Chuyên đề tự luận toán 10 chủ đề vectơ – nguyễn trọng

CĐ TỰ LUẬN TỐN 10 CHƯƠNG HÌNH HỌC_C1_VECTƠ VECTƠ BÀI CÁC ĐỊNH NGHĨA TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN Để xác định véctơ cần biết hai điều kiện sau: - Điểm đầu điểm cuối vectơ - Độ dài hướng Hai vectơ a b gọi phương giá chúng song song trùng Nếu hai vectơ a b phương chúng hướng ngược hướng Độ dài vectơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ a = b a = b a , b hướng Với điểm A ta gọi vectơ AA vectơ-khơng Vectơ-khơng kí hiệu quy ước = , vectơ phương hướng với vectơ  DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH MỘT VECTƠ, SỰ CÙNG PHƯƠNG VÀ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ PHƯƠNG PHÁP • Để xác định vectơ ta cần biết điểm đầu điểm cuối vectơ biết độ dài hướng chúng Chẳng hạn với hai điểm A, B phân biệt, ta có hai vectơ khác vectơ-khơng AB BA • Vectơ a vectơ-khơng a = a = AA với A điểm Bài Cho điểm phân biệt Có vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu điểm cuối điểm cho Lời giải Xét điểm A, B, C, D, E phân biệt Các vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu điểm cuối điểm là: AB, AC, AD, AE , BA, BC, BD, BE , CA, CB, CD, CE , DA, DB, DC, DE , EA, EB, EC, ED Vậy có 20 véctơ khác vectơ-khơng có điểm đầu điểm cuối điểm cho Bài Cho Hãy tính số vectơ mà điểm đầu điểm cuối lấy từ điểm phân biệt cho Fb: ThayTrongDgl Trang CĐ TỰ LUẬN TỐN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ trường hợp sau đây: a) Hai điểm b) Ba điểm c) Bốn điểm Lời giải a) Xét hai điểm A, B phân biệt Ta có AB, BA Vậy có vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu điểm cuối điểm cho b) Xét điểm A, B, C phân biệt Các vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu điểm cuối điểm là: AB, AC , BA, BC , CA, CB Vậy có vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu điểm cuối điểm cho c) Xét điểm A, B, C, D phân biệt Các vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu điểm cuối điểm là: AB, AC, AD , BA, BC, BD , CA, CB, CD , DA, DB, DC Vậy có 12 vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu điểm cuối điểm cho Bài Cho hình bình hành Hãy vectơ khác khác vectơ – khơng, có điểm đầu điểm cuối bốn điểm hình hành Trong vectơ ra: a) Các cặp vectơ phương b) Các cặp vectơ phương ngược hướng Lời giải D A C B Giả sử hình bình hành ABCD Có 12 vectơ khác khác vectơ – khơng, có điểm đầu điểm cuối bốn điểm hình hành AB , AC , AD , BA , BC , BD , CA , CB , CD , DA , DB , DC a) Các vectơ phương với nhau: * AB , BA , CD , DC * AD , DA , BC , CB * AC , CA * BD , DB b) Các cặp vectơ phương ngược hướng AB BA ; AB CD , BA DC , AD DA , AD CB , DA BC , AC CA BD DB Fb: ThayTrongDgl Trang CĐ TỰ LUẬN TOÁN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ Bài Xác định vị trí tương đối ba điểm phân biệt A , B , C trường hợp sau: a) AB AC hướng, AB  AC b) AB AC ngược hướng c) AB AC hướng AB  AC Lời giải a) AB AC hướng, AB  AC AB AC hướng  điểm A nằm đoạn BC Do AB  AC nên điểm C điểm hai điểm A B b) AB AC ngược hướng AB AC ngược hướng nên điểm A điểm hai điểm B C c) AB AC hướng AB  AC AB AC hướng AB  AC nên điểm B điểm hai điểm A C Bài Cho hai vectơ không phương u v Có hay khơng có vectơ phương