Suy ra tứ giác CDFE nội tiếp đờng tròn theo định lý... ta phải chứng minh đúng với n=k+1 nghĩa là.[r]
(1)Thi vµo §¹i HäcQuèc Gia Hµ néi-§¹i Häc KHoa häc Tù nhiªn Vßng 1(Ngµy th¸ng n¨m 2007) C©u 2 a-Gi¶i ph¬ng tr×nh x −1❑ +√ x=√ x − x+ √ x +1 (1) +¿ √¿ §KX§: x (1)⇔ √( x − 1)( x +1)+ √ x= √ x (2 x −1)+ √ x +1 ⇔ √(2 x − 1)( x +1) − √ x (2 x −1)− √ x +1+ √ x=0 ⇔ √2 x −1( √ x+ 1− √ x )−( √ x+1 − √ x)=0 ⇔( √ x +1− √ x )(√ x −1 −1)=0 ⇔ √2 x+1 − √ x=0 ¿ √ x −1 −1=0 ¿ ⇔ ¿ √ x+ 1=√ x ¿ √ x −1=1 ¿ x+ 1=x ¿ x − 1=1 ¿ x=− 1(∉dkxd : loai) ¿ x =1(∈dkxd ) ¿ ¿ ¿ ⇔¿ ¿ ¿ ¿ ⇔¿ ¿ ¿ ¿ ¿ VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x=1 b-Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh xy (x + y )=2 x + y + x+ y=4 ⇔ ¿ xy (x+ y)=2 ¿ x+ y ¿ −3 xy (x+ y)+( x+ y )=4 ¿ (∗) ¿ ¿ §Æt x+y=S;xy=P (®iÒu kiÖn S2 4P) (2) ⇔ SP=2 S3 −3 SP+ P=4 ⇔ (*) ¿ SP=2(1) S + P− 10=0(2) ¿{ ⇔(S − 2)(S + S+5)=0 ⇔ S=2 ¿ S +2 S +5=0 (Vonghiem ) (2) ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x+ y=2 xy=1 ¿{ ¿ Thay S=2 vào PT(1) ta có P=1,từ đó ta có hệ phơng trình theo Vi-ét đảo x;y là nghiệm phơng trình bậc 2 t2-2t+1=0 t −1 ¿ =0 ⇔ t=1 ⇔¿ VËy hÖ cã nghiÖm nhÊt (x;y)=(1;1) C©u 1-gi¶ sö x1;x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc 2: Chøng minh r»ng 5 x 1+ x lµ mét sè nguyªn Gi¶i: ta cã Δ❑=5>0 theo Vi-Ðt ta cã x2-4x+1=0 ¿ x 1+ x 2=4 x x 2=1 ¿{ ¿ x1 + x ¿ − x x 2=16 −2=14 ; ¿ x 1+ x ¿ − x1 x ( x 1+ x2 )=64 − 12=52 ¿ x + x 22=¿ 4=724 Z (®pcm) 5 2 3 2 x 1+ x 2=( x 1+ x2 )(x 1+ x2 )− x x2 (x 1+ x ) =14.52- 2-Víi a,b lµ c¸c sè nguyªn d¬ng cho a+1, b+2007 chia hÕt cho Chøng minh r»ng 4a+a+b chia hÕt cho Gi¶i: Ta cã: MÆt kh¸c a 16 b 2007 6 42 a 1(mod 2) a a b 1(mod 2) (4 a b) 0(mod 2) (4 a b) 2(*) a 4 0(mod 2) (3) a 16 b 20076 4 1(mod 3) a 2(mod 3) a a b 0(mod 3) (4 a b) 0(mod 3) (4 a b) 3(**) a 4 1(mod 2) Tõ (*),(**) vµ (2;3)=1 nªn 4a+a+b chia hÕt cho (®pcm) C¸ch kh¸c V× a+1, b+2007 chia hÕt cho nªn a chia cho d 5,b chia cho d Nªn a+b chia hÕt cho suy 4a+a+b chia hÕt cho (1) ; MÆt kh¸c a+b chia cho d 4a=(3+1)a =BS(3)+1; 4a chia cho d a Nªn +a+b chia hÕt cho (2); tõ (1) vµ (2 ) ta cã 4a+a+b chia hÕt cho vµ mµ (2;3)=1 nªn 4a+a+b chia hÕt cho (®pcm) C©u 3: M A HC O B D K O E F N -XÐt tø gi¸c CDFE ∠CEF= sd (MB+BF)(1) ∠ MDA= sd ( MA+BF )(2) Ma :MA =MB(3) Tõ (1) (2) (3 ) ta cã ∠ CEF= ∠ MDA Mµ Nªn ∠ CEF+ ∠ CDF=1800 ∠ MDA+ ∠ CDF=1800 Suy tứ giác CDFE nội tiếp đờng tròn (theo định lý) (®pcm) M A H C D O1 K B O2 E N b-Gọi O1;O2 là tâm đờng tròn ngoại tiếp Δ CAE; Δ BDF kÎ O1H F Ta cã ∠ KO2B= ∠ MFB (cïng b»ng nöa s® cung BD)(1) ∠ MBA= ∠ MFB(cïng b»ng nöa s® cung MB=cungMA)(2) CA; O2K BD (4) Tõ (1) ;(2) ta cã ∠ KO2B= ∠ MBA mµ ∠ KO2B+ ∠ KBO2=900 nªn ∠ O2BK+ ∠ MBA=900 suy MB BO2 t¬ng tù AO1 MA gäi AO1 vµ BO2 c¾t N ta có ∠ MAN= ∠ MBN=900 nên MN là đờng kính đờng tròn (O) nên N cố định (®pcm) C©u Víi a,b,c lµ c¸c sè thùc d¬ng tho¶ m·n abc=1 Chøng minh √a Ta cã ab+ a+1¿ ¿ bc+b+1 ¿2 ¿ ca +c +1¿ ¿ ¿ ¿ ¿ a ¿ Gi¶i : áp dụng bất đẳng thức Bnhiacôpsky cho dãy √ b ; √ c ; Va : √ a ; √ b ; √ c ; ab+ a+1 bc+ b+1 ca +c +1 ab+ a+1¿ ¿ bc+b+1 ¿ ¿ ca +c +1¿ a b c ¿≥ + + ab+ a+1 bc+b +1 ca +c +1 ¿ ¿ a ¿ (a+ b+c )¿ ( ) Mµ T= a b c a b abc2 + + = + + ab+ a+1 bc+b+1 ca+ c+ ab+ a+abc bc+b+1 ac+ abc2 +abc b bc 1+b+ bc T= + + = =1 bc+b+ bc +b+1 bc+ b+1 1+b+ bc Suy (5) ab+ a+1¿ ¿ bc+b+1 ¿2 ¿ ca +c +1¿ ¿≥1 ab+ a+1¿ ¿ bc+b+1 ¿2 ¿ ca +c +1¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ a ¿ ¿ (a+b+c )¿ DÊu “=”x¶y a=b=1 C¸ch kh¸c: a Tõ GT ab a bc thay vµo c¸c mÉu bc b bc b ; ac c bc b Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với ab c b b2c 2 (bc b 1) (bc b 1) (bc b 1) a b c (a b c)(bc b b 2c) (bc b 1) áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpsky cho dãy a ; b ; c , va : bc ; b ; b c Ta cã : (a b c)(bc b b c) ( abc b b b c c )2 (1 b bc)2 (®pcm) DÊu “=” x¶y a=b=c=1 Thi vµo §¹i HäcQuèc Gia Hµ néi-§¹i Häc KHoa häc Tù nhiªn Vßng 2(Ngµy th¸ng n¨m 2007) C©u 1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh (6) x 2+ y 2=5 (1) xy+ x+2 y=7 (2) ¿ ⇔(4 y + xy+ x 2)+(2 y+ x)=12 ¿ 2 y+ x ¿ +( y + x )−12=0 ¿ ¿{ ¿ ¿⇔ ¿ Víi 2y+x=3 thay vµo PT(2) ta cã 4xy=7-(2y+x)=7-3=4 ⇔ xy=1 Ta cã hÖ x+ y =3 xy=1 ⇔ ¿ x=3 −2 y y (3− y )=1 ¿ ⇔ x=3− y ¿ 2 y −3 y +1=0 ⇔ ¿ x=1 y=1 ¿ ¿ ¿ x=2 ¿ y=0,5 ¿ ¿ ¿ ¿ Víi 2y+x=-4 thay vµo PT(2) ta cã 4xy=7-(2y+x)=7+4=11 Ta cã hÖ ¿ x +2 y=− 4 xy=11 ⇔ ¿ x=−4 −2 y y (− − y)=11 ⇔ ¿ x=−4 −2 y 2 y +4 y +11=0( Vonghiem) ¿{ ¿ VËy hÖ cã nghiÖm (x;y)=(1;1);(2; ) 2)Gi¶i sö a,b,c lµ ba sè thùc d¬ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn b2 +c ≤ a2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P= 2 1 (b +c )+ a2 + 2 a b c ( ) Gi¶i: (7) 2 2 2 2 2 Ta cã P= b2 + c + a2 + a2 = b2 + a + c2 + a2 −3 b + c a a b c ( a b )( a c ) ( a a ) 2 áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho số dơng b2 va a2 ; c a2 va a b a2 c 2 2 2 2 4b a 4c a b +c b +c a P≥ +2 −3 =4 +4 −3 ≥ −3 =5 2 2 a b a c a a a √ Min(P)=5 ¿ 4b a2 = a2 b2 4c a2 = 2 a c 2 b +c =a2 ⇔ ¿ b 4=a 4 c 4=a4 b2 +c 2=a2 a √2 ⇔b=c= ¿{{ ¿ √ ( ) ( ) C©u 1)T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh 5x2+y2=17+2xy(1) Gi¶i (1) ⇔ 5x2-2yx+y2-17=0 (2) coi PT(2) lµ ph¬ng tr×nh bËc Èn x tham sè y đê PT(2) có nghiệm nguyên điều kiện cần là Δ❑ chính phơng Ta cã Δ❑ =y2-5(y2-17)=85-4y2 85; Δ❑ chÝnh ph¬ng; Δ❑ lÎ Δ❑ =1 ⇒ 4y2=84 ⇔ y2=21 (kh«ng chÝnh ph¬ng lo¹i) Δ❑ =9 ⇒ 4y2=76 ⇔ y2=19(kh«ng chÝnh ph¬ng lo¹i) Δ❑ =25 ⇒ 4y2=60 ⇔ y2=15(kh«ng chÝnh ph¬ng lo¹i) ❑ Δ =49 ⇒ 4y2=36 ⇔ y2=9 ⇔ y=3 hoÆc y=-3 thay vµo ta cã x=2 hoÆc x=-2 Δ❑ =81 ⇒ 4y2=4 ⇔ y2=1 ⇔ y=1 hoÆc y=-1 thay vµo ta cã x=2 hoÆc x=-2 Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (x;y)=(2;1);(2;3);(-2;-1);(-2;-3) 2)Tìm tất các số nguyên tố p để p4+2 là số nguyên tố Gi¶i V× p4+2 lµ sè nguyªn tè nªn p lÎ +xÐt p=3 th× p4+2=83 lµ sè nguyªn tè +víi p>3 th× p4 chia cho d nªn p4+2 chia hÕt cho nªn kh«ng lµ sè nguyªn tè VËy p=3 (8) C©u3 E D F K B C O H A a-Gäi AB c¾t CD t¹i K.CB c¾t AD t¹i H Ta cã tam gi¸c COD;AOB vu«ng c©n nªn ∠ KCA= ∠ KAC=450 nªn CKA vu«ng c©n t¹i K suy AK CD,theo Gi¶ thiÕt DO AC DO,AK c¾t t¹i B nªn B lµ trùc t©m tam gi¸c ACD (®pcm) b-Ta cã ∠ BFA= ∠ BAO =450 (Cïng b»ng nöa s® cung AB ) mµ CH AD nªn FHA vu«ng c©n t¹i H t¬ng tù ta cã ∠ CED= ∠ DCO =450 (Cïng b»ng nöa s® cung CD ) mµ CH AD nªn EHC vu«ng c©n t¹i H suy ∠ CFA= ∠ ECF=450 ë vÞ trÝ so le nªn CE//AF nªn tø gi¸c ACEF lµ h×nh thang cã EH+HA=CH+HF suy EA=CF nªn h×nh thang ACEF lµ h×nh thang c©n (®pcm) C©u Trong tø gi¸c låi cã ba c¹nh b»ng vµ b»ng a(a lµ sè d¬ng cho tríc) H·y t×m tø gi¸c cã diÖn tÝch lín nhÊt Gi¶i B A C D D/ Gi¶ sö h×nh tø gi¸c ABCD cã AB=BC=CD=a Ta cã SABCD lín nhÊt SACD;SABD lín nhÊt NÕu ∠ ACD 900 dùng tia Cx CA Trªn Cx lÊy D/ cho CD/=a ta cã SACD SACD/ dÊu “=” x¶y CD CA VËy SACD lín nhÊt Khi CD CA,T¬ng tù SABD lín nhÊt Khi AB BD,Vậy SABCD lớn tứ giác ABCD là hình thang cân nội tiếp đờng tròn đờng kính AD, đó AD=2a Max(SABCD)= a √ (®vdt) C©u Cho dãy số a0, a1,a2, …,an đợc xác định công thức a0=0; √ an +1=2 √ an+ √3 (1+an ) ,Chøng minh r»ng an = [ ( 2+ √ )n − ( − √ )n ] Gi¶i : Sö dông ph¬ng ph¸p quy n¹p n=0 ta có a0=0 (đúng) giả sử đúng với n=k nghĩa là a k = [ ( 2+ √ )k − ( − √ )k ] (9) a k+1= ta phải chứng minh đúng với n=k+1 nghĩa là k+1 k+1 ( 2+ √ ) − ( 2− √ ) ] [ k k ( 2+ √3 ) − ( − √ ) ] [ ¿ 2− √3 ¿2 k −2 ¿ − √3 ¿k 2+ √3 ¿ k + ¿ ¿ ¿2 ¿ − √3 ¿k 2+ √3 ¿ k + ¿ ¿ 2− √ ¿ k − √ ¿ 2− √ ¿ k+1 k +1 k+1 2+ √ 3¿ k+1 −¿ ⇔ ak+ 1= [ ( 2+ √ ) − ( 2− √3 ) ] (dpcm) ¿ 2+ √ ¿k 1+ √ − ¿ ¿ ¿ ¿ 2+ √ 3¿ k + ¿ 4+ ¿ 3¿ ¿ k k √ ak +1=2 √ ak + √ 3(1+a k )=2 [ ( 2+ √ ) − ( − √ ) ]+ √¿ 1+ Theo gi¶ thiÕt ( ) ( C©u ) Thivµo líp 10 hÖ chuyªn §¹i häc s ph¹m Hµ néi Vßng Dµnh cho mäi thÝ sinh (ngµy 11 th¸ng n¨m 2007) Cho a>2 chứng minh đẳng thức a2 − a −(a −1) √ a − 4+2 2 a +3 a −(a+1) √ a − 4+2 Gi¶i Biến đổi vế trái √ a+2 1− a = a −2 1+a (10) ital VT = a −3 a −(a − 1) √ a2 − +2 2 a +3 a −(a+ 1) √ a − +2 √ a+2 a−2 a+2 a−2 (a −1)(a −2)−( a −1) √ (a− 2)(a+2) a+2 2 (a −3 a+ 2) −(a −1) √ a − 4+ ¿¿ ital VT = a −2 (a+ 1)( a+2)−(a+1) √ (a −2)(a+ 2) √a+ 2− √ a −2 ¿ a+2 √ √ a− ¿ (a+1)( √ a+2) ¿ (a− 1)( √ a− 2)( √ a− 2− √ a+2) ital VT =¿ ital VYT = ¿ (a2 +3 a+2)−(a+1) √ a2 − 4+¿ √ √ C©u Cho hµm sè y=x2 , y=-x+2 1.Xác định toạ độ giao điểm hai đồ thị đã cho và toạ độ trung điểm I AB biết A có toạ độ dơng 1.Xác định toạ độ M thuộc y=x2 cho tam giác MAB cân M Gi¶i 1.toạ độ A, B là nghiệm hệ y= x2 y=− x+2 ⇔ ¿ y =− x +2 x 2+ x −2=0 ⇔ ¿ y =− x +2 x=1 ¿ x=− ¿ ¿⇔ ¿ x=1; y =1 ¿ ¿ x=−2 ; y=4 ¿ ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿ Vì A có toạ độ dơng nên A(1;1) ; B(-2;4) Toạ độ trung điểm I AB là xI x I = 1+(−2) 1+ −1 =− ; y I = = ; Vay : I ; 2 2 2 ( ) Gọi điểm M thuộc y=x2 thì M có toạ độ M(xM;xM2) vì tam giác MAB cân nên MA=MB ta cã MA2=(xM-1)2+(xM2-1)2;MB2=(xM+2)2+(xM2-4)2 MA=MB nªn (xM-1)2+(xM2-1)2=(xM+2)2+(xM2-4)2 ⇔ xM2- xM-3=0 (11) 1+ √ 13 7+ 13 ⇒ y M1 =x2M 1= √ ; 2 − √ 13 ¿ 1− √ 13 x M 2= ⇒ y M 2=x 2M 2= ❑ ❑ Δ=13 ; x M 1= Cã ®iÓm M tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n 1+ √ 13 7+ √ 13 − √ 13 − √ 13 M ; ;M ; ( 2 ) ( 2 ) C¸ch kh¸c: Lập phơng trình đờng thẳng qua IM và vuông góc với đờng thẳng y=-x+2 Gọi phơng trình đờng thẳng d qua IM có dạng y=ax+b(a 0) V× d ®i qua I − ; ( 2) nªn x= −1 th× y= thay vµo y=ax+b ta cã 2 − a+ b= (1) 2 v× d y=-x+2 nªn a=1 thay vµo (1) ta cã b=3 ph¬ng tr×nh d ®i qua IM lµ y=x+3 ,v× M y=x2 nên hoành độ M thoả mãn phơng trình x2-x-3=0 Giải x = 1+ √13 ; x = 1− √ 13 toạ độ M 1+ √ 13 ; 7+ √ 13 ; M − √13 ; − √13 2 ( 2 ) ( 2 ) C©u Cho ph¬ng tr×nh x2+6x+6a-a2=0 (1) a lµ tham sè 1.Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm? Giả sử x1,x2 là hai nghiệm phơng trình Tìm a để x2=x13-8x1 Gi¶i 1.§Ó ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm Δ❑ ≥ Ta cã ❑ Δ ≥0 theo Vi-Ðt vµ Gt ta cã x1 + x 2=− ¿ x x 2=6 a − a2 x 2=x 31 − x ⇔ ¿ x + x 2=−6 x x 2=6 a − a2 x31 −7 x +6=0 ¿ ⇔ ¿ x 1=− − x (1) x1 x 2=6 a −a (2) ( x −1)( x − 2)( x +3)=0(3) ¿{{ ¿ ¿ ¿¿ a −3 ¿ ≥ 2.V× Δ❑=9 −(6 a − a2)=a2 −6 a+ 9=¿ (12) ⇔ x 1=1 ¿ x 1=2 ¿ (3) x 1=−3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Víi x1=1 thay vµo (1) x2=-7 thay x1,x2 vµo (2) ta cã a2-6a-7=0 ⇔ (a+1)(a-7)=0 ⇔ a=-1 hoÆc a=7 (*) Víi x1=2 thay vµo (1) x2=-8 thay x1,x2 vµo (2) ta cã a2-6a-16=0 ⇔ (a+2)(a-8)=0 ⇔ a=-2 hoÆc a=8 (**) Víi x1=-3 thay vµo (1) x2=-3 thay x1,x2 vµo (2) ta cã a2-6a+9=0 ⇔ (a-1)2=0 ⇔ a=3 (***) Tõ (*),(**),(***) ta cã a ∈ {− 2; − 1; ; ; } th× x2=x13-8x1 C©u (trang sau) C©u x+ 2¿ ¿ ¿ x2 ¿ Gi¶i ph¬ng tr×nh §KX§ x -2 Gi¶i x =6 ¿ x2 +6 x +2=0 ¿ x =√ ¿ x=− √ ¿ −3+ √3 x= ¿ − −√3 x= ¿ ¿ ¿ ⇔¿ ¿ ¿ 2 ( ) ⇔ x =( x +4 x + 4)(3 x2 −6 x −3) ⇔3 x +6 x − 16 x2 −36 x − 12 ¿ ⇔ x −18 x 2+ x −36 x +2 x −12=0 ¿ ⇔ ( x − 6)(3 x2 +6 x +2)=0 ⇔ VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm x 1=√ ; x 2=− √ ; x3 = − 3+ √ ; x 4= −3 − √ 3 (13) C©u5 A K Y X H O I B Z C 1.Xét điểm A,X,H,O,Y ta có ∠ AXO= ∠ AHO= ∠ AYO=900 theo quỹ tích đờng tròn điểm A,X,H,O,Y cùng nằm trên (O1) đờng kính AO.Mặt khác Δ AXY cân A nªn ∠ AXY= ∠ AYX= ∠ ABC= ∠ ACB ( cïng b»ng 180 −∠BAC ) ∠ AHX= ∠ AYX ( gãc néi tiÕp (O1) ch¾n cung AX) mµ ∠ AYX= ∠ ABC nªn ∠ AHX= ∠ ABC Ta cã ∠ ABC+ ∠ XHZ=1800 (kÒ bï ) nªn ∠ XBZ+ ∠ XHZ=1800 Nªn tø gi¸c BXHZ néi tiÕp (O2) (®pcm) T¬ng tù ∠ YCZ+ ∠ YHZ=1800 nªn tø gi¸c CYHZ néi tiÕp (O4) (®pcm) 2.GäiAZ c¾t (O) t¹i K,BH c¾t XZ t¹i I ta cã ∠ BHZ= ∠ BXZ (1)( néi tiÕp ch¾n cung BZ cña (O2) mÆt kh¸c ∠ BXZ= ∠ XKZ (2)( cïng b»ng nöa s® cung XZ cña (O) Từ (1) và (2) ∠ BHZ= ∠ XKZ vị trí đồng vị Nªn BH//XK hay IH//XK xÐt Δ KXZ cã H lµ trung ®iÓm KZ ( đờng kính vuông góc với dây) ,HI//XK nên I là trung điểm XZ hay BH ®i qua trung diÓm XZ (®pcm) T¬ng tù CH ®i qua trung ®iÓm YZ (®pcm) Thivµo líp 10 hÖ chuyªn §¹i häc s ph¹m Hµ néi Vßng Dµnh cho thÝ sinh thi vµo chuyªn To¸n-Tin (ngµy 12 th¸ng n¨m 2007) Cho biÓu thøc x+ 1 P= √ : ; Q=x −7 x +15 ( Víi x>0, x x √ x+ x+ √ x x − √ x 1.Rót gän P 2.Với giá trị nào x thì Q-4P đạt giá trị nhỏ Gi¶i C©u 1) (14) √ x (¿ x+ √ x +1) √ x ( √ x − 1) ¿ √ x +1 √ x +1 P= : = ¿ P= x √ x+ x+ √ x x − √ x √ x( ¿ x+ √ x +1) √ x (√ x − 1)( x +√ x+1)=x −1 Q-4P=x -7x +15-4(x-1)=(x4-8x2+16)+(x2-4x+4)-1=(x2-4)+(x-2)2-1 −1 √ x+ Min(Q-4P)=-1 x=2 C©u Cho c¸c sè x, y tho¶ m·n x4+x2y2+y4=4 (1) ; x8+x4y4+y8=8(2) TÝnh gi¸ trÞ A=x12 +x2 y2 +y12 Gi¶i (2) ⇔ (x4+y4)2-x4y4=8 (3) Tõ (1) ⇔ x4+y4=4-x2y2 (4) Thay vµo (3) Ta cã (4-x2y2 )2-x4y4=8 ⇔ 16-8x2y2+x4y4-x4y4=8 ⇔ x2y2=1 Thay vµo (4) ta cã x4+y4=3 A=x12 +x2 y2 +y12=(x4+y4)3-3x4y4(x4+y4)+x2y2 Thay x2y2=1 ,x4+y4=3 vµo A A=3 -3.3+1=19 C©u 1.TÜm tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d¬ng cho 2(x+y)+xy=x2+y2 2.Cho tam giác ABC cóđộ dài ba cạnh là a, b,c cho a2 +b2>5c2 Chøng minh r»ng