+Tiếp tuyến chung còn lại là đường thẳng đối xứng với Phương trình Xét điểm.. Phương trình đường thẳng Tọa độ.[r]
(1)KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2016 TRƯỜNG THPT CHUYÊN THOẠI NGỌC HẦU Môn thi: TOÁN ĐỀ THI thử CHÍNH THỨC (gồm 01 trang) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị C hàm số y x x H :y = Câu (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị 2x + x - M x0 ; y H có y0 5 ( z - 1) = 3z +( i - 1) ( i + 2) Câu (1,0 điểm) a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện Tính môđun z b) Giải bất phương trình log x 5log x 0 Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I x x dx M 1; 0; N 0; 2; P 0;0;3 Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm , và Viết phương trình mặt phẳng MNP MNP và viết phương trình mặt cầu tâm O tiếp xúc với Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình æ pö æ pö ç ÷ ÷ sin ç x+ ÷ + cos x+ ÷ ç ç ÷ ÷= ç ç ÷ ÷ 3ø 3ø è è b) Trong đợt ứng phó dịch Zika, WHO chọn nhóm bác sĩ công tác ( nhóm bác sĩ gồm nam và nữ) Biết WHO có bác sĩ nam và bác sĩ nữ thích hợp đợt công tác này Hãy cho biết WHO có bao nhiêu cách chọn ? Câu (1,0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông A , AB = a , AC = a và mặt bên BB ' C ' C là hình vuông Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' và khoảng cách hai đường thẳng AA ' , BC ' ( C ) : ( x +1) + y = và Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường tròn có phương trình ( C ) : ( x - 1) 2 +( y - 1) = Hãy viết các phương trình tiếp tuyến chung C1 và C2 x x 3 y x y y 3x y Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình trên tập số thực 2 Câu 10 (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa điều kiện a b c 3 Tìm giá trị lớn biểu 2 a ab c b bc a c ca b P a 1 b 1 c 1 thức Hết (2) Thí sinh không sử dụng tài liệu.Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2016 TRƯỜNG THPT CHUYÊN THOẠI NGỌC HẦU Môn thi: TOÁN ĐỀ THI thử CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM (gồm 05 trang) Câu Đáp án (trang 01) Điểm +Tập xác định: D x 0 y 3 y / 4 x3 x , y / 0 x y +Sự biến thiên: Các khoảng đồng biến: 2;0 và 2; 0,25 ; các khoảng nghịch biến: ; và 0; .Hàm số đạt cực đại x 0 , yCĐ = 3; đạt cực tiểu x , yCT = 0,25 lim y lim x x 3 , lim y lim x x 3 .Giới hạn x +Bảng biến thiên x x - - y' + (1,0đ) x x 0 + + 0,25 y -1 -1 +Đồ thị: y A B 0,25 - -2 O x -1 (1,0đ) + M o xo ; y o (H): y= 2x + y = Û 2x0 + = Û 2x + = 5x - Û x = 0 0 x0 - x- ; 0,25 0,25 (3) y' = + - ( x - 1) Þ y '(x0) = y '( 2) = y yo y ' xo x xo có dạng +Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y - = - 3(x - 2) Û y = - 3x + 11 Đáp án (trang 02) 0,25 Điểm a + b i = Û a = 1; b = ( ) ( ) a , b Î ¡ ( ) ; điều kiện đã cho a) + Đặt z = a + bi 0,25 +Phương trình tiếp tuyến Câu - =- (2 - 1)2 M o xo ; y o z = a2 + b2 = + (1,0đ) + Vậy môđun z là 26 = 25 b) Giải bất phương trình log x 5log x 0 (1) +Khi đó 1 log x 2 0,25 +Điều kiện xác định: x S 0;100 1000; x =4 x =0 Þ + Đặt t = - x Þ dt =- dx + Đổi cận: (1,0đ) + Suy ra: 0,25 log x 3 x 100 x 1000 +So với điều kiện ta có tập nghiêm (1) là I= - 0,25 4 0,25 t =0 t =4 0,25 3 ò( - t ) t dt = ò( 4t - t )dt 0,25 æ4 t ö ÷ = ç t - ÷ ç ÷ ç ÷ 5ø è 0,25 4 256 I x x dx x 43 3.42 x 3.4 x x3 dx = 0 (CÁCH 2: ) MNP : (1,0đ) (1,0đ) x y z 1 0,25 + Phương trình mp MNP : x y z 0 +Gọi (S) là mặt cầu tâm O bán kính R, (S) tiếp xúc (MNP) 36 x2 y z 49 Vậy (S): æ pö æ pö æ 2p÷ ö p ÷ ÷ sin ç + cos ç x+ ÷ = Û sin ç x+ ÷ = sin çx + ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç 3ø 3÷ è 3ø è è ø a) é 2p p é êx + êx =- p + k 2p = + k 2p ê ê Û ê Û ê ( k Î ¢) ê 2p 5p ê p = + k 2p êx = + k 2p êx + ê ê ë ë C 56 b) +Số cách chọn bác sĩ nam là ; 0,25 0,25 R d O, MNP 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (4) +Số cách chọn bác sĩ nữ là C6 20 +Với nam và nữ chọn, ghép nhóm có 3! cách C2: +Chọn tổ hợp nam có C83 ; chọn chỉnh hợp nữ có A63 Câu +Vậy có 56.20.3! 