với hai vectơ đó? Lời giải Có, chọn vectơ vectơ , vectơ phương với vectơ Bài Cho ba vectơ phương u , v , w Chứng tỏ có hai vectơ ba vectơ hướng Lời giải Chú ý hai vectơ phương hướng ngược hướng Giả sử u v khơng hướng Khi w phương với u nên w hướng ngược hướng với u Nếu w hướng với u tốn chứng minh Nếu w ngược hướng với u v , w ngược hướng với u nên hai vectơ v , w hướng Bài Các khẳng định sau hay sai? a) Hai vecto phương với vecto thứ ba phương b) Hai vecto phương với vecto thứ ba khác phương c) Hai vecto hướng với vecto thứ ba hướng d) Hai vecto hướng với vecto thứ ba khác hướng e) Hai vecto ngược hướng với vecto khác hướng Fb: ThayTrongDgl Trang CĐ TỰ LUẬN TỐN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ f) Điều kiện cần đủ để hai vecto chúng có độ dài Lời giải Trong khẳng định thì: a) Khẳng định sai trường hợp vecto thứ ba vecto b) Khẳng định c) Khẳng định sai trường hợp vecto thứ ba vecto d) Khẳng định e) Khẳng định f) Khẳng định sai Vì: điều kiện cần đủ để hai vecto chúng có độ dài hướng  DẠNG TOÁN 2: CHỨNG MINH HAI VECTƠ BẰNG NHAU PHƯƠNG PHÁP Để chứng minh hai vectơ ta dùng ba cách sau: • Cách 1: a = b a ; b hướng  a = b • Cách 2: Tứ giác ABCD hình bình hành  AB = DC BC = AD • Cách 3: Nếu a = b ; b = c a = c Bài Cho tam giác ABC có D , E , F trung điểm BC , CA , AB Chứng minh EF = CD Lời giải Theo giả thiết, ta có: D , E , F trung điểm BC , CA , AB  EF đường trung bình ABC EF = BC (1) Lại có D trung điểm BC  CD = CB ( ) Dễ thấy EF hướng CD ( 3) Từ (1) ; ( ) ; ( 3)  EF = CD Fb: ThayTrongDgl Trang CĐ TỰ LUẬN TỐN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ Bài Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M N trung điểm BC AD Điểm I giao điểm AM BN , K giao điểm DM CN Chứng minh AM = NC , DK = NI Lời giải • Chứng minh AM = NC Ta có: M trung điểm BC → MC = BC N trung điểm AD → AN = AD Mà AD = BC  AN = MC  Tứ giác AMCN hình bình hành  AM = NC • Chứng minh DK = NI  AN // MB  Ta có:  AN = MB  ABMN hình bình hành  I trung điểm NB  NI = NB (1)  MN // AB   DN // MC  Ta có:  DN = MC  CDNM hình bình hành  K trung điểm MD  DK = DM ( )  MN // DC   BN // MD Dễ thấy BNDM hình bình hành  nên ND = BM ( 3)  BN = MD Từ (1) ; ( ) ; ( 3)  DK = NI Bài Cho tam giác ABC có H trực tâm O tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi B  điểm đối xứng B qua O Chứng minh AH = BC Lời giải Fb: ThayTrongDgl Trang CĐ TỰ LUẬN TỐN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ Ta có B  điểm đối xứng B qua O nên BB đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có: OC = BB nên tam giác CBB vuông C  BC ⊥ BC  BC // AH Ta có:   AH ⊥ BC Tương tự: OA = (1) BB nên tam giác ABB vuông A  BA ⊥ AB  BA // CH Ta có:  CH ⊥ AB ( 2) Từ (1) ( ) ta có tứ giác AHCB hình bình hành Suy AH = BC Bài Cho hình vng ABCD tâm O Liệt kê tất véctơ nhận đỉnh tâm hình vng điểm đầu điểm cuối Lời giải Ta có: AB = DC ; BA = CD ; AD = BC ; DA = CB ; AO = OC ; OA = CO ; OB = DO ; BO = OD Bài Cho tứ giác ABCD Gọi M , N , P , Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh NP = MQ PQ = NM Lời giải   NP = BD  MP = MQ Ta có:   MQ = BD  Fb: ThayTrongDgl Trang CĐ TỰ LUẬN TỐN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ   PQ = CA  