tap chi toan hoc C2THANH THIEU NIEN

Đây là một phương trình tích có chứa căn thức bậc hai, Để tránh cho học sinh có thể hiểu bài toán môt cách phức tạp vì phương trình có chứa căn bậc hai nên giáo viên hướng dẫn học sinh v[r]

Phòng giáo dục và đào tạo TƢ NGHĨA Tr-êng thcs NGHĨA THẮNG TẠP CHÍ TOÁN HỌC C2 & THANH THIẾU NIÊN Hä vµ tªn: Trƣơng Quang An §¬n vÞ c«ng t¸c: Tr-êng THCS NGHĨA THẮNG, SỐ : / LỚP /2016 Tạp chí toán học C2& THANH THIẾU NIÊN GIÁ 10.000 NGHÌN ĐỒNG LỜI TỰA : Để đáp ứng nhu cầu học tập học sinh và đáp ứng học hỏi các kiến thức học sinh thời đại Tôi chủ biên ‘’ TẠP CHÍ TOÁN HỌC C2 & THANH THIẾU NIÊN ‘’ với nhu cầu cấp thiết đó Tạp chí có các phần sau : Phần 1: Chuyên đề Phần 2: Đề kiểm tra tiết Phần 3: Đề thi học sinh giỏi toán cấp Huyện ,Tỉnh k6,7,8,9 Phần 4: Đề thi tuyển sinh khối 10 ( dành cho k9) PHÂN BỐ CÁC PHẦN Phần 1: Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH TÍCH I/ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH ĐƠN GIẢN * VÍ DỤ 1: Giải phương trình (x+1)(x+4)=(2–x)(2+x) Nhận xét : Hai tích không có nhân tử chung thì ta phải khai triển và thu gọn để tìm cách đưa dạng tích, đó để giải phương trình này ta cần thực hai bước Bƣớc : Đưa phương trình đã cho dạng phương trình tích cách chuyển tất các hạng tử từ vế phải sang vế trái và đổi dấu các hạng tử đó, vế phải 0, áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích vế trái thành tích Ta có : ( x + ) ( x + ) = ( – x ) ( + x )  (x+1)(x+4)–(2–x)(2+x)=0  x  x  4x   22  x2   x2  5x   x(2 x  5)  Bƣớc : Giải phương trình tích vừa tìm kết luận nghiệm x  x  x     x ( 2x + ) =   2 x   2 x  5  x    Tạp chí toán học C2& THANH THIẾU NIÊN GIÁ 10.000 NGHÌN ĐỒNG 5  Vậy nghiệm phương trình là : S = 0;   2  VÍ DỤ 2: Giải phương trình : x   x  3x   7 Tương tự ví dụ ta thực phép chuyển vế ta có : 3 x   x  3x    x   x  x  7 7 3  3  x   x  x    x  x   1  x   7  7  3  x 1  x   1  x    1  x   x  1  7  1  x   x 1    3  x 1  x   7   7 Vậy nghiệm phương trình là : S = 1;   3 VÍ DỤ : Giải phương trình : x2  x    Đối với phương trình này giáo viên cần hướng dẫn học sinh biến đổi vế trái dựa vào đẳng thức x2  x      Giải : Ta có :  x  x      x  1  22    x    x       x  3 x  1  x   x    x 1   x  1 Vậy nghiệm phương trình là S = 1;3 VÍ DỤ 4: 2 Giải phương trình :  x  1   x  1 x     x    Đối với phương trình này giáo viên cần hướng dẫn học sinh nhận đẳng thức bình phương tổng để áp dụng giải nhanh gọn việc nhân đa thức phân tích thành nhân tử Tạp chí toán học C2& THANH THIẾU NIÊN GIÁ 10.000 NGHÌN ĐỒNG Ta xem ( x- ) =A ; ( x + ) = B  phương trình có dạng ( A + B ) = 2 Giải : ta có  x  1   x  1 x     x      x  1   x      x  1   x      x 1  x  2   2x 1   x  1  x   Vậy nghiệm phương trình là : S =    2 VÍ DỤ : Giải phương trình :  x 2x 1     Đây là phương trình tích có chứa thức bậc hai, Để tránh cho học sinh có thể hiểu bài toán môt cách phức tạp vì phương trình có chứa bậc hai nên giáo viên hướng dẫn học sinh thực cách giải thông thường, vì 2; 3; coi là các hệ số thông thường  Giải : ta có    x 2x 1   x    x     x   x    1 2   1    Vậy nghiệm phương trình là : S =  ; 2     II/ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH BIẾN ĐỔI ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ ĐỂ PHÂN TÍCH ĐƢA VỀ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH TÍCH VÍ DỤ : Giải phương trình : x3  3x2  x  Đối với phương trình này thì học sinh có thể có các cách giải khác chẳng hạn đây ta có thể tham khảo hai cách giải sau 2 Cách : Ta có : x  3x  x   x  x  3x       x x  x  x   ( tách 3x = x + 2x )    x  x  x   x    ( nhóm hạng tử )  x  x  x  1   x  1  ( đặt nhân tử chung ) Tạp chí toán học C2& THANH THIẾU NIÊN GIÁ 10.000 NGHÌN ĐỒNG  x  x  1 x    ( đặt nhân tử chung ) x  x      x     x  1  x    x  2   Vậy nghiệm phương trình là : S = 0; 1; 2 Cách 2: Giải : Ta có x3  3x2  2x   x3  x2  2x2  2x  ( tách 3x2  x2  x2 )   x3  x    x  x    x  x  1  x  x  1      x  1 x  x    x  1 x  x    ( đặt nhân tử chung ) x 1   x  1    x   x   x    x  2   Vậy nghiệm phương trình