Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC.. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.[r]
(1)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Họ và tên: NĂM HỌC 2016 ………………………… 2017 Lớp: ………… Môn: Toán – Khối: Trường THCS An Hòa (NV1) Thời gian: 90 phút (không kể phát đề) Điểm Mã phách Chữ ký GT Chữ ký GT ……………………… ……………………… … Mã phách Bài 1:(4 điểm) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A B biết: A = 10x2 – 7x – và B = 2x – 2x x2 2x x2 3x A( ):( ) 2x x 4 2 x x x3 : (5 điểm) Cho biểu thức : Bài a) Tìm điều kiện xác định biểu thức A Rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Bài 3: (5 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = a b c x y z x2 y z 0 1 1 b) Cho a b c và x y z Chứng minh : a b c Bài 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH (H BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vuông góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m = AB b) Gọi M là trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM và BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM GB HD = BC AH + HC c) Tia AM cắt BC G Chứng minh: Bài làm phần tự luận …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… (2) …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… (3) …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… (4) …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… (5) …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………………… …………………………………………………………………… .………………………………… Hướng dẫn chấm Đề (NV1) Đáp án Biểu điểm Bài 1(4 điểm): a) x3 - 5x2 + 8x - = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) =(x–1)(x–2)2 A 10x 7x 5x 2x 2x b) Xét B Với x Z thì A B x Z ( 2x – 3) Mà Ư(7) = 1;1; 7;7 x = 5; - 2; ; thì A B 0,5 đ 0,5 đ 1,0 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Bài 2(5 điểm): a) *Điều kiện xác định A: 2 x x 2 x x x 2 x x x x 2 x 1đ * Rút gon A : x x2 2x x2 3x (2 x)2 x (2 x)2 x (2 x) A( ):( ) x x x x x3 (2 x)(2 x) x( x 3) 0,5 đ x x x(2 x) x( x 2) x(2 x) 4x2 (2 x)(2 x) x (2 x)(2 x)( x 3) x Vậy với x 0, x 2, x thì A 4x x 3 x2 x 0, x 3, x 2, ta có: A 0 x 3 b) Với x x 3(TMDKXD) Vậy với x > thì A > x x 11(TMDKXD ) c) x x 4 x 3( KTMDKXD ) 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 1,0 đ (6) 121 Với x = 11 thì A = Bài (5 điểm): a) 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) 2 Do : ( x 1) 0;( y 3) 0; ( z 1) Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1;3;-1) a b c ayz+bxz+cxy 0 0 x y z xyz b) Từ : ayz + bxz + cxy = Ta có : x y z x y z ( )2 a b c a b c x2 y2 z2 xy xz yz 2( ) a b c ab ac bc x2 y z cxy bxz ayz 2 1 a b c abc x2 y2 z2 1 a b c 0,5 đ 1,0 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ Bài 4(6 điểm): a) Hai tam giác ADC và BEC có: Góc C chung CD CA CE CB (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng) 1đ Do đó ADC BEC (c.g.c) Suy ra: BEC ADC 135 (vì tam giác AHD vuông cân H theo giả thiết) Nên AEB 45 1đ (7) Do đó: tam giác ABE vuông cân A Suy ra: BE AB m BM BE AD b)Ta có: BC BC AC (do BEC ADC ) mà AD AH (tam giác AHD vuông cân H) BM AD AH BH BH AB BE (do ABH CBA ) nên BC AC AC Do đó BHM BEC (c.g.c) 0 Suy ra: BHM BEC 135 AHM 45 c)Tam giác ABE vuông cân A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC GB AB AB ED AH HD ABC DEC ED / / AH HC HC Suy ra: GC AC , mà AC DC GB HD GB HD GB HD BC AH HC Do đó: GC HC GB GC HD HC Mọi cách giải đúng khác đạt điểm tối đa ….oOo… 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 1đ 0,75đ (8) PHÒNG GD- ĐT AN LÃO TRƯỜNG THCS AN HÒA ĐỀ (ĐỀ XUẤT) THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2016-2017 MÔN TOÁN- KHỐI 9-THỜi GIAN 90 PHÚT Đề 2: Bài 1: (5 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x2 + 6x + b) x4 + 2017x2 + 2016x + 2017 c) (x + 1).