäi sè h¹t thãc lµ P ta cã: P = + 21 + 22 + 23 + + 215 2P = + 22 + 23 + + 216 Ta suy ra: P = 216 - kq: 65537 h¹t thãc * NhËn xÐt: P = a0+ a1+ a2+ a3+ + an-1+ an Th× aP = a1+ a2+ a3+ + an-1+ an+ an+1 => aP - P = (a1+ a2+ a3+ + an-1+ an+ an+1)-( a0+ a1+ a2+ a3+ + an-1+ an) (13) = an+1 - a0 = an+1 - a n 1 P = a 6> TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: x2 1 x a A = víi x = x3 2(1 x ) x3 x x3 x 1 x b B = HD: a G¸n x = ( ( vµo « nhí: Ên SHIFT STO A b Rút gọn và biến đổi biểu thức B dạng để ấn phím Sau đó sử dụng phím Ans để ghi biểu thức vào màn hình LUYỆN GIẢI TOÁN I :Kiến thức cần nhớ: Hướng dẫn tạo dấu cách phần lẻ thập phân Disp ấn ấn ấn ) (14) Thoát: SIHFT CRL Tính phần trăm theo hướng dẫn II: Bài tập Bài Số 647 có phải là số nguyên tố không Chia cho tất các số nguyên tố từ 2,3,……., 29 Và kết luận 647 là số nguyên tố Bài Tìm chữ số a biết 17089a2 chia hết cho 109 Giải: Ghi vào màn hình: 1708902 : 109 = Sau đó sửa 1708902 thành 1708912 ấn để tìm thương số nguyên Tiếp tục 1708992 Kết a = Bài Kết hợp trên giấy và máy tính em hãy tính chính xác kết phép tính sau: 20062006 20072007 Giải: Bài 4: Tìm a và b biết 2007ab là số chính phương Giải: Ta có: a 9, b 9 Ta thay a,b các giá trị trên ta a=0, b=4 Bài 5:Tính chính xác tổng S= 1x1!+2x2!+3x3!+…+16x16! Giải:Vì nxn!=(n+1-1) n!=(n+1)!-n! nên S=1x1!+2x2!+3x3!+…+16x16!=(2!-1!)+(3!-2!)+(4!-3!)+…+((17!-16!)=17!-1 Vì tính 17! máy tính bỏ túi cho kết tràn số nên 17!= 13! 14 15 16 17 Ta có: 13!= 6227020800= 6227 106 + 208 102, 14 15 16 17=57120 nên 17!= 6227020800 5712 =(6227 106 + 208 102) 5712 10=35568624 107+1188096 103=355687428096000 Vậy S= 17!-1=355687428095999 Bài Tính máy tính A= 12+22+32+42+52+ +102 Dùng kết A em hãy tính tổng S= 22+42+62+…+202 mà không sử dụng máy.Em hãy trình bày lời giải Giải:Quy trình tính A x x x x x x x x x 10 x 835 Ta có S 22 42 202 22 2 10 4 A 4 385 1540 Bài Có tất bao nhiêu số tự nhiên khác mà số có chữ số; 3; 4; 5; 6; 7; Đáp số: 720 III: Bài tập nhà Bài Tìm số n N cho 1,02n < n (15) 1,02 n+1 > n+1 Bài Tính giá trị biểu thức: Với x = 2,41; y = -3,17; z I 3x y xz xyz xy x LUYỆN GIẢI TOÁN BẰNG MÁY TÍNH I: Kiến thức cần nhớ Toán tỉ lệ thức a c a b d c b d ; ; b d c d b a a c Tính chất dãy tỉ số nhau: a c a c b d b d Các hệ cần nhớ a c a b c d b d b d II: Bài tập x y 13 Bài Tìm hai số x, y biết: x+ y = 4; Giải: x x y 4 28 x 1, y 13 13 20 20 20 13 y 2, 20 x 2,5 y 1, 75 Bài Tìm hai số x, y biết x y 125,15 và x 417,1666667 y 292, 01666667 Bài Số - có phải là nghiệm đa thức sau không? f ( x ) 3x x x x 465 Giải: Tính f(3) = Vậy x = -3 là nghiệm đa thức đã cho Bài Theo di chúc bốn người hưởng số tiền là 902 490 255 chia theo tỉ lệ người thứ và người thứ hai là :3; người thứ hai và người thứ ba là : 5; người thứ ba và người thứ tư là :7 Hỏi số tiên người nhận là bao nhiêu? Giải: Ta có: (16) x y y z x y y z ; ; ; 12 12 15 x y z 12 15 y z z t ; 12 15 y z z t ; 24 30 30 35 y z t x y z t x 24 30 35 16 105 x 1508950896 y 2263426344 z 2829282930 t 3300830085 A Bài tập nhà x 18 y 15 Bài Tính x và y chính xác đến 0,01 biết x+ y = 125,75 và Bài Dân số nước ta năm 2001 là 76,3 triệi người hỏi dân số nước ta đến năm 2010 là bao nhiêu biết tỉ lệ tăng dân số trung bình hàng năm là 1,2 % PhÇn III: C¸c d¹ng to¸n båi dìng häc sinh giái Casi« B 7: I> Liªn ph©n sè: Khái niệm: Liên phân số ( là phân số liên tục ) là công cụ toán học hữu hiệu đợc các nhà toán học sử dụng để giải nhiều bài toán khó với máy tính Casiô ta tính chính xác giá trị liên phân số dÓ dµng h¬n (17) a * Cho a, b lµ nh÷ng sè tù nhiªn a > b dïng thuËt to¸n ¬c¬lÝt chia a cho b ph©n sè b cã thÓ viÕt díi d¹ng: b b0 a b = a0 + b = a0 + b0 ( b0 < b) b b V× b0 lµ phÇn d cña a chia b nªn b > b0 l¹i tiÕp tôc biÓu diÔn ph©n sè b0 díi d¹ng b0 = a1 + b1 b0 b0 = a + b1 ( b < b ) 1 Tiếp tục nh quá trình kết thúc sau n bớc và cuối cùng ta đợc b0 a a1 b = a0 + b = a0 + + an an-1 Cách biểu diễn nh trên đợc gọi là biểu diễn số hửu tỉ dới dạng " Liên phân số", ngời ta chứng minh đợc: Một số hửu tỉ có biểu diển dới dạng " Liên phân số" a , a , a , , a n Liên phân số đợc viết gọn dới dạng (Mọi số hữu tỉ biểu diễn cách dạng liên phân số bậc n a =q 0+ b q 1+ đó q0 , q1 , q2 ,….qn nguyên dương và qn > 1 q + Liên phân số trên ký hiệu là : [ q , q , ,q n ] VD 1: Liên phân số : [ 3,2,4,5 ] =3+ 1 2+ 4+ ) * Chó ý: tÝnh liªn ph©n sè víi kq lµ ph©n sè cÇn sö dông quy tr×nh: a0 a b c ( a1 a b b a ( c a2 c ( a3 VD : Biểu diễn A dạng phân số thường và số thập phân 2+ A = 3+ 2+ 2+ 2+ a b c a kq n (18) Giải Tính từ lên Ấn x-1* +2 = x-1*4 +2 = x-1*5 +2 = x-1 * +2 = x-1 * + = ab/c SHIFT d/c 233 1761 KQ : A = 4,6099644 = 382 =382 HD: Lu ý cho häc sinh Ên phÝm më ngoÆc: NÕu liªn ph©n sè tõ a3 th× tÝnh theo c¸ch sau: a 1, Dïng phÐp chia thay bëi b c 1 2, Dïng phÐp tÝnh ngîc tõ díi lªn sö dông x 1 1 15 VD 3: BiÕt 17 = b đó a, b là các số dơng Hãy tìm a, b 1 1 1 1 1 15 15 17 7 1 = HD: V× 17 = 15 = 15 = a Từ đẳng thức suy a = 7, b = VD : Tính a , b biết : 329 = 1051 B= 1 3+ 5+ a+ b Giải 329 ↵ 1051 = x-1 = - = x-1 = - = x-1 = KQ : Vậy a = , b = Bµi tËp: 1) Cho số : 365 + = 4+ 7+ a+ Tìm a và b b 176777 484 (19) Giải : 117 ↵ 484 = x—1 = = x-1 = = x-1 = KQ : Vậy a =3, b = (Chú ý 176777 – (484 * 365) = 117.) 20 2+ 2) Giải phương trình : = 2003 2+ 3+ 4+ 4+ x ( 1) 6+ 260 x +60 104156 Bằng cách tính ngược từ cuối theo vế , ta có : (1) ⇔ 30 x +7 =137 ⇔ 35620x + 8220 = 3124680x +729092 ⇒ 720872 x − 3089060 ≈ −0 ,2333629 3) Tính giá trị biểu thức sau và viết kết dạng phân số hỗn số : 2+ 2+ A=3+ 2+ ; B=7+ 3+ 2+ 1782 3+ 3+ 1037 Kết : A = 382 ; B = 142 4) Tính giá trị biểu thức sau và viết kết dạng phân số hỗn số : 20 A= 2+ 4+ 5+ 3+ ; B= 6+ 7+ 329 = 1051 5) Tìm các số tự nhiên a và b, biết : 1 3+ 5+ a+ 6) Tính giá trị x và y từ các phương trình sau: x a + 1+ 2+ x − 1 3+ 4+ 3+ y =0 ; b 1 2+ 1+ 3+ y + 2+ =1 4+ b (20) Đặt M = 1+ 3+ 4+ 2+ vàN= 3+ 2+ Khi đó, a có dạng : + Mx – Nx = hay + Mx = Nx 4 Suy : x = N M QT Ên phÝm: TÝnh M = SHIET STO A TÝnh N – ALPHA A Ên tiÕp x-1 = (-x) => x = 30 17 Ta M = 43 ; N =73 và cuối cùng tính x 884 12556 Kết x = −8 1459 =1459 ViÕt A díi d¹ng: [a0; a1; a2; ; an] 3 5 7 A=3 6 HD: ViÕt a vÒ d¹ng ph©n sè: a +1 b 2673 1 1 1 c 3= x 2 + = x 3 + = x 3 + = ( 752 ) 752 2673 417 A = 752 = + 752 = + 417 = a QT Ên phÝm: 417 kq: A = [3; 1; 1; 4; 11; 1; 2; 2] b 335 82 c 752 x (1 + 417 ) – = x (1 + 335 ) - = x (21) B 8: LuyÖn tËp: 1719 = 3976 1) Tìm các số tự nhiên a và b biết 1 2+ 3+ 5+ a+ T×m sè tù nhiªn a, b biÕt: 1 3 329 1051 = 5 a b HD: t¬ng tù bµi 1: kq: a = 7, b = b (22) 3> T×m gi¸ trÞ x, y tõ c¸c ph¬ng tr×nh sau: x 4 x 1 2 4 1 1 3 3 = 2 HD: §Æt A = a Ta cã: + A.x - B.x x = B A 2 1 3 ;B= 4 3 Ên a SHIFT STO M Ên tiÕp B ALPHA M Ans kq: x = y y 1 1 2 1 3 4 = ( t¬ng tù c©u a) b 24 kq: y = 29 2 12556 1459 3;7;15;1; 292 4> LËp quy tr×nh Ên phÝm tÝnh gi¸ trÞ liªn ph©n sè: M = vµ tÝnh - M: 3 7 15 1 HD: M = 292 Ên : M kÕt qu¶ Ên tiÕp Ans kq: 5> LËp quy tr×nh tÝnh gi¸ trÞ cña liªn ph©n sè: 1;1; 2;1; 2;1; 2;1 a N = vµ tÝnh - N 1 5 4 b A = 3 2 3 + 4 a ; a ; a ; ; an ViÕt A gän díi d¹ng 0;5; 4;3; 2 0; 2;3; 4;5 HD: A = 12 30 10 2003 H·y viÕt l¹i A díi d¹ng A = a0 ; a1 ; a2 ; ; an 6> Cho A = HD: Tiếp tục vận dụng thuật toán ơcơlít để tìm an 5> Cho ; ; biểu diễn gần đúng, dới dạng liên phân số sau: = 1; 2; 2; 2; 2; 2 1;1; 2;1; 2;1 = = 3;17;15;1; 292;1;1;1; 2;1;3 T×m c¸c liªn ph©n sè vµ so s¸nh víi sè v« tØ mµ nã biÓu diÓn 7> ViÕt quy tr×nh tÝnh: (23) 17 1 17 A= 23 1 3 2002 7 2003 20032004 =a+ 243 8) Tìm các số tự nhiên a , b, c , d, e biết : 1 b+ c+ d+ e 12 9) Cho A = 30 + 10+ Hãy viết lại A dạng A = [a0 , a1 , …., an ] 2003 2> bµi tËp: tÝnh vµ viÕt kq díi d¹ng ph©n sè: 3 2 2 2 a A = 3 2 ; b B = 4 9 8 x 9 6 7 4 = 3) ViÕt C díi d¹ng: [a0; a1; a2; ; an] 7 6 4 C= 3 T×m x biÕt: 2 7 1 3 (24) B 9: II> PhÐp chia hÕt vµ phÐp chia cã d ®a thøc chia nhÞ thøc: * NghiÖm cña ®a thøc: §a thøc f(x) cã nghiÖm x = a f(a) = 1> PhÐp chia hÕt: x = a lµ nghiÖm cña f(x) - NÕu a lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) f(x) (x - a) - P(x) + m ⋮ (x – a ) ⇔ P(a)+ m=0 ⇔ m=− P(a) VD: a x = lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) = x2 - 3x + Nªn: x2 - 3x + x - b tìm m để đa thức f(x) = 3x5 + 6x2 - 3x - m x - 1 1 HD: f(x) x - lµ nghiÖm cña f(x) f = 1 1 + - - m = 1 1 m = + - 3 Kq: m = 32 VD : a) Tìm giá trị m để cho đa thức P(x) = 3x3 – 4x2 + 5x + +m chia hết cho (x – ) b) Tìm giá trị m để đa thức P(x) = 2x3 – 3x2 – 4x + + m chia hết cho (2x + 3) Giải :a) Gọi P1(x) = 3x3 – 4x2 + 5x + , ta có: P(x) = P1(x) + m Vậy P(x) hay P1(x) + m chia hết cho (x – 2) m = - P1(2) Tính P1(2) : Ấn * 23 – * 22 + * + = (25) P1(2) = 19 Vậy m = - 19 c) Gọi P1(x) = 2x3 – 3x2 – 4x + , ta có : P(x) = P1(x) + m 3 Vì P(x) chia hết cho (2x +3) nên ta có P( − ¿= p1 (− )+m=0⇒ m=− p1 (− ) Tính P1( − ¿ 3 3 Ấn * (− )❑ - * (− )❑ − ∗(− )+5=¿ KQ : P1( − ¿ = -2,5 ⇒ m=2,5 VD 3: Cho hai đa thức 3x2 – 4x +5 + m và x3 + 3x2 – 5x + + n Hỏi với điều kiện nào m và n thì hai đa thức có nghiệm chung a ? Giải : Gọi P(x) = 3x2 – 4x +5 ; Q(x) = x3 + 3x2 – 5x + Đa thức P(x) + m và đa thức Q(x) + n có nghiệm chung là a m = - P(a) và n = - Q(a) Áp dụng vào bài toán trên với nghiệm chung là a = 0,5 KQ : P(0,5) = 3,75 Vậy m = -3,75 Q(0,5) = 5,375 Vậy n = - 5,375 Bµi tËp: Cho ®a thøc