là : S = 0; 1; 2 VÍ DỤ 2: Giai phương trình : y3  19 y  30  phương trình này đầu tiên chưa xuất nhân tử chung, không dạng đẳng thức nào Do giải giáo viên cần lưu ý cho học sinh cần sử dụng phương pháp nào đã biết để phân tích vế trái thành tích ( gợi ý phương pháp tách hạng tử ) đây ta cần tách hạng tử : -19y = - 9y – 10y Giải : Ta có : y3 19 y  30   y3  y 10 y  30     y  y    10  y  3   y  y    10  y  3   y  y  10 y  30   2  y  y  3 y  3  10  y  3    y  3  y  y  3  10       y  3 y  y  10      y  3 y  y  y  10    y  3 ( y  y)   y  10      y  3  y  y  5   y       y  3 y  5 y    Tạp chí toán học C2& THANH THIẾU NIÊN GIÁ 10.000 NGHÌN ĐỒNG y 3   y  3    y 5   y  y    y  2   Vậy nghiệm phương trình là : S = 3; 2;5 VÍ DỤ : Giải phương trình : y  y   Đối với phương trình này ta tách hạng tử 5y = 6y – y 3y2  y   Giải : Ta có :   3y2  y  y     y2  y   y  2   y  y  2   y  2    y  2 y 1   y  2 y      y  3 y       1 3 Vậy nghiệm phương trình là : 2;  VÍ DỤ : Giải phương trình : x3  14 x2  x  Đói với phương trình này bước đầu tiên ta phải biến đổi vế trái thành tích cách đặt nhân tử chung để biểu thức ngoặc đơn giản hơn, sau đó dung phương pháp tách hạng tử để đưa dạng tích   2 Giải : Ta có : x  14 x  x   x x  x        x x  x  x    x  x  x   x  3   x 2 x  x  3   x  3   x  x  3 x  1   x  2 x      x     x  3 2 x     x    1  Vậy nghiệm phương trình là : S = 0; 3;   2  VÍ DỤ 5: Giải phương trình : x  x  20  Tạp chí toán học C2& THANH THIẾU NIÊN GIÁ 10.000 NGHÌN ĐỒNG Đối với phương trình này vế trái chưa xuất nhân tử chung Do đó ta cần biến đổi để đưa vế trái dạng tích cách Tách hạng tử 9x = 4x + 5x 2 Giải: Ta có : x  x  20   x  x  5x  20   x  x   5x  20    x  x     x      x    x  4   x   x  5     x    x  5 Vậy nghiệm phương trình là : S = 4; 5 VÍ DỤ 6: Giải phương trình : x2  x   Ta biến đổi vế trái phương trình thành tích cách tách hạng Tử x = 3x – 2x sau đó nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung Giải : Ta có : x  x    x  3x  x     x  3x    x     x  x     x    2 x    x  3   x  3 x       x   x  Vậy nghiệm phương trình là : S = 3; 2 VÍ DỤ 7: Giải phương trình : x  3x   Đối với phương trình này có nhiều cách giải khác nhau, sau đây là số cách giải Cách 1: Tách hạng tử -3x = -2x - x x  3x    x  x  x   Ta có :  x2  x   x     x  x  1   x  1     x 1  x    x  1 x       x   x  Vậy nghiệm phương trình là : S = 1;2 Cách : Tách hạng tử = - + 2 Ta có : x  3x    x  3x      x2     3x      x   x     x      x    x    3    x   x 1  Tạp chí toán học C2& THANH THIẾU NIÊN GIÁ 10.000 NGHÌN ĐỒNG x   x     x 1  x  Vậy nghiệm phương trình là : S = 1; 2 3x  2.x Cách : Biến đổi Ta có : ; 2  4 x  3x    x  x    4 2  9 3  1    x  x       x  x         4         3 1     1    x         x      x      2 4     2    1    x    x       x  1 x    2  2  2  x 1  x    x   x  Vậy nghiệm phương trình là : S = 1; 2 III/DẠNG BIẾN ĐỔI PHƢƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐƢA VỀ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH TÍCH VÍ DỤ 1: Giải phương trình x  13x  36  Đây là phương trình bậc ẩn x để giải dạng phương trình này ta cần đặt biến phụ sau tìm giá tri biến phụ ta lắp giá trị đó vào biểu thức liên quan ban đầu để tìm nghiệm Ở đây ta đặt x  a (a  0) ta có cách giải sau Giải :Ta có : x 13x  36   a 13a  36   a  4a  9a  36    a  4a    9a  36   2  a  a  4   a      a   a    a   a1    a    a2    x  2 x  x a    x  3 x  Vì ta đặt Vậy nghiệm phương trình là : S = 2; 3 Tạp chí toán học C2& THANH THIẾU NIÊN GIÁ 10.000 NGHÌN ĐỒNG VÍ DỤ 2: Giải phương trình : x  5x   Để giải phương trình này giáo viên cần hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ là : Đặt x  a ( a  0) nên ta có cách giải sau Giải :Ta có : x  5x    2a  5a    2a  4a  a     2a  4a    a    ( tách 5a = 4a + a ) 2  2a  a  2   a  2    a   2a  1  ( nhóm và đặt NTC ) a  2 a      a    2a      x2   x  a   Vì đặt x     Điều này không thể xẩy vì x  với giá trị x phương trình đã cho vô nghiệm : tập hợp nghiệm phương trình là : S =  VÍ DỤ : Giải phương trình : x  x   ta biến