Về một vấn đề thuật toán liên quan đến tập rút gọn trong bảng quyết định nhất quán

Bài viết đưa ra khái niệm tập tựa rút gọn (tập thuộc tính chứa một tập rút gọn nào đó) trong bảng quyết định nhất quán. Tác giả trình bày một bài toán NP- đầy đủ liên quan đến lực lượng của các tập tựa rút gọn.

Kỷ yếu Hội nghị KHCN Quốc gia lần thứ XI Nghiên cứu ứng dụng Công nghệ thông tin (FAIR); Hà Nội, ngày 09-10/8/2018 DOI: 10.15625/vap.2018.00075 VỀ MỘT VẤN ĐỀ THUẬT TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TẬP RÚT GỌN TRONG BẢNG QUYẾT ĐỊNH NHẤT QUÁN Vũ Đức Thi Đại học Quốc gia Hà Nội Email: vdthi@vnu.edu.vn TÓM TẮT: Việc nghiên cứu tập rút gọn nói chung tập rút gọn bảng định quán nói riêng nhiều nhà khoa học thực Đối với bảng định quán ta có thuật tốn có độ phức tạp thời gian tính đa thức tìm tập rút gọn Đồng thời việc tìm thuộc tính dư thừa (thuộc tính không tham gia tập rút gọn nào) thực thuật tốn thời gian tính đa thức Tuy vậy, việc tìm tất tập rút gọn bảng định quán toán có độ phức tạp thời gian tính hàm mũ Trong báo này, tác giả đưa khái niệm tập tựa rút gọn (tập thuộc tính chứa tập rút gọn đó) bảng định quán Tác giả trình bày tốn NP- đầy đủ liên quan đến lực lượng tập tựa rút gọn Trên sở kết tác giả việc tìm tập rút gọn có lực lượng bé khơng thể thực thuật tốn có thời gian tính đa thức Có nghĩa nay, việc tìm tập khơng khả thi hệ thống máy tính Keywords: I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong toán thực tế, bảng định thường chứa đối tượng không quán (là đối tượng tập thuộc tính điều kiện khác tập thuộc tính định), gọi bảng định không quán Tuy nhiên, tùy thuộc vào lớp toán cần giải mà ta chuyển bảng định khơng qn bảng định quán qua bước tiền xử lý số liệu cách loại bỏ đối tượng khơng qn Có thể thấy rằng, bảng định DS bất kỳ, ta không cho phép có hai hàng giá trị giống nhau, việc kiểm tra DS có bảng định quán hay khơng thực thuật tốn có độ phức tạp tính tốn đa thức với kích cỡ bảng Việc nghiên cứu tập rút gọn bảng định quán liên hệ chặt chẽ với lí thuyết sở liệu quan hệ Trong phần này, đưa vài khái niệm cần dùng lí thuyết sở liệu quan hệ lí thuyết tập thơ Các khái niệm trình bày chi tiết [2, 4, 5] Định nghĩa 1.1 Cho giá trị cho R  a1 , , an  tập hữu hạn, khác rỗng thuộc tính, thuộc tính có miền D   Quan hệ r R tập h1 , , hm  với h j : R   D   ,1  j  m hàm R h j    D   Cho r  h1 , , hm  quan hệ tập thuộc tính R  a1 , , an  Phụ thuộc hàm (PTH) R dãy ký tự có dạng A B với A, B  R PTH A B thỏa mãn quan hệ r R nếu: h , h r   a  A  h  a  h  a   b B  h b  h b  i Đặt Fr  j i j i j  A, B  : A, B  R, A  B họ đầy đủ PTH thỏa mãn quan hệ r Ký hiệu P  R  tập tập R Cho F  P(R)xP(R) Ta nói F họ f R với A, B, C , D  R 1  A, A  F    A, B   F ,  B, C   F   A, C   F  3  A, B   F , A  C , D  B   C , D   F    A, B   F ,  C , D   F   A  C , B  D   F 576 VỀ MỘT M VẤN ĐỀ Ề THUẬT TOÁ ÁN LIÊN QUAN N ĐẾN TẬP RÚ ÚT GỌN TRON NG BẢNG QUY YẾT ĐỊNH NH HẤT QUÁN Rõ ràngg Fr mộtt họ f R N Nếu F họ f R thìì có quann hệ r R ssao cho Fr = F F Ký hiệu F tập tất c PTH đư ược dẫn xuất từ F việcc áp dụng quy q tắc 1     Sơ đồ quan q hệ (SĐQH H) s cặặp  R, F  với R tập th huộc tính F tập phhụ thuộc hàm R Ký  hiệu h A  a : A  a  F    , A  đư ược gọi bao đóng A n s Dễ thấy A  B  F Tương T tự ký hiệệu Ar  a : A  a  F  Gọi   P  R tập R Với tập  , A r  B  A đư ược gọi bao đóng đ A trênn quan hệ r làà hệ Spernner R u với A, B   