Đang tải... (xem toàn văn)
Gọi H là trực tâm ABC thì có BHCD là hình bình hành, nên M là trung điểm HD... Giải pt này bằng cách chia trường hợp để phá..[r]
(1)HƯỚNG DẪN GIẢI Câu : Ta thấy tứ giác BMHN nội tiếp, suy I là trung điểm BH; A B d B (2 2t ; t ) Suy H (2 2t ; t ) AH (3 2t ; t 4), BP (2t 1; t 2) N H Do H là trực tâm tam giác ABC AH BP (2t 3)(2t 1) (t 4)(t 2) I 5t 10t t 1 B M P Suy H (0;1), B (4; 1), AH (1; 3) ,đường thẳng BC : x y Đường thẳng AC : x y Tìm toạ độ C (5; 4) Câu : Gọi H , K là hình chiếu vuông góc M trên AB, AD Gọi N là giao điểm KM và BC Gọi I là giao điểm CM và HK Ta có DKM vuông K và DKM 450 A K I H B M N KM KD KM NC (1) Lại có MH MN ( MHBN là hình vuông) Suy hai tam giác vuông KMH ,CNM MCN HKM D C NCM IMK HKM 900 Mà NMC IMK nên NMC Suy CI HK Đường thẳng CI qua M (1;1) và vuông góc với đường thẳng d nên VTPT nCI VTCP ud (1;1) nên có phương trình (x 1) (y 1) x y Do điểm C thuộc đường thẳng CI và đường thẳng nên tọa độ điểm C là nghiệm hệ x y x phương trình x 2y y Vậy C (2;2) C (2) Câu : C D I x-7y=0 A B M(-2;-1) N(2;-1) Gọi I là giao điểm AC và BD I(7y;y) Do tam giác BDM và BDN vuông M, N nên IM IN DB (7 y 2) ( y 1) (7 y 2) ( y 1) y I (0; 0) Khi đó BD=2IM= AC AC BD IA IC 2 10 x y Tọa độ A, C thỏa mãn hệ phương trình 2 25 x y 7 x x 7 7 Vậy tọa độ điểm A( ; ), C( ; ) A( ; ), C( ; ) 2 2 2 2 y y 2 Câu : Phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A: 2x+y-4=0 Gọi A(a;4-2a), trung điểm đoạn BC là M(2m-3;m) Ta có AG (4 a; 2a 3); GM (2m 7; m 1) , mà AG 2GM a a 4m 18 Vậy A(4;-4), M(4; ) 2a 2m m Gọi B (2b 3; b) C (11 2b;7 b) BC (14 4b) (7 2b) (3) d ( A; BC ) nên diện tích tam giác ABC (14 4b) (7 2b) 15 20b 140b 4255 Với b= 9 5 ta có B(6; ); C(2; ), Với b= ta có B(2; ); C(6; ) 2 2 2 Câu : Gọi E là trung điểm đoạn DH Khi đó tứ giác ABME là hình bình hành ME AD nên E là trực tâm tam giác ADM Suy AE DM mà AE / / DM DM BM Phương trình x y 4 B 4; Gọi I là 3 x y 16 đường thẳng BM : x y 16 Tọa độ điểm B là nghiệm hệ giao điểm AC và BD, ta có AB IB 10 10 DI IB I ; Phương trình đường CD IC 3 14 18 ; C 6; Từ 5 thẳng AC : x y 10 ,phương trình đường thẳng DH : x y H CI IA A 2;4 Câu : Câu : Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua AD M ' AC + Ta có pt MM ': x y 1 + Gọi I MM ' AD I (1; 2) + Do I là trung điểm MM ' M ' ( 4; 5) * Đường thẳng AD có vtpt là n (1;1) (4) Giả sử đường thẳng AC có vtpt là n1 ( a; b), a b + Theo giả thiết suy ra: n n1 ab a 7b 4 cos cos n, n1 a 50ab 7b n n1 a b2 b a Với a 7b , chọn b a pt AC : x y 33 x y x 5 A 5; 7 x y 33 y - Điểm A AD AC