PQ = NM Ta có:   NM = CA  Bài Cho hình bình hành ABCD Dựng AM = BA , MN = DA, NP = DC, PQ = BC Chứng minh AQ = Lời giải  DC = AB Ta có: ABCD hình bình hành nên  BC = − DA  ( ) Ta có: AQ = AM + MN + NP + PQ = BA + DA + DC + BC = − AB + DC + DA + BC = − AB + AB + DA − DA = Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi H trực tâm tam giác ABC Tia AO cắt đường tròn tâm O D Chứng minh HB = CD Lời giải Vì H trực tâm tam giác ABC nên HB ⊥ AC Vì tia AO cắt đường tròn tâm O D nên AD đường kính đường trịn tâm O  ACD = 90  CD ⊥ AC Từ  HB // CD Chứng minh tương tự  BD // HC Fb: ThayTrongDgl Trang CĐ TỰ LUẬN TOÁN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ Do tứ giác BDCH hình bình hành Khi ta có: HB chiều với CD HB = CD Vậy HB = CD Bài Tứ giác ABCD hình có AB = DC AB = BC Lời giải  AB = DC Vì AB = DC  AB = DC AB phương với DC    AB // DC Nên tứ giác ABCD hình bình hành Vì AB = BC  AB = BC Nên ABCD hình thoi Bài Cho a + b = So sánh độ dài, phương hướng hai vectơ a b Lời giải Ta có: a + b =  a + b =  a b hai véc tơ đối Do đó, hai vectơ a b phương, ngược chiều độ dài Bài 10 Cho hai véc tơ a b hai vectơ khác vectơ_không Khi đẳng thức sau xảy ra? a) a + b = a + b b) a + b = a − b Lời giải a) a + b = a + b ( Ta có: a + b = a + b ( Và a + b ) 2 ) 2 2 = a + b + 2.a.b = a + b + 2.a.b = a + b + a b ( Do a + b = a + b  a + b = a + b ( ) ) ( )  a.b = a b , mà a.b = a b cos a , b ( )  cos a , b =  a , b = 0  a b hai vectơ chiều Fb: ThayTrongDgl Trang CĐ TỰ LUẬN TỐN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ b) a + b = a − b ( ) ( ) a + b = a − b  a + b + b = a  a + b + −b = a + b + −b ( ) ( ) hay a + b + −b = a + b + −b Áp dụng phần a) ta suy a + b −b hai vectơ chiều Hay a + b b hai vectơ ngược chiều Bài 11 Cho tam giác ABC Vẽ D đối xứng với A qua B , E đối xứng với B qua C F đối xứng với C qua A Gọi G giao điểm trung tuyến AM tam giác ABC với trung tuyến DN tam giác DEF Gọi I K trung điểm GA GD Chứng minh rằng: a) AB = NM b) MK = NI Lời giải a) AB = NM Ta có A, N trung điểm FC, FE 1  AN = CE = BC 2 Mà BM = BC suy AN = BM  tứ giác ANMB hình bình hành  NM = AB b) MK = NI Ta có I , K trung điểm GA GD  IK = AD = AB = NM  tứ giác INMK hình bình hành nên MK = NI Bài 12 Cho tam giác ABC M điểm không thuộc cạnh tam giác Gọi D , E , F trung điểm AB , BC , CA Vẽ điểm P đối xứng với M qua D , điểm Q đối xứng với P qua E , điểm N đối xứng với Q qua F Chứng minh MA = AN Lời giải Fb: ThayTrongDgl Trang CĐ TỰ LUẬN TỐN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ Ta có : +) D trung điểm AB M đối xứng P qua D  D trung điểm MP Nên AMBP hình bình hành  MA = BP (1) +) E trung điểm BC P đối xứng Q qua E  E trung điểm PQ Nên BPCQ hình bình hành  BP = QC ( ) +) F trung điểm AC Q đối xứng N qua F  F trung điểm NQ Nên QCNA hình bình hành  QC = AN ( 3) Từ (1) ; ( ) ( 3)  AN = QC = BP = MA  MA = AN Bài 13 Cho tam giác ABC tam giác AEF có trọng tâm G Chứng minh: BE = FC Lời giải Ta có G trọng tâm ABC  GA + GB + GC = (1) Và G trọng tâm AEF  GA + GE + GF = ( ) Từ (1) ( ) :  GA + GB + GC = GA + GE + GF  GB + GC = GE + GF  GC − GF = GE − GB  FC = BE Fb: ThayTrongDgl Trang 10 CĐ TỰ LUẬN TỐN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ b) Chứng minh ba điểm I , J , K thẳng hàng    IJ = AB − AC  IJ = AB − AC   IK = IJ Theo câu a:   IK = AB − AC  IK =  AB − AC    2   I , J , K thẳng hàng Bài Cho ABC Trên đường thẳng BC , AC , AB lấy điểm M , N , P cho MB = 3MC ; NA = 3CN ; PA + PB = a) Tính PM ; PN theo AB ; AC b) Chứng minh ba điểm M , N , P thẳng hàng Lời giải a) Tính PM ; PN theo AB ; AC Ta có: PA + PB = → P trung điểm AB PM = PB + BM = PN = PA + AN = ( ) 3 AB + BC = AB + AC − AB = − AB + AC 2 2 3 BA + AC = − AB + AC 4 b) Chứng minh ba điểm M , N , P thẳng hàng   PM = − AB + AC PM = − AB + AC      PN = PM Theo câu a:   PN = − AB + AC  PN =  − AB + AC    2 2    N , M , P thẳng hàng Bài Cho hình bình hành ABCD Trên tia AD, AB lấy điểm F , E cho AD = 1 AF , AB = AE Chứng minh: 2 a) Ba điểm F , C , E thẳng hàng Fb: ThayTrongDgl Trang 58 CĐ TỰ LUẬN TỐN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ b) Các tứ giác BDCE, BDFC hình bình hành Lời giải a) Ba điểm F , C , E thẳng hàng Theo đề ta có D trung điểm đoạn thẳng AF , B trung điểm đoạn thẳng AE Ta có CE = CB + BE = DA + AB = FD + DC = FC nên ba điểm F , C , E thẳng hàng b) Các tứ giác BDCE, BDFC hình bình hành  BE // DC  BDCE hình bình hành Ta có   BE = DC  DF // BC  BDFC hình bình hành Ta có   DF = BC Bài Cho tam giác ABC Hai điểm I , J xác định IA + 3IC = 0; JA + JB + 3JC = Chứng minh ba điểm I , J , B thẳng hàng Lời giải   IA + 3IC = Ta có    JA + JB + 3JC =  IA + 3IC =   JI + IA + JI + IB + JI + IC = ( ) ( ) ( )  IA + 3IC =  6 JI + IB + IA + 3IC = ( )  JI + 2IB =  IB = −3JI Vậy ba điểm I , J , B thẳng hàng Bài Cho ABC Hai điểm M , N xác định 3MA + 4MB = , NB − 3NC = Chứng minh điểm M , N , G thẳng hàng, với G trọng tâm ABC Lời giải Theo đề ta có: 3MA + 4MB = Fb: ThayTrongDgl Trang 59 CĐ TỰ LUẬN TỐN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ ( )  ( 3MG − MC ) + MB =  MA + MB + MB =  9MG − 3MC + MB = ( ) ( )  9MG − MN + NC + MN + NB = ( )  9MG − 2MN + NB − 3NC =  9MG − 2MN + =  MG = MN Vậy điểm M , N , G thẳng hàng Bài 10 Cho ABC Về phía ngồi ABC vẽ hình bình hành ABIJ , BCPQ , CARS Chứng minh tam giác RIP , JQS có trọng tâm Lời giải Cách Gọi G , G ' trọng tâm RIP , JQS Ta có RS + IJ + PQ = RG + GG + GS + IG + GG + GJ + PG + GG + GQ = 3GG Mà RS = AC; IJ = BA; PQ = CB  AC + BA + CB = 3GG  BC + CB = 3GG  3GG = Vậy tam giác RIP , JQS có trọng tâm Cách Gọi G , G trọng tâm RIP , JQS Ta có: 3GG ' = GJ + GQ + GS ( ) ( ) ( ) = ( GI + GP + GR ) + ( IJ + PQ + RS ) = + ( BA + CB + AC ) = GI + IJ + GP + + PQ + GR + RS =0 Fb: ThayTrongDgl Trang 60 CĐ TỰ LUẬN TOÁN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ Suy G  G Vậy tam giác RIP , JQS có trọng tâm Bài 11 Trên cạnh AB, BC, CA ABC lấy điểm A, B, C  cho AA BB CC = = AB BC AC Chứng minh tam giác ABC ABC có chung trọng tâm Lời giải A A' G B C' C B' Gọi G, G trọng tâm ABC ABC Khi GA + GB + GC = GA + GB + GC =  AA = k AB  AA BB CC  = = = k    BB = k BC Ta đặt: AB BC AC  CC  = kCA Do G trọng tâm ABC nên GA + GB + GC = ( ) ( ) ( )  GG + GA + AA + GG + GB + BB + GG + GC  + C C = ( ) ( ) − k ( AB + BC + CA ) =  3GG + GA + GB + GC  − AA + BB + CC  =  3GG +  3GG − k =  3GG =  G  G Vậy tam giác ABC ABC có chung trọng tâm Bài 12 Cho tam giác