f(x) = 6x3 - 7x2 - 16x + m a Víi ®iÒu kiÖn nµo cña m th× f(x) 2x + b Với m tìm đợc câu (a) hãy tìm số d R chia đa thức f(x) cho ( 3x - 2) c Với m tìm đợc câu (a) hãy phân tích đa thức f(x) thành tích các thừa số bậc d Tìm m, n để hai đa thức f(x) và P(x) = 2x3 - 5x2 - 13x + n đồng thời chia hết cho x - e Với n tìm đợc câu d hãy phân tích P(x) thành tích các thừa số bậc HD: a 3 f = - 12 + m = m = 12 2 f 3 b =0 r=0 c 6x - 7x2 - 16x +12 = 6x3 - 3x2 - 18x - 4x2 + 2x +12 = = ( 2x2 - x - 6)(3x - 2) = (x-2)(2x + 3)(3x - 2) Lu ý cho häc sinh: f(x) 2x + f(x) = Q(x)(2x + 3) Q(x) = f(x) 2x + = 2x2 - x + f(x) = (2x2 - x + 4)(2x + 3) ( ta chØ viÖc ph©n tÝch 2x2 - x - thµnh tÝch c¸c nhÞ thøc bËc nhÊt) 2 V× f(x) x - ( lµ nghiÖm c©u b) f(x) (3x - 2) Hay f(x) = (2x + 3)(3x - 2) P(x) = Q(x) (3x - 2) = (2x2 - x + 4) : (3x - 2) = x - Q(x) = (3x - 2)(x - 2) (26) VËy P(x) = (x-2)(2x + 3)(3x - 2) * Cã thÓ ph©n tÝch 2x2 - x + theo thuËt to¸n sau: Do 2x2 - x + cã d¹ng tam thøc bËc hai ax2 + bx + c Ta t×m biÖt thøc: (den ta) ; = b2 - 4ac + NÕu < th× Q(x) kh«ng cã nghiÖm b + NÕu = th× Q(x) cã nghiÖm kÐp x = 2a + NÕu > th× Q(x) cã hai nghiÖm ph©n biÖt b b x1 = a ; x2 = 2a b b x x 2a 2a Q(x) = (x - x1)(x - x2) = d f(x) = -12 + m = m = 12 P(x) = -30 + m = n = 30 e f(x) = 2x3 - 5x2 - 13x + 30 = (x - 2)(2x2 - x - 15) = (x - 2)(x - 3)(2x + 5) (27) B 10: 2> PhÐp chia cã d: * PhÐp chia ®a thøc cho nhÞ thøc: - Tìm số dư phép chia đa thức P(x) cho (x – a) Cơ sở lý luận : P(x) = Q(x) (x – a ) + r Khi x = a thì r = P(a) a - D cña phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc(ax + b) lµ gi¸ trÞ cña f( b ) - D cña phÐp chia: f(x) = 3x4 + 7x3 - 3x2 - x + 15 cho nhÞ thøc ( x - 5) lµ f(5) = 54 + 53 - 52 - + 15 Quy tr×nh Ên phÝm: kq: 2685 VD : a) Tìm số dư phép chia : 3x3 – 2,5x2 + 4,5x – 15 : (x – 1,5) b) b) Tìm số dư phép chia : 3x3 – 5x2 + 4x – : ( 2x – ) Giải : a) Tính P(1,5) : Ấn * 1,53 – 2,5 * 1,52 + 4,5 * 1,5 – 15 = KQ : P(1,5) = - 3,75 Vậy r = - 3,75 b) Tính P(2,5) : ( 2,5 là nghiệm phương trình 2x – = 0) Ấn * 2,53 – * 2,52 + * 2,5 – = KQ : P(2,5) = 9,8125 Vậy r = 9,8125 Bµi 1> Cho ®a thøc bËc 4: P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d BiÕt P(1) = 1; P(2) = 13; P(3) = 33; P(4) = 61 Xác định f(x) tính: P(5); P(6); P(7); P(8) HD: C¸ch 1: T×m P(x) P(1) = a + b + c + d = (1) P(2) = 13 8a + 4b + 2c + = -3 (2) P(3) = 33 27a + 9b + 6c + d = -48 (3) P(4) = 61 64a + 64b + 4c + d = -195 (4) Giải hệ phơng trình: (1); (2); (3); (4) ta đợc a = -10; b = 39; c = -50; d = 21 VËy P(x) = x4 + 10x3 + 39x2 + 50x + 21 + Ghi biÓu thøc vµo mµn h×nh b»ng cÆp phÝm ALPHA X vµ dïng phÝm CALC TÝnh P(5) = 121 ; P(6) = 261; P(7) = 553; P(8) = 1093 + Ghi trùc tiÕp biÓu thøc lÇn lît víi x = 5; x = 6; x = 7; x = C¸ch 2: T×m f(x) NhËn xÐt: = 12 - 13 = 22 - 33 = 32 - 61 = 42 - ChÝnh lµ c¸c gi¸ trÞ t¬ng øng cña ®a thøc f(x) = 4x2 - øng víi x = 1; 2; 3; §Æt Q(x) = P(x) - (4x2 - ) (28) Ta cã: Q(1) = P(1) - f(1) = - = Q(2) = P(2) - f(2) = 13 - 13 = Q(3) = P(3) - f(3) = 33 - 33 = Q(4) = P(4) - f(4) = 61 - 61 = Từ đó ta có: 1; 2; 3; là nghiệm đa thức Q(x) Hay Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) ( P(x) lµ ®a thøc bËc 4, vµ hÖ sè a=1) P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (4x2 - 3) (*) Ghi biÓu thøc (*) vµo mµn h×nh: dïng phÝm ALPHA X CALC m¸y hái X ? Ên kq: P(5) = 121 CALC m¸y hái X ? Ên kq: P(6) = 261 CALC m¸y hái X ? Ên kq: P(7) = 553 CALC m¸y hái X ? Ên kq: P(8) = 1093 Bµi 2: Cho P(x) = x3 + ax2 + bx + c a T×m a, b, c biÕt x lÇn lît lµ 1,2; 2,5; 3,7 th× P(x) = 1994,28; 2060,625; 2163,653 b Tìm số d r chia P(x) nhận đợc ( câu a) cho 2x + c T×m x P(x) cã gi¸ trÞ 1989 HD: a 1,44a + 1,2b + c = 1993 (1) Ên MODE EQN Ên UnKn Ên 6,25a + 2,5b + c = 2045 (2) nhËp c¸c hÖ sè a, b, c, d 13,69a + 3,7b + c = 2123 (3) kq: a = 10; b = 3; c = 1975 P(x) = x3 + 10x2 + 3x + 1975 b r = 2027,5 c x3 + 10x2 + 3x + 1975 = 1989 x3 + 10x2 + 3x - 14 = (1) a + b + c +d = x1 = 2 11 64 x 1 x =0 (1) 11 65 11 65 x 1 x x 2 =0 = 11 65 11 65 x1 = 1, x2 = 2 , x3 = Bài tập 1) T×m d cña phÐp chia: a ( 6x5 - x3 + 5x2 - 17) : (2x - 3) b ( 5x3 - 9x2 + 8x - 2007) : (3x + 9) HD: a Thay x = vào đa thức bị chia thì số d là giá trị vừa tìm đợc đa thức b Thay x = = vào đa thức bị chia thì số d là giá trị vừa tìm đợc đa thức 2) Tìm số dư phép chia (29) a) x 14 − x − x 5+ x + x2 + x ❑ − 723 ❑ ❑ x −1 , 624 b) x −6 , 723 x3 +1 , 857 x −6 , 458 x ❑ +4 , 319 x ❑+2 , 318 3) Tìm a để x4 + 7x3 + 2x2 +13x + a chia hết cho x + 4) Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625 a) Tính P( √ ¿ b) Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 5) Chứng tỏ đa thức sau chia hết cho x + P(x) = 3x4 – 5x3 + 7x2 – 8x – 465 6) Cho hai đa thức P(x) = x4 +5x3 – 6x2 + 3x +m và Q(x) = 5x3 – 4x2 + 3x + 2n a) Tìm giá trị m và n để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x – b) Với m và n vừa tìm , hãy giải phương trình P(x) - Q(x) = 7) Cho phương trình : 2,5x5 – 3,1x4 +2,7x3 +1,7x2 – (5m – 1,7)x + 6,5m – 2,8 có nghiệm là x = 0,6 Tính giá trị m chính xác đến chữ số thập phân B 11: 3> Luü thõa cã d¹ng an víi n qu¸ lín: * Phơng pháp đồng d: ( chia số cho cùng số có cùng số d) a §Þnh nghÜa: a vµ b chia m (m 0) cïng sè d kÝ hiÖu lµ: a b (modm) a - b m b Tính chất phép đồng d: 1, a b (modm) a c b c (modm) 2, a b (modm) a c b c (modm) 3, a b (modm) an bn (modm) (30) a b (modm) 4, c d (modm) ac = bd (modm) VÝ dô: T×m sè d cña c¸c phÐp chia: a 3512 : 2008 gi¶i: 354 649 (mod 2008) (354)3 (mod 2008) VËy: b 2004376 : 1975 ( gîi ý 376 = 62 + 4) Gi¶i ta cã: 20042 841 (mod 1975) 20044 8412 (mod 1975) 200412 2313 416 200448 4164 536 200460 536 416 1776 200462 1776 841 516 200462 5163 1171 200462 11712 591 200462 + 591 20044 591 231 246 (mod 1975) VËy d cña phÐp chia lµ 246 Bµi tËp: T×m d cña phÐp chia: 2005210 : 2008 ; 2006310 : 2008 2007410 : 2008 2005510 : 2008 4025368 : 2009 HD: 4025 7(mod 2009) => 4025368 7638(mod 2009) (Häc sinh bæ sung thªm mét sè bµi tËp) * Ph¬ng ph¸p dïng hµm EULER ( T×m d phÐp chia an cho m ( a Z; m, m N*) a Kh¸i niÖm: Cho m lµ mét sè nguyªn d¬ng, ta gäi (m) lµ sè c¸c sè nhá h¬n m vµ nguyªn tè cùng với m (m) đợc gọi là hàm số EULER VÝ dô: (4) = v× cã hai sè: vµ nguyªn tè cïng víi (1; 4) = (3; 4) = (5) = 4; (1; 5) = (2; 5) = (3; 5) = (4; 5) = b C«ng thøc tÝnh (m) * Ph©n tÝch m thõa sè nguyªn tè: m = P1 P2 P3 Pk (Pi lµ sè nguyªn tè; Ta cã: i N* ; i = 1; 2; 3; ; k) 1 m 1 1 1 (m) = P1 P2 P3 Pk ( (m) lµ sè nguyªn d¬ng) 1 41 VÝ dô: = 22 (4) = = k (31) 1 51 = 51 (5) = = 1 49 49 = 72 => (49) = = 42 1 P 1 Víi p lµ sè nguyªn tè th× (p) = P = P - 1 P2 1 (p2) = P = P( P - 1) - Häc sinh bæ sung thªm mét sè bµi tËp - Ra bµi tËp vÒ nhµ B 12: * §Þnh lÝ hµm EULER: VD : t×m d cña phÐp chia 34 :8? Kq: (8) =? (3; 8) =? (m ) -Víi (a; m) = th× a (modm) VÝ dô: cho hai sè vµ (8) Ta cã: (3; 8) = (mod 8) - Cho häc sinh lÊy vÝ dô: Vậy để tìm d phép chia an cho m với (a; m) = ta tìm d phép chia mũ n cho (m) Gi¶ sö n = (m).q + r ( m ) q r ar (modm) Khi đó: an = a ( m ).q ( nhờ tính chất đồng d an a ar ar (modm) ar (modm) * ¸p dông: a,T×m d phÐp chia: : 1 81 HD: ta cã (3; 8) = 1; = 23 (8) = = 4; D phÐp chia cho lµ: 36 = 34 +2 32 (mod 8) 36 = 34 +2 (32) Hay 36 9 1( mod 8) vËy d phÐp chia: 36 : lµ b) T×m d phÐp chia: 27245678 : 2009 HD: Ta cã: 27 = 33 mµ 2009 kh«ng chia hÕt cho 3, cho => (27; 2009) = 2009 = 72 41 Sè c¸c sè nhá h¬n 2009 nguyªn tè cïng víi 2009: 1 1 41 = 1680 7 (2009) = 2009 (2009) (mod 2009) áp dụng định lý hàm ULER TA có: 27 1680 (mod 2009) Hay 27 Ta cã 245678 = 1680 146 + 398 => 271680 =271680 146 + 398 = 271680 146 27398 271680 271680 146 27398 27398 (mod 2009) Ta t×m d cña phÐp chia 27398 : 2009 KÕt qu¶ lµ d cña phÐp chia 27245678 : 2009 c,T×m d phÐp chia sau: 3235 :2002; 5315 :2003; 7237 :2004 - Häc sinh bæ sung thªm mét sè bµi tËp VD: 791682 : 2009; 7925211 : 2009 - Nh¾c l¹i c¸c ph¬ng ph¸p t×m d cña phÐp chia - Ra bµi tËp vÒ nhµ Bµi tËp: T×m d c¸c phÐp chia: a 20042004 : 11 kq: 2003 b : 35 kq: 18 1515 c 15 : 49 kq: 15 d 109345 : 14 kq: 1111 e 11 : 30 kq: 11 LuyÖn tËp HD: Bài tập đã nhà: a 2004 2( mod 11) 20042004 22004 ( mod 11) (tính chất đồng d) Mµ 210 1 (mod 11) (210)200 1200 (mod 11) Hay 22000 24 24 (mod 11) VËy: kq: b ( áp dụng tính chất hàm EULER tính chất đồng d) 1515 c T×m d cña 15 : 49 nh sau: 1515 (1515)15 ) ( lu ý häc sinh 15 1 1 Ta cã: ( 15, 49) = (49) = 49 - = 42 1515 42.q r 15R (mod 49) = 15 = 15 15 T×m r cña phÐp chia 15 cho 42; (1515 = 42 q + r) 153 15(mod 42) 156 152 15(mod 42) 152 152 15( mod 42) 15 (49).q r (33) 1515 15 15 (15 mod 42) 1515 = 42 q + 15 r = 15 42.q15 1515 1515 (mod 49) VËy 15 15 Ta cã: 15 1(mod 49) 1514 1(mod 49) 1515 15 15(mod 49) VËy: kq:49 1 1 C¸ch 2: 49 = (49) = 49 - = 42 = 15 Ta cã: 15 1(mod 7) ; 1515 35 (mod 6) Mµ 315 3.314 = 3(2k + 1) 3(mod 6) 1515 3(mod 6) Gäi r lµ d phÐp chia 1515 cho 42 R = 7t + víi t {1;2;3;4;5} víi t = th× r = 15 3(mod 6) vËy 1515 15(mod 42) 42 k 15 1515 15 1515 (mod 49) Do đó: = 15 15 5 Ta cã: 15 = (15 ) = 15 (mod 49) d Ta cã 109 11 (mod 14) 109345 11345 (mod 14) 1 1 (11; 14) = 1; (14) = 14 = (14) q r q r 11 11r (mod 14) ¸p dông: 11345 11 Ta cã: 345 = 57 + 11345 = 116.57 3 113 (mod 14) Hay 11345 1(mod 14) VËy: kq:1 1 1 1 1 1 e Ta cã: (11; 30) = ; (30) = 30 = 118 1(mod 30) 11 8.q r 11 Ta cã: 11 = 11 11r (mod 