Tải về Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 trường THCS Lương Thế Vinh

Mỗi lần ta xóa đi hai số nào đó và thay bằng tổng hoặc hiệu của chúng.. Sau một số lần như vậy thì trên bản chỉ còn lại một số..[r]

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2019-2020 TRƯỜNG THCS LƯƠNG THẾ VINH Bài (4,0 điểm)  x x2 x   1   x  0 A     :   x  x  x  x    x 1 x    x 1   Cho biểu thức  125 x 4  3    3  27  Tính giá trị biểu thức 125   9 27   Bài (4,0 điểm) 2 a) Giải phương trình x  10 x  x  x 6 x  b) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x  y 3xy  Bài (4,0 điểm) P x  xy  y xy  x  y  a) Cho x, y  Tìm GTNN b) Tìm 2019 số tự nhiên liên tiếp mà đó không có số nguyên tố nào ? Bài (6,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD Gọi H và K là hình chiếu A, B trên CD a) Khi OAC là tam giác đều, hãy giải tam giác ABC b) Chứng minh HC KD c) Chứng minh S AHKB S ABC  S ABD Bài (2,0 điểm) Viết 150 số tự nhiên 1,2,3, ,150 lên bảng Mỗi lần ta xóa hai số nào đó và thay tổng hiệu chúng Sau số lần thì trên còn lại số Hỏi có nào số đó là 100 không ? ĐÁP ÁN Bài Ta có:  x x2 x   1  A     :  x  1  x  x  x  x    x 1  x 3 x x x 2   x   :    x  x 3 x  x    x  x 1         x   x                  x  1 x  1   x  1 x  1   x  x  1 x x1 x x 1 x Mà:  125 125  125 125 x   3 9 x 4  3    3 9  3 9   27 27  27 27   x  6  x  x  80 x  384 0   x    x  x  96  0 64  x 4  x  0    x 4(tm)   x    92 0(ktm)  x  x  96 0 Thay x 4(tmdk ) vào A, ta được: A  1  2 Bài a) ĐK: x 1 a  x  10 x 0  4a  5b 60 x  Đặt b 4 x  x 0 Khi đó phương trình trở thành: 20a  10b 4a  5b  30   4a  20a  25    5b  10b   0  a    2a     b  1 0    b 1 2  a  2,  b 1 Với  ta có: 5   x  10 x   1  x  x  25  5 x  10 x     4 x  x 1  x  x      x  1 0    x  1     x   tm  2 x  0 Vậy x b) Ta có: x  y 3 xy   x  y 9 xy  27  y   3x     3x  26    x   y  1 26  3 y  1 y   *)Th1:   (ktm)  x  26  1  x 26 3 y  26 *)Th :    x   3 y   *)Th3:    x  26  25  y   3 y   26  *)Th :   ( ktm)  x   x   3 y  2 *)Th5 :   1  x 13  y 1 (tm)   x  3 y   13 *)Th7 :   1  x  Vậy  y 0 (tm)  x    y  (tm)   x 1  y 9 (tm)  x   3 y  13  *)TH :    x  (ktm)  1  3x 2 3 y   *)Th8 :   1  3x  13  x; y    0;9  ;  9;0  ;   4;1 ;  1;    Bài a) Ta có: x  xy  y  x  y   3xy x  y xy P    xy  x  y  xy  x  y  xy x  y Áp dụng bất đẳng thức Co  si cho hai số dương x, y ta x y x  y 2 xy  xy  Dấu " " xảy x  y Khi đó xy xy P  2   xy 2 xy Dấu " " xảy x  y   y  (ktm)  Min P   x  y Vậy b) Xét số tự nhiên A 2.3.4.5 2019.2020 Khi đó A chia hết cho các số 2;3;4;5; ;2019;2020 Xét dãy 2019 số tự nhiên liên tiếp : A  2, A  3, A  4, , A  2019, A  2020 Do A2  A  22  A   nên A  là hợp số Do A3  A  33 mà A    A  là hợp số Tương tự A  4; A  5; ; A  2019; A  2020 là hợp số Vậy dãy 2019 số tự nhiên liên tiếp A  2, A  3, A  4, , A  2019, A  2020 , đó không có số nguyên tố nào Bài a) Khi AOC thì AC OA OC R  AB  BC  AB  AC  4R  R R AC R  sin B     B 300  C 600 AB R b) Kẻ OI  CD  I là trung điểm CD và OI / / AH / / BK Lại có O là trung điểm AB  I là trung điểm HK  IH IK ; CI ID  CH DK c) Kẻ EF qua I và song song với AB  E  AH , F  BK   EHI FKI (ch  gn)  S AHKB S AEFB IM AB S ACB  S ADB  AB  CN  DP   AB.IM Lại có:  S AKHB S ACB  S ADB Bài Gọi tổng 150 số ban đầu là S 1     150    150  150 11325 S ab Giả sử xóa hai số a, b và thay a  b a  b thì ta có tổng là : S1  a  b S1  a  b Ta có:  S1  a  b    S  a  b  2S  2a  2b và  S1  a  b    S  a  b    S  a  b  2S  2a chắn nên tổng lúc đầu và tổng lúc sau luôn cùng tính chẵn lẻ mà tổng ban đầu là số lẻ nên tổng lúc sau không thể 100