ABC điểm M tùy ý Gọi A, B, C  điểm đối xứng M qua trung điểm K , I , J cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh ba đường thẳng AA, BB, CC đồng quy điểm N b) Chứng minh M di động đường thẳng MN qua trọng tâm G ABC Lời giải a) Chứng minh ba đường thẳng AA, BB, CC đồng quy điểm N a) Gọi O, P, Q trung điểm cạnh AA, BB, CC Ta có: Fb: ThayTrongDgl Trang 61 CĐ TỰ LUẬN TỐN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 MA + MA = MA + MB + MC 2 1 MP = MB + MB = MA + MB + MC 2 1 MQ = MA + MC  = MA + MB + MC 2 MO =  MO = MP = MQ  O  P  Q Do ba đường thẳng AA, BB, CC đồng quy trung điểm N (  O  P  Q ) đường b) Chứng minh M di động đường thẳng MN qua trọng tâm G ABC A J C' M G I B' N B C K A' Vì G trọng tâm ABC nên ta có MG = Mặt khác MN = Suy MG = ( ( ) MA + MB + MC ) MA + MB + MC 2 MN Do điểm M , N , G thẳng hàng Vậy M di động đường thẳng MN qua trọng tâm G ABC Bài 13 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Các điểm M , N thỏa mãn 3MA + 4MB = 0; CN = BC Chứng ming đường thẳng MN qua trọng tâm G tam giác ABC Lời giải Theo giả thiết ta có: ( ) ( ) ( ) 3MA + 4MB =  MG + GA + MG + GB =  7MG + GA + GB + GB = (1) Vì G trọng tâm tam giác ABC nên GA + GB + GC =  GA + GB = −GC , ( ) Thay vào ta được: 7MG − 3GC + GB =  7MG = 3GC − GB Lại có CN = ( ) 1 BC  GN − GC = GC − GB  2GN = 3GC − GB  2GN = 7MG 2 Vậy ba điểm M , N , G thẳng hàng Bài 14 Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm BC Hai điểm D, E thỏa mãn BD = DE = EC Fb: ThayTrongDgl Trang 62 CĐ TỰ LUẬN TỐN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ Chứng ming rằng: a) AB + AC = AD + AE b) Tính AS = AB + AD + AC + AE theo AI Suy ba điểm A, I , S thẳng hàng Lời giải a) AB + AC = AD + AE Theo giả thiết ta có I trung điểm BC hai điểm D, E thỏa mãn BD = DE = EC nên I trung điểm DE Do AB + AC = AD + AE = AI b) Tính AS = AB + AD + AC + AE theo AI Suy ba điểm A, I , S thẳng hàng ( ) ( ) Ta có: AS = AB + AD + AC + AE = AB + AC + AD + AE = AI + AI = AI Vì AS = AI nên ba điểm A, I , S thẳng hàng Bài 15 Cho tam giác ABC Các điểm M , N xác định hệ thức BM = BC − AB , CN = xAC − BC a) Xác định x để A , M , N thẳng hàng b) Xác định x để đường thẳng MN qua trung điểm I BC Tính IM IN Lời giải a) Xác định x để A , M , N thẳng hàng +) BM = BC − AB  AB + BM = BC + BA  AM = 2BC − AC +) CN = xAC − BC  AN − AC = xAC − BC  AN = − BC + ( x + 1) AC Khi A , M , N thẳng hàng tồn k  cho AN = k AM  k =−  − = k     − BC + ( x + 1) AC = 2k BC − k AC    x + = −k x = −  Vậy x = − A , M , N thẳng hàng b) Xác định x để đường thẳng MN qua trung điểm I BC Tính Fb: ThayTrongDgl IM IN Trang 63 CĐ TỰ LUẬN TỐN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ Ta có: +) MN = AN − AM = ( x + ) AC − 3BC +) MI = AI − AM = AC + CI + AC − 2BC = AC − BC − 2BC = AC − BC 2 Khi đường thẳng MN qua trung điểm I BC M , N , I thẳng hàng  l= 2l = x + 5l    cho MN = lMI  ( x + ) AC − 3BC = 2l AC − BC   5l − = −3 x =   tồn l  Vậy x = đường thẳng MN qua trung điểm I BC Bài 16 Cho ba điểm cố định A , B , C ba số thực a , b , c cho a + b + c  a) Chứng minh có điểm điểm G thỏa mãn aGA + bGB + cGC = b) Gọi M , P hai điểm di động cho MP = aMA + bMB + cMC Chứng minh ba điểm G , M , P thẳng