30) T×m d r cña phÐp chia: 1111 cho 30 115 11(mod 30) 1110 11 d vµ chia cho d 2, T×m d phÐp chia: a 2003 c : 11 ; b :25 ; d 22003 : 49 ; e (3 575 + 7100) : 132 3, Chøng Minh r»ng: a (18901930 + 19451975 + 1) 1500 1990 b 11 VËy 11 1945 + 55 112(mod 30) 11 (mod 30) 11(mod 30) kq: 11 Bµi TËp: Bµi 1: C1: ta cã n - 11 n 8411 ( thªm vµo (-77)) n 45 n 845 (thªm vµo (-80)) Do (5,11) = => n - 84 5.11 (=55) => n - 29 55 n1 : 35 (34) => n = 55k + 29 (k N) C2: Do n chia 11 d nªn n = 11k + (1) (k N) n chia d nªn n = 5k + (2) (k N) tõ (1) vµ (2) ta cã : 11t + 7k = 5k + 11t - 5k = -3 11t 10t t k 5 V× t N => t - 5 => t = 5m + (m N) => n = 11(5m + 2) +7 = 55m +29 (m N) Bµi 2: (2n + 7) (n + 1) => (2n + 2) + (n + 1) => n + lµ íc cña => LÊy c¸c gÝa trÞ n N Bµi 3: Ta cã: (n - 210) 393 vµ (n - 210) 655 => (n - 210) lµ BCNN (393;655) = 1965 => (n 210) = 1965 k (k = 1; 2; 3; ) hay n = 1965 k + 210 => 9790 < 1965 k < 147900 => k B 13: kiÓm tra bµi (120 phót ) Bµi 1: TÝnh 5 7 2 : 12 3 4 11 M 13 11 27 a, E 2 3 17 8 1 272 b, (viÕt kÕt qu¶ díi d¹ng ph©n sè) 1719 3976 1 3 5 a c, T×m sè tù nhiªn a, b biÕt Bµi 2: Cho hai sè a = 1234566 vµ b = 9876546 T×m ¦CLN(a,b) vµ BCNH(a,b) b Bµi 3: Cho biÓu thøc 2x 2x 21 x x P : 2 x 12 x 13 x x 20 x x x a, Rót gän P b, T×m gi¸ trÞ cña P x = 1,256 Bài 4: tìm giá trị m và n để đa thức: -x3- x2 + 11x - m - n chia hÕt cho (x + 2) biÕt m vµ n tØ lÖ víi vµ Bµi 5: T×m d phÐp chia a, 9876543212345678 : 2468 1313 b,13 : 37 (35) 1215 c, 53 ;51 Bµi 6: T×m ch÷ sè tËn cïng cña 3336 + 18 Bµi 7: Cho ®a thøc P( x ) 13 82 32 x x x x x 630 21 30 63 35 P( x ) a, TÝnh gi¸ trÞ cña x lÇn lît lµ : -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; P( x ) b, Chøng minh r»ng nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn Bài 8: Cho hình thang cân có hai đờng chéo vuông góc với Hai đáy có độ dài 15,34cm và 24,35cm TÝnh diÖn tÝch vµ chu vi h×nh thang? B 14: chöa bµi kiÓm tra bµi Bµi 1: TÝnh 5 7 2 : 12 3 4 11 M 13 11 27 a, E 2 3 17 8 1 272 b, (viÕt kÕt qu¶ díi d¹ng ph©n sè) 1719 3976 1 3 5 a c, T×m sè tù nhiªn a, b biÕt KÕt qu¶: a) M = - 6,352870402 b 810755 b) E = 527062 ( Tr×nh bµy trªn m¸y vµ giÊy) 1719 1 3976 13976 538 2 1719 1719 3 5 8 13 c) Bµi 2: Cho hai sè a = 1234566 vµ b = 9876546 T×m ¦CLN(a,b) vµ BCNH(a,b) Suy a = 8; b = 13 a HD: Ghi ph©n sè b trªn m¸y Ên = (Trµn mµn h×nh) nªn thùc hiÖn nh sau: b a Ên: 9876546 c 1234566 (8 68587 ) (36) => VËy ¦CLN(a, b) = 1234566 68587 (18); kq: 18 Ta cã BCNN(a, b) = 1234566 x 68587 = 1234000 x 68587 + 566 x 68587 1234000 x 68587 = 84636358000 566 x 68587 = 38820244 =>1234566 x 68587 = 1234000 x 68587 + 566 x 68587 = 84675178242 (Céng trªn giÊy) Bµi 3: Cho biÓu thøc 2x 2x 21 x x P : 2 x 12 x 13 x x 20 x x x 2 a, Rót gän P: P = x 250 0,80385852 b, T×m gi¸ trÞ cña P x = 1,256: P = 311 Bài 4: tìm giá trị m và n để đa thức: -x3- x2 + 11x - m - n chia hÕt cho (x + 2) biÕt m vµ n tØ lÖ víi vµ HD: m + n = -18 m n m n 18 36 54 3 => m = ; n = Ta cã Bµi 5: T×m d phÐp chia a, 9876543212345678 : 2468 kq: 2426 1313 b,13 : 37 1215 c, 53 ;51 Bµi 6: T×m ch÷ sè tËn cïng cña 3336 + 18 Bµi 7: Cho ®a thøc P( x ) kq: 6721 + 18 = 6739 13 82 32 x x x x x 630 21 30 63 35 P( x ) a, TÝnh gi¸ trÞ cña x lÇn lît lµ : -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; Ta cã: P(- 4) = P(- 3) = P(- 2) = P(- 1) = P(0) = P1) = P(- 4) = P(2) = P(3) = P(4) = b, Chøng minh r»ng P( x ) nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn V×: P(- 4) = P(- 3) = P(- 2) = P(- 1) = P(0) = P1) = P(- 4) = P(2) = P(3) = P(4) = => P( x ) 13 82 32 x x x x x 630 21 30 63 35 = 630 (x - 4)(x - 3) (x + 3)(x + 4) = 7.9.10 (x - 4)(x - 3) (x + 3)(x + 4) Víi x nguyªn => (x - 4)(x - 3) (x + 3)(x + 4) lµ tÝch sè nguyªn liªn tiÕp nªn lu«n cã mét thõa sè chia hÕt cho 7, mét thõa sè chia hÕt cho 9, mét thõa sè chia hÕt cho 10, VËy Chøng minh r»ng P( x ) nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn Bài 8: Cho hình thang cân có hai đờng chéo vuông góc với Hai đáy có độ dài 15,34cm và 24,35cm TÝnh diÖn tÝch vµ chu vi h×nh thang? S 393,8 cm2 ; P 80,4 cm (37) B 15: ¦CLN , BCNN 1) Cho sè A vµ B, A a = (tối giản) thì USCLN A, B là A : a ; BCNN A, B là A * B b b VD :Tìm USCLN và BSCNN 209865 và 283935 Ghi vào màn hình 209865 ↵ 283935 và ấn = Màn hình 17 ↵ 23 Đưa trỏ lên dòng biểu thức sửa thành 209865 : 17 và ấn = KQ : USCLN = 12345 Đưa trỏ lên dòng biểu thức sửa thành 209865 * 23 và ấn = KQ : BSCNN = 4826895 VD : Tìm USCLN và BSCNN 2419580247 và 3802197531 ↵ 11 2419580247 và ấn = ( ) = ( ) Ghi vào màn hình 380197531 + LÊy 2419580247 * 11 và ấn = Màn hình 2.661538272 * 1010 Ở đây lại gặp tình trạng trµn màn hình Muốn ghi đầy đủ số đúng, ta đưa trỏ lên dòng biểu thức xóa chữ số để còn 419580247 *11 và ấn = Màn hình 4615382717 Ta đọc kết BSCNN = 26615382717 + HoÆc lÊy 2419580247 * = A B 2) Nếu B trµn mµn h×nh th× ghi A KQ lµ hçn sè b ac th×: USCLN A, B = A: c A 3) Nếu B trµn mµn h×nh th× dïng thuËt to¸n Euclide * Bổ đề: (cơ sở thuật toán Euclide) NÕu a = bq + r th× (a, b) = (b, r) Từ bổ đề trên, ta có thuật toán Euclide nh sau (với hai số nguyên dơng a, b): - Chia a cho b, ta đợc thơng q1 và d r1: a = bq1 + r1 - Chia b cho r1, ta đợc thơng q2 và d r2: b = r1q2 + r2 - Chia r1 cho r2, ta đợc thơng q3 và d r3: r1 = r2q3 + r3 Tiếp tục quá trình trên, ta đợc dãy giảm: b, r1, r2, r3 dãy này dần đến 0, và đó là các số tù nhiªn nªn ta se thùc hiÖn kh«ng qu¸ b phÐp chia ThuËt to¸n kÕt thóc sau mét sè h÷u h¹n bíc và bổ đề trên cho ta: (a, b) = (b, r1) = rn §Þnh lÝ: NÕu x, y lµ hai sè nguyªn kh¸c 0, BCNN cña chóng lu«n lu«n tån t¹i vµ b»ng: xy x, y (38) Bµi 1: T×m UCLN cña hai sè: a = 24614205, b = 10719433 Gi¶i: * Thực trên máy thuật toán tìm số d phép chia số a cho số b, ta đợc: - Chia a cho b đợc: 24614205 = 10719433 x + 3175339 - Chia 10719433 cho 3175339 đợc: 10719433 = 3175339 x + 1193416 - Chia 3175339 cho 1193416 đợc: 3175339 = 1193416 x + 788507 - Chia 1193416 cho 788507 đợc: 1193416 = 788507 x + 404909 - Chia 788507 cho 404909 đợc: 788507 = 404909 x + 383598 - Chia 404909 cho 383598 đợc: 404909 = 383598 x + 21311 - Chia 383598 cho 21311 đợc: 383598 = 21311 x 18 + UCLN(a, b) = 21311 Chó ý: Trong qu¸ tr×nh t×m d r1, d r2, d r3, Cho ta c¸c cÆp sè: (a, b) = (b, r1) = rn Đến cặp số nào đa đợc phân số tối giản thì dừng lại: VD: nÕu r r m = n tèi gi¶n th× UCLN(A, B) = r2 : m Bµi 2: T×m íc chung lín nhÊt vµ béi chung nhá nhÊt cña: a = 75125232 vµ b = 175429800 §¸p sè: UCLN(a, b) = ; BCNN(a, b) = Bài tập : 1) Tìm USCLN hai số : 168599421 và 2654176 ĐS : 11849 2) Tìm USCLN 100712 và 68954 ; 191 và 473 3) Cho P(x) = x4 +5x3 – 4x2 + 3x – 50 Gọi r1 là phần dư phép chia P(x) cho x – và r2 là phần dư phép chia P(x) cho x – Tìm BCNN r1 và r2 B 16: Gi¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh 1) Giải phương trình bậc hai ẩn : Phương trình bậc hai ẩn có dạng ax2 + bx + c = (a VD : Gpt : 1,8532x2 – 3,21458x – 2,45971 = 0) (39) Ấn MODE lần màn hình EQN Ấn tiếp Màn hình Unknowns ? Ấn tiếp → màn hình Degree ? Ấn tiếp Ấn tiếp 1,8532 = ( - ) 3,21458 = ( - ) 2, 45971 = Ta x1 = 2,309350782 , ấn tiếp = , ta x2 = - 0,574740378 2) Giải phương trình bậc ba ẩn Phương trình bậc ba ẩn có dạng ax3 + bx2 + cx + d = (a 0) VD : Gpt x3 + x2 – 2x – = Quy trình ấn phím giống ví dụ đến màn hình Degree ? Ấn tiếp , nhập hệ số a , b , c , ta x1 = 1,246979604 ; x2 = - 1,801937736 ; x3 = - 0,445041867 Bài tập 1) Giải phương trình : a)3x2 – 2x √ - = b) 1,9815x2 + 6,8321x + 1,0581= c) 4x3 – 3x +6 = 3) Giải hệ phương trình bậc hai ẩn : ¿ a1 x+ b1 y =c a2 x+ b2 y=c ¿{ ¿ Hệ phương trình bậc ẩn có dạng VD : Giải hệ phương trình : ¿ 83249 x+16751 y=108249 16751 x +83249 y=41751 ¿{ ¿ Vào Unknowns ? và nhập hệ số ta kết x = 1,25 ; y = 0,25 4) Giải hệ phương trình bậc ba ẩn Hệ phương trình bậc ba ẩn có dạng VD : giải hệ phương trình : ¿ a x+ b1 y+ c z=d1 a x+ b2 y+ c z=d2 a3 x+ b3 y+ c z=d3 ¿{ { ¿ ¿ x+ y +3 z=26 x +3 y + z=34 x+ y + z=39 ¿{{ ¿ Vào Unknowns ? và nhập hệ số ta kết x =9,25; y =4,25; z =2,75 Bài tập : (40) ¿ 13 ,241 x +17 , 436 y=− 25 ,168 Giải hệ phương trình bậc 23 , 897 x −19 , 372 y=103 , 618 ¿{ ¿ ¿ x +5 y −13 z=1000 x −9 y +3 z=0 Giải hệ ba phương trình bậc x − y − z =600 ¿{{ ¿ (41) B 17: Lîng gi¸c VD : Tính a) sin 360 b)cos 420 Giải : Ta chọn màn hình D (độ) a) Sin 36 = KQ : 0,5878 c) tan 780 = KQ : 4,7046 VD : Tính a) cos 43027’43” c) tg 780 d) cotg 620 b) Cos 420 = KQ : 0,7431 d) tan 620 = 0,5317 ( ( tan 620) x-1 = ) b) tg 6900’57” VD : Tìm góc nhọn X độ , phút , giây biết a) Sin X = 0.5 b) cos X = 0,3561 c) tg X = d) cotg X = √ Giải : a) ấn Shift sin-1 0,5 = o,,, KQ : 300 b) ấn Shift cos-1 0,3561 = o ,,, KQ : 6908’21” c) ấn Shift tan-1 = o ,,, KQ : 36052’12” d) ấn Shift tan-1 ( √ = o ,,, KQ : 2405’41” Bài tập: 1) Tính giá trị biểu thức lượng giác chính xác đến 0,0001 a) A = ĐS : B sin 540 36' −sin 350 40' sin 720 18' +sin 200 15' ĐS : A 0,1787 ' ' ĐS : C 0,9308 ( Dấu – thay + ) tg 43 25 − tg34 12 d) D = ( tg 250 15' − tg 150 27' ¿ cot g 350 25' − cot g 780 15' ĐS :D 0,2313 0 2) a) Biết cos α = 0,3456 ( < α < 90 ) 2 cos α +sin α Tính A = tg α3 ¿ ĐS : 0,008193027352 cos α (1 −sin3 α )+cot g3 α ¿ α c) Biết sin = 0, 5678 ( 00 < α < 900 ) sin α ( 1+ cos3 α )+cos α (1+sin α ) Tính B = ĐS : 0,296355054 (1+ tg α )(1+cot g3 α ) √ 1+ cos4 α 3) Cho tg