đổi vế trái cách đặt ẩn phụ x  a ( a  0) để đưa dạng tích 2 Giải : Ta có : x  x    9a  6a     3a   2.3a  12    3a  1  2  3a    a   Trường hợp này không thể xẩy Vì đặt x2  a  x2   Vì x  với giá trị x Vậy phương trình vô nghiệm Tập hợp nghiệm phương trình là : S =  VÍ DỤ 4: Giải phương trình : x  x   Đặt x2  a (a  0) Ta có cách giải sau x  x2    2a2  7a    2a  8a  a     2a  8a    a     2a  a     a      a   2a  1  Tạp chí toán học C2& THANH THIẾU NIÊN GIÁ 10.000 NGHÌN ĐỒNG a  a      a  2a     2 Vì đặt x  a  x   x  2 Và : x   Loại Vậy nghiệm phương trình là : S = 2 VÍ DỤ : Giải phương trình : x  20 x  18  Đặt x  a ( a  0) nên ta có cách giải sau x4  20 x2  18   2a2  20 x  18    a  10a      a  9a  a        a  9a   a     a  a     a    a   a    a   a  1     a   a  Vì đặt x  a  x   x  3 Và : x   x  1 2 Vậy nghiệm phương trình là : S = 1; 3 IV: DẠNG BIẾN ĐỔI CÁC PHƢƠNG TRÌNH CÓ CHỨA ẨN Ở MẪU VỀ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH TÍCH Đây là dạng phương trình mà giải ta cần phải tìm điều kiện xác định phương trình Điều kiện xác định phương trình là tìm giá trị ẩn để mẫu thức khác không Sau đây là số ví dụ dạng phương trình này VÍ DỤ 1: Gi ải phương trình : x2   x  x x  x  2 (I) x  x     Điều kiện xác định phương trình là : x    x  Giải : Ta có  x  2 x   x  2  x2     (I) x  x x  x  2 x  x  2 x  x  2   x  2 x   x  2   x  x  x   x  x    x  x   x  x  1     x  1 x 1  10 Tạp chí toán học C2& THANH THIẾU NIÊN GIÁ 10.000 NGHÌN ĐỒNG Vì điều kiện xác định phương trình là : x  và x  Nên với x = loại Do đó nghiệm phương trình là : S = VÍ DỤ 2: Giải phương trình : 1  x  11 x2   ( II ) ĐKXĐ: x  2 x2 x2 x 4 Giải : Ta có :  x  11 x2   (II)  x2 x2 x2   x     x     x  11   x   x    x   x   Quy đồng mẫu hai vế   x     x     x  11 ( Nhân hai vế với  x   x   khử mẫu ) Khai triển chuyển vế thu gọn ta  x2  x  20   x2  x  5x  20  ( tách -9x = - 4x – 5x )  x  x   5x  20    x  x     x      x   x    x   x  5     x    x  Vì x = ; x = Thuộc tập xác định phương trình Vậy nghiệm phương trình là : S = 4;5 2x 1  x VÍ DỤ : Giải phương trình : x2 x2 Giải : Ta có : (III) ( III) ĐKXĐ : x2 2x 1  x  x  2 2x 1  x  x2 x2 x2 x2   x   x  x ( nhân hai vế với x – và khử mẫu )   x2  4x     x     x2   x  (Loại vì x = không thỏa mãn ĐKXĐ phương trình Vậy tập hợp nghiệm phương trình là : S = VÍ DỤ : Giải phương trình : x  1  x2  x x  ( IV ) ĐKXĐ : x  x3  x x    x  x  x 1 ( IV )  x2 x2    x3  x4   x   x3  x  1  x  11 Tạp chí toán học C2& THANH THIẾU NIÊN GIÁ 10.000 NGHÌN ĐỒNG     x  1 x  1  x  x  1    x  1  x  x  1   x  x  1  x  2x 12  14  34   x  2.x 12  14   34  x3 1  x   1  x    (1  x) x3   2 Vì 2 2 1  x   0 2    nên  x  1 x  x     x  1   x    x  Thỏa mãn điều kiện bài toán Vậy nghiệm phương trình là : S = 1 2 V: MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PHƢƠNG TRÌNH TÍCH KHÁC Tùy theo dạng phương trình mà ta có thể có cách biến đổi khác Để đưa phương trình đã cho dạng phương trình tích Sau đây là dạng phương trình đặc trưng VÍ DỤ 1: Giải phương trình : 2 x 1 x x 1   2014 2015 2016 Đây là phương trình áp dụng cách giải thông thường thì chúng ta gặp nhiều khó khăn Do đó để giải phương trình này ta sử dụng phương pháp sau Để biến đổi đưa phương trình đã cho dạng phương trình tích đơn giản Ta cộng thêm vào hai vế phương trình và biến đổi phương trình sau 2 x 1 x x 2 x  1 x  1    1    1 2014 2015 2016 2014  2015  2016  x 2016  x 2016  x    2014 2015 2016 2016  x 2016  x 2016  x    0 2014 2015 2016 1     2016  x     0 2014 2015 2016    2016  x   x  2016 Vì : 1   0 2014 2015 2016 Vậy nghiệm phương trình là : S = 2016 12 Tạp chí toán học C2& THANH THIẾU NIÊN GIÁ 10.000 NGHÌN ĐỒNG x 1 x  x  x  x  x       94 93 92 91 90 89 Cộng thêm vào hai vế phương trình ta  x 1   x    x    x    x    x    1    1    1    1    1    1   94   93   92   91   90   89  x  95 x  95 x  95 x  95 x  95 x  95       94 93 92 91 90 89 x  95 x  95 x  95 x  95 x  95 x  95       0 94 93 92 91 90 89 VÍ DỤ : Giải phương trình :  1 1 1    x  95          94 93 92 91 90 89   x  95   x  95 1 