A : - Điểm M (2;1) là trung điểm AB B 9; (loại) + Với b a , chọn a b pt AC : x y 39 x y x A 3; 6 x y 39 y 6 - Điểm A AD AC A : - Điểm M (2;1) là trung điểm AB B 1;8 (thỏa mãn đk) AB 10 và pt AB : x y 15 d ( M '; AB) * Nhận thấy: SM ' AB d ( M '; AB) AB 48 48 ; 144 S ABC d (C; AB) 3.d (M '; AB) 3 Lại vì M’ nằm A, C nên AC AM ' C (18; 3) Vậy A 3; 6 , B 1;8 , C (18; 3) là các điểm cần tìm 3 x y x D(0; 0) AD : x y có vtpt x 2y y Câu : *Tọa độ điểm D là nghiệm hệ : ADB ADB 450 AD AB n1 (3; 1) ; BD : x y có vtpt n2 (1; 2) , cos( AD, BD) cos (5) 450 BCD vuông cân B DC AB Vì BC , AB 450 nên BCD *Ta có : S ABCD AB ( AB CD ) AD 24 AB BD 2 10 10 b b2 10 B BD : x y B (b; ) , ( b ) BD b 4 b B ; 5 *Đường thẳng BC BD và qua B BC : x y 10 K Câu : A D N E H I B M C Theo giả thiết ABD ACE, suy BCDE là tứ giác nội tiếp Gọi H là giao điểm BD và CE Do BEH đồng dạng với CDH nên HD HB HE.HC Do HBN đồng dạng với HMD nên HD HB HM HN Do HIE đồng dạng với HCK nên HE HC HI HK Do đó HM HN HI HK KHM Suy NIMK là tứ giác nội tiếp Vậy suy IHN đồng dạng với MHK , nên NIH đường tròn ngoại tiếp tam giác MNI là đường tròn ngoại tiếp tam giác MNK, có pt: ( x 1)2 ( y 1)2 Câu 10 : Gọi F là điểm đối xứng với E qua d F ( 1;2) Nhận xét: (C ) có tâm I ( 2;0), bán kính R và F (C ) Từ đó AB qua F và vuông góc với IF nên có phương trình AB : x y AB d A(3;0) AC : x y A Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp ABC Đường thẳng qua E H I F J B D C (6) 10 E , AC : x y d J ; 3 Gọi vtpt đường thẳng BC là n (a; b), a b Ta có: cos 450 | 2a b | a b 2 2a b a b 3a 8ab 3b a : suy b (loại) a : chọn a b (thỏa mãn hệ số góc âm), Suy phương trình BC : x y C Do J là tâm đường tròn nội tiếp ABC nên d ( J , AC ) d ( J , BC ) 10 | | | 10 C | 29 10 29 10 3 Suy C (thỏa mãn); C 3 10 (loại vì đó A, J nằm phía BC ) Từ đó: BC : x y 29 10 Đáp số: AB : x y ; AC : x y ; BC : x y 29 10 Câu 11 : A M H B I J D N C Gọi N là trung điểm CD và H là tâm hình chữ nhật AMND Gọi (C) là đường tròn ngoại (7) tiếp hình chữ nhật AMND Từ giả thiết, suy NJ//DI, đó NJ vuông góc với AC, hay J thuộc (C) (vì AN là đường kính (C)) Mà MD là đường kính (C) nên JM vuông góc với JD (1) D thuộc nên D (t ; t 1) JD(t 1; t 1), JM ( 1;3) Theo (1) JD.JM t 3t t 2 D (2; 1) a2 Gọi a là cạnh hình vuông ABCD Dễ thấy DM a a x 2; y 2 AM x ( y 3) Gọi A( x; y ) Vì 2 ( x 2) ( y 1) 16 AD x ; y - Với A(2;3) B (2;3) I (0;1) C (2; 1) J (1;0) (thỏa mãn) - Với 6 7 23 8 22 11 A ; B ; I ; C ; J 3; (loại) 5 5 5 5 5 Vậy tọa độ các đỉnh hình vuông là A(2;3), B (2;3), C (2; 1), D (2; 1) Câu 12 : Đặt