hàng Lời giải a) Chứng minh có điểm điểm G thỏa mãn aGA + bGB + cGC = Ta lấy điểm O thì: aGA + bGB + cGC = ( ) ( ) ( )  a OA − OG + b OB − OG + c OC − OG =  ( a + b + c ) OG = aOA + bOB + cOC  OG = ( aOA + bOB + cOC a+b+c ) Vậy G hoàn toàn xác định b) Gọi M , P hai điểm di động cho MP = aMA + bMB + cMC Chứng minh ba điểm G , M , P thẳng hàng Với điểm M ta có MG = ( ) aMA + bMB + cMC a+b+c Mặt khác MP = aMA + bMB + cMC Suy MG = MP a+b+c Vậy ba điểm G , M , P thẳng hàng Bài 17 Cho tam giác ABC Các điểm M , N thỏa mãn MN = 2MA + 3MB − MC a) Tìm I thỏa mãn 2IA + 3IB − IC = Fb: ThayTrongDgl Trang 64 CĐ TỰ LUẬN TỐN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ b) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Lời giải a) Tìm I thỏa mãn 2IA + 3IB − IC = ( ) ( ) Ta có 2IA + 3IB − IC =  IA + IB + IB − IC =  IH = BK Với H , P, K trung điểm AB, BC, BP Vậy I đỉnh hình bình hành BKHI b) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định ( ) ( ) ( Ta có MN = MI + IA + MI + IB − MI + IC ) = 4MI + 2IA + 3IB − IC = 4MI Vậy MN qua I cố định Bài 18 Cho tam giác ABC Các điểm M , N thỏa mãn MN = 2MA − MB + MC a) Tìm I thỏa mãn 2IA − IB + IC = b) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định c) Gọi P trung điểm BN Chứng minh đường thẳng MP qua điểm cố định Lời giải a) Tìm I thỏa mãn 2IA − IB + IC = Ta có 2IA − IB + IC =  2IA = CB  IA = CP Với H trung điểm BC Vậy I đỉnh hình bình hành CHAI b) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Ta có MN = 2MA − MB + MC ( ) ( ) ( = MI + IA − MI + IB + MI + IC Fb: ThayTrongDgl ) Trang 65 CĐ TỰ LUẬN TỐN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ = 2MI + 2IA − IB + IC = 2MI Vậy MN qua I cố định c) Gọi P trung điểm BN Chứng minh đường thẳng MP qua điểm cố định Do P trung điểm BN nên 2MP = MB + MN = 2MA + MC = 3MK + 2KA + KC = 3MK Với K thuộc cạnh AC CK = 2KA Chứng minh đường thẳng MP qua điểm cố định K  DẠNG TỐN 3: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ PHƯƠNG PHÁP Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức vectơ, ta biến đổi đẳng thức vectơ tập hợp điểm biết Chẳng hạn: • Tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng • Tập hợp điểm điểm cố định khoảng không đổi đường trịn có tâm điểm cố định bán kính khoảng khơng đổi Bài Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M trường hợp sau: b) MA + MB + MC = a) MA = MB Lời giải a) MA = MB +) Ta có MA = MB  MA − MB =  BA = Vì A B hai điểm phân biệt nên không tồn điểm M b) MA + MB + MC = Gọi G điểm thoản mãn GA + GB + GC = Khi MA + MB + MC =  3MG + GA + GB + GC =  3MG =  MG =  M  G Vậy tập hợp điểm M trọng tâm tam giác ABC Bài Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M trường hợp sau: a) MA + MB = MA − MB b) MA + MB + MC = MA + 2MB c) 2MA + MB = MA + 2MB Lời giải a) MA + MB = MA − MB Fb: ThayTrongDgl Trang 66 CĐ TỰ LUẬN TOÁN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ MA + MB = MA − MB  MA + MB = BA  MA + MB = AB Gọi I trung điểm AB , (1)  2MI + IA + IB = AB  2MI = AB  MI = Vậy tập hợp điểm M đường trịn tâm I , bán kính R = AB AB b) MA + MB + MC = MA + 2MB Gọi G trọng tâm tam giác ABC , I điểm thỏa mãn IA + 2IB = Biểu thức (*)  3MG = 3MI  3MG = 3MI  MG = MI Vậy tập hợp điểm M đường trung trực đoạn GI c) 2MA + MB = MA + 2MB Gọi I J điểm thỏa mãn: 2IA + IB = 0, JA + JB = Biểu thức (*)  3MI = 3MJ  3MJ = 3MJ  MI = MJ Vậy tập hợp điểm M đường trung trực đoạn IJ Bài Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho: a) MA + MB + MC = MB + MC b) 2MA + MB = 4MB − MC c) 4MA + MB + MC = 2MA − MB − MC Lời giải a) MA + MB + MC = MB + MC Gọi G trọng tâm ABC , I trung điểm BC Ta có: MA + MB + MC = 3 MB + MC  3MG = 2MI  MG = MI  MG = MI 2 Vậy, tập hợp điểm M đường trung trực đoạn GI b) 2MA + MB = 4MB − MC Gọi P, Q hai điểm thỏa mãn: 2PA + PB = , 4QB − QC = Ta có: 2MA + MB = 4MB − MC  3MP = 3MQ  MP = MQ  MP = MQ Vậy, tập hợp điểm M đường trung trực đoạn PQ c) 4MA + MB + MC = 2MA − MB − MC Gọi G trọng tâm ABC , K trung điểm AG Ta có: Fb: ThayTrongDgl Trang 67 CĐ TỰ LUẬN TỐN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ ( ) ( 4MA + MB + MC = 2MA − MB − MC  MA + MG = MA − MG  6MK = 3GA  MK = ) GA GA Vậy, tập hợp điểm M đường trịn tâm K bán kính R = 2 Bài Cho tam giác ABC a) Xác định điểm I cho: 3IA − 2IB + IC = b) Chứng minh đường thẳng nối hai điểm M , N xác định hệ thức: MN = 3MA − 2MB + MC qua điểm cố định c) Tìm tập hợp điểm H cho: 3HA − 2HB + HC = HA − HB d) Tìm tập hợp điểm K cho: KA + KB + KC = KB + KC Lời giải a) Xác định điểm I cho: 3IA − 2IB + IC = a) Gọi E trung điểm AC ( ) ( ) Ta có: 3IA − 2IB + IC =  IA − IB + IA + IC =  2BA + 2IE =  IE = AB Vậy, I đỉnh hình bình hành ABEI b) Chứng minh đường thẳng nối hai điểm M , N xác định hệ thức: MN = 3MA − 2MB + MC qua điểm cố định Ta có: MN = 3MA − 2MB + MC  MN = 2MI  M , N , I thẳng hàng Do đường thẳng nối hai điểm M , N qua điểm I cố định c) Tìm tập hợp điểm H cho: 3HA − 2HB + HC = HA − HB Ta có: 3HA − 2HB + HC = HA − HB  HI = BA  HI = Vậy, tập hợp điểm H đường tròn tâm I bán kính R = AB AB d) Tìm tập hợp điểm K cho: KA + KB + KC = KB + KC Gọi G trọng tâm ABC , F trung điểm BC Ta có: KA + KB + KC = KB + KC  KG = KF  KG = KF Vậy, tập hợp điểm K đường trung trực đoạn GF Bài Cho tam giác ABC a) Xác định điểm I cho IA + 3IB − 2IC = Fb: ThayTrongDgl Trang 68 CĐ TỰ LUẬN TỐN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ b) Xác định điểm D cho 3DB − 2DC = c) Chứng minh ba điểm A, I , D thẳng hàng d) Tìm tập hợp điểm M cho MA + 3MB − 2MC = 2MA − MB − MC Lời giải a) Xác định điểm I cho IA + 3IB − 2IC = IA + 3IB − 2IC =  IA + IB + 2IB − 2IC = ( )  2IE + IB − IC = , với E trung điểm AB  2IE + 2CB =  IE = −CB  IE = BC Vậy điểm I thoả mãn IECB hình bình hành b) Xác định điểm D cho 3DB − 2DC = 3DB − 2DC =  DB + 2DB − 2DC = ( )  DB + DB − DC =  DB + 2CB =  DB = −2CB  DB = 2BC Vậy điểm D thẳng hàng với B, C D thuộc tia đối tia BC thoả mãn DB = 2BC c) Chứng minh ba điểm A, I , D thẳng hàng Có IE = BC DB = 2BC ( nên DB = 2IE  DI + IA + AB = IA + AE )  DI + IA + AB = 2IA + AE  DI + AB = 2IA − IA + AB  DI = IA Vậy ba điểm A, I , D thẳng hàng d) Tìm tập hợp điểm M cho MA + 3MB − 2MC = 2MA − MB − MC Fb: ThayTrongDgl Trang 69 CĐ TỰ LUẬN TỐN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ MA + 3MB − 2MC = 2MA − MB − MC (  MI + 3MI − 2MI + IA + 3IB − 2IC = 2MA − MB + MC )  MI + 3MI − 2MI + = 2MA − 2MJ  2MI = JA  IM = AJ , với J