1 1      0 Vì : 94 93 92 91 90 89 Vậy nghiệm phương trình là : S = 95 VÍ DỤ 3: Giải phương trình : 59  x 57  x 55  x 53  x 51  x      5 41 43 45 47 49 Đối với phương trình này ta chuyển hạng tử -5 sang vế trái và tách Thành hạng tử hạng tử là đơn vị nên ta có cách giải sau 59  x 57  x 55  x 53  x 51  x      5 41 43 45 47 49  59  x   57  x   55  x   53  x   51  x    1    1    1    1    1  41 43 45 47 49           100  x 100  x 100  x 100  x 100  x     0 41 43 45 47 49 1 1    100  x       0  41 43 45 47 49   100  x   x  100  1 1     0 Vì : 41 43 45 47 49 Vậy nghiệm phương trình là : S = 100 VÍ DỤ : Giải phương trình : x 1 x  x  x  x  x       59 58 57 56 55 54 13 Tạp chí toán học C2& THANH THIẾU NIÊN GIÁ 10.000 NGHÌN ĐỒNG Để giải phương trình này giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh cộng thêm vào hai vế phương trình và tách thành nhóm sau x 1 x  x  x  x  x       59 58 57 56 55 54  x 1   x    x    x    x    x     1    1    1    1    1    1  59   58   57   56   55   54  x  60 x  60 x  60 x  60 x  60 x  60      59 58 57 56 55 54 x  60 x  60 x  60 x  60 x  60 x  60       0 59 58 57 56 55 54 1 1     x  60           59 58 57 56 55 54    x  60   x  60 1 1 1      0 Vì : 59 58 57 56 55 54 Vậy nghiệm phương trình là : S = 60 VÍ DỤ 5: Giải phương trình : x  x  15 x  25 x  1990 x  1980 x 1970      1990 1980 1970 15 25 Đối với phương trình này giáo viên hướng dẫn cho học sinh trừ hai vế đơn vị và tách phần và ta có cách giải sau x  x  15 x  25 x  2015 x  2005 x  1995      2015 2005 1995 15 25  x    x  15   x  25   x  2015   x  2005   x 1995    1    1    1    1    1    1  2015   2005   1995     15   25  Giải :   x  2020 x  2020 x  2020 x  2020 x  2020 x  2020      2015 2005 1995 15 25 x  2020 x  2020 x  2020 x  2020 x  2020 x  2020      0 2015 2005 1995 15 25 1 1     x  2020        0  2015 2005 1995 15 25   x  2020   x  2020 1 1        0 Vì :   2015 2005 1995 15 25  Vậy nghiệm phương trình là : S = 2020 14 Tạp chí toán học C2& THANH THIẾU NIÊN GIÁ 10.000 NGHÌN ĐỒNG Phần 2: Đề kiểm tra học kỳ ( Mã 1) Bài 1: (3 điểm) Giải phương trình: a) 23x 1  4x  b) x 1  x  13x  5 c) x 1 x 1 2x   0 2x  2x  1  x x  1 d)  3x   Bài 2: (2 điểm) Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số: a) 3x 13x  2  3x  12  16 b) 4x   x  3 5 (1,5 điểm) Giải bài toán cách lập phương trình: Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 10m Nếu tăng chiều rộng thêm 5m và giảm chiều dài 2m thì diện tích tăng thêm 100m2 Tính kích thước miếng đất lúc đầu Bài 4: (3,5 điểm) Cho ΔABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt H a) Chứng minh: ΔBDA đồng dạng ΔBFC và BD.BC = BF.BA b) Chứng minh rằng: BD̂F  BÂC c) Chứng minh rằng: BH.BE = BD.BC và BH.BE + CH.CF = BC2 d) Đường thẳng qua A song song với BC cắt tia DF M Gọi I là giao điểm CM và AD Chứng minh rằng: IE // BC Phần 3: Đề thi học sinh giỏi toán cấp Huyện ,Tỉnh k6,7,8,9 Bài 3: Đề thi học sinh giỏi toán cấp Huyện Tƣ Nghĩa năm học 2011-2012 Bài (4 điểm)   x3   x2    x : Cho biểu thức A =    x  x  x3 với x khác -1 và  1 x  a, Rút gọn biểu thức A b, Tính giá trị biểu thức A x  1 c, Tìm giá trị x để A < Bài (3 điểm) 2 Cho  a  b    b  c    c  a   4. a  b  c  ab  ac  bc  2 Chứng minh a  b  c Bài (3 điểm) Giải bài toán cách lập phương trình Một phân số có tử số bé mẫu số là 11 Nếu bớt tử số đơn vị và tăng mẫu lên đơn vị thì phân số nghịch đảo phân số đã cho Tìm phân số đó Bài (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a4  2a3  3a2  4a  Bài (3 điểm) 15 Tạp chí toán học C2& THANH THIẾU NIÊN GIÁ 10.000 NGHÌN ĐỒNG Cho tam giác ABC vuông A có góc ABC 600, phân giác BD Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm BD, BC, CD a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh b, Cho AB = 4cm Tính các cạnh tứ giác AMNI Bài (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự M và N a, Chứng minh OM = ON b, Chứng minh 1   AB CD MN c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD Đáp án Bài 1( điểm ) a, ( điểm ) Với x khác -1 và thì : A= 0,5đ 1 x  x  x (1  x)(1  