BC = a Ta có AM = BA a a cos BAM a AM 2 Gọi VTPT đt AM là n(m; n) cos( AM ; AB) mn (m n )(1 1) (8) m 3n n m 12 32 ; ( Loại) 5 TH1: m = -3n có đt AM: 3x- 4y suy tọa độ điểm A TH2: m n có đt AM: x – 3y + = suy tọa độ điểm A(-4; 0) ĐT (BH): 3x+y – = suy tọa độ điểm B(0 ; 4) => đt BC: x+y – = 0=> M(2;2) => C(4;0) Sử dụng AB DC => D(2; - 2) KL: … Câu 13 : B A I H M C D Gọi E là trung điểm DH ta thấy ABME là hình bình hành nên ME AD , nên E là trực tâm tam giác ADM AE MD mà AE BM nên DM DM Từ đó suy phương trình BM : 3x y 16 4 B (4; 4) Tọa độ B là nghiệm hệ 3xx2 yy 16 AB IB 10 10 DI IB I ( ; ) CD IC 3 Phương trình đường thẳng AC : x y 10 14 18 Phương trình đường thẳng DH : x y suy tọa độ H ( ; ) suy tọa độ C(6; 2) 5 Từ CI IA A(2; 4) Gọi I là giao điểm AC và BD, ta có (9) Câu 14 : Ta có PH PN PQ và cos HPN Gọi u (a; b) là VTCP PN, PH (4;3) , cos(u, PH ) suy ra: cos HPN 4a 3b a b2 a 7a 24ab 24 a b a NP : x N (4;3) b Với a Với a a 24 24 b NP : x 24 y 56 b 17 17 N ; Vậy N (4;3) N ; 5 5 Câu 15 : A J B N M I D K C Gọi J là trung điểm AB đó AJCK là hình bình hành AK // CJ (10) Gọi CJ BM = N N là trung điểm BM Chứng minh AK BI từ đó suy tam giác BMC là tam giác cân C Ta có MC 3; 1 MC 10 CM = BM = AB = 10 Trong tam giác vuông ABM có AB BM BI BM AB AI BM AB BM 2 B là giao hai đường tròn (C; 10 ) và (M; 2 ) Tọa độ điểm B thỏa x 2 y 2 10 mãn: B(1; 1) 2 x 1 y 1 Phương trình đường thẳng AB có dạng: x - 3y + = Phương trình đường thẳng AM có dạng: x + y + = A (-2; 0) Ta có BA CD D 1; 3 Câu 16 : Gọi N là trung điểm đoạn AB N : x y N n; n Tam giác ABM vuông M có N là trung điểm AB AN BN MN Tam giác AKB vuông K có N là trung điểm AB AN BN KN 2 Suy MN=KN n 3 n n n n Vậy 5 5 2 (11) N(1;3) Gọi I là giao BK và MN BK có pt 2x-y+5=0 MN có pt x+2y 19 7=0 Suy I ; I là trung điểm BK Suy 5 B 0;5 ; C 6; 1 Câu 17 : Câu 18 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác đường cao AA’có phương trình x+2y-2=0 trực tâm H(2;0) kẻ các đường cao BB’và CC’ đường thẳng B’C’ có phương trình x-y+1=0 M(3;-2)là trung điểm BC tìm tọa độ các đỉnh A,B và C (12) Xét đường tròn ngoại tiếp Tam giác ABC kẻ đường kính AN A B' J C' => M là trung điểm HN = > N(4;-4) I H J là trung điểm AH = >MJ//AN và MJ B’C’ C Phương trình AN là x+y=0 =>tọa dộ A(-2;2) M B A' = > I(1;-1) N x t y 2 2t BC có Phương trình B(3+t;-2+2t) IB=IA = > B (3 13; 2 13) C (3 13; 2 13) Câu 19 : Gọi AI là phan giác BAC A Ta có : AID ABC BAI E M' B K I CAD CAI IAD M C D CAI , nên Mà BAI AID IAD ABC CAD DAI cân D DE AI PT đường thẳng AI là : x y Goị M’ là điểm đối xứng M