c<a, c<b Gi¶i 2 2 2(x+y)+xy=x +y ⇔ x -(y+2)x+y -2y=0 (1) coi ph¬ng tr×nh (1) lµ ph¬ng tr×nh bËc Èn x tham sè y ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm nguyªn x ®iÒu kiÖn cÇn Δ lµ sè chÝnh ph¬ng Ta cã Δ =(y+2)2-4(y2-2y)=y2+4y+4-4y2+8y=16-3(y-2)2 16 ≤ Δ≤16 , Δ chÝnh ph¬ng Δ =0 ⇒ 3(y-2)2=16 (Lo¹i v× y Z ) Δ =1 ⇒ 3(y-2)2=15 ⇒ (y-2)2=5 (Lo¹i v× y Z ) 2 Δ =4 ⇒ 3(y-2) =12 ⇒ (y-2) =4 ⇒ y=4 hoÆc y=0 Víi y=4 thay vµo (1) ta cã :x2-6x+8=0 ⇔ (x-2)(x-4)=0 ⇔ x=2 hoÆc x=4 Víi y=0 thay vµo (1 )ta cã: x2- 2x=0 ⇔ x(x-2)=0 ⇔ x=0 hoÆc x=2 Δ =9 ⇒ 3(y-2)2=7 (Lo¹i v× y Z ) Δ =16 ⇒ 3(y-2)2=0 ⇒ y=2 thay vµo (1) ta cã x2-4x=0 ⇔ x(x-4)=0 ⇔ x=0 hoÆc x=4 V¹y ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (x;y)=(2;4);(4;4);(0;0);(2;0);(0;2);(4;2) 2.Tõ GT ta cã a2+b2>5c2 => (a+b)2>5c2+2ab Gi¶ sö c a,c b th× 2c a+b =>4c2 (a+b)2>5c2+2ab (V« lý) NÕu c a ,c<b hoÆc c<a,c b t¬ng tù VËy c<a,c<b (®pcm) C¸ch kh¸c: Gi¶ sö c a , ta cã a2 c2 (1) , MÆt kh¸c theo B§T tam gi¸c b<a+c 2c suy b2 4c2 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã a2+b2 5c2 tr¸i GT vËy c<a * Gi¶ sö c b ta cã b2 c2 (3) MÆt kh¸c theo B§T tam gi¸c a<a+c 2c suy a2 4c2 (4) Tõ (3) vµ (4) ta cã a2+b2 5c2 tr¸i GT vËy c<b VËy c<a,c<b (®pcm) C©u 4: A M C B G O F D E (15) 1.XÐt Δ AMG; Δ AME cã ∠ AMG chung, ∠ MAG= ∠ MEA (cïng b»ng ∠ GFD) Nên Δ AMG đồng dạng Δ EMA (g.g) AM MG = ⇔MA =ME MG (1) (®pcm) suy EM MA 2.XÐt Δ MBG vµ Δ MEC cã ∠ BMG chung ∠ MBG= ∠ MEC ( cïng bï víi ∠ GBC) Nên Δ MBG đồng dạng Δ MEC (g.g) MG MB suy = ⇔ ME MG=MB MC (2) MC ME Tõ (1) vµ (2) ta cã MA2=MB.MC=(AB-AM)(AC-AM)=AB.AC-AB.AM-AM.AC+AM2 ⇔ AB.AC=AB.AM+AC.AM AB AM AC AM AM AM 1 ⇔1= + ⇔ 1= + ⇔ = + (®pcm) AB AC AB AC AC AB AM AB AC C©u Chia h×nh ch÷ nhËt ABCD (AB=CD=4cm,AD=BC=3cm) A E P B N F G H D K M C Thành các đa giác AEFG,GDKHF,HKCMN,MNPB,PNHFE các đờng chéo đa giác này lu«n EN= √ EB2 +BN 2= √ 4+1= √5 V× cã ®iÓm mµ cã ®a gi¸c theo nguyªn t¾c §iRÝch-lª tån t¹i Ýt nhÊt ®iÓm thuéc mét ®a gi¸c kho¶ng c¸ch gi÷a ®iÓm nµy lu«n nhá đờng chéo đa giác VËy lu«n tån t¹i s¸u ®iÓm mµ kho¶ng c¸ch gi÷a chóng nhá h¬n hoÆc b»ng (®pcm) √ cm (16)