α =( tg 630 25' )(cos 26 35 ' 42'' )(cot g 520 35' ) 3 sin α (1− cos α )+ sin α (1+cos α ) M = Tính ĐS : 4 3 (1+ tg α )(2+cot g α ) √ 1+sin α cos 40 22 +cos 52 10 0,2582 tg 30 50 − tg 42 30 c) C= ' ' 4) Tính ' cos 36 25 −cos 63 17 b) B= ' ' M ≈ , 16218103 ' (42) cos 20 cos +¿ b) ( cos 10 − cos 20 )(cos 10 −cos 0) (cos 20 −cos 10 )(cos 20 − cos 30 ) (cos − cos 10 )(cos 30 −cos 0) 2π 2π 2π 2cos + cos + cos ĐS a) s = b) ,847 7 1 5) a) Cho sinx = siny = √5 √ 10 cos a) s= √ + √ √ Tính x + y Cho tgx = 0,17632698 − √ Tính sin x cos x B 18: C¸c bµi to¸n vÒ D·y sè (B 1) Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS có nhiều đặc điểm u việt các MTBT khác Sử dụng MT§T Casio fx - 570 MS lËp tr×nh tÝnh c¸c sè h¹ng cña mét d·y sè lµ mét vÝ dô NÕu biÕt c¸ch sử dụng đúng, hợp lý quy trình bấm phím cho kết nhanh, chính xác Ngoài việc MTBT giúp cho việc giảm đáng kể thời gian tính toán học mà từ kết tính toán đó ta có thể dự đoán, ớc đoán các tính chất dãy số (tính đơn điệu, bị chặn ), dự đoán công thức số hạng tổng quát dãy số, tính hội tụ, giới hạn dãy từ đó giúp cho việc phát hiện, tìm kiếm cách giải bài toán cách sáng tạo Việc biết cách lập quy trình để tính các sè h¹ng cña d·y sè cßn h×nh thµnh cho häc sinh nh÷ng kü n¨ng, t thuËt to¸n rÊt gÇn víi lËp tr×nh tin häc Sau ®©y lµ mét sè quy tr×nh tÝnh sè h¹ng cña mét sè d¹ng d·y sè thêng gÆp ch¬ng tr×nh, ngo¹i kho¸ vµ thi gi¶i To¸n b»ng MTBT: I/ LËp quy tr×nh tÝnh sè h¹ng cña d·y sè (d¹ng sè häc): II/ LËp quy tr×nh tÝnh sè h¹ng cña d·y sè (d¹ng truy håi): 1) D·y sè cho bëi c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t: (43) Trong đó f(n) là biểu thức n cho trớc un = f(n), n N* (UnchØ phô thuéc vµo n) C¸ch lËp quy tr×nh: - Ghi gi¸ trÞ n = vµo « nhí A : SHIFT STO A : - LËp c«ng thøc tÝnh f(A) vµ g¸n gi¸ trÞ « nhí SHIFT STO A : A = = A + = (U ) = (U ) - LÆp dÊu b»ng: Gi¶i thÝch:7 f(A) A : ghi gi¸ trÞ n = vµo « nhí A A + : tÝnh u = f(n) t¹i gi¸ trÞ A (khi bÊm dÊu b»ng thø lÇn nhÊt) n và thực gán giá trị ô nhớ A thêm đơn vị: A = A + (khi bấm dấu lần thø hai) * Công thức đợc lặp lại ấn dấu = VD: TÝnh 10 sè h¹ng ®Çu cña d·y sè (un) cho bëi: n n 1 1 un ; n 1, 2, Gi¶i: - Ta lËp quy tr×nh tÝnh un nh sau: SHIFT STO A ( ) ) ) ( ( ( + ) ANPHA A ) ANPHA : ) ANPHA ANPHA A A ANPHA - ( = ( ANPHA A + 1= - LÆp l¹i phÝm: = = Ta đợc kết quả: u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, u8 = 21, u9 = 34, u10 = 55 2) D·y sè cho bëi hÖ thøc truy håi d¹ng: u1 = a u n+1 = f(u n ) ; n N* Trong đó f(un) là biểu thức un cho trớc ( Un+ chØ phô thuéc vµo Un) C¸ch lËp quy tr×nh: - NhËp gi¸ trÞ cña sè h¹ng u1: a = - NhËp biÓu thøc cña un+1 = f(un) : ( biÓu thøc cña un+1 chç nµo cã un ta nhËp b»ng ANS ) - LÆp dÊu b»ng: = (U2) = (U3) Gi¶i thÝch: - Khi bÊm: a = mµn h×nh hiÖn u1 = a vµ lu kÕt qu¶ nµy - Khi nhËp biÓu thøc f(un) bëi phÝm ANS , bÊm dÊu = lÇn thø nhÊt m¸y sÏ thùc hiÖn tÝnh u2 = f(u1) vµ l¹i lu kÕt qu¶ nµy (44) - Tiếp tục bấm dấu = ta lần lợt đợc các số hạng dãy số u3, u4 VD 1: T×m 20 sè h¹ng ®Çu cña d·y sè (un) cho bëi: u1 1 un u , n N * n un Gi¶i: - LËp quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh c¸c sè h¹ng cña d·y sè nh sau: = (u1) ( ANS + ) = = ( ANS + ) = (u2) - Ta đợc các giá trị gần đúng với chữ số thập phân sau dấu phảy: u1 = u8 = 1,414215686 u2 = 1,5 u9 = 1,414213198 u3 = 1,4 u10 = 1,414213625 u4 = 1,416666667 u11 = 1,414213552 u5 = 1,413793103 u12 = 1,414213564 u6 = 1,414285714 u13 = 1,414213562 u7 = 1,414201183 u14 = = u20 = 1,414213562 VD 2: Cho dãy số đợc xác định bởi: u1 3 u u , n N * n n Tìm số tự nhiên n nhỏ để un là số nguyên Gi¶i: - LËp quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh c¸c sè h¹ng cña d·y sè nh sau: SHIFT ANS = = SHIFT (u1) 3 = (u2) = (u4 = 3) Vậy n = là số tự nhiên nhỏ để u4 = là số nguyên 3) D·y sè cho bëi hÖ thøc truy håi d¹ng: u = a, u b u n+2 = A u n+1+ Bu n + C ; n N* C¸ch lËp quy tr×nh: * C¸ch 1: BÊm phÝm: b SHIFT STO A A+ B a + C SHIFT STO B Vµ lÆp l¹i d·y phÝm: A + ANPHA A B + C SHIFT STO A A + ANPHA B Gi¶i thÝch: Sau thùc hiÖn B + C SHIFT STO B b SHIFT STO A A+ B a + C SHIFT STO B (45) « nhí A lµ u2 = b, m¸y tÝnh tæng u3 := Ab + Ba + C = Au2 + Bu1 + C vµ ®Èy vµo « nhí B , trªn mµn h×nh lµ: u3 : = Au2 + Bu1 + C Sau thùc hiÖn: A + ANPHA A B + C SHIFT STO A m¸y tÝnh tæng u4 := Au3 + Bu2 + C và đa vào ô nhớ A Nh đó ta có u4 trên màn hình và ô nhớ A (trong « nhí B vÉn lµ u3) Sau thùc hiÖn: A + ANPHA B B + C SHIFT STO B m¸y tÝnh tæng u5 := Au4 + Bu3 + C và đa vào ô nhớ B Nh đó ta có u5 trên màn hình và ô nhớ B (trong « nhí A vÉn lµ u4) Tiếp tục vòng lặp ta đợc dãy số un+2 = Aun+1 + Bun + C *Nhận xét: Trong cách lập quy trình trên, ta có thể sử dụng chức COPY để lập lại dãy lặp quy trình sau (giảm đợc 10 lần bấm phím tìm số hạng dãy số), thực hiÖn quy tr×nh sau: BÊm phÝm: b SHIFT STO A A+ B a + C SHIFT STO B A + ANPHA A B + C SHIFT STO A A + ANPHA B SHIFT B + C SHIFT STO B COPY LÆp dÊu b»ng: = = * C¸ch 2: Sö dông c¸ch lËp c«ng thøc (Sö dông nhiÒu) BÊm phÝm: a SHIFT A (g¸n Un vµo « nhí A) b SHIFT STO B (g¸n Un + vµo « nhí A) ANPHA C ANPHA : ANPHA ANPHA : = A ANPHA B + B ANPHA A + C (Ghi c«ng thøc vµo MH) ANPHA A ANPHA = ANPHA B (chuyÓn Un + sang Un) ANPHA B ANPHA = ANPHA C (chuyÓn Un + sang Un + 1) LÆp dÊu b»ng: = (U3) = (U4) = VD: Cho dãy số đợc xác định bởi: u = 1, u 2 u n+2 = 3u n+1+ u n + ; n N* H·y lËp quy tr×nh tÝnh un Gi¶i: - Thùc hiÖn quy tr×nh: SHIFT STO A + + SHIFT STO B + ANPHA A + SHIFT STO A + ANPHA B SHIFT = = + SHIFT STO B COPY ta đợc dãy: 15, 58, 239, 954, 3823, 15290, 61167, 244666, 978671 (46) HoÆc cã thÓ thùc hiÖn quy tr×nh: SHIFT STO A SHIFT STO B ANPHA C ANPHA = ANPHA B + ANPHA ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA B ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C A + = = ta đợc kết nh trên BT: Bài Cho dãy số U 0=2 , U 1=10 , U n +1=10 U n − U n −1 , n = 1, 2, Hãy tính giá trị số hạng U ,U 10 Sn n 3 4 5 n 1 n Bài Cho , n là số tự nhiên 1) TÝnh S10 vµ cho kÕt qu¶ chÝnh x¸c ë d¹ng ph©n sè, hoÆc hçn sè 2) Tính giá trị gần đúng với chữ số thập phân S15 1 HD: C1: Dïng trùc tiÕp theo c«ng thøc thu gän Sn = n (sai ph©n) n C2: V× d·y trªn cã d¹ng tæng qu¸t Un = (n 1)(n 2) nªn cã QTAP: G¸n n = vµo A Ghi vµo mµn h×nh biÓu thøc Un B = A (A+1) (A+2) :A=A+1 :C=C+B : B = C = = = =(Trµn mµn h×nh n = 10) 1593 S8 = 2520 Tính U9 + U10 sau đó cộng với S8 5171 KQ: 27720 Bài TÝnh tæng: M = +77 +777 + 7777 + +77 7(17 chö sè 7) HD: M = + 7.10 +7 + 77.10 + + + 77 (16 chö sè 7) ChÝnh lµ d·y sè U1 = Un+1 = 10Un + QTAP: KQ: M = 8,641975309 x 1016 (Cho HS tính KQ đúng) Bài Cho dãy số an xác định sau: 1 a1 1, a2 2, an2 an1 an với n , n 3 Tính chính xác dạng phân số tổng 10 số hạng đầu tiên dãy số đó Bài Cho dãy số un xác định sau: u1 1, u2 2, un2 3an1 2an với n , n 3 1) Qui trình bấm phím để tính un 2) Tính giá trị u6 , u12 , u15 * Bæ sung thª mét sè bµi tËp (47) B 19: C¸c bµi to¸n vÒ D·y sè (B 2) 4) D·y sè cho bëi hÖ thøc truy håi víi hÖ sè biÕn thiªn d¹ng: u = a u n+1 = f n, un ; n N* f n, un Trong đó lµ kÝ hiÖu cña biÓu thøc un+1 tÝnh theo un vµ n * Thuật toán để lập quy trình tính số hạng dãy: A : chøa gi¸ trÞ cña n B : chøa gi¸ trÞ cña u - Sö dông « nhí: n C : chøa gi¸ trÞ cña u n+1 - Lập công thức tính un+1 thực gán A : = A + và B := C để tính số hạng cña d·y - LÆp phÝm : = VD: Cho dãy số đợc xác định bởi: u1 = n u n+1 = n+1 u n +1 ; n N* H·y lËp quy tr×nh tÝnh un Gi¶i: - Thùc hiÖn quy tr×nh: SHIFT STO A ANPHA ( C ANPHA ANPHA ANPHA A = = SHIFT STO B B = ( + ) + ANPHA ANPHA ANPHA : ( A : ANPHA ANPHA B ANPHA A ANPHA A ANPHA = + ) ) = ANPHA C (48) ta đợc dãy: , , 1, 2, , 3, , I Ví dụ Cho dãy số với số hạng tổng quát cho công thức : n 13+ - 13- U = n n với n = 1, 2, 3, ……, k, … a) Tính U1, U2,U3,U4,U5,U6,U7,U8 b) Lập công thức truy hồi tính Un+1 theo Un và Un-1 c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính Un+1 theo Un và Un-1 Hướng dẫn giải a) U1 = U5 = 147884 U2 = 26 U6 = 2360280 U3 = 510 U7 = 36818536 U4 = 8944 U8 = 565475456 b) Đặt Un+1 = a.Un + b.Un-1 Theo kết tính trên, ta có: 510 a.26 b.1 8944 a.510 b.26 26a b 510 510a b26 8944 Giải hệ phương trình trên ta được: a = 26,b = -166 Vậy ta có công thức: Un+1 = 26Un – 166Un-1 c) Lập quy trình bấm phím trên máy CASIO 570MS: BT: Bài Cho dãy số thứ tự u1 , u2, u3 , , un , un 1 , biết: u1 1, u 2, u3 3; un un 2un 3un ( n 4) 1) Tính u4 , u5 , u6 , u7 2) Viết qui trình bấm phím liên tục để tính giá trị un với n 4 3) Sử dụng qui trình trên, tính giá trị u20 , u22 , u25 , u28 u4 u5 u6 u7 Qui trình bấm phím liên tục để tính giá trị un với n 4 u20 u22 u25 u28 (49) Bài Cho dãy số thứ tự u1 , u2, u3 , , un , un 1 , , biết u5 588 , u6 1084 và un1 3un 2un Tính u1 , u2 , u25 u1 = u2 = u25 = n i 2 n Bài 3: Cho ( i 1 n lẻ, i n chẵn, n là số nguyên n 1 ) 1) Tính chính xác dạng phân số các giá trị: u4 , u5 , u6 un 1 2) Tính giá trị gần đúng các giá trị: u20 , u25 , u30 3) Nêu qui trình bấm phím để tính giá trị un u4 = u5 = u6 = u20 u25 u30 Qui trình bấm phím: 2u 3un u1 1; u2 2; un 2 n 1 3un 1 2un Bài 4: Cho dãy số un xác định bởi: , n lẻ , n chẵn 1) Qui trình bấm phím để tính un và Sn: 2) Tính giá trị u10 , u15 , u21 u 3) Gọi S n là tổng n số hạng đầu tiên dãy số n Tính S10 , S15 , S20 u10 = u15 = u21= S10 = S15 = S20 = Bài : Cho dãy số a) {un } với