x) : 1 x (1  x)(1  x  x )  x(1  x) 0,5đ (1  x)(1  x  x  x) (1  x)(1  x) : 1 x (1  x)(1  x  x ) = (1  x ) : (1  x) = (1  x )(1  x) = 0,5đ 0,5đ b, (1 điểm) =  thì A = 3 25 = (1  )(1  ) 34 272    10 27 27 Tại x =  0,25đ 2    1  ( )   1  ( ) 0,25đ 0,5đ c, (1điểm) Với x khác -1 và thì A<0 và (1  x )(1  x)  (1) Vì  x  với x nên (1) xảy và  x   x  KL 0,25đ 0,5đ 0,25đ Bài (3 điểm) Biến đổi đẳng thức để 0,5đ a  b  2ab  b  c  2bc  c  a  2ac  4a  4b  4c  4ab  4ac  4bc Biến đổi để có (a  b  2ac)  (b  c  2bc)  (a  c  2ac)  2 2 2 2 Biến đổi để có (a  b)  (b  c)  (a  c)  (*) Vì (a  b)  ; (b  c)  ; (a  c)  ; với a, b, c nên (*) xảy và (a  b)  ; (b  c)  và (a  c)  ; Từ đó suy a = b = c 2 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài (3 điểm) 16 Tạp chí toán học C2& THANH THIẾU NIÊN GIÁ 10.000 NGHÌN ĐỒNG Gọi tử số phân số cần tìm là x thì mẫu số phân số cần tìm là x+11 Phân số cần tìm là x (x là số nguyên khác -11) x  11 Khi bớt tử số đơn vị và tăng mẫu số đơn vị ta phân số (x khác -15) Theo bài ta có phương trình x7 x  15 0,5đ x x  15 = x  11 x  0,5đ Giải phương trình và tìm x= -5 (thoả mãn) Từ đó tìm phân số  0,5đ 1đ 0,5đ Bài (2 điểm) 0,5đ Biến đổi để có A= a (a  2)  2a(a  2)  (a  2)  = (a  2)(a  2a  1)   (a  2)(a  1)  Vì a   a và (a  1)  0a nên (a  2)(a  1)  0a đó 0,5đ 0,5đ (a  2)(a  1)   3a Dấu = xảy và a    a  KL Bài (3 điểm) 0,25đ 0,25đ B N M A D I a,(1 điểm) Chứng minh tứ giác AMNI là hình thang Chứng minh AN=MI, từ đó suy tứ giác AMNI là hình thang cân b,(2điểm) cm ; BD = 2AD = cm 3 AM = BD  cm Tính NI = AM = cm DC = BC = cm , MN = DC  cm 3 Tính AD = C 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 17 Tạp chí toán học C2& THANH THIẾU NIÊN GIÁ 10.000 NGHÌN ĐỒNG Tính AI = 0,5đ cm B A Bài (5 điểm) O N M a, (1,5 điểm) C D 0,5đ OM OD ON OC ,   AB BD AB AC OD OC Lập luận để có  DB AC OM ON   OM = ON  AB AB Lập luận để có 0,5đ 0,5đ b, (1,5 điểm) OM DM OM AM (1), xét ADC để có   AB AD DC AD 1 AM  DM AD Từ (1) và (2)  OM.( )   1 AB CD AD AD 1 Chứng minh tương tự ON (  ) 1 AB CD 1 1 từ đó có (OM + ON) (  )2    AB CD AB CD MN Xét ABD để có (2) 0,5đ 0,5đ 0,5đ b, (2 điểm) S AOB OB S BOC OB S S   ,  AOB  BOC  S AOB S DOC  S BOC S AOD S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC 0,5đ Chứng minh S AOD  S BOC 0,5đ 0,5đ  S AOB S DOC  (S AOD ) Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2  SAOD = 2008.2009 Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT) Câu 1: Cho tam giác có trung tuyến Kẻ đường cao Diện tích tam giác là 0,5đ tam giác Biết (Nhập kết dạng số thập phân).80,5 Câu 2: Tìm số để đa thức chia hết cho đa thức ? Kết 11 Câu 3: Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH Biết AB=27,2 cm, AC = 51 cm Độ dài CH là cm.45 Câu 4: Tính ? Đáp số 18 Tạp chí toán học C2& THANH THIẾU NIÊN GIÁ 10.000 NGHÌN ĐỒNG Câu 5: Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH Biết AB=19,5 cm, AH=18 cm, CH=5,76.BH Độ dài AC là cm (Nhập kết dạng số thập phân).46,8 Điền kết thích hợp vào chỗ ( ): Câu 6: Tứ giác ABCD có số đo các góc C, B, D là thì số đo góc A là bao nhiêu độ? Kết làđộ.118 Câu 7: Tìm giá trị nhỏ biểu thức ? Kết là Hãy điền số thích hợp vào chỗ nhé ! Câu 8: Gọi A là tập các giá trị x để giá trị phân thức Câu 9: 0.Tập A có phần tử.1 Gọi C là tập hợp các giá trị nguyên x cho giá trị phân thức là số nguyên Tập hợp C {}(nhập các phần tử tập hợp theo thứ tự tăng dần, ngăn cách dấu ‘’;’’ ) -2;0;1;3 Câu 10: Cho hình vuông ABCD M là điểm bất kì thuộc đường chéo BD Kẻ ME, MF vuông góc với AB, AD ED cắt CF I Số đo góc EIC Câu 11: Cho hình vuông ABCD Lấy điểm I bất kì trên cạnh AB Từ I kẻ đường thẳng song song với AC và đường thẳng song song với AD, chúng cắt BC, CD K và M Gọi O là giao điểm AC và BD Khi đó, số đo góc KOM 90 Câu 12: Gọi A là tập hợp các số tự nhiên n cho giá trị phân thức là số tự nhiên Tập hợp A là {} (nhập các phần tử theo thứ tự tăng dần, ngăn cách dấu ‘’;’’) Câu 13: Gọi B là tập các giá trị x để giá trị phân thức tử.1 Câu 14: 0.Tập B có phần Gọi A là tập hợp các giá trị nguyên x cho giá trị phân thức là số nguyên Tập hợp A {}(nhập các phần tử tập hợp theo thứ tự tăng dần, ngăn cách dấu ‘’;’’ ).