qua AI PT đường thẳng MM’ : x y Gọi K AI MM ' K(0;5) M’(4;9) VTCP đường thẳng AB là AM ' 3;5 VTPT đường thẳng AB là n 5; 3 Vậy PT đường thẳng AB là: x 1 y x y (13) Nguy n Ng c Tân - -TG5 Câu 20 : G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm cạnh AB MG ME EG // CD EG KD Mà ABC là tam giác cân nên KG MD G là trực tâm MC MD tam giác EKD nên KE GD KE BD t 15 t 21 t 21 , t DP t 1; , DK t 1; Suy BD : x y 21 D t ; t t 15 t 21 Vì DP DK nên t 1 t 1 D3;4 0 t 117 37 AC qua D và P AC : x y 11 AK qua K và vuông góc với DE nên KA : x A1;5 Kết hợp D là trung điểm AC C 4;3 BC qua C và vuông góc với AK nên BC : y B 3;3 Vậy A1;5, B 3;3, C 4;3 Câu 21 : Ta có: d1 d I Toạ độ I là nghiệm hệ: x y x / 9 3 Vậy I ; 2 2 x y y / Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M là trung điểm cạnh AD M d Ox Suy M( 3; 0) 9 2 3 2 Ta có: AB IM (14) Nguy n Ng c Tân - -TG5 Theo giả thiết: S ABCD AB.AD 12 AD S ABCD 12 2 AB Vì I và M cùng thuộc đường thẳng d1 d AD Đường thẳng AD qua M ( 3; 0) và vuông góc với d1 nhận n(1;1) làm VTPT nên có PT: 1( x 3) 1( y 0) x y Lại có: MA MD x y Toạ độ A, D là nghiệm hệ PT: x 3 y 2 y x y x y x 2 2 x 1 x 3 y x 3 (3 x) x x Vậy A( 2; 1), D( 4; -1) y y 9 3 2 2 x C x I x A y C y I y A Do I ; là trung điểm AC suy ra: Tương tự I là trung điểm BD nên ta có B( 5; 4) Vậy toạ độ các đỉnh hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1) Câu 22 : Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và R là bán kính của (C), ta có 5 IA ;5 R IA 2 1 125 Phương trình đường tròn (C) có dạng x y 1 2 Phương trình đường thẳng AM có dạng x Gọi D AM (C ) thì tọa độ của D thỏa mãn hệ phương trình (15) Nguy n Ng c Tân - -TG5 x x 2 1 125 2 y 1 25 x y 1 2 x x (tọa độ của điểm A) hay D 2; 4 y y 4 , suy Do AM là đường phân giác của góc A nên D là điểm chính giữa của cung BC BC ID Đường thẳng BC qua điểm M và nhận ID ; 5 làm vectơ pháp tuyến có phương trình 2 x y x y 2 Tọa độ của B, C là nghiệm của hệ phương trình x y x y 1 125 2 y 4y x y 1 2 x x 3 hay y y 4 Vậy B 5;0 , C 3; 4 hay B 3; 4 , C 5;0 Câu 23 : A E(-1;-3) x I H F(1;3) / B // x M(3;-1) / // D(4;-2) C (16) Nguy n Ng c Tân - -TG5 + Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành + Tìm H(2;0) + PT đường cao (BH):x-y-2=0 + PT cạnh (AC):x+y-4=0 +Gọi C(c ;4-c) thuộc AC Nhờ t/c trung điểm suy B(6-c ;-6+c) B nằm trên BH nên ta có (6-c)-(-6+c)-2=0 hay c=5 Suy : B(1 ;-1) và C(5 ;-1) + PT đường cao (AH) qua H(2;0) và vuông góc BC là :x-2=0 + A là giao điểm AH và AC nên A(2;2) Câu 24 : Giả sử : AB a, (a 0) Suy : CE Ta có : AM AB BM AE AD DