+ Bài Hình học, nếu không có hình vẽ nhưng học sinh thực hiện các bước giải có logic và đúng thì cho nửa số điểm tối đa của phần đó.. Vẽ hình sai về mặt bản chất nhưng lời giải đúng thì [r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT NĂM HỌC 2014-2015 Môn thi: Toán chuyên Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (1,5 điểm) P= 3 x x+x + + x–3 – x x–3+ x x +1 Tìm tất các giá a) Cho biểu thức trị x cho P > b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = –x2 và đường thẳng (d): y = mx –1 (m là tham số) Chứng minh với giá trị m, đường thẳng (d) x x 2 luôn cắt parabol (P) hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn Bài 2: (1,5 điểm) a2 a) Tìm tất cặp số nguyên dương (a; b) cho ab là số nguyên a c b) Cho số nguyên dương a, b, c thỏa điều kiện = b +1 và a Tìm tất các giá trị c thỏa mãn đẳng thức đã cho Bài 3: (2,5 điểm) a) Cho x, y là các số thực thỏa mãn x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức S = x + y + 3 b) Giải phương trình: ( x 4) x x 13 Bài 4: (3,5 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh a Trên cạnh BC lấy điểm E; đường thẳng qua B vuông góc với đường thẳng DE cắt DE H và cắt DC K Gọi M là giao điểm DB và AH a) Chứng minh ba điểm M, E, K thẳng hàng b) Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CHM c) Khi E di chuyển trên cạnh BC thì điểm H di chuyển trên đường nào ? d) Khi MCH 30 , tính độ dài đoạn HK theo a Bài 5: (1,0 điểm) Cho 2014 số tự nhiên Chứng minh số các số đó có số chia hết cho 2014 có số số mà tổng các số chia hết cho 2014 -HẾT - (2) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT NĂM HỌC 2014-2015 HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: Toán chuyên Bài 1: (1,5 điểm) P= 3 x x+x + + x–3 – x x–3+ x x +1 Tìm giá trị x a) Cho biểu thức cho P > b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = –x2 và đường thẳng (d): y = mx –1 (m là tham số) Chứng minh với giá trị m, đường thẳng (d) x x 2 luôn cắt parabol (P) hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn Tóm tắt cách giải a) Với x 3 x x+x P= + + x–3 – x x–3+ x x +1 3( x x x x ) x ( x 1) P x 3 x x 1 Điểm 0,25 điểm 0,25 điểm P x x 0,25 điểm x 3 P x x ( x 1)2 x 4 Vậy 0,25 điểm b) Phương trình hoành độ giao điểm (P): y = –x2 và đường thẳng (d): y = mx –1 là –x2 = mx –1 x2 + mx –1 = (*) Hệ số a và c trái dấu nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm trái dấu Vậy đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) hai điểm phân biệt Gọi x1, x2 là hoành độ giao điểm x1.x2 = –1 Do đó x1 x2 x1 1 x1 2 x1 x1 0,25 điểm 0,25 điểm Bài 2: (1,5 điểm) a2 a) Tìm tất cặp số nguyên dương (a; b) cho ab là số nguyên a c b) Cho số nguyên dương a, b, c thỏa điều kiện = b +1 và a Tìm tất các số c biểu thức đã cho Tóm tắt cách giải a) Với a = không thỏa mãn Vậy a Điểm (3) a2 a2 – ab 2 Để ab là số nguyên thì 0,25 điểm b(a2 – ) = a (ab 2) 2(a b) (ab 2) 2(a + b) (ab 2) Do đó tồn số nguyên dương k cho: 2(a + b) = k(ab + 2) Nếu k 2 thì a + b ab + (a – 1)(b – 1) +1 vô lý Vậy k = thì 2(a + b) = ab + (a – 2)(b – 2) = a b a b a 3 b 4 2 a 4 1 b 3 0,25 điểm 0,25 điểm 1 2 Ta được: chọn căp sô (4;3) Vậy cặp số (a; b) cần tìm là (4; 3) a c b) Từ b (1) 0,25 điểm a Với a Z , a nên a 2 4 Từ (1) suy b là số nguyên dương lẻ Giả sử b 2n với n Z * Nếu c là số nguyên dương chẵn thì : c 2m với m Z Khi đó ta có: bc (b ) m (2n 1) a m (4n 4n 1) m 4k c với k Z 0,25 điểm Suy b 4k 24 vô lý Do đó c là số nguyên dương lẻ * Ta đặt c 2m với m N Suy ra: 2a bc b m1 (b 1)(b m b2 m b b 1) (b 1) A với A Z và A lẻ c a Suy A là ước lẻ b , tức là ước lẻ suy A 1 c Ta có b b c 1 Vậy c 1 là giá trị cần tìm 0,25 điểm Bài 3: (2,5 điểm) a) Cho x, y là các số thực thỏa mãn x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức S = x + y + 3 b) Giải phương trình: ( x 4) x x 13 Tóm tắt cách giải a) Từ điều kiện: x + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = Điểm 2 x y x y 10 y x y x y 10 0 (x + y + 2)(x + y + 5) (S 1)(S + 2) 2 S 0,25 điểm Vậy Smin = x = 5; y = Smax = x = 2; y = 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm (4) b) Giải phương trình ( x 4) x 3x 13 (1) 0,25 điểm Điều kiện x 3x 0 x 0 * Nhận thấy x 0 không thỏa phương