(x + 2) (x + 3).(x + 4) + Bài 2: (4 điểm) Giải các phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 x 1 x x x x x b) 2018 2017 2016 2015 2014 2013 a 3 a a 2 a 3 a P (1 ):( ) a 9 a 3 a a a 6 Bài 3: (5 điểm): Cho a) Rút gọn P b) Tìm a Z để P Z c) Tìm a để P+ P = Bài 4: (6 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F là hình chiếu B và D xuống đường thẳng AC Gọi H và K là hình chiếu C xuống đường thẳng AB và AD a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 -HẾT- (9) Hướng dẫn chấm Đề 2: Đáp án Bài (5 điểm): a) x2 + 6x + = x2 + x + 5x + = x(x+1) + 5(x+1) = x 1x 5 b) x4 + 2017x2 + 2016x + 2017 = x4 – x + 2017x2 + 2017x + 2017 = x(x3 – 1) + 2017(x2 + x + 1) = x(x – 1) (x2 + x + 1) + 2017(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 2017) 2 c) (x + 1).(x + 2).(x + 3).(x + 4) + = x x 4x x 6 Đặt y = x x , ta được: (x + 1).(x + 2).(x + 3).(x + 4) + 1= (y – 1)(y + 1) + 2 = y + = y = ( x x )2 Bài (4 điểm): a) Đặt y = x2 + x, ta được: y2 + 4y - 12 = ⇔ y2 + 6y - 2y -12 = ⇔ (y + 6)(y - 2) = ⇔ y = - 6; y = 2 * Với y = -6, ta có x + x = - vô nghiệm, vì x2 + x + > với x * Với y = 2, ta có x2 + x = ⇔ x2 + x - = ⇔ x2 + 2x - x - = ⇔ x(x + 2) – (x + 2) = ⇔ (x + 2)(x - 1) = ⇔ x = - 2; x = Vậy nghiệm phương trình đã cho là: x = - và x =1 x 1 x x x x x ⇔ b) 2018 2017 2016 2015 2014 2013 ( x 1 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) 2018 2017 2016 2015 2014 2013 Biểu điểm 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ (10) x 2019 x 2019 x 2019 x 2019 x 2019 x 2019 2018 2017 2016 2015 2014 2013 x 2019 x 2019 x 2019 x 2019 x 2019 x 2019 0 ⇔ 2018 2017 2016 2015 2014 2013 ⇔ ⇔ ( x 2019)( 1 1 1 ) 0 2018 2017 2016 2015 2014 2013 (1) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 1 1 Mà 2018 2015 ; 2017 2014 ; 2016 2013 1 1 1 0 Nên 2018 2017 2016 2015 2014 2013 Do đó: (1) x + 2019 = ⇔ x = -2019 0,25đ 0,5đ Vậy nghiệm phương trình đã cho là: x = - 2019 0,25đ Bài (5 điểm): a 3 a a 2 a 3 a P (1 ):( ) a a a a a a) a ( a 3) a 2 a (3 a )(3 a ) ):( ) ( a 3)( a 3) a a ( a 2)( a 3) a a 2 a (3 a ) (1 ):( ) ( a 3) a a ( a 2) a 2 : ( a 3) a 3 ( a 2) (ĐK : a ; a ) (1 b) P Z Z ( a 2) a Ư(3) 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ a 1 a 1 a a a 2 3 a 25 a 3 Vậy a = a = a = 25 thì P Z c) P P P P P a 2 a a 2 Kết hợp ĐKXĐ, ta có P<0 a Bài (6 điểm): (TMĐK : a ; a ) 1đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 (11) H C B F O E A D K a)Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF Chứng minh : BEO DFO( g c g ) => BE = DF Suy : Tứ giác : BEDF là hình bình hành b)Ta có: ABC ADC HBC KDC Chứng minh : CBH CDK ( g g ) CH CK CH CD CK CB CB CD c)Chứng minh : AFD AKC ( g g ) AF AK AD AK AF AC AD AC Chứng minh : CFD AHC ( g g ) CF AH CD AC 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 1,0 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 CF AH AB AH CF AC AB AC 0,5 Mà : CD = AB Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC 0,25 Mọi cách giải đúng khác đạt điểm tối đa ….oOo… (12)