-1;0;1;2 Câu 15: Gọi B là tập hợp các giá trị nguyên x cho giá trị phân thức là số 19 Tạp chí toán học C2& THANH THIẾU NIÊN GIÁ 10.000 NGHÌN ĐỒNG nguyên Tập hợp B {}(nhập các phần tử tập hợp theo thứ tự tăng dần, ngăn cách dấu ‘’;’’ ).-2;0;2 Câu 16: Phần dư phép chia Ta có Câu 17: có dạng (Nhập kết dạng số thập phân) Tập hợp các giá trị để giá trị phân thức các phần tử theo giá trị tăng dần, ngăn cách dấu ";").-1 Câu 18: là {} (Nhập Cho phân thức Trong phân thức đó có phân thức (giả thiết các phân thức có nghĩa) Câu 19: Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AD lấy điểm F, trên cạnh DC lấy điểm E cho AF = DE Gọi I là giao điểm AE và BF Khi đó, số đo góc BIE 90 Câu 20: Cho hình vuông ABCD Gọi E là điểm nằm C và D Tia phân giác góc DAE cắt CD F Kẻ FH vuông góc với AE ( H thuộc AE), FH cắt BC G Số đo góc FAG Câu 1: Đa thức thích hợp để điền vào chỗ trống đẳng thức là: Câu 2: Phân thức rút gọn thành: Câu 3: Phân thức rút gọn thành: 20 Tạp chí toán học C2& THANH THIẾU NIÊN GIÁ 10.000 NGHÌN ĐỒNG Câu 4: Kết rút gọn phân thức (với ) là: Câu 5: Một tứ giác có nhiều góc nhọn góc nhọn góc nhọn góc nhọn Câu 6: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q là các trung điểm AB, BC, CD, DA Hai đường chéo AC và BD phải thỏa mãn điều kiện gì để tứ giác MNPQ là hình thoi? AC vuông góc với BD trung điểm đường AC BD AC cắt BD trung điểm đường Cả câu trên sai Câu 7: Giá trị x thỏa mãn đẳng thức là: Câu 8: Cho hình vuông ABCD M là điểm bất kì thuộc đường chéo BD Gọi E, F là các hình chiếu M trên các cạnh AB, AD Khẳng định nào sau đây là đúng? Diện tích tam giác CEF diện tích tứ giác BDFE Diện tích tam giác CEF nhỏ diện tích tứ giác BDFE Diện tích tam giác CEF lớn diện tích tứ giác BDFE Diện tích tam giác CEF diện tích tứ giác BDFE Câu 9: Một tứ giác có nhiều góc vuông góc vuông góc vuông góc vuông Câu 10: Cho hình vuông ABCD M là điểm bất kì thuộc đường chéo BD Gọi E, F là 21 Tạp chí toán học C2& THANH THIẾU NIÊN GIÁ 10.000 NGHÌN ĐỒNG các hình chiếu M trên các cạnh AB, AD Khi M vị trí nào trên BD thì diện tích tam giác CEF là nhỏ nhất? M trùng với B M trùng với D M là trung điểm BD M nằm B và D và Câu 11: Giá trị phân thức Câu 12: Cho biểu thức với Giá trị là Câu 13: Tứ giác ABCD có Các tia phân giác góc B và D cắt I Số đo góc BID Câu 14: Cho tam giác ABC đường cao AH Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB, E là điểm đối xứng với H qua AC Biết AB = 12 cm, AC = cm, AH = 7,2 cm Tổng độ dài BD và CE là cm Câu 15: Cho phân thức Khi đó biểu thức thức có giá trị (giả thiết phân thức luôn có nghĩa) là phân ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC: 2013 – 2014 MÔN TOÁN Thời gian làm bài 150 phút Câu (4đ) Cho biểu thức: P  x2 x 1 x 1   x x 1 x  x 1 x 1 a) Rút gọn P b) Chứng minh P  với x  và x  Câu (4đ) a) Cho đường thẳng (d):  m  1 x  3my  12 Tìm m để (d) tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Tính khoảng cách từ O(0; 0) đến (d) ứng với m vừa tìm b) Cho M(a; b) là điểm nguyên trên đường thẳng 4x  5y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q  a  b 4t  Câu (4đ) Cho  t  Tìm GTNN biểu thức: A  t 3  t  22 Tạp chí toán học C2& THANH THIẾU NIÊN GIÁ 10.000 NGHÌN ĐỒNG Câu (4đ) a) Cho ABC cân A Trên đáy BC lấy điểm D cho CD  2BD So sánh số đo BAD và CAD b) Từ điểm A ngoài (O) dựng các tiếp tuyến AB, AC với (O) Gọi H là giao điểm OA với BC Trên đường trung trực AH lấy điểm M cho M nằm ngoài (O) và dựng tiếp tuyến MF với (O) Chứng minh: MA  MF (B, C, F là các tiếp điểm) Câu (4đ) a) Tìm tất các cặp số nguyên  x, y  thỏa mãn: x    y  x   2y  b) Tìm tất các cặp số nguyên dương  x, y  thỏa mãn: x 2010  y2010  20122010 Câu 1: a) Với x  0; x  P   x2 x 1 x 1   x x 1 x  x 1 x 1 x2    x 1 x  x  x2   x x   x x  x 1   x 1  x  x 1 x 1   x 1 x  x    x 1     x 1 x  x  x  x 1   x 1 x  x 1  x 1 x  x  x với x  0; x  x  x 1 Vậy: P = b)Cách xét hiệu: x P   x  x 1   x  x  x 1 x  x 1    x 1 