6720 cách + Ghép cặp có 0,25 C83 A63 = 6720 3 C3: +Chọn tổ hợp nữ có C6 ; chọn chỉnh hợp nam có A8 + Ghép cặp có C6 A8 = 6720 Đáp án (trang 03) Điểm 0,25 +Do lăng trụ đã cho là lăng trụ đứng nên BB ' là đường cao lăng trụ 2 2 (1,0đ) +Vì BB ' C ' C là hình vuông nên BB ' = BC = AB + AC = a + 3a = 2a VABC A ' B ' C ' = BB '.SD ABC = 2a AB AC = a.a.a = a3 +Do đó +Vì AA ' || ( BB ' C ' C ) +Trong ( ABC ) , hạ +Từ (1) và (2) suy nên AH ^ BC (1); +Vì AH ^ ( BB ' C ' C ) Þ +Xét tam giác ABC ta có (1,0đ) ( d ( AA ', BC ') = d A,( BB ' C ' C ) AH = BB ' ^ ( ABC ) ( 0,25 ) nên AH ^ BB ' (2) AH = d A,( BB ' C ' C ) 0,25 ) AB AC a.a a a = = d ( AA ', BC ') = BC 2a Vậy 0,25 0,25 (5) + (C ) Vì có tâm I1 ( - 1; 0) , bán kính I1 I = 22 +12 = < +Xét đường thẳng Suy nên R1 = ; ( C2 ) có tâm I ( 1;1) , bán kính R2 = (C ) cắt (C ) ( Suy ( C ) và ( C ) có hai tiếp tuyến chung ) ( D ) : y +1 = , ta có: d ( I ;( D ) ) = = R ( D ) : y +1 = là tiếp tuyến chung ( ) & d I ;( D ) = = R2 0,25 ( C ) và ( C ) Đáp án (trang 04) +Tiếp tuyến chung còn lại là đường thẳng đối xứng với Phương trình Xét điểm qua I1 I I1 I : x - y +1 = Gọi M = I1 I Ç ( D ) , suy M ( - 3; - 1) N ( 0; - 1) Î ( D ) Phương trình đường thẳng Tọa độ ( D) Điểm H = ( d ) Ç I1 I II , gọi N ' là điểm đối xứng N qua ( d) ( d ) : x + y +1 = II qua N và vuông góc là 0,25 là nghiệm hệ phương trình ìï ï x =- ïìï x + y =- ïïï 1ö Þ Hæ ç ÷ Û í í ç- ; ÷ æ 7ö ÷ ÷ ç ïîï x - y =- ïï è 5ø ç ÷ N - ; ÷ ç ÷ ïï y = ç 5ø ÷ è îï Suy +Phương trình tiếp tuyến chung còn lại là ( MN ') : x - 3y + = 0,25 CÁCH 2: Vì đường tròn khôg có t/t chung vuông góc với Ox, nên t/t chung có dạng : y kx b 2 C C CÁCH 3: Đường thẳng : ax by c 0, ( a b 0) tiếp xúc và (1,0đ) x x 3 y x x y y 3 y +Đặt (1) 2 ; +Điều kiện xác định: x ; y 0,25 a a 3b 3 a x ; a, b b b 3a b y +Đặt ; hệ (1)(2) trở thành +Trừ theo vế (3) với (4), ta được: a a2 1 b b 3b 3a a a 3a b b 3b t 1 t 0,25 t f ' t ln 0, t f t t t 3t t t 1 , ; ta có f t f a f b +Suy hàm số đồng biến trên , mà theo (5) có nên a b +Xét hàm a a 3a +Thay a b vào (3) Vì vế (6) dương nên 0,25 (6) ln a a ln 3a ln a a a ln 0 g a ln a a a ln g ' a +Xét hàm +Suy hàm g a a2 1 ln 1 ln 0, a g 0 nghịch biến trên , mà ; nên a = là nghiêm (7) a 0 b +Từ đó ta có hệ Câu +Ta có bất đẳng thức 0,25 x 0 x y 1 y 0 Vậy x y 1 là nghiệm hệ đã cho u.v u v Đáp án (trang 05) Điểm | cos u, v |1 u , v ; đẳng thức xảy cùng phương u a; 2a ;1 , v 1; 2b ;c +Áp dụng bất đẳng thức trên cho vector ta được: a2 ab c a a ab c 2a 2b 1.c a 2a 1 2 12 2b c 2 a ab c a 1 2b c 1 2b c 1 a 2 2 b bc a c ca b 2 1 2c a ; 1 2a b b 1 c 1 +Tương tự có P 3 a b c a b c 6 a b c +Cộng theo vế (1),(2),(3) ta 10 (1,0đ) 0,25 2 0,25 0,25 6 a b c 6 3 12 (4) a 2a a2 a a a a 1 2 1 b c b c b c 2b c +Đẳng thức (1) xảy a 1 b 1 c 1 P 12 b c c a a b a b c a b c 3 +Tương tự (2), (3) nên đẳng thức (4): b c ab 1;c a bc 1;a b ca 1 2 a 0; b 0;c 0;a b c 3 a b c 2 c b c 1 a b c 1 a b c 3 Vậy Max P 12 a b c 1 -Hết - 0,25 (7)