trình 0,25 điểm * Vì (1) x 8x x 3x 0 3 x x 0 x x Đặt t x 0,25 điểm x với t 0,25 điểm t 2 t 6t 0 t 4 Ta có phương trình x 1 x 2 x x 3 + Với t 2 ta có x 4 x 0,25 điểm x 8 61 x 8 61 + Với t 4 ta có Vậy phương trình (1) có nghiệm: x 1; x 3; x 8 61; x 8 0,25 điểm 61 Bài 4: (3,5 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh a Trên cạnh BC lấy điểm E; đường thẳng qua B vuông góc với đường thẳng DE cắt DE H và cắt DC K Gọi M là giao điểm DB và AH a) Chứng minh ba điểm M, E, K thẳng hàng b) Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CHM c) Khi E di chuyển trên cạnh BC thì điểm H di chuyển trên đường nào ? d) Khi MCH 30 , tính độ dài đoạn HK theo a Tóm tắt cách giải Điểm B A M H E D C K a) Chứng minh ba điểm M, E, K thẳng hàng Ta có tứ giác ABHD nội tiếp (vì có tổng hai góc đối 1800) Nên ABD AHD 45 (góc nội tiếp cùng chắn AD ) 0 Suy MHK 45 90 135 0,25 điểm (5) 0 Tứ giác DMHK có MDK MHK 45 135 180 Do đó tứ giác DMHK nội tiếp 0,25 điểm DHK Suy DMK (góc nội tiếp cùng chắn DK ) Mà DHK 90 nên DMK 90 BDK có đường cao DH, BC, KM mà DH và BC cắt E nên E là trực tâm tam giác BDK Do đó điểm M, E, K thẳng hàng b) Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CHM Ta có tứ giác CMBK nội tiếp nên có MCE MKB ( góc nội tiếp cùng chắn MB ) Ta có tứ giác CEHK nội tiếp (vì có tổng góc đối 180 0) nên ECH MKH (góc nội tiếp cùng chắn EH ) MCE ECH nên CE là phân giác MCH Do đó Chứng minh tương tự ta có HE là phân giác MHC Suy E là giao điểm hai đường phân giác tam giác MCH Vậy E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCH c) Khi E di chuyển trên cạnh BC thì điểm H di chuyển trên đường nào ? Ta có ABD AHD 45 ( góc nội tiếp cùng chắn cung AD) mà AD = a cố định nên điểm H nằm trên cung chứa góc 45 dựng trên đoạn thẳng AD Khi E B thì H B, E C thì H C Do đó E di chuyển trên cạnh BC thì điểm H di chuyển trên cung BC chứa góc 450 dựng trên đoạn thẳng AD 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm d) Khi MCH 30 , tính độ dài HK theo a 0 Khi MCH 30 thì MCE MKH MDE 15 Do đó CDE 30 EKC 450 nên ECK vuông cân C Suy CE = CK DK Ta có tam giác DHK vuông H nên HK = DK sin30 = a Trong tam giác CDE vuông C nên CE = CD tan300 = (1) (2) 0,25 điểm (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: DK DC CK DC EC DC CD.tan 300 a (1 tan 300 ) 2 2 HK = a (3 3) Vậy: HK = 0,25 điểm Bài 5: (1,0 điểm) Cho 2014 số tự nhiên Chứng minh số các số đó có số chia hết cho 2014 có số số mà tổng nó chia hết cho 2014 Tóm tắt cách giải Điểm (6) Gọi 2014 số tự nhiên đã cho là a1, a2 , , a2014 Xét dãy S1 a1 S2 a1 a2 0,5 điểm S2014 a1 a2 a2014 Chia tất các số hạng dãy cho 2014 ta có các trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu có số hạng nào dãy chia hết cho 2014 thì bài toán chứng minh Trường hợp 2: Nếu không có số hạng nào dãy chia hết cho 2014 thì vì có tất 2014 phép chia mà số dư gồm 1, 2, , 2013 đó theo nguyên lý Dirichle có ít hai số hạng dãy có cùng số dư chia 0,25 điểm S cho 2014 Gọi hai số hạng đó là Si và j Không tính tổng quát, giả sử i j 2014 thì Si a1 a2 , S j a1 a2 a j Lúc đó 0,25 điểm S j Si 2014 1 a j 2014 điều phải chứng minh Ghi chú : + Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải, học sinh giải cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa Tổ chấm thảo luận thống biểu điểm chi tiết cho các tình làm bài học sinh + Bài Hình học, không có hình vẽ học sinh thực các bước giải có logic và đúng thì cho nửa số điểm tối đa phần đó Vẽ hình sai (về mặt chất) lời giải đúng thì không cho điểm + Điểm câu và toàn bài không làm tròn số -HẾT - (7) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT NĂM HỌC 2014-2015 Môn thi: Toán chuyên Thời gian làm bài: 150 phút MA TRẬN ĐỀ Phân Mức độ môn Mạch kiến thức Biểu thức nguyên; phương trình nghiệm Số nguyên học Tìm số thỏa mãn điều kiện cho trước Căn thức Biến đổi đồng Hàm số Đại Phương trình số Bất đẳng thức Giá trị lớn nhất, nhỏ Đường tròn, tứ giác nội Hình tiếp Tính toán; chứng học minh Tìm tập hợp điểm Nâng Nguyên tắc Dirichlé, suy cao luận logic TỔNG CỘNG NHẬN BIẾT THÔNG HIỂU VẬN DỤNG CỘNG 2a 1,0 1,5 đ 2b 0,5 1a 1b 1,0 0,5 3b 1,5 4,0 đ 3a 1,0 4a,b 4c,d 3,5 đ 2,0 1,5 1,0 4,5 điểm 5,5 điểm 1,0 10,0 đ (8)