HSG Toan 9cap TPLong XuyenChau Doc AG 2022016

Tính chiều dài đoạn AC và BD để làm khung cho diều và diện tích tứ giác ABCD.[r]

BÀI (3,0 điểm):  x   y  9  x  y   Giải hệ phương trình:  GIẢI:  x   2t 9 (1)  t  y  (t 0) x  t  (2) Đặt đó HPT đã cho trở thành:  Từ (2) suy ra: t   x thay vào PT (1) ta được: x   2(  x ) 9  x   x 11 x  x  * Nếu x 2 thì Khi đó: x   x 11  x   x 11  x  11 (loại) x  2  x * Nếu x  thì Khi đó: x   x 11   x  x 11   x 9  x  (nhận) Với x = -3 suy ra: t = - – ( - 3) =  y  2  y 3 y  2     y    y  Do đó: Vậy HPT đã cho có hai nghiệm: (-3 ; 3) và (-3 ; - 1) BÀI (3,0điểm): Cho hai số a, b khác Chứng minh rằng: a b  1   b  a   a  b   ab  1 ab 0     Dấu xảy nào? GIẢI: Ta có: a b  1  a  b  (a  b)   ab         0  b a  a b  ab  ab (ab)      a  b  (a  b)   ab 0 (do a, b khác nên (ab)2  )  2a  2b   2a  2b  2ab 0   a  2ab  b  a  2a   b  2b   0 2 2    a  b    a  1   b  1  0   2 2 a  b  0 ;  a  1 0 ;  b  1 0  Do: 1 2  a  b    a  1   b  1  0 Nên:    a b ba Vậy         1      1  0  a b  ab  ab  a  b 0    a  0  b  0  Dấu “=” xảy BÀI (4,0 điểm):  a b   a 1  a b 1 b 1  Cho tam giác ABC vuông B, kẻ trung tuyến BD Đường tròn nội tiếp tam giác ABD tiếp xúc với cạnh AD K Tính các góc tam giác ABC biết K là trung điểm AD GIẢI:  Vì tam giác ABC vuông B nên: B 90 BD  AC (1) Vì BD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC nên: AC DA  (2) Mặt khác D là trung điểm AC nên: Từ (1) và (2) suy ra: BD = DA nên tam giác DAB cân D   Do đó: DAB DBA (tính chất tam giác cân) (3) Hai tam giác vuông OKD và OKA có KD = KA (GT) và OK là cạnh chung nên: OKD OKA (c.g.c) BDA BAD     BDA BAD   ODK  OAK 2 Suy ra: (góc tương ứng) hay (4) DAB DBA   BDA hay tam giác DBA là tam giác Từ (3) và (4) suy ra:  Suy ra: DAB 60  Do đó: ACB 30  900 B A 600  Vậy số đo các góc tam giác ABC là: C 30 BÀI (3,0điểm): Thả điều là hoạt động vui chơi thường gặp ngày hè Vật liệu làm diều chính là giấy, hai tre và dây thả Bạn An làm diều có dạng tứ giác ABCD (hình vẽ) 0   Biết AB = BC = 20cm ; AD = DC ; góc ABC 90 và ADC 60 Tính chiều dài đoạn AC và BD để làm khung cho diều và diện tích tứ giác ABCD GIẢI: Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có: AC  AB  BC  202  202 20 (cm) Dễ thấy H là trung điểm AC AC 20 HA HC   10 2 Suy ra: (cm) AB.BC 20.20  BH   10 AC 20 Ta có: BH.AC = AB.BC (cm) ADC 600 Tam giác ADC có DA = DC (GT) và nên tam giác ADC là tam giác Suy ra: DA = DC = AC = 20 (cm) Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông DHA: DH  AD  HA2  (20 2)  (10 2) 10 (cm) Do đó: BD = BH + DH = 10  10 10 2(1  3) (cm) Diện tích tứ giác ABCD: BH AC DH AC AC ( BH  DH AC.BD 20 2.10 2(1  3) S ABCD S ABC  S ADC      200(1  3) 2 2 (cm2)