b Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1, d2 là mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó làm đường kính.. Do đó phương trình mặt cầu cần tìm là:.[r]
(1)SỞ GD & ĐT THÁI NGUYÊN TRƯỜNG THPT LƯƠNG NGỌC QUYẾN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN: TOÁN – LỚP 12 Thời gian làm bài 90 phút (không kể thời gian phát đề) y = 2x - x- Câu (2,5 điểm) Cho hàm số: a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Tìm tọa độ giao điểm đồ thị (C) và đường thẳng d: y = x + Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) các giao điểm đó Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình: log x + 2log (4 - x) <1 Câu (3,0 điểm) a) Tính môđun số phức z biết: z + 4i = - z p b) Tính tích phân: I = ò x sin xdx c) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ a b c A= + + b +16 c +16 a +16 biểu thức: Câu (1,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3a Hình chiếu vuông góc đỉnh S lên mặt đáy là điểm I thuộc cạnh AB cho BI=2AI và SI = 3a Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách hai đường thẳng AD, SC theo a Câu (2,0 điểm) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ïìï x = + t ï í y =- + 3t (t Î ¡ ) x - y - z +5 ïï = = - - và d2: ïïî z = t 1: d a) Chứng minh hai đường thẳng d1 và d2 chéo b) Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng d1, d2 Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu, cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh:…………………………………… Số báo danh:……………, Phòng thi:……… (2) HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA HỌC KỲ II, NĂM HỌC 2015 - 2016 CÂU Câu a) 1,5 b) 1,0 a) 1,5 y = 2x - x- MÔN TOÁN LỚP 12 ĐÁP ÁN ĐIỂM Cho hàm số: a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Tìm tọa độ giao điểm đồ thị (C) và đường thẳng d: y = x + Viết phương trình tiếp tuyến các giao điểm đó a) TXĐ: D = ¡ \ {1} * Giới hạn và tiệm cận: lim y = x®±¥ 0,25 => Tiệm cận ngang: y=2 lim y = +¥ ; lim y = - ¥ Þ x®1x®1+ Tiệm cận đứng x =1 y ' =- ( x - 1) 0,5 < 0, " x ¹ * Chiều biến thiên: Þ hàm số nghịch biến trên khoảng (- ¥ ;1), (1; +¥ ) và không có cực trị * Bảng biến thiên: - ¥ x æ ö ÷ ç ;0÷ y’ ç ç ÷ * Đồ thị cắt trục Ox điểm è2 øvà cắt Oy điểm (0;1) y -¥ y 0,25 +¥ 0,25 - +¥ f(x)=(2x-1)/(x-1) f(x)=2 x(t)=1 , y(t)=t x -8 -6 -4 -2 -2 0,25 -4 -6 -8 (3) b) 1,0 b) Phương trình hoành độ giao điểm d và (C) là: ìïï x - = x - éx = 2x - Û ê = x +1 Û íï ê x ¹ x- ëx = ïî Đường thẳng d cắt đồ thị (C) hai điểm M(0;1) và N(2;3) Phương trình tiếp tuyến M(0;1): y= - x +1 Phương trình tiếp tuyến N(2;3): y= - x +5 Vậy: có hai tiếp tuyến cần tìm là y = - x + và y = - x + Câu 1,0 0,5 0,5 Giải bất phương trình: log x + 2log (4 - x) <1 (1) ìïï x > í ï x <4 ĐK: ïî 0,25 0,25 Û log3 x (4 - x ) <1 Ta có: (1) Câu éx > Û x2 - x +3 > Û ê ê ëx <1 0,25 Vậy: bất phương trình đã cho có tập nghiệm: T = (0;1) È (3;4) a) Tính môđun số phức z biết: z + 4i = - z 0,25 p 3,0đ b) Tính tích phân: I = ò(e x + x sin x)dx c) Xét các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a b c A= + + b +16 c +16 a +16 a) 1,5 a) Đặt z=x+yi ( x; y Î ¡ ) Þ z = x - yi Ta được: x + ( y + 4)i = - x + yi ìï ìïï x = - x ï x= ï Û í Û í ïïî y + = y ïï ïî y = 2 Þ z = + 4i Þ z = 37 3 0,5 0,5 0,5 (4) b)1,0 Đặt ìïï u = x Þ í ïïî dv = sin xdx ìï du = dx ïï í ïïï v =- cos2 x î p p 1 Þ I =- xcos2x + òcos2 xdx 2 0 p p + sin x 4 Suy I= p I= c)0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 b +16 ³ 8b2 Suy Ta có a a b4 a b4 a b2 = (1 - )³ (1 ) = (1 ) 16 + b 16 b +16 16 8b 16 b b c2 c c a2 ³ (1 ) ³ (1 ) 4 16 + c 16 16 + a 16 Tương tự: ; A³ (ab + bc + ca ) (1) 16 128 Suy ra: Không tính tổng quát ta giả sử b nằm a và c, đó ta có: a (b - a )(b - c) £ 0,25 2 2 hay ab + bc + ca £ b(a + c ) = b(3 - b) Xét hàm số f (b) = b(3 - b) ; £ b £ ta f (b) £ f (1) = (2) 32 Từ (1) và (2) ta có Dấu đẳng thức xảy a=0; b=1; c=2 Vậy: minA= 32 A³ Câu 1,5 0,25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3a Hình chiếu vuông góc S lên mặt đáy là điểm I thuộc cạnh AB cho BI=2AI và SI = 3a Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách hai đường thẳng AD, SC theo a (5) a) S Ta có S ABCD = 9a K A D 0,5 H I B C VS ABCD = S ABCD SI = 9a 3 Vậy (đvtt) b) Ta có 0,5 AD / /( SBC ) Þ d ( AD; SC ) = d ( AD;( SBC )) = d ( A;( SBC )) Trong mp(SAB) kẻ AK ^ SB Þ AK ^ ( SBC ) Þ d ( AD; SC ) = AK 0,25 SB = SI + IB = 27 a + 4a = a 31 Ta có Þ AK = AB.SI 93a 93a = Þ d ( AD; SC ) = SB 31 31 0,25 Từ SB.AK=AB.SI Học sinh có thể giải cách tọa độ hóa bài toán Câu 2,0 đ a) 1,5 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ìï x = + t ïï í y =- + 3t (t Î ¡ ) x - y - z +5 ïï = = - - và d2: ïïî z = t 1: d a) Chứng minh d1 và d2 chéo b) Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng d1 và d2 d1 qua điểm M(4;1;-5) và có véc tơ phương a) r u = (3; - 1; - 2) 0,5 r v d2 qua điểm N(2;-3;0) và có véc tơ phương = (1;3;1) r r uuur [u, v] = (5; - 5;10) , MN = (- 2; - 4;5) 0,5 (6) r r uuur Þ [u , v].MN = 80 ¹ 0,5 Do đó d1 và d2 chéo b) 0,5 b) Mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng d1, d2 là mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung hai đường thẳng đó làm đường kính A Î d1 Gọi AB là đoạn vuông góc chung d1 và d2 với Þ A(4 + 3t ;1- t; - - 2t ) và B Î d Þ B(2 + s; - + 3s; s) uuu r Þ AB = (- - 3t + s; - + t + 3s;5 + 2t + s ) uuu rr ìï AB.u = ìïï AB ^ d1 ï Û í uuu í rr Û ïîï AB ^ d ïïîï AB.v = mà ìïï 7t + s =- Û í ïîï 2t +11s = 0,25 ìïï t =- Þ A(1; 2; - 3) í ïîï s = Þ B (3;0;1) Do đó phương trình mặt cầu cần tìm là: 0,25 ( x - 2) + ( y - 1) + ( z +1) = (Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác đúng cho điểm) (7)