trung điểm BC Vậy tập hợp điểm M đường tròn tâm I , bán kính R = AJ , với J trung điểm BC Bài Cho điểm O cố định hai vectơ u , v cố định Với số m ta xác định điểm M cho OM = mu + (1 − m ) v Tìm tập hợp điểm M m thay đổi Lời giải Từ O dựng OA = u ; OB = v A, B cố định ( ) OM = mOA + (1 − m) OB  OM = m OA − OB + OB ( )  OM − OB = m OA − OB  BM = mBA Từ suy A, B, M thẳng hàng Vậy tập hợp điểm M đường thẳng AB Bài Cho ABC ba vectơ cố định u, v, w Với số thực t , ta lấy điểm A, B, C cho AA = tu , BB = tv , CC = tw Tìm quỹ tích trọng tâm G ABC t thay đổi Lời giải Gọi G trọng tâm ABC , đó: 3GG = GA + GB + GC = GA + AA + GB + BB + GC + CC ( ) = GA + GB + GC + AA + BB + CC = AA + BB + CC = tu + tv + tw ( =t u+v+w ) Đặt  = u + v + w vectơ  cố định GG = t Trường hợp 1: Nếu  = điểm G trùng với điểm G Trường hợp 2: Nếu   quỹ tích điểm G đường thẳng qua G song song với giá vectơ  Bài Cho tứ giác ABCD Với số k tùy ý, lấy điểm M , N cho AM = k AB , DN = kDC Tìm tập hợp trung điểm I đoạn thẳng MN k thay đổi Fb: ThayTrongDgl Trang 70 CĐ TỰ LUẬN TỐN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ Lời giải Gọi O, O trung điểm AD BC Khi đó: OO = ( OB + OC ( = OA + AB + OD + DC = AB + DC ( ) ) ) Tương tự, O I trung điểm AD MN nên: OI = ( AM + DN ) = ( k AB + DC ) = kOO Do đó: k thay đổi, tập hợp điểm I đường thẳng OO Bài Cho năm điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Gọi  tam giác có ba đỉnh lấy năm điểm đó, hai điểm cịn lại xác định đoạn thẳng t Chứng minh với cách chọn  khác nhau, đường thẳng qua trọng tâm tam giác  trung điểm đoạn thẳng t qua điểm cố định Lời giải Giả sử năm điểm khơng có ba điểm thẳng hàng A , B , C , D , E Gọi G điểm thỏa mãn: GA + GB + GC + GD + GE = (1)  G điểm cố định Gọi G trọng tâm  qua ba đỉnh A , B , C  GA + GB + GC = 3GG ( ) M trung điểm hai đỉnh lại D , E  GD + GE = 2GM ( ) Từ (1) , ( ) ( 3)  3GG + 2GM =  G , G , M thẳng hàng Suy điều phải chứng minh Bài 10 Cho tam giác ABC , I trung điểm đoạn thẳng AB Một đường thẳng d thay đổi qua I , cắt hai đường thẳng CA, CB A ', B ' Chứng minh giao điểm M AB ' A ' B nằm đường thẳng cố định Fb: ThayTrongDgl Trang 71 CĐ TỰ LUẬN TỐN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ Lời giải A M I A' B C B' Đặt CB = mCB , MB = nMA Xét tam giác ABB với ba đường đồng quy AC , MB B I Vì IA = − IB nên theo định lí Xê- va, ta có −mn = −1 hay mn = Từ MB = nMA ta suy mMB = mnMA = MA Vậy ta có CB = mCB MA = mMB , điều chứng tỏ CM // AB Vậy điểm M nằm đường thẳng cố định qua C song song với AB ……………………………………… Hết…………………………………… Fb: ThayTrongDgl Trang 72 ... hai vectơ không phương u v Có hay khơng có vectơ phương với hai vectơ đó? Lời giải Có, chọn vectơ vectơ , vectơ phương với vectơ Bài Cho ba vectơ phương u , v , w Chứng tỏ có hai vectơ ba vectơ. .. véctơ a a = b a ; b hai vectơ ngược hướng Kí hiệu: b = −a • Nếu a vectơ đối véctơ b b vectơ đối vectơ a hay − ( − a ) = a • Mỗi vectơ có vectơ đối Vectơ đối AB BA • Vectơ đối Định nghĩa hiệu... DẠNG TOÁN 2: TÌM MƠĐUN VECTƠ PHƯƠNG PHÁP Để tính a  b  c  d ta thực theo hai bước sau: Fb: ThayTrongDgl Trang 32 CĐ TỰ LUẬN TOÁN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ • Bước 1: Biến đổi rút gọn biểu thức vectơ