Tài liệu Thanh cong phẳng docx

CHƯƠNG 11 THANH CONG PHẲNG I. KHÁI NIỆM II. ỨNG SUẤT PHÁP TRONG THANH CONG PHẲNG CHỊU UỐN THUẦN TÚY 1. Giả thuyết mặt cắt ngang phẳng 2. Giả thuyết về các thớ dọc III. TÍNH THANH CONG CHỊU LỰC PHỨC TẠP IV. XÁC ÐỊNH VỊ TRÍ ÐƯỜNG TRUNG HÒA ÐỐI VỚI MỘT SỐ MẶT CẮT NGANG ÐƠN GIẢN 1. Mặt cắt ngang hình thang 2. Mặt cắt ngang hình tam giác 3. Mặt cắt ngang hình chữ nhật 4. Mặt cắt ngang hình tròn 5. Phương pháp gần đúng để tính rth 6. Xác định rth theo bảng I. KHÁI NIỆM TOP Khi trục thanh có dạng thẳng ta có thanh thẳng Khi trục thanh có dạng cong ta có thanh cong. Ví dụ: vòng xích, móc cầu trục . Aính hưởng của độ cong đến độ bền của thanh được đặc trưng bởi tỉ sốĠ trong đó: h: chiều cao của mặt cắt ngang (: bán kính cong của trục tại mặt cắt ngang có chiều cao h đang xét. Khi thanh có độ cong bé, nghĩa làĠ thì ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh cong gần giống thanh thẳng Ví dụ: khi Ġ thì (max chênh lệch 4,6% còn (min lệch khoảng 7% , khũ thì (max chênh lệch 1,5% còn (min lệch khoảng 3% so với thanh thẳng Khi thanh có độ cong lớn, nghĩa là Ġthì ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh cong và thanh thẳng khác nhau nhiều. Vì vậy đối với thanh cong có độ cong bé ta coi như thanh thẳng ở đây ta chỉ tính toán đối với thanh cong có độ cong lớn. Giới hạn nghiên cứu như sau: a. Thanh cong phẳng có các trục đối xứng nằm trong mặt phẳng chứa trục Z của thanh, ta gọi đó là mặt phẳng đối xứng của thanh. b. Tải trọng tác dụng lên thanh đều nằm trong mặt phẳng đối xứng của thanh. Nếu trên mặt cắt ngang của thanh có momen uốn Mx ta gọi thanh chọn uốn thuần túy phẳng. Nếu trên mặt cắt ngang có đầy đủ ba thành phần nội lực Mx, Qy , Nz ta gọi thanh chịu lực phức tạp. II. ỨNG SUẤT PHÁP TRONG THANH CONG PHẲNG CHỊU UỐN THUẦN TÚY TOP Cũng như trong thanh thẳng, thanh cong chịu uốn thuần túy có những thớ trung hòa, những thớ trung hòa tạo thành lớp trung hòa. Giao tuyến của lớp trung hòa với mặt cắt ngang gọi là đường trung hòa. Vì lý do đối xứng nên đường trung hòa vuông góc với mặt đối xứng của thanh. Khác với thanh thẳng, đường trung hòa trong thanh cong không đi qua trọng tâm của mặt cắt ngang. Gọi C là trọng tâm của mặt cắt ngang đang xét. Hệ trục tọa độ Cxyz được chọn như hình vẽ 11-2, trong đó chiều dương của trục Y hướng từ tâm cong O ra ngoài. Như vậy momen uốn Mx được coi là dương khi làm cho thanh bị cong thêm (cong về phía chiều dương của trục y) a) Ðể tính ứng suất và biến dạng của thanh cong ta dựa vào hai giả thuyết sau: 1. Giả thuyết mặt cắt ngang phẳng TOP Trước và sau khi bị biến dạng mặt cắt ngang của thanh vẫn phẳng và vuông góc với trục của thanh. 2. Giả thuyết về các thớ dọc TOP b) Trong quá trình biến dạng, các thớ dọc (thớ song song với trục cong của thanh) không ép lên nhau và cũng không tách xa nhau. Xét một đoạn thanh cong giới hạn bởi hai mặt cắt 1-1 và 2-2 hợp với nhau một góc d(. Sau khi biến dạng, mặt cắt ngang 2-2 xoay đi một góc (d( so với mặt cắt ngang 1-1 quanh đường trung hòa (hình 11-3a, b). Chiều dài thớ mn trước biến dạng ds = mn = r.dϕ Ðộ dãn dài của thớ mn sau biến dạng là Dds = (r - r th ).