Từ đó suy ra độ dài a, b, c là các cạnh của một tam giác Chú ý: 1 Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.. 2[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN QUẢNG XƯƠNG ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015 Ngày thi: 20/4/2015 Môn: Toán (Thời gian: 150 phút - không kể thời gian giao đề) x 1 x2 x x2 x P : x3 x x3 x x x 1 Câu (4 điểm): Cho biểu thức 1) Tìm điều kiện x để giá trị biểu thức xác định 2) Tìm giá trị x để giá trị P 3) Tìm giá trị x để Câu ( điểm): 1) Giải phương trình: P 1 x x 2x x 3 x 1 x 1 x 3 A x y y z z x xyz 2) Cho đa thức: a) Phân tích A thành nhân tử b) Chứng minh x, y, z là các số nguyên và x + y + z chia hết cho thì A - 3xyz chia hết cho Câu ( điểm): 1) Cho số a, b, c khác thỏa mãn điều kiện: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 a2 b2 c2 1 Chứng minh rằng: a 2bc b 2ca c 2ab 2) Hai công nhân cùng làm chung thì 12 hoàn thành xong công việc Họ làm chung với thì người thứ chuyển làm việc khác, người thứ hai làm xong công việc còn lại 10 Hỏi người thứ hai làm mình thì bao lâu hoàn thành xong công viêc ? Câu (7 điểm): 1) Cho hình bình hành ABCD có góc A = 120 Đường phân giác góc D qua trung điểm cạnh AB a) Chứng minh: AB = 2AD b) Gọi F là trung điểm cạnh CD Chứng minh: ADF là tam giác và AFC là tam giác cân c) Chứng minh AC vuông góc với AD 2) Cho tam giác ABC, tâm G (AB < AC) Qua G vẽ đường thẳng d AB AC 3 cắt các cạnh AB, AC D và E Chứng minh rằng: AD AE Câu (1 điểm): Cho a, b, c là các độ dài thỏa mãn điều kiện: a b2 c2 b2 c a c a2 b2 1 2ab 2bc 2ca Chứng minh rằng: a, b, c là các cạnh tam giác Họ tên: Số báo danh : Giám thị không giải thích gì thêm (2) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN QUẢNG XƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2014-2015 - MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Câu Nội dung 1) Điều kiện: x 0; x 1; x Điểm 1đ 2) Rút gọn: x 1 x x x2 x P : x3 x x3 x x x x x x x 10,25 x3 đx x3 x2 x x3 x x x x x 0,25 x đx( x 1) x3 x( x 1) x 1 0,25 đ x3 x x x 1 x2 1 x 1 Câu (4 đ) 0,5 đ Vì: x2 + > với x Do đó không có giá trị nào x để P =0 P 1 3) Vì nên P = P = -1 + Nếu: P = thì 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ x2 1 1 x x x x 1 0 x 0; x 1 x 1 hai giá trị này không thỏa mãn điều kiện + Nếu: P = -1 thì 0,25 đ 0,25 đ x 1 x x x x 0 x 1 với x Vây không có giá trị Câu (4 đ) nào x để 1) Điều kiện: P 1 x 1; x 3 Quy đồng mẫu thức và rút gọn ta đưa phương trình: 2x(x 3) = => x = (thỏa mãn); 0,25 1đ 0,5 đ 0,25 đ 1 x 2 (3) x = (không thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm phương trình là: x = 2a) Ta có: A x y y z z x xyz = (x + y + z)(xy + yz + zx) b) Vì x, y, z là các số nguyên và x + y + z nên A Mặt khác: x + y + z nên ba số x, y, z phải có ít số chẵn, suy ra: xyz => 3xyz Suy ra: A - 3xyz chia hết cho Câu ( đ) 1) Từ: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 => ab + bc + ca = => a2 + 2bc = a2 + bc – ab – ca = ( a – b)( a – c) Tương tự: b2 + 2ca = ( b – c)( b – a) ; c2 + 2ab = ( c – a)( c - b) Đặt: P a2 b2 c2 a 2bc b 2ca c 2ab Thay vào ta được: 1đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ a (b c ) b (c a ) c (0,25 a b)đ (a b)(b c)(c a ) (a b)(b c)(c a ) (a b)(b c)(c a ) 1 Vậy: a2 b2 c2 1 a 2bc b 2ca c 2ab 2) Gọi thời gian để mình người thứ hai làm xong công 0,25 đ 1,5 đ (4) việc là x (x > 12) Ta có phương trình: Câu (7 đ) 0,25 đ 10 1 12 x Giải ta có: x = 15 (thỏa mãn) Vậy người thứ hai hoàn thành mình xong công việc là 15 1a) Gọi E là trung điểm AB Ta chứng minh: ADE cân Suy ra: AD = AE, mà AE = EB = AB/2 => AB = 2AD 1đ 1đ 0,5 đ 0,5 đ b) + Xét ADF có AD = DF DF = AE =AB/2 (AB = DC) 0,5 d 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Suy ra: ADF là tam giác cân mà góc A = 1200 => góc D = 600 0,5 đ Vậy ADF cân và có góc 600 nên ADF là tam giác + Ta có: AF = FD = DC/2 mà FC = DC/2 => AF = FC Suy ra: AFC là tam giác cân c) Do ADF nên góc AFC = 1200 Theo câu b) AFC là tam giác cân nên góc ACF = 600/2 = 300 Xét ADC có: ADC + DCA = 600 + 300 = 900 => DAC = 900 hay: AC vuông góc với AD 0,5 đ (5) A D F 2) Gọi trung A B E C M là điểm D E G d I B BC Qua B vẽ đường thẳng // với d cắt AM I, ta có: M K AB AI (1) AD AG Qua C vẽ đường thẳng // với d cắt AM K, ta có: C 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ AC AK (2) AE AG Từ (1) và (2) suy ra: AB AC AI AK (3) AD AE AG Mặt khác: AI + AK = (AM - MI) + (AM + MK) = 2AM (4) (vì MI = MK BMI = CMK) Từ (3) và (4) suy ra: AB AC AM AM 3 AD AE AG AM Câu (1 đ) Nếu a, b, c là độ dài các cạnh tam giác thì: a < b + c; b < a + c và c < a + b Theo bài ta có: 0,25 đ a b2 c b c a c a 0,25 b2 đ 1 2ab 2bc 2ca c(a2 + b2 - c2) +a(b2 (6) + c2 - a2) + b(c2 + a2 b2) - 2abc > a2b + a2c + b2a + b2c + c a + c b - a - b3 c3 - 2abc >0 (*) Vì: (b + c - a)(c + a b)(a + b - c) = a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b - a3 - b3 - c3 - 2abc Nên (*) (-a + b + c) (a - b + c)(a +b - c) > Ta chứng minh ba thừa số dương tức: a b c a b c a b c 0,25 đ 0,25 đ b c a a c b a b c Từ đó suy độ dài a, b, c là các cạnh tam giác Chú ý: 1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu đáp án đúng thì cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định 2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải thống thực tổ chấm 3) Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn 4) Bài không vẽ hình thì không chấm điểm (7)