kéo theo   hệ Speerner R, taa định nghĩa tậập  1 A  B Ở P(R) tập sau:  1   A  R :  B      B  A  v  A  C    B    B  C  Dễ thấyy  1 llà hệ Speerner R Nếu N th hiểu quann hệ r (hoặc SĐ ĐQH s) c phản khóa Cho r làà quan hệệ R đó, đ  r a  1  hệ Sperner ttrên R đóng vaai trị tập cá ác khóa tối họ tất c tập khơn ng phải khóa lớn r (hoặc s),, gọi tập   a  R Đặt ar  A  R : A  a ,  B :  B  a  B  A Khi đượcc gọi họ cácc tập tối thiểu ccủa thuộc tính h a r Định nghĩa n 1.2 Hệ thông tin m bốn S = ( U, A, V,, f ) đóó U tập hữuu hạn, khác rỗ ỗng đối tư ượng; A tậập hữu hạn, khác rỗng cáác thuộc tính h; V  V a với Va làà tập giá trị ccủa thuộc tính a A; aA f : U  A  Va hàm thhông tin, a  A, u  U f  u, a  Va Với mọọi u  U , a  A , ta ký hhiệu giá trị th huộc tính a t đối tượng u a  u  thay f u, a  Nếu B  b1 , b2 , , bk   A làà tập thuộc tínhh ta ký hiệuu giá trrị bi  u  B  u  Như vậy, u v v hai đối tượng, ta vviết B  u   B  v  bi  u   bi  v  với i  1, , k C  D   Bảng q định S đ gọi nhhất quán D phụ thuộc hàm vào C, tứ ức với mọii u , v  U , C  u   C  v kéo theo Định nghĩa n 1.3 Bảnng địnhh hệ thô ông tin S = (U U, A, V, f) vớới A= C D D  u   D  v  Ngược lại gọi khơnng quán haay mâu thuẫn C gọi tậ tập thuộc tính đđiều kiện D tập thuộc tíính định Thơng thườn ng D = {d} ứa thuộc tínnh Định nghĩa n 1.4 Choo bảng địnnh quán DS D  U, C  D,V , f  tậpp thuộc tính P ⊆ C gọọi tập rút gọn g nếu: - Với m cặp đối tư ượng u, v P P(u) = P(v) kéo o theo D(u) = D(v); - Với m E tập conn thực P tồn cặp p u, v để E(u) = E(v) không kééo theo D(u) = D(v)) Tập rútt gọn định nghhĩa còòn gọi tập rút gọn Pawlak k Ký hiệu PR RED  C  họ tất tập rút gọn c C Để phụục vụ cho việc giải mộột tốn NP P-đầy đủ, chún ng tơi trình bàyy khái niệm saau có g [1] Định nghĩa n 1.5 (Tậpp điểm phủ cạạnh - vertex co over set): Cho o trước đồ thị không định hhướng G = , với V tập đỉnh E tập cung Tập C ⊆ V llà tập điểm ph hủ cạnh ta có C ∩ {a , a } ≠ ⊘ đối vớới (a , a ) ∈ E Trước tiên, t tác giả trìình bày kkết cần thiết cho vấn đề Vũ Đức Thi 577 Định lí 1.1 [4] Cho bảng định quán DS  U , C  d  , V , f  với C  c1 , c2 , , cn  , U  u1 , u2 , , um  Xét quan hệ r  u1 , u2 , , um  tập thuộc tính R  C  d       Đặt  r  Eij :1  i  j  m với Eij  a  R : a  ui   a u j   Đặt d  A   r : d  A,  B   r : d  B, A  B Thì d   dr  1 Ở dr họ tập tối thiểu thuộc tính d  quan hệ r CÁC KẾT QUẢ Định nghĩa 2.1 Cho trước DS = (U, C ∪ {d}, V, f), tập B gọi tập tựa rút gọn DS tồn tập rút gọn A DS cho A ⊆ B Trước tiên, tác giả đưa kết sau Bổ đề 2.1 Cho K hệ Sperner C tồn bảng định quán: DS = (U, C {d}, V, f) để K= (Kdr) -1 Chứng minh: Giả sử K = { A1,…,Am } Ta xây dựng bảng định DS = ( U, C U = {u0, u1,…, um} với c c(ui) = c Đặt với {d}, V, f) sau: C : c(u0) = d(u0) = Với i, i = 1,…m c phần tử C Ta đặt Ai Ngược lại c(ui) = i Đặt d(ui) = i Ở R = C {d}  r   Eij :1  i  j  m   Eij  a  R : a  ui   a  u j  Đặt   d  A   r : d  A,  B   r : d  B, A  B Có thể thấy Md = { A1,…,Am } Theo Định lí 1.1, ta có Md= (Kdr) -1 Như K= (Kdr) -1 Kết chứng minh Định lý 2.1 Vấn đề sau NP- đầy đủ Cho trước hệ Sperner Κ R = { , , … , }, số nguyên dương k (k ≤n) Việc xác định có tồn hay khơng tập A ⊆ R cho | | ≤ B (B ∈ ) ⊈ Chứng minh: Chọn ngẫu nhiên A cho | | ≤ xác định A không tập tập B ∈ có thời gian tính đa thức với n m (Ở | | = ) Do vấn đề thuộc NP Dễ thấy việc xác định Chúng ta chọn vấn đề sau [1] NP - đầy đủ (vấn