Δdϕ Ðộ biến dạng tỉ đối:Ġ Theo giả thuyết mặt cắt ngang phẳng ta có (zx = (zy = 0 Theo giả thuyết các thớ dọc ta có (x = (y = 0 Vậy trạng thái của điểm đang xét là trạng thái ứng suất đơn. Theo định luật Húc: Xác định (z : ta có ĉ (XI- 1b) Ta có: Thế (z vào: Ġ Vì Ġ= const đối với mọi điểm trên mặt cắt nên VìĠ( 0 (Ġ Ta cóĠ VậyĠ (XI-2) Ðó là công thức để xác định bán kính cong rth của thớ trung hòa Nếu lấy tổng momen của các ứng lực (z.dF đối với tâm cong O, ta được: Thay (z từ công thức (XI-1b) vào (XI-3) ta được: Trong đó:Ġ= moment tĩnh của mặt cắt ngang đối với đường trung hòa Thay tỷ số trên vào các biểu thức (XI-1b) ta có Vậy Ġ (XI-5) Nếu gọi e khoảng cách từ trọng tâm mặt cắt ngang đến trục trung hòa Ta có S = F.e ; F: diện tích mặt cắt; S : momen tĩnh của mặt cắt ngang đối với trục trung hòa Vậy Ġ (XI-6b) Trong đó: Mx: momen uốn trên mặt cắt ngang ang đến trục trung hòa cong hypecbol, những điểm có cùng khoảng cách đến tâm cong thì ứng suất pháp bằng nhau. g với pháp tuyến của mặt cắt (trục (z), và đườngĠ song song với trục đối xứng của mặt cắt. ở phía trong ngắn hơn nên có biến dạng dài tương đốïi lớn hơn, do đó có ứng suất lớn hơn. h cong thường có kích thước ngang lớn về phía tâm cong (để đưa trọng tâm gần xuống đáy). F: diện tích mặt cắt ngang e: khoảng cách từ trọng tâm mặt cắt ng rth: bán kính cong của thớ trung hòa r: bán kính cong của điểm đang xét ; với (y = r - rth) Từ công thức của (z ta thấy biểu đồ của (z dọc theo bán kính r là một đường Ðường cong hypecbol đó có hai đường tiệm cận vuông góc với nhau. Ðó là đường đi qua tâm cong đồng thời song son Từ biểu đồ hình 11-4 ta nhận thấy những điểm ở phía ngoài đường trung hòa r > rth có ứng suất pháp tăng chậm theo chiều cao của mặt cắt, còn các điểm ở phía tâm cong r < rth có ứng suất tăng nhanh. Sở dĩ như thế vì theo giả thuyết mặt cắt phẳng, các thớ có cùng một khoảng cách và ở hai phía đối với thớ trung hòa thì có biến dạng dài tuyệt đối như nhau, nhưng chiều dài ban đầu của chúng khác nhau, thớ Những điểm ở ngoài cùng r = rmax và ở trong cùng r = rmin có ứng suất pháp lớn nhất về kéo và nén. Ðối với mặt cắt có bề rộng không đổi thì giá trị tuyệt đối ứng suất của điểm ở phía trong lớn hơn. Ðể làm giảm trị số ứng suất ở mép trong, mặt cắt ngang của than III. TÍNH THANH CONG CH Trong thanh cong chịu lực phức tạp, nội lực gồm 3 thành phần là momen uốn Mx , lực cắt Qy và lực dọc Nz . Aïp dụng nguyên , ta tính ứng suất do từng nội lực gây ra. Ứng suất pháp do Mx gây raĠ Ứng suất pháp trong tạp ỊU LỰC PHỨC TẠP lý độc lập tác dụng Ứng suất do Nz gây raĠ thanh cong chịu lực phức (XI-7) Lấy lực cắt Qy chỉ gây ứ pháp. Ưïng suất tiếp đó có thể t ng suất tiếp mà không ảnh hưởng đến sự phân bố của ứng suất ính gần đúng theo công thức Durápski của thanh thẳng (XI-8) Chú ý hệ trục xy là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang. ÐỊNH VỊ TRÍ ÐƯỜNG TRUNG HÒA ÐỐI VỚI MỘT SỐ MẶT CẮT NGANG ÐƠN GIẢN cắt ngang hình thang Ta cóĠ IV. XÁC 1. Mặt Theo công thức 2. Trong công thức (XI-9) lấy b2 = 0 ; b1 = b Mặt cắt ngang hình tam giác (XI-10) 3. Trong công thức rth của hình thang ta thay b 1 = b 2 = b Mặt cắt ngang hình chữ nhật (XI-11) 4. nh tròn Ta cóĠ Mặt cắt ngang hì 5. Phương pháp gần đúng để tính rth Ta có thể tính tích phânĠtrong công thức của rth một cách gần đúng bằng phương pháp chia diện tích mặt cắt ngang thành những dãy diện tích nhỏ (Fi song song với trục x. Mỗi dãy diện tích (Fi được coi như đã biết trọng tâm, và như vậy ta có thể xác định khoảng cách ri từ các trọng tâm đó đến tâm cong. Do đó: 6. Xác định rth theo bảng Ðể tiện tính toán, người ta lập bảng tính cho một số mặt cắt ngang thường gặp, giá trị rth được tính theo công thức: rth = k.( Trong đó: (: bán kính cong của trục thanh k: hệ số phụ thuộc tỉ số (/a Với a: khoảng cách từ trọng tâm đến thớ trong cùng k: được cho trong các bảng . với thanh thẳng Khi thanh có độ cong lớn, nghĩa là Ġthì ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh cong và thanh thẳng khác nhau nhiều. Vì vậy đối với thanh cong. cong có độ cong bé ta coi như thanh thẳng ở đây ta chỉ tính toán đối với thanh cong có độ cong lớn. Giới hạn nghiên cứu như sau: a. Thanh cong phẳng có các