x  x 1 Vì x  0; x  nên:   x  1  và x  x   Do đó: P   Vậy ta có điều phải chứng minh: 23 Tạp chí toán học C2& THANH THIẾU NIÊN GIÁ 10.000 NGHÌN ĐỒNG Cách 2: Ta có : P = x = x  x 1 với x  0; x  1 x 1 x Áp dụng BĐT Co – si cho số dương x ; ta có: x x 2 x x 2 x Vì x  nên dấu "=" không xảy Suy ra: x 1   Vậy P  x Câu 2: 1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Xét đường thẳng (d) Vì d cắt hai hệ trục toạ độ nên m khác và m khác 4 (m khác 0) ta A(0; ) thuộc Oy m m 3 Cho y = suy x = (m khác 1) ta B( ;0) thuộc Ox m 1 m 1 Khi đó: OA = ; OB = m m 1 Cho x = suy y = Để đường thẳng d tạo với hai trục toạ độ Ox, Oy tam giác có diện tích thì: OA.OB = tức là:  giải phương trình ta m = - ; m = m m 1 Với m = -1 đó AB = Với m = đó AB = 12 73 Suy khoảng cách từ O đến (d) 73 13 Suy khoảng cách từ O đến (d) 13 2) Vì M (a;b) là điểm nguyên trên đường thẳng 4x +5y = nên ta có: 4a + 5b = suy a   5b 3b  1  b    Z Do đó – b = 4k (k thuộc Z) hay 4 b   4k từ đó ta tính a = 5k – Khi đó: Q  5k   3  4k Lập bảng xét dấu: k 5k - – 4k + + + + - mà k thuộc Z nên k  Ta có Q = (1 – 13 k)  TH2:  k  mà k  Z nên không tồn k TH3: k  mà k  Z nên k  Ta có Q = (13k – 1)  12 Gộp trường hợp ta được: Q  Dấu "=" xảy và k = đó Xét TH1: k  M(-2;3) Vậy biểu thức Q đạt giá trị nhỏ giá trị đạt M(-2;3) 24 Tạp chí toán học C2& THANH THIẾU NIÊN GIÁ 10.000 NGHÌN ĐỒNG Câu 3: Ta có A  4t  4t  =  t 3  t  t t 3  t  9   4t   t  t 3  t   Tiếp đó ta dễ dàng chứng minh:  4t    12 Dấu "=" xảy t = 1,5  t  Dấu "=" xảy t = 1,5 t 3  t  Suy A  16 16 Dấu "=" xảy t = 1,5 Vậy GTNN A 3 Câu 4: A B D C HK I 1)Cách 1: Đặt AB=AC=a (a>0)BC =3m (m>0) suy ra: CD=2m,BD=m Kẻ đường cao AH, phân giác AKcủa góc CAD, ta có DH = Ta tính AH = 4a  9m2 ;AD = Vì AKlà phân giác góc CAD ta có: Xét hiệu: DI-DK = m-DK=  a  2m 2m a  2m DK AD suy ra: DK   DC AC  AD a  a  2m m a  a  2m a  a  2m m 2   vì a;m >0 nên a  a  2m2 Từ đó suy K nằm Dvà I, hay I nằm Kvà C Do đó góc AKD > góc AIK mà góc AIK = góc ADK nên góc AKD >góc ADK Suy ADB > góc AKC Vậy: góc BAD < góc DAK Tức là góc BAD < góc CAD A Cách 2: Gọi E là trung điểm DC, ta có BD = DE = EC  Khi đó tam giác ABD và tam giác ACE (c-g-c) Suy góc BAD = góc CAE (1) Trên tia đối tia EA lấy điểm F cho EF = EA Ta chứng minh tam giác CAE = tam giác DEF (c-g-c) B D Từ đó: AC = DF; góc DFE = góc CAE * Vì góc ADC = gócABD +gócBAD, nên ADC >góc ABD mà góc ABD = góc ACD 25 Tạp chí toán học C2& THANH THIẾU NIÊN E C F ĐỒNG GIÁ 10.000 NGHÌN Suy ra: góc ADC >góc ACD.Do đó AC>AD, Mà AC = DF suy ra: góc DAE > gócDEF suy ra: DAE+CAE>2DEF Hay: 1/2DAC>DE F Vậy BAD<1/2DAC M B O H A I F C Gọi I là trung điểm AH Dễ chứng minh AO là đường trung trực BC + Trong các tam giác: FMO ;OMI,AMI,ABO ta có MF  MO  R ;  OF  R   MI  IO  R  MI   HI  OH   R 2  MI  IH  2OH IH  OH  R  MI  IA2  OH HA  R  MA2  OH  BH  R  MA2  R  R  MA2 Vậy: MF = MA Câu a) với giới hạn chương trình là hết tuần 16 thì ta nênlàm sau + Ta có : x2    y  x   y   y  x  2  x2  x  Rõ ràng x = không thể là nghiệm nên chia hai vế cho x – ta y x2  x  4   x  5  x2 x2 Do x, y là số nguyên nên x – là ước -4 mà U 4  1; 2; 4 Ta có bảng: 26 Tạp chí toán học C2& THANH THIẾU NIÊN GIÁ 10.000 NGHÌN ĐỒNG x-2 -1 -2 -4 x -2 y -3 -6 -3 -6 đối chiếu với các điều kiện đề bài thì các cặp số sau thoả mãn (x;y) = 1;0 ;  0;3 ;  2; 6 ;  6;0  ;  4; 3 ; 3; 6  2)Giả sử (x,y)là nghiệm nguyên dương phương trình: Rõ ràng x,y<2012 (1) Không tính tổng quát giả sử x  y Do x  Z  ;2012  x  2012  x  2010 Suy ra: 20122010   x  1  x2010  2010 x2009   2010 x   x2010  2010 x2009 Từ đó ta có x2010  y 2010  x2010  2010 x2009 hay y 2010  2010 x2009 mà x  y nên x2010  2010 x2009  x  2010 (2) Tương tự ta có: y > 2010 (3) Từ (1), (2) và (3) suy 2010 < x, y < 2012 Từ đó có thể x = y = 2011 Nhưng cặp số (x, y) này không thoả mãn phương trình đã cho (vì vế phải chia hết cho còn vế trái không chia hết cho 4) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm ĐỀ SỐ Câu 1: Tính gọn biểu thức: 1) A = 20 - 45 + 18 + 72  2) B = 1 +  a + a  a- a  1+   với a ≥ 0, a ≠  a +  1- a  