đề lực lượng tập điểm phủ cạnh -vertex cover problem) Cho số k nguyên dương đồ thị không định hướng G = , với V tập đỉnh E tập cung, xác định có tập điểm phủ cạnh có lực lượng không lớn k Chúng ta chứng minh vấn đề chuyển vấn đề phép biến đổi có thời gian đa thức Giả sử G= đồ thị không định hướng k ≤ |A| Đặt R= V, P = R\{a , a }: (a , a ) ∈ E Dễ thấy P hệ Sperner R Giả sử P={B1, ,Bm} 578 VỀ MỘT VẤN ĐỀ THUẬT TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TẬP RÚT GỌN TRONG BẢNG QUYẾT ĐỊNH NHẤT QUÁN Nếu |A| ≤ k A ⊈ B , với i = 1, ,m, định nghĩa P ta có A ∩ {a , a } ≠ ⊘ (a , a ) ∈ E Do A tập điểm phủ cạnh G Ngược lại A tập điểm phủ cạnh G từ định nghĩa P định nghĩa tập điểm phủ cạnh, ta có A ⊈ B , với i = 1, ,m Do A ⊈ B (với i = 1, ,m) A tập điểm phủ cạnh G Kết chứng minh Trên sở Bổ đề 2.1, có thuật tốn thời gian tính đa thức để tìm bảng định quán từ hệ Sperner cho trước K cho = , với định lý có kết sau Hệ 2.1 Vấn đề sau NP - đầy đủ: Cho trước số nguyên dương k bảng định quán DS = (U, C ∪ {d}, V, f) Việc xác định có tồn hay không tập tựa rút gọn A DS mà |A| ≤ k Như biết, kí pháp lớp tốn nhận biết máy Turing tiền định P lớp toán nhận biết máy Turing bất định NP, tốn NP = P hay khơng toán chưa giải Tuy vậy, hầu hết nhà khoa học cho NP khác P Từ kết trên, có kết sau Hệ 2.2 Cho trước bảng định DS = (U, C ∪ {d}, V, f ) Khi việc tìm tập rút gọn có lực lượng nhỏ DS thực thuật tốn có thời gian tính đa thức LỜI CÁM ƠN Nghiên cứu cảm ơn tài trợ đề tài mã số 01/2018/KCM phối hợp thực Viện CNTT, ĐHQGHN với Học viện Kỹ thuật Mật mã TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Aho A V., Hofcroft J E., Ullman J D The design and analysis of computer algorithms Addison - Wesley, Reading, Mass., 1974 [2] Demetrovics J and Thi V D (1995) “Some remarks on generating Armstrong and inferring functional dependencies relation” Acta Cybernetica 12, pp 167-180 [3] Nguyen Long Giang, Vu Duc Thi (2011) “Some Problems Concerning Condition Attributes and Reducts in Decision Tables” Proceeding of the Fifth National Symposium “Fundamental and Applied Information Technology Research” (FAIR), Bien Hoa, Dong Nai, pp 142-152 [4] Nguyễn Long Giang, Vũ Đức Thi (2011) “Thuật tốn tìm tất rút gọn bảng định” Tạp chí Tin học Điều khiển học, T.27, S.3, tr 199-205 [5] Pawlak Z (1991) “Rough sets: Theoretical Aspects of Reasoning About Data” Kluwer Academic Publishers ON THE COMPUTATIONAL PROBLEM RELATED TO REDUCT IN THE CONSISTENT DECISION TABLES Vu Duc Thi ABSTRACT: In this paper, we show the NP- complete problem in the consistent decision tables This problem is related to reduct in the consistent decision tables From this result, we show that up to now, there is no polynomial algorithm to find the minimal reduct  ... ,Bm} 578 VỀ MỘT VẤN ĐỀ THUẬT TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TẬP RÚT GỌN TRONG BẢNG QUYẾT ĐỊNH NHẤT QUÁN Nếu |A| ≤ k A ⊈ B , với i = 1, ,m, định nghĩa P ta có A ∩ {a , a } ≠ ⊘ (a , a ) ∈ E Do A tập điểm phủ...576 VỀ MỘT M VẤN ĐỀ Ề THUẬT TOÁ ÁN LIÊN QUAN N ĐẾN TẬP RÚ ÚT GỌN TRON NG BẢNG QUY YẾT ĐỊNH NH HẤT QUÁN Rõ ràngg Fr mộtt họ f R N Nếu F họ f R thìì có quann hệ r R ssao cho Fr = F F Ký hiệu F tập. .. E(v) không kééo theo D(u) = D(v)) Tập rútt gọn định nghhĩa còòn gọi tập rút gọn Pawlak k Ký hiệu PR RED  C  họ tất tập rút gọn c C Để phụục vụ cho việc giải mộột toán NP P-đầy đủ, chún ng tơi trình