cos n un= 1+ n ( ) n Hãy chứng tỏ , với N = 1000 , có thể tìm cặp hai số , m lớn N cho |um −u1|≥ b) Với N = 000 000 điều nói trên còn đúng không ? c) Với các kết tính toán trên , Em có dự đoán gì giới hạn dãy số đã cho ( n → ∞ ) Bài Cho dãy số u1 , u2, u3 , , un , un 1 , biết: u1 1, u 2, u3 3; un un 2un 3un (n 4) 1) Tính u4 , u5 , u6 , u7 (50) 2) Viết qui trình bấm phím liên tục để tính giá trị un với n 4 3) Sử dụng qui trình trên, tính giá trị u22 , u25 , u28 Bài 17 Cho dãy số U1 = √3 ; U n=( U n −1 )√ , n là số tự nhiên và n 1) Viết quy trình bấm phím để tính Un 2) Tính số hạng đầu tên dãy số trên Quy trình bấm phím Kết Bài 18) Cho S n=1 −2+3 − 4+ ( − )n Tính S2004 + S2005 + S2006 + S2007 Quy trình bấm phím Kết (51) B 20: Sö dông MTBT viÖc gi¶i mét sè d¹ng to¸n vÒ d·y sè: 1) LËp c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t: Ph¬ng ph¸p gi¶i: - Lập quy trình trên MTBT để tính số số hạng dãy số - T×m quy luËt cho d·y sè, dù ®o¸n c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t - Chứng minh công thức tìm đợc quy nạp VD 1: T×m a2004 biÕt: a1 0 n(n 1) an 1 (n 2)( n 3) (an 1) ; n N * Gi¶i: - Tríc hÕt ta tÝnh mét sè sè h¹ng ®Çu cña d·y (an), quy tr×nh sau: SHIFT STO A ANPHA C ( ANPHA ( ( SHIFT STO B ANPHA ANPHA B = ANPHA + ) A + ) ( ANPHA ( A ANPHA ANPHA : A ANPHA ANPHA A + ANPHA : ANPHA B 27 11 13 , , , , , , - Ta đợc dãy: 20 50 15 14 A + A + ) ) ) ANPHA = ANPHA = ANPHA C - Từ đó phân tích các số hạng để tìm quy luật cho dãy trên: a1 = 1.5 a2 = 30 3.10 2.7 2.7 a3 = 20 40 4.10 27 3.9 a4 = 50 5.10 a2004 2003.4009 20050 VD 2: XÐt d·y sè: dù ®o¸n c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t: an (n 1)(2n 1) 10( n 1) (1) * DÔ dµng minh víi mäi n chøng N* b»ng quyc«ng nạp.thức (1) đúng a1 1, a2 3 * an 2 2an an 1 ; n N Chøng minh r»ng sè A = 4an.an+2 + lµ sè chÝnh ph¬ng Gi¶i: - TÝnh mét sè sè h¹ng ®Çu cña d·y (an) b»ng quy tr×nh: SHIFT STO A + SHIFT STO B - ANPHA A + SHIFT STO A (52) - ANPHA SHIFT B + SHIFT STO B COPY = = - Ta đợc dãy: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, - T×m quy luËt cho d·y sè: 1(1 1) a1 1 2(2 1) a2 3 3(3 1) a3 6 4(4 1) a4 10 5(5 1) a5 15 dù ®o¸n c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t: an n(n 1) (1) * Ta hoµn toµnn chøng đúng víi mäi N* minh c«ng thøc (1) Từ đó: A = 4an.an+2 + = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +1 = (n2 + 3n + 1)2 A lµ mét sè chÝnh ph¬ng Cách giải khác: Từ kết tìm đợc số số hạng đầu dãy,ta thấy: - Víi n = th× A = 4a1.a3 + = 4.1.6 + = 25 = (2a2 - 1)2 - Víi n = th× A = 4a2.a4 + = 4.3.10 + = 121 = (2a3 - 1)2 - Víi n = th× A = 4a3.a5 + = 4.6.15 + = 361 = (2a4 - 1)2 Từ đó ta chứng minh A = 4an.an+2 + = (2an+1 - 1)2 (*) Bằng phơng pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh đợc (*) 2) TÝnh tæng cña d·y cã quy luËt : - Xác định biến thay đổi có quy luật 1 1 1 10 VÝ dô: TÝnh tæng: HD: NhËn xÐt Tæng cña d·y sè cã tö lu«n b»ng 1, cã mÉu ch¹y tõ 1-> n (n N) chän lµm biến thay đổi X G¸n vµo X G¸n vµo B (B lµ tæng) :X=X+1 : A = X (A lµ sè h¹ng t¨ng dÇn) : B=B+A = = = (10 dÊu =) 3) TÝnh tÝch cña d·y cã quy luËt : - Xác định biến thay đổi có quy luật 1 1 10 VÝ dô: TÝnh tÝch: HD: NhËn xÐt TÝch cña d·y sè cã tö lu«n b»ng 1, cã mÉu ch¹y tõ 1-> n (n N) chän lµm biến thay đổi X G¸n vµo X G¸n vµo B (B lµ tæng) (53) :X=X+1 : A = X (A lµ nh©n tö t¨ng dÇn) : B = B A = = = (10 dÊu =) 4) TÝnh tÝch cña tæng víi d·y tæng cã quy luËt : - Xác định biến thay đổi có quy luật 1 1 1 1 1 1 1 1 )( )( ) ( 10 ) VÝ dô: TÝnh tÝch: ( HD: NhËn xÐt TÝch cña tæng lµ d·y sè cã tö lu«n b»ng 1, cã mÉu ch¹y tõ 1-> n (n N) chän làm biến thay đổi X G¸n vµo X G¸n vµo B (B lµ tæng) B¸n vµo C (C lµ tÝch) :X=X+1 : A = X (A lµ h¹ng tö t¨ng dÇn) : B=B +A : C = C B = = = (10 dÊu =) 5) Mét sè d¹ng bµi tËp sö dông thi gi¶i To¸n b»ng MTBT: Bµi 1: Cho d·y sè (un), (n = 0, 1, 2, ): n un 3 3 n a) Chøng minh un nguyªn víi mäi n tù nhiªn b) Tìm tất n nguyên để un chia hết cho Bài 2: Cho dãy số (an) đợc xác định bởi: ao 2 an 1 4an 15an 60 , n N * a) Xác định công thức số hạng tổng quát an A b) Chøng minh r»ng sè: sè nguyªn liªn tiÕp víi mäi n 1 a2 n biểu diễn đợc dới dạng tổng bình phơng Bài 3: Cho dãy số (un) xác định bởi: uo 0, u1 1 un 2 1999un 1 un , n N T×m tÊt c¶ sè tù nhiªn n cho un lµ sè nguyªn tè Bài 4: Cho dãy số (an) xác định bởi: a1 5, a2 11 an 1 2an 3an , n 2, n N Chøng minh r»ng: a) D·y sè trªn cã v« sè sè d¬ng, sè ©m b) a2002 chia hÕt cho 11 Bài 5: Cho dãy số (an) xác định bởi: (54) a1 a2 1 an2 a , n an n 3, n N Chøng minh an nguyªn víi mäi n tù nhiªn Bài 6: Dãy số (an) đợc xác định theo công thức: n n 2 n an , n N * 2 3 ; (kÝ hiÖu lµ phÇn nguyªn cña sè ) Chøng minh r»ng d·y (an) lµ d·y c¸c sè nguyªn lÎ Bài Cho dãy số un xác định sau: u1 2, u2 3, un2 an1 3an với n , n 3 1) Qui trình bấm phím để tính un, Sn 2) Tính giá trị u15 , S15 1 1 Sn n 3 3 với n * Bài Cho 1) Lập quy trình bấm phím để tính Sn 2) Tính giá trị gần đúng với chữ số thập phân S15 HD: 1) SHIFT STO M A = ab/c ^ M : B = B+A : M = M+1 :A=B=== a0 2008, an1 Bài Cho phân giá trị bé an un 13 40 S2 = ; S2 = 27 ; S2 = 81 a2 n an 3 n , n ,0 n 1003 3 Hãy tính gần đúng với chữ số thập n 2 Bài 10 Cho dãy số với n = 1, 2, 3, … 1) Tính số hạng đầu tiên dãy số u1, u2, u3, u4, u5 2) Chứng minh un+2 = 6un+1 – 7un 3) Lập quy trình bấm phí liên tục để tính un+2 n * Chú ý: Nếu tính tích dãy có dạng tổng quát un (VD bài 8: un = ) QT: 1) Gán n = vào ô nhớ A 2) Ghi công thức Unvowis A chạy từ 3) Lập biểu thức nó nhân với Un 4) Tích lại tích 5) Lặp lại dấu SHIFT STO A B = 1ab/ c ^A : A = A + :C=CxB :C=B ==== (55) B 21 I LUYỆN BÀI TỔNG HỢP Kiến thức cần nhớ: - Tìm số dư phép chia đa thức P(x) cho x – a Ta có: P(x) = (x – a).Q(x) + r ; r là số dư phép chia Cho x = a ta có P(a) = (a – a) Q(x) + r r = P(a) - Tìm điều kiện để đa thức P(x) chia hết cho nhị thức (x – a) Ta có : P(x) = Q(x) + m P(x) chia cho x – a P(a) = P(a) = Q(a) + m = m = - Q(a) (56) - Đổi số nhớ a SIHFT STO B số nhớ trước đổi thành a - Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp thêm bớt các hạng tử - Khi P( x)( x a) thì P( x) ( x a) Q( x) II Bài tập 1) Tìm số dư các phép chia : 3x x3 x x x a) x x 3x x x 3 b) 3x x x x 4x c) kết 2403 Kết - 46 1623 kết 256 2) Cho P(x) = 3x4 – 5x3 + 7x2 – 8x – 465 Ta tính P(-3) = 3) Tính a để x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x + a = 222 4) Tìm m để đa thức Q(x) = x3 – 2x2 + 5x + m có mố nghiêm là 15 Ta tìm P(15) = 153 – 2.152 + 5.15 m = - 3000 5) Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 25 a) Tính P(6), P(7) b) Viết lại P(x) với các hệ số là các số nguyên Giải: a) P(6) = 156; P(7) = 6996 (HD lËp hÖ pt bËc nhÊt Èn) b) P(x) = x5 – 15x4 + 85x3 – 224x2 + 274x – 120 6) Cho dãy số thứ tự với U1 = 2, U2 = 20 và từ U3 trở tính theo công thức U n +1 = 2U n + U n-1 a) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị Un với U1 = 2, U2 = 20 b) Sử dụng quy trình bấm phím trên tính U22, U23, U24, U25 Giải: a)Quy trình: 20 SIHFT Sto A 2 SIHFT Sto B Rổi lặp lại: 2 alpha A SIHFT Sto A 2 alpha B SIHFT Sto B b U 22 804268156 U 23 1941675090 U 24 4687618336 7) cho đa thức P( x ) 60 x 209 x 86 x m a Tìm m để P(x) chia hết cho 3x – (57) b Với m tìm câu a , hãy tìm số dư chia P(x) cho 5x + 12 Giải: P 168 a) m = b) 3 r P 0 12 5 P x x x 12 x 8) Cho P 35 x 37 x 59960 x3 10 x 2003x 20030 a bx c Q x 10 x 2003 a Với giá trị nào c, b, c thì P = Q đúng với x thuộc tập xác định b Tính giá trị P Giải: x 13 15 P Q 35 x 37 x 59960 a x 2003 x 10 bx c 35 x 37 x 59960 a b x 10b c x 2003a 10c a b 35 10b c 37 2003a 10c 59960 Ta có Giải hệ ta được: a 30 b 5 c 13 13 13 30 15 P 2, 756410975 13 10 13 2003 15 15 b) III Bài tập nhà: Bài Cho đa thức P(x) = x5 + 2x4 - 3x3 + 4x2 - 5x + m a) Tìm số dư phép chia P(x) cho x – 2,5 m = 2003 b) Tìm giá trị m để đa thức P(x) chia hết cho x – 2,5 c) Muốn P(x) có nghiệm x = thì m có giá trị bao nhiêu Bài Cho đa thức Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q Biết Q(1) = 5, Q(2) = 7, Q(3) = 9, Q(4) = 11 Tính Q(10), Q(11), Q(12), Q(13) Bài Tìm m, n, p cho đa thức f ( x) x 2, 734152 x 3, 251437 x mx nx p chia hết cho đa thức g ( x) x x 3 Bài Cho dãy số U1 144;U 233; U n1 U n U n với n 2 a Hãy lập quy trình bấm phíp để tính U n1 b Tính U12 ;U 37 ;U 38 ;U 39 (58) * Bæ sung vÒ d·y sè cã qui luËt: To¸n BD líp vµ T/g T«n Th©n Chó ý: CÇn t¸ch tõ sè h¹ng tæng qu¸t: VD: TÝnh a) 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + n(n+1) HD: Ta cã -(n - 1)n(n + 1) + n(n + 1)( n + 2) = -n3 + n + n3 + n2 + 2n2 + 2n = 3n2 + 3n = 3n(n + 1) n(n+1) = [-(n - 1)n(n + 1) + n(n + 1)( n + 2)]/3 Sa = [n(n + 1)(n + 2)]/3 b) 1.2 + 2.5 + 3.8 + + n(3n - 1) KQ: Sb = n2(n + 1) c) 1.4 + 2.7 + 3.10 + n(3n + 1) KQ: n(n + 1)2 (Bæ sung sè bµi BD to¸n 6) * T/C cÊp sè céng: un+1 = un + d; un = u1 + (n-1) d; n = un – u1 ; Sn = n(U1 + Un)/2 q n U1 q * T/C cÊp sè nh©n: un+1 = Un.q (q>1) ; Un = U1.qn-1 ; Sn = B 22 LUYỆN TOÁN TỔNG HỢP Kiến thức cần nhớ I Kiến thức cần nhớ 1) Các hệ thức b a.b ' c a.c ' h b '.c ' bc a.h 1 2 2 h b c 2) Tỉ số lựợng giác (59) cos K D D K ;sin ; tg ;cot g H H K D 3) Công thức tính diện tích tam giác S ABC AB AH AB AC sin BAC 2 a b c S p ( p a)( p b)( p c) (p = ) C«ng thøc hª r«ng 4) Diện tích tứ giác SABCD AC.BD ( với AC BD ) 5) Định lí talet và hệ dịnh lí AB ' AC ' AB AC thì BC / / B ' C ' và ngược lại Hệ BC / / B ' C ' thì : A ' B ' C ' ABC S A ' B 'C ' k S ABC Trong ABC A B' B C' C II) Bài tập áp dụng Bài Cho ABC có các cạnh AB = 21 cm ; AC = 28 cm, BC = 35cm a) Chứng minh ABC vuông Tính diện tích ABC b) Tính các góc B và C c) Đường phân giác góc A cắt cạnh BC D Tính BD, DC Giải: a) S ABC = 294 cm b) AC 53O '48'' B BC 90O B C 36O52 '12 '' C sin B BD AB 21 DB DB DC AC 28 DB DC DC DB 15cm c) DC 20cm Bài Cho ABC vuông A với AB = 4,6892 cm; BC = 5,8516 cm Tính góc B, đường cao AH và phân giác CI Giải: (60) AB B 36O 44 '25,64" B BC Tính Tính AH AH AH sin 36O 44 '25, 64" 4, 6892 2,80503779cm BH 90o 36o 44 ' 25, 64" C Tính CI Góc sin B Bài Cho ABC vuông B Với AB = 15 AC = 26 Kẻ phân giác CI CI AB Tính IA Giải: C 2 Ta có : BC 26 15 IA IB IA CA CA CB IB CB IA CA IA IB IA CB CA IB A B I CA.CB 26 262 152 IA 3,914513214 CB CA 26 152 26 Bài Cho ABC vuông A Biết BC = 8,916 cm và AD là phân giác góc A Biết BD = 3,178 cm Tính AB, AC O Bài Cho ABC có B 120 , AB 6, 25cm, BC 12,5cm Đường phân giác góc B cắt AC tai D a) Tính độ dài đoạn thẳng BD b) Tính tỉ số diện tích các tam giác ABD và ABC c) Tính diện tích tam giác ABD Giải: Qua A kẻ đường thẳng song song với BD cắt tia đối tia BC tải B’, nối BB’ A ' AB ABD 60 B ' BA 180O 120O B B ' BA AB ' BB ' AB 6, 25 BD BC Vì AB’ // BD nên AB ' CB ' BC AB ' BC AB ' BD 4,16666667 CB ' BB ' BC O D B B' C (61) S ABD AD AD BB ' S AC b)Ta có: ABS và AC B ' C 1 S ABD AB.BD sin ABD AB.sin ABD AB 11, 2763725 2 c) Bài Hình thang ABCD ( AB// CD) có đường chéo BD hợp với tia BC góc DAB Biết AB = 12,5 cm, DC = 28,5 cm a) Tính độ dài x đường cheo BD ( tính chính xác đến hai chữ số thập phân) b) Tính tỉ số phần trăm diện tích Giải: a) Ta có ABD BDC ( so le trong) DAB DBC ( gt) ABD S ABD và diện tích BDC SBDC ABD BDC BD xAB DC BD BD DC AB b) Ta có: S ABD BD k S BDC DC Bài a) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC = a; BD = b, cắt E Góc AED = Tính diện tích tứ giác ABCD theo a, b, b) Áp dụng a = 32,2478 cm; b = 41,1028 cm; = 47035’27” Giải: a) Ta kẻ DK AC, BI AC A B S ABC BI AC Ta có: S ADC DK AC mà S ABCD SADC SABC DK BI AC K E I D C (1) DK sin DK DE.sin DE Trong DKE ( K = 1v) BI sin BI EB.sin EB Trong BEI ( I = 1v) S ABCD BD AC Thay (2), (3) vào (1) ta có (2) (3) c) SABC 489,3305cm Bài Cho ABC vuông A Biết BC = 17,785 cm; ABC 49 12 ' 22" a) Tính các cạnh còn lại ABC và đường cao AH b) Gọi BI là phân giác cùa ABC Tính BI (62) Bài Cho hbh ABCD (có góc A tù), và đờng thẳng d không có điểm chung với hbh Gọi AA1, BB1, CC1, DD1 lần lợt là các đờng vuông góc kẻ từ A, B, C, D đến đờng thẳng d TÝnh AA1 + BB1 + CC1 + DD1 biÕt AA1 + CC1 = 515mm HD: C/m AA1 + CC1 = BB1 + DD1, kẻ hai đờng chéo AC và BD cắt O kÎ OO1 d, Bài 10 Cho thang cân ABCD , đờng chéo BD vuông góc với cạnh bên BC, DB là tia phân gi¸c gãc D TÝnh chu vi h×nh thang ABCD theo c¹nh BC ¸p dông víi BC = 310mm HD: D1 = B1 => ABD c©n t¹i A => AB = BC C +D1 = 900 => 3D2 = 900 => D2 = 300 CD = 2BC = Cv = 5BC B 23 LUYỆN TOÁN TỔNG HỢP I Kiến thức cần nhớ Tính chất đường phân giác tam gác BD DC AB AC BD AB BD AB DC AC DC DB AC AB A B M C (63) Định nghĩa, tinh chất hình chữ nhật, công thức tính diện tích hình chữ nhật, hình bình hành II.Bài tập Bài Cho hình bình hành ABCD có góc ổ đỉnh A là góc tù Kẻ hai đường cao AH và AK (AH BC; AK DC) Biết HAK 45 38' 25" và độ dài hai cạch hình bình hành AB = 29,1945 cm; AD=198,2001cm a) Tính AH và AK b) Tính tỉ số diện tích S ABCD hình bình hành ABCD và diện tích S HAK tam giác HAK c) Tính diện tích phần còn lại S hình bình hành khoét tam giác Giải A Do B C 180 B 1800 HAK C HAK B 45038'25" AH AB.sin B 20,87302678cm AK AD.sin B 198, 2001.sin 45038' 25" 141, 7060061cm K D H C b) S ABCD BC AH 198, 2001 AB.sin 45 38' 25" 4137, 035996cm 1 S HAK AH AK sin HAK AH AK sin 450 038' 25" 2 AD.sin B sin B AB.sin B S AB.AB.sin B ABCD 3,91256184 S HAK AB AD sin B sin B sin B S ABCD sin B sin B S S ABCD S HAK S ABCD S ABCD ab sin B 2 c) Bài Cho ABC vuông A Biết BC = 8,916 cm và AD là phân giác góc A Biết BD = 3,178 cm Tính AB, AC Giải: Ta có: DC = BC – BD = 8,916 – 3,178 BC AB AC Theo tính chất đường phân giác tam giác, ta có: AB BD AB BD AB BD AC DC AC DC AC AB DC BD BD AC AB BD BC 2 AB DC BD DC BD 4,319832473cm AC 7, 799622004cm (64) BTBS: Bài Tính giá trị biểu thức Cho cos 0,5678 0o 90o N Tính sin cos cos sin tg cot g 3 cos Kết : N = 0,280749911 Bài Tìm các chữ số a, b, c, d để ta có a5 bcd 7850 Giải: Số a5 là ước 7850 Thử trên máy tính cho a = 1, 2, 3, ……, Ta thấy a = thì bcd 7850 : 25 314 Vậy a = 2; b = 3; c = 1; d = Bài Tính giá trị biểu thức chính xác đến 0,0001 sin 54o36 ' cos 67 o13' A cos 72o18' cos 20o15' Kết A = 0,3444 Bài Tìm 5% Bài Tìm x biết : 3 14 21 1, 25 : 2,5 Kết : 0,125 0, 25 3, 25 5, 08 x 13, 3, 0,8 5, 23 17,84 x 198,7357377 Bài 5 85 83 : 30 18 A 0, 004 Tính 5% 3 5 14 B 21 1, 25 : 2,5 2,5%A + 5%B với Bài Tìm x biết: kết quả: 9,1666666667 Kết : 4,70833333 0, 75 7,125 3018 x 11, 74 12,3 1,12 8, 76 32,182 x = - 53,10257077 (65) B 24 LUYỆN TOÁN TỔNG HỢP I Kiến thức cần nhớ Tính chất chia hết tổng: a m và bm thì a b m m và b m thì a b m a II Bài tập Bài Tìm các chữsố x,y để 1234 xy8 và Giải: Ta có : x y 9 x, y 9 10 x y 9 x+y=8 và x y 18 x + y = 17 (66) V× 1234 xy8 nªn xy ph¶i tháa m·n xy8 => xy8 (v× 400 8) => 10x + y => 2x + y Thử mày x, y Bài Tìm các chữ số a, b, c, d để có : a3 bcd 13803 Giải : bcd 13803 a3 Thay a 1; 2;3; ;9 Xét xem: 13803a3 là số có chữ số a=4 b=2 2 Bài Tìm các ước nguyên tố nhỏ và lớn số 73110 73109 Giải: 73110 73109 73110 73109 73110 73109 Ta có : 73110 73109 11 n Bài Tìm số tự nhiên nhỏ cho là số chính phương Giải: 2 Ta có: Ta dùng máy tính thử : n = thử n = 9, 10, 11,… Ta n = 12 Bài Tính giá trị biểu thức 28 211 2n 28 211 2n A 26 15 80 80 Gải: Ấn phím theo biểu thức ta được: A 2, 636966185 Bài Giải các phương trình 1 x 20 11 x 4 a) b) x 15 x 66 x 360 0 Giải: a) Bấm theo quy trình cài sẵn b) Thử x = 1, 2, … Ta có : x = là nghiệm x3 15 x 66 x 360 0 x 3 x 18 x 120 0 x 0 x 3 Bài Tìm số biết nhân số đó với 12 thêm vào lập phương số đó thì kết lần bình phương số đó cộng với 35 Giải: Theo bài ta có phương trình 12 x x 6 x 35 x x 12 x 35 0 x x x 0 x 0 (67) Vậy x = là nghiệm phương trình Bài Tìm chữ số x để x78 chia hế cho 17 Bài Cho hai đa thức 3x2 + 4x + + m và x3 + 3x2 – 5x + + n Hỏi với điều kiện nào m và n thì hai đa thức có nghiệm chung là 0,5 B 25 LUYỆN BÀI TOÁN TỔNG HỢP Bài Tính giá trị biểu thức: I 3x y xz xyz x 2, 42; y 3,17; z xy xz với Giải: Ta thay x, y, z vào tính I = - 0,7918 Bài Tìm y biết: (68) 1 13 : 1 15, 0, 25 88,51:14,7 14 11 66 y 3, 0,8 3, 25 Giải: Bấm quy trình theo phép tính y = 25 Bài cho hai đa thức: P x x x3 x x m Q x x x3 3x x n và a) Tìm các giá trị m, n để P(x) và Q(x) chia hết cho x – b) Xét đa thức R(x) = P(x) – Q(x), với giá trị m, n vừa tìm hãy chứng tỏ đa thức R(x) có nghiệm Giải: a) Để P(x) chia hết cho x – thì P(2) = 24 + 5.23 – 4.23 + 3.2 +m = Kết m = - 46 m P n Q 40 Để đa thức Q(x) chia hế cho x – thì Q(2) = b) Ta có: R(x) = P(x) – Q(x) = x3 – x2 + x – vì P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x – nên R(x) = P(x) – Q(x) = x3 – x2 + x – chia hết cho x – Do đó ta có: R(x) = x3 – x2 + x – = ( x – )( x2 + x + 3) 1 x 0 mà x2 + x + = với x Suy R(x) có nghiệm x = xn 1 xn2 xn2 ; n N * Bài Cho dãy số: a) Cho x1 = 0,5 Viết quy trình bấm phím liên tục để tính các giá trị xn b) Tính x100 Giải: Do xn 1 xn2 4 2 xn xn nên ta có quy trình: SIHFT x : :1 4 c) Sau bảy lần ấn phím lặp lại ta có x7 x8 x9 4, 057269071 nên x100 4,057269071 Bài Cho biết tỉ số 7x – và y + 13 là số và y = 20 x = Hỏi y = 2003 thì x bao nhiêu? Giải: 7x 2 k k y 13 20 13 33 11 Vì phân số: là số và y = 20 x = nên ta có 7x 2003 13 11 x 2016 : 11 Vậy y = 2003 thì x 79, 25974025 (69) Bài Tính giá trị biểu thức: A 26 15 80 80 2 Bài Tìm phần nguyên số M 2005 4.2005 17.2005 17 B 26 KIỂM TRA 150 PHÚT (ĐỀ 1) ĐỀ BÀI Câu Tìm số a biết 17089a2 chia hết cho 109 3 Câu Tìm các ước nguyên tố A 1751 1957 2369 Câu Cho biết chữ số cuối 72005 Câu Giải phương trình: (70) x 4 1 2 x 3 4 1 3 2 Câu Giải hệ phương trình 3, 4587 x 7,3564 y 4,5813 1,8529 x 4,5687 y 4, 0234 Bài Cho dãy số với thứ tự U1 = 2; U2 = 20 và từ U3 trở tính theo công thức U n 1 2U n U n (với n 2 ) a) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị Un với U1 = 2; U2 = 20 b) Sử dụng quy trình trên để tính U23; U24; U25 Câu Cho hình thang cân có hai đường chéo vuông góc với nhau, đáy nhỏ dài 15,34,cm; cạnh bên dài 20,36 cm Tính đáy lớn Câu Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Biết P(-1) = 1, P(-2) = 4, P(-3) = 9, P(-4) = 16, P(-5) = 25 Tính P(-7) Câu Cho tam giác ABC có BC = 11,34; AC = 24,05; AB = 15,17 và phân giác AD a) Tính độ dài BD cà DC AI b) Tia phân giác góc B cất AD I Tính tỉ số DI Câu 10 Cho hai đa thức: P x x x5 3x x x m Q ( x) x x x3 x x n Tính giá trị m, n để các đa thức P(x), Q(x) chi hết cho 3x - B 27 CHỮA BÀI KIỂM TRA(ĐỀ 1) Bài Dùng máy tinh chia số 17089a2 cho 109 thay a các giá trị : 0, 1, 2, 3,., Kết a = Bài Tìm ƯCLN(1751,1957) = 103 A = 1033(173 + 193 + 233) = 1033 23939 Chia 23939 cho các số nguyên tố 3, 5, …., 37 ta 23939 = 37 647 Chia 647 cho cá sớ nguyên tố 3, 5, ….,29 647 là số nguyên tố (71) Kết 37; 103; 647 Bài Ta có: 71 = 72 = 49 73 = 343 74 = 2401 75 = 16807 76 = 117649 77 = 823543 78 = 5764801 79 = 40353607 Ta thấy số cuối là 7, 9,3, chu kì là Mà 2007 = x 504 + 72007 có số cuối là A 1 1 2 B 4 3 3 2 Bài Đặt Phương trình trở thành: + Ax = Bx (A – B).x = - 4 x = A B 30 17 A ;B 43 73 884 12556 x 1459 1459 Bài Tóm tắt theo phương pháp Bài x 0, 29447 y 0, 76121 a) 20 SIHFT STO A 2 SIHFT STO B Rồi lặp lại dãy phím: 2 alpha A SIHFT STO A 2 alpha B SIHFT STO B U 23 1941675090;U 24 4687618336;U 25 11316911762 (Phải tính b»ng tay) Bài Gọi hình thang cân là ABCD Chứng minh: AIB vuông I Ta có: A B I D C (72) IA IB AB 2 IC DI BC IB AB DC IC BC IB BC DC 28,51148891 Bài P x x 1 x x 3 x x x P 1 3 6.5.4.3.2 49 769 Bài Sử dụng tính chất đường phân giác a) AC AB 4,386226425 AC AB BC AC DC 6,593773585 AB AC IA AB AC 3, 458553792 BC b) ID BD Bài 10 8 m P 258, 4910837 3 8 n Q 245, 2674897 3 đề Baøi1) Tìm x bieát : 8 Baøi 2) Tính P=7+ 77+777+ +77 77 −293972367 ⏟ 17 sô ' ố 3 8 8 8 8 8 8 8 8 1 1x 381978 382007 (73) Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A và có BC = 2AB = 2a với a = 12,75 cm Ở phía ngoài tam giác ABC, ta vẽ hình vuông BCDE,tam giác ABF và tam giác ACG a) Tính caùc goùc B , C , caïnh AC vaø dieän tích ABC b) Tính diện tích các tam giác ABF , ACG và diện tích hình vuông BCDE c) Tính dieän tích caùc tam giaùc AGF vaø BEF Bài 4) Tam giác ABC vuông A có cạnh AB = a = 2,75 cm , góc C=α =370 25' Từ A vẽ các đường cao AH , đường phân giác AD và đường trung tuyến AM a) Tính độ dài AH , AD , AM b) Tính dieän tích tam giaùc ADM ( Kết lấy với chữ số phần thập phân ) Baøi ) : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Chứng minh tổng bình phương cạnh thứ và bình phương cạnh thứ hai hai laàn bình phương trung tuyến thuộc cạnh thứ ba cộng vối nửa bình phương cạnh thứ ba Bài toán áp dụng : Tam giaùc ABC coù caïnh AC = b = 3,85 cm ; AB = c = 3,25cm và đường cao AH = h = 2,75 cm a) Tính caùc goùc A , B ,C vaø caïnh BC cuûa tam giaùc b) Tính độ dài trung tuyến AM ( M thuộc BC) c) Tính dieän tích tam giaùc AHM (góc tính đến phút ; độ dài và diện tích lấy kết với chữ số Baøi 6: Cho ba soá A = 1193984 ; B = 157993 ; C = 38743 a) Tìm UCLN cuûa A , B , C b) Tìm BCNN A , B , C với kết đúng Bài 7: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005 Biết x nhận các giá trị ; ; ; thì giá trị tương ứng đa thức P(x) là ; 11 ; 14 ; 17 Tính P(x) với x = 11 ; 12 ; 14 ; 15 Bài 8: Từ 10000 đến 99999 có bao nhiêu số chia hét cho mà không chia hết cho Tính toång taát caû caùc soá naøy Bài 9: Cho hình bình hành ABCD có các đường cao AE , AF Biết AC = 20,11 cm ; EF = 19,18 cm.Tính khoảng cách từ A đên trực tâm tam giác AEF Đáp án đề Bài )Lập quy trình ấn liên tục trên máy fx- 500 MS hoặcfx-570MS 381978 ÷ 382007 = 0.999924085 Ấn tiếp phím x −1 × - và ấn lần phím = Ta : Lúc đó ta Ans= tieáp tuïc aán Ans x −1 - = 1+ x Keát quaø : x = - 1.11963298 Một vài cách tính tay kết hợp với máy tính ta tìm 17457609083367 x=− 15592260478921 Baøi 2) Tính P=7+ 77+777+ +77 77 −2939723672 ⏟ 17 sô ' ố ÑS : 526837050 (74) Lời giải chi tiết : Laäp quy trình aán phím nhö sau : Gaùn cho A aán SHIFT STO A Gaùn cho B aán SHIFT STO B Gaùn cho C aán SHIFT STO C Ghi vaøo maøn hình : A = A +1:B = 10B + : C = C + B Ấn = màn hình A = 17 và ấn = hai lần C = , 641975309× 1016 AÁn tieáp ALPHA C - 2939723672 = Keát quaû : 526800000 P = 526800000 ,ta tìm thêm số cuối và nghi ngờ số có thể đã làm tròn Tính tiếp tục : Vì 77 77 cần tìm số cuối tổng P nên ta lấy tổng đến chữ số các số từ 77777 đến ⏟ 17 sô' ố Vaäy ta coù : C=7+77+777+ 7777+77777 ×13 Keát quaû : 1019739 Vaø tính 723672 = 5236982689 (saùu soá cuoái cuûa soá 2939723672 ) Naêm soá cuoái cuûa P laø : P = 1019739 - 82689 = 37050 Ta thấy kết P = 526837050 ( chắn số đã không bị làm tròn vì sau số là số nên số không theà laøm troøn ) Baøi 3: ^ ^ ° ; ° ; C=30 a) B=60 AC = 22,0836478 ; SABC = 140,7832547 b) S ABF 70,39162735 S ACG 211,1748821 S BCDE 650, 25 c) S BEF 20,3203125 S AAGF 17,59790684 Baøi :ÑS : AH = 2,18 cm ; AD = 2,20 cm ; AM = 2,26cm S ADM =0 , 33 cm Baøi : a 2 b = +HM + AH ÑS : ( ) a + HM + AH2 2 a2 b2 +c 2=2 m + ' B=57 48 ; C=45 35' ; A=76 37 ' BC=4 , 43 cm; AM=2, 79 cm ; S AHM =0 , 66 cm ( ) c 2= a Baøi 6: a) Đáp số: D = UCLN(A,B) = 583 ; UCLN(A,B,C) = UCLN(D,C) = 53 A×B = 323569644 ; BCNN(A,B,C) = BCNN(E,C) = 326529424384 UCLN(A,B) b) E = BCNN(A,B) = (75) Baøi 7: Nhaän xeùt : = 3+5 = 3.1 +5 ; 14 = 9+5 = 3.3 +5 11 = 6+5 = 3.2 +5 ; 17 = 12+5 = 3.4 +5 Neân , 11 ,14 , 17 laø giaù trò cuûa 3x + x = , , , Xeùt Q(x) = P(x) – (3x+5) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4).R(x) Q(x) coù baäc neân R(x) chæ coù theå baäc cao nhaát laø hay R(x) = x + r Tính Q(x) taïi x = Q(0) = 0+ 132005 –(0+5) = (-1)(-2)(-3)(-4).r Suy r = 5000 Chứng tỏ : P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4).R(x) + (3x+5) Từ đó P(11) = 27775478 ; P(13) = 65494484 P(12) = 43655081 ; P(14) = 94620287 AC = 22,0836478 ; SABC = 140,7832547 Baøi 8: * Các số chia hết cho khoảng từ 10000 đến 99999 là 10002 ; 10005 ; ………….; 99999 Taát caû coù:(99999 – 10002) : + = 30000 soá Toång cuûa taát caû caùc soá naøy laø : 10002 +………….+ 99999 = 1650015000 * Các số vừa chia hết cho và cho khoảng từ 10000 đến 99999 là 10005 ; 10020 ; ………….; 99990 Taát caû coù : (99990 – 10005) : 15 + = 6000 soá Toång cuûa taát caû caùc soá naøy laø : 10005 +………….+ 99990 = 329985000 Vậy từ 10000 đến 99999 có 30000 – 6000 = 24000 số chia hết cho mà không chia hết cho Toång cuûa taát caû caùc soá naøy laø :1650015000 – 329985000 = 1320030000 Baøi 9: AH = NF = AC EF 6, 044807689(cm2 ) B 28 LUYỆN TOÁN TỔNG HỢP I Kiến thức cần nhớ - Nhắc lại cách t×m số dư và cách tìm điều kiện để đa thức chia hết cho nhị thức - Phép chia hết, phép chia có dư - Cách tính giá trị đa thức II Bài tập áp dụng Bài Tìm số dư phép chia: x x 35 x cho x – 12 Kết r = 19 Bài Tìm số dư phép chia : x 3, 256 x 7,321 cho x – 1,617 Kết r = 6,2840 Bài Tìm a để x x x 13x a chia hết cho x + Kết a = 222 Bài Tìm số dư phép chia x 6, 723x 1,857 x 6, 458 x 4,319 x 2,318 Kết quả: 46,07910779 Bài Tìm số dư phép chia x14 x x x x x 723 x 1, 624 (76) Kết quả: 85,92136979 Bài Tìm số dư phép chia: x 7,834 x 7,581x 4,568 x 3,194 cho x – 2,652 Tìm hệ số x2 đa thức thương phép chia trên Kết quả: r = 29,45947997 B2 = - 0,800896 Bài Tìm m, n biết chia đa thức x2 + mx + n cho x – m và x – n số dư là m và n Hãy biểu diễn cặp giá trị m vá n theo thứ tự m thên Ox và n trên Oy thuộc mặt phẳng xOy Tính khoảng cách các điển có toạ độ (m;n) Giải: P(x) = x2 + mx + n Theo đề bài ta có: P(m) = m; P(n) = n Ta có hệ 2m n m n mn 0 1 ;0 ; 1; 1 Thay vào ta tìm ba cặp (0;0), có ba tam thức thoả mãn là P1 x x ; P2 x x x; P3 x x x 1 ;0 Kết (0;0) và 1 1,118034 ;0 và (1;-1) (0;0) và (1;-1) 1, 414213562 (77) B.29 c¸c bµi to¸n vÒ d©n sè vµ l·i suÊt 1) TØ sè phÇn tr¨m, tØ xÝch sè: (T¨ng, gi¶m % víi sè cho tríc) * TÝnh tØ sè cña hai sè a vµ b: a b c c b kÕt qu¶: d Ên a * TÝnh tØ sè % cña hai sè a vµ b: a b SHIFT % KÕt qu¶: * TÝnh a% cña b: a b SHIFT % kÕt qu¶: * a t¨ng lªn c lµ t¨ng bao nhiªu % so víi a: Ên c a SHIFT % kÕt qu¶ ( nÕu lµ sè d¬ng th× a < c, nÕu lµ sè ©m th× a > c) * Thùc hiÖn phÐp tÝnh: - T¨ng n¨ng suÊt: a + m% a Ên a m SHIFT % kÕt qu¶: ( m¸y tÝnh sè lîng t¨ng råi céng víi sè cho tríc) VD: Dự tính sản xuất 100 sản phẩm nhng thực tế sản suất tăng 15% : sản xuất đợc? Ên 100 15 SHIFT % kÕt qu¶: 115 s¶n phÈm - Gi¶m n¨ng suÊt: a - m% a Ên a m SHIFT % kÕt qu¶: ( m¸y tÝnh sè lîng gi¶m råi trõ vµo sè cho tríc) (78) VD: Dự tính sản xuất 100 sản phẩm nhng thực tế sản suất giảm15% : sản xuất đợc? Ên 100 15 SHIFT % kÕt qu¶: 85 s¶n phÈm VÝ dô: cho a = 125 a TÝnh sè míi cã 5% cña a b TÝnh sè míi gi¶m bít 8% cña a c Số là 150 thì a đợc tăng bao nhiêu % d Sè míi lµ 175 vËy th× a gi¶m bít bao nhiªu % Bµi to¸n vÒ d©n sè: HiÖn d©n sè cña quèc gia B lµ a ngêi; TØ lÖ t¨ng d©n sè mçi n¨m lµ m% 1) Hãy xây dựng công thức tính số dân quốc gia B đến hết năm thứ n 2) Dân số nớc ta tính đến năm 2001 là 76,3 triệu ngời Hỏi đến năm 2010 dân số nớc ta lµ bao nhiªu nÕu tØ lÖ t¨ng d©n sè trung b×nh mçi n¨m lµ 1,2% 3) §Õn n¨m 2020 d©n sè cña níc ta kho¶ng 100 triÖu ngêi Hái tØ lÖ t¨ng d©n sè trung b×nh mçi n¨m lµ bao nhiªu Gi¶i: Gäi A1 lµ sè d©n sau n¨m thø i Sau n¨m, d©n sè cña quèc gia B lµ: A1 = a + ma = a( + m) Sau n¨m d©n sè cña quèc gia B lµ: A2 = a(1+m)+m.a(1+m)=a(1+m) n n n T¬ng tù sau n n¨m d©n sè sÏ lµ An a.(1 m) m.a.(1 m) a.