Câu 2: 1) Cho hàm số y = ax2, biết đồ thị hàm số qua điểm A (- ; -12) Tìm a 2) Cho phương trình: x2 + (m + 1)x + m2 = (1) a Giải phương trình với m = b Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt, đó có nghiệm - Câu 3: Một ruộng hình chữ nhật, tăng chiều dài thêm 2m, chiều rộng thêm 3m thì diện tích tăng thêm 100m2 Nếu giảm chiều dài và chiều rộng 2m thì diện tích giảm 68m2 Tính diện tích ruộng đó Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn tâm (O) có đường kính MC Đường thẳng BM cắt đường tròn tâm (O) D, đường thẳng AD cắt đường tròn tâm (O) S 1) Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp và CA là tia phân giác góc BCS 2) Gọi E là giao điểm BC với đường tròn (O) Chứng minh các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy 3) Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE Câu 5: Giải phương trình x - 3x + + x + = x - + x + 2x - 27 Tạp chí toán học C2& THANH THIẾU NIÊN GIÁ 10.000 NGHÌN ĐỒNG HƢỚNG DẪN ĐỀ SỐ Câu 1: Rút gọn biểu thức 1) A = 20 - 45 + 18 + 72 = - + + 36 = - + + = 15 -  2) B = 1 +   = 1 +  a + a  a- a  +   với a ≥ 0, a ≠ a +  - a   a ( a + 1)  1 a +   a ( a - 1)   = (1 + a -  a ) (1 - a)=1-a Câu 2: 1) Đồ thị hàm số qua điểm M (- 2; -12) nên ta có: - 12 = a (- 2)2  4a = -12  a = - Khi đó hàm số là y = - 3x 2) a) Với m = ta có phương trình: x2 + 12x + 25 =0 ∆’ = 62 -25 = 36 - 25 = 11 x1 = - - 11 ; x2 = - + 11 b) Phương trình có nghiệm phân biệt khi: ∆’ >  (m + 1)2 - m2 >  2m + >  m > -1 (*) Phương trình có nghiệm x = -  - (m + 1) + m2 = m = (thoả mãn điều kiện (*))  m - 4m =   m = Vậy m = m = là các giá trị cần tìm Câu 3: Gọi chiều dài ruộng là x, chiều rộng là y (x, y > 0, x tính m) Diện tích ruộng là x.y Nếu tăng chiều dài thêm 2m, chiều rộng thêm m thì diện tích ruộng lúc này là: (x + 2) (y + 3) Nếu giảm chiều dài và chiều rộng 2m thì diện tích ruộng còn lại là (x-2) (y-2) Theo bài ta có hệ phương trình: 28 Tạp chí toán học C2& THANH THIẾU NIÊN GIÁ 10.000 NGHÌN ĐỒNG (x + 2) (y + 3) = xy + 100  (x - 2) (y - 2) = xy - 68 xy + 3x + 2y + = xy + 100   xy - 2x - 2y + = xy - 68 3x + 2y = 94 x = 22  x = 22       2x + 2y = 72 x + y = 36  y = 14 k Vậy diện tích ruộng là: S = 22 14= 308 (m2) a d Câu 4: 1) Ta có BAC = 90 (gt) s m MDC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) O A, D nhìn BC góc 900, tứ giác ABCD nộibtiếp e c Vì tứ giác ABCD nội tiếp  ADB = ACB (cùng chắn cung AB) (1) Ta có tứ giác DMCS nội tiếp ADB = ACS (cùng bù với MDS ) (2) Từ (1) và (2)  BCA = ACS 2) Giả sử BA cắt CD K Ta có BD  CK, CA  BK  M là trực tâm ∆KBC Mặt khác MEC = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  K, M, E thẳng hàng, hay BA, EM, CD đồng quy K 3) Vì tứ giác ABCD nội tiếp  DAC = DBC (cùng chắn DC ) (3) Mặt khác tứ giác BAME nội tiếp  MAE = MBE (cùng chắn ME ) (4) Từ (3) và (4)  DAM = MAE hay AM là tia phân giác DAE Chứng minh tương tự: ADM = MDE hay DM là tia phân giác ADE Vậy M là tâm đường tròn nội tiếp ∆ADE Câu 5: Ta có: x2 - 3x + = (x - 1) (x - 2), x2 + 2x - = (x - 1) (x + 3) Điều kiện: x ≥ (*) Phương trình đã cho   (x - 1) (x - 2) - (x - 1) (x + 3) + x + - x - = x - ( x - - x + 3) - ( x - - x + 3) = 29 Tạp chí toán học C2& THANH THIẾU NIÊN GIÁ 10.000 NGHÌN ĐỒNG   x-2 - x+3   x-2 = x+3    x - - =  x-1-1 =0 (VN)  x  (thoả mãn đk (*)) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = ĐÈ RA KỲ : Câu 1: Giải phương trình: x2 + x + 2016 = 2016 Câu 2: Các số thực x, a, b, c thay đổi, thỏa mãn hệ: (1) x + a + b + c =  2 2  x + a + b + c = 13 (2) Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ x Câu 3: Cho a, b, c là các số lớn Chứng minh: a2 b2 c2    12 b 1 c 1 a 1 MỖI HỌC SINH GIẢI BÀI ,THỜI GIAN NỘP NHANH NHẤT CÓ THƢỞNG 30.000Đ VÌ ĐIỀU KIỆN KHÓ KHĂN VÀ KINH PHÍ HẠN CHẾ ,NÊN TẠP CHÍ HƠI NGHÈO NÀN VẾ NỘI DUNG ,MONG CÁC BẠN GÓP Ý NHÉ Tổng biên tập Trƣơng Quang An Mọi ý kiến gởi hàm thƣ :quangantoan@gmail.com Số điện thoại :01653276871 30 Tạp chí toán học C2& THANH THIẾU NIÊN GIÁ 10.000 NGHÌN ĐỒNG 31 Tạp chí toán học C2& THANH THIẾU NIÊN GIÁ 10.000 NGHÌN ĐỒNG