(1 m) (1) 6) D©n sè níc ta: ¸p dông víi n =9, a=76.3 triÖu ngêi, m=1,2% Ta cã quy tr×nh Ên phÝm: 7) Tõ c«ng thøc (1) suy m n An 1 a (2) áp dụng An = 100, n=19, a=76,3, ta tính đợc m = (1,433852166) lµm trßn m= 1.4% 3) Bµi to¸n vÒ l·i suÊt: * Có loại thường gặp 1) Lãi suất từ giá trị không đổi qua thời gian: Công thức áp dụng trực tiếp với các bài toán tiền gửi ngân hàng Số tiền sau n tháng 2) Lãi suất từ giá trị thêm vào vào theo quãng thời gian đều: Công thức áp dụng trực tiếp với các bài toán tiền gửi ngân hàng Cuối tháng thứ n-1 Đầu thàng thứ n Với a là số tiền gửi vào hàng tháng ; x là lãi suất Bài toán mở đầu: Gởi vào ngân hàng số tiền là a đồng, với lãi suất hàng tháng là r% n th¸ng TÝnh c¶ vèn lÉn l·i A sau n th¸ng? Gi¶i: Gäi A lµ tiÒn vèn lÉn l·i sau n th¸ng ta cã: Th¸ng (n=1): A = a+ar = a(1+r) Th¸ng (n=2): A = a(1+r)+a(1+r)r = a(1+r) n n n Th¸ng n (n=n): A = a(1+r) +a(1+r) r = a(1+r) (79) n VËy A = a(1+r) (*) Trong đó: a tiền vốn ban đầu, r lãi suất (%) hàng tháng , n là số tháng, A là tiền vốn lẫn lãi sau n th¸ng n Từ công thức (*) A=a(1+r) ta tính đợc các đại lợng khác nh sau: A a (1 r ) (1+r) n 1 A Ar a n n ; 2) r 1;3) A ; 4) a n ln(1 r ) a r (1 r ) r 1 1) ln (ln c«ng thøc lµ l«garit Nepe, trªn m¸y fx-500MS vµ fx-570MS phÝm ln Ên trùc tiÕp) VÝ dô 1:Mét sè tiÒn 58.000.000® g÷i tiÕt kiÖm víi l·i suÊt 0.7% mét th¸ng TÝnh vèn lÉn l·i sau th¸ng Gi¶i: Ta cã A = 58000000(1+0,7%)8 58000000 ( 007 ) QTAP: Kq: 61328699,87 Ví dụ 2: Một số tiền 58.000.000đ muốn gữi vào ngân hàng để đợc70.021.000 Hỏiphair g÷iyieets kiÖm bao l©u víi l·i suÊt 0.7% mét th¸ng 70021000 ) 58000000 n Ln(1 0, 7%) Gi¶i: Sè th¸ng tèi thiÓu ph¶i göi lµ: b c Ln ( 007 ) QTAP: Ln 7021000 a 58000000 Kq: 27,0015 th¸ng Ln( VËy tèi thiÓu ph¶i g÷i lµ 27 th¸ng Chó ý: NÕu kh«ng cho phÐp lµm trßn th× sè th¸ng tèi thiÓu lµ 28 th¸ng Ví dụ 3:Số tiền 58000000 gữi tiết kiệm tháng thì lĩnh đợc 61329000 đ Hãy tìm lãi suất hµng th¸ng Gi¶i: L·i suÊt hµng th¸ng r = 61329000 1 58000000 b QTAP: x 61329000 a c 58000000 SHIFT % KQ: 0,7% VÝ du 4: Mçi th¸ng g÷i tiÕt kiÖm lµ 580000 l·i suÊt 0,7% mét th¸ng Hái sau 10 th¸ng th× lÜnh vÒ c¶ gèc lÉn l·i lµ bao nhiªu? Gi¶i: Sè tiÒn lÜnh c¶ gèc lÉn l·i: 58000(1 0, 007)[(1 0, 007)10 1] 580000 1, 007(1, 00710 1) 0,007 0, 007 A= = 580000 1, 007 ( 1, 007 10 ) 0,007 QTAP: Kq: 6028055,589 Một số tiền 58.000.000đ muốn gữi vào ngân hàng để đợc70.021.000 Hỏi phải gữi tiết kiệm bao l©u víi l·i suÊt 0.7% mét th¸ng VÝ dô 5: MuÊn cã 100000000 ® sau 10 th¸ng th× ph¶i g÷i tiÕt kiÖm lµ bao nhiªu mçi th¸ng Víi l·i suÊt o,6%/ th¸ng Gi¶i: Sè tiÒn g÷i hµng th¸ng: 100000000 0, 006 100000000 0,006 10 10 A = (1 0, 006)[(1 0, 006) = 1, 006(1, 006 1) 1000000 1, 007 ( 1, 007 10 ) 0, 007 QTAP: KQ: 9674911,478 NhËn xÐt: CÇn ph©n biÖt râ c¸ch g÷i tiÒn tiÕt kiÖm: + G÷i sè tiÒn lµ a mét lÇn => LÊy c¶ vèn lÉn l·i + G÷i hµng th¸ng sè tiÒn lµ a => LÊy c¶ vèn lÉn l·i Cần phân tích các bài toán cách hợp lí để đợc các khoảng cách đúng đắn Có thể suy luận đẻ tìm các công thức từ 1->4 tơng tự nh bài toán mở đầu (80) C¸c bµi to¸n vÒ d©n sè còng cã thÓ ¸p dông c¸c c«ng thøc trªn ®©y Bài tập: Năm 2011 Nam trúng tuyển Đại Học, vì nhà nghèo nên Nam NHCS huyện cho vay với lãi suất ưu đãi 0,65% tháng Trong năm học Nam vay năm hai kì, kì 4,3 triệu đồng, kì I vay vào đầu tháng 11, kì II vay vào đầu tháng tháng a) Sau năm học (hết tháng 10 - 2015) Nam phải trả bao nhiêu tiền gốc và lãi? b) Với số tiền Nam phải trả NHCS không thu mà tiếp tục cho Nam vay đến hết tháng 10 năm 2017 (với lãi suất ưu đãi 0,65% m tháng) Nam bắt đầu trả tiền Cúng với lãi suất ưu đãi 0,65% tháng Nam phải trả số tiền tháng đến hết hai năm thì hết nợ Hỏi tháng Nam phải trả bao nhiêu tiền A PHÂN SỐ TUẦN HOÀN Định lí: (Dấu hiệu nhận biết phân số đổi đợc số thập phân hữu hạn) Điều kiện cần và đủ để phân số tối giản có thể viết đợc thành số thập phân hữu hạn là mẫu số nã kh«ng chøa nh÷ng thõa sè nguyªn tè ngoµi vµ Điều kiện cần và đủ để phân số tối giản có thể viết đợc thành số thập phân vô hạn tuần hoàn là mẫu sè cña nã cã chøa thõa sè nguyªn tè ngoµi vµ 31 27 129 213 , , VD: , 10 20 30 lµ c¸c ph©n sè cã d¹ng sè thËp ph©n h÷u h¹n 28 129 213 , , 15 14 140 lµ c¸c ph©n sè cã d¹ng sè thËp ph©n v« h¹n tuÇn hoµn Bài tËp: Bài 1: Phân số nào sinh số thập phân tuần hoàn sau: a) 0,(123); b,7,(37); c,5,34(12) Giải: 1 0, (1); 0, (01); 0,(001) 99 999 Ghi nhớ: a) Cách 1: 123 41 123 999 333 Ta có 0,(123) = 0,(001).123 = 999 Cách 2: Đặt a = 0,(123) 123 41 Ta có 1000a = 123,(123) Suy 999a = 123 Vậy a = 999 333 Các câu b,c (tự giải) Bài 2: Phân số nào đã sinh số thập phân tuần hoàn 3,15(321) Giải: Đặt 3,15(321) = a Hay 100.000 a = 315321,(321) (1) (v× 3,15(312)=3,15312(312)) 100 a = 315,(321) (2) Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta có 999000a = 315006 315006 52501 a 99900 16650 Vậy 2 A 0,19981998 0, 019981998 0, 0019981998 Bài 3: Tính Giải (81) Đặt 0,0019981998 = a 1 2.111 A 2 A 100a 100a 10a a Ta có: 1998 Trong đó : 100a = 0,19981998 = 0,(0001) 1998 = 9999 2.111.9999 1111 1998 Vậy A = B T×m th¬ng vµ d phÐp chia hai ®a thøc: T×m sè d phÐp chia sè a cho sè b: §Þnh lÝ: Víi hai sè nguyªn bÊt kú a vµ b, b 0, lu«n tån t¹i nhÊt mét cÆp sè nguyªn q vµ r cho: a = bq + r vµ r < |b| * Từ định lí trên cho ta thuật toán lập quy trình ấn phím tìm d phép chia a cho b: + Bíc 1: §a sè a vµo « nhí A , sè b vµo « nhí B + Bíc 2: Thùc hiÖn phÐp chia A cho B {ghi nhí phÇn nguyªn q} B + Bíc 3: Thùc hiÖn A q =r Bµi 5: a) ViÕt mét quy tr×nh Ên phÝm t×m sè d chia 18901969 cho 3041975 b) TÝnh sè d c) Viết quy trình ấn phím để tìm số d chia 3523127 cho 2047 Tìm số d đó Gi¶i: a) Quy tr×nh Ên phÝm: 18901969 SHIFT STO A 3041975 SHIFT STO B ANPHA B ANPHA A SHIFT A - B = (6,213716089) = (650119) b) Sè d lµ: r = 650119 c) Tơng tự quy trình câu a), ta đợc kết là: r = 240 Bµi 6: T×m th¬ng vµ sè d phÐp chia: 123456789 cho 23456 §¸p sè: q = 5263; r = 7861 Bµi 7: T×m sè d phÐp chia: a) 987654321 cho 123456789 b) 815 cho 2004 H.DÉn: a) Sè d lµ: r = b) Ta ph©n tÝch: 815 = 88.87 - Thực phép chia 88 cho 2004 đợc số d là r1 = 1732 - Thực phép chia 87 cho 2004 đợc số d là r2 = 968 Sè d phÐp chia 815 cho 2004 lµ sè d phÐp chia 1732 x 968 cho 2004 Sè d lµ: r = 1232 * Dïng sơ đồ Hooc ne Ta có thể dùng sơ đồ Hooc ne để tìm kết phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a Ví dụ:Thực phép chia (x3 – 5x2 + 8x – 4) cho x – cách dùng sơ đồ Hor nơ Bước 1: Đặt các hệ số đa thức bị chia theo thứ tự vào các cột dòng trên -5 -4 a=2 Bước 2: Trong cột để trống dòng dưới, ba cột đầu cho ta các hệ số đa thức thương, cột cuối cùng cho ta số dư - Số thứ dòng = số tương ứng dòng trên - Kể từ cột thứ hai, số dòng xác định cách lấy a nhân với số cùng dòng liền trước cộng với số cùng cột dòng trên -5 -4 a=2 -3 Vậy (x3 – 5x2 + 8x – 4) = (x – 2)(x2 – 3x + 2) + Nếu đa thức bị chia là a0x3 + a1x2 + a2x + a3 , đa thức chia là x – a, ta thương là b0x2 + b1x + b2 dư là r Theo sơ đồ Hor nơ ta có: (82) a a0 b0 (a0) a1 b1 (ab0+a1) a2 b2 (ab1+a2) a3 b3 (ab2+a3) Bµi 1: T×m th¬ng vµ d phÐp chia P(x) = x7 - 2x5 - 3x4 + x - cho (x + 5) H.Dẫn: - Sử dụng lợc đồ Hoocner, ta có: -2 -3 0 -5 -5 23 -118 590 -2950 14751 * TÝnh trªn m¸y tÝnh c¸c gi¸ trÞ trªn nh sau: ( ) M SHIFT STO ANPHA M + = (-5) : ghi giÊy -5 ANPHA M + = (23) : ghi giÊy 23 ANPHA M = (-118) : ghi giÊy -118 ANPHA M + = (590) : ghi giÊy 590 ANPHA M + = (-2950) : ghi giÊy -2950 ANPHA M + = (14751) : ghi giÊy 14751 ANPHA M = (-73756) : ghi giÊy -73756 x - 2x - 3x + x - = (x + 5)(x - 5x + 23x4 - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751) - 73756 -1 -73756 (83) LuyÖn tËp: Bài 1: Phân số nào đã sinh số thập phân tuần hoàn 3,15(321) Giải: Đặt 3,15(321) = a Hay 100.000 a = 315321,(321) (1) (v× 3,15(312)=3,15312(312)) 100 a = 315,(321) (2) Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta có 999000a = 315006 315006 52501 a 99900 16650 Vậy 2 A 0,19981998 0, 019981998 0, 0019981998 Bài 2: Tính Giải Đặt 0,0019981998 = a Ta có: 1 A 2 100a 10a a 2.111 A 100a 1998 Trong đó : 100a = 0,19981998 = 0,(0001) 1998 = 9999 2.111.9999 1111 1998 Vậy A = Bài 3: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Có P(1) = 0,5 ; P(2) = ; P(3) = 4,5 ; P(4) = Tính P(2002), P(2003) Bài 4: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 5; P(2) = 14; P(3) = 29; P(4) = 50 Hãy tính P(5) , P(6) , P(7) , P(8) Bài 5: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 0; P(2) = ; P(3) = 18 ; P(4) = 48 Tính P(2007) Bài : Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m a) Tìm số dư phép chia P(x) cho x – 2,5 m = 2003 b) Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5 c) P(x) có nghiệm x = Tìm m Bài 7: Tìm số dư phép chia đa thức x5 – 7,834x3 + 7,581x2 – 4,568x + 3,194 cho x – 2,652 Tìm hệ số x2 đ thức thương phép chia trên Bài 8: Khi chia đa thức 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho x – ta thương là đa thức Q(x) có bậc là Hãy tìm hệ số x2 Q(x) Bài 9: Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m a) Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + b) Với m tìm câu a ), hãy tìm số dư r chia P(x) cho 3x – và phân tích P(x) thành tích các thừa số bậc c) Tìm m và n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x – d) Với n tìm trên , hãy phân tích Q(x) tích các thừa số bậc Bài 10: Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m và Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n a) Tìm các giá trị m và n để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x – b) Với giá trị m và n tìm được, chứng tỏ R(x) = P(x) – Q(x) có nghiệm 89 1 Bài 11: Cho f(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết : f = ; f − = − ; f = 108 500 Tính giá trị đúng và gần đúng f Bài 12: Xác định các hệ số a, b, c đa thức: () () ( ) () (84) P(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 để cho P(x) chia cho (x – 13) có số dư là 1, chia cho (x – 3) có số dư là là 2, và chia cho (x – 14) có số dư là (Kết lấy với hai chữ số hàng thập phân) Bài 13:Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị đa thức Q(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx – 2007 các giá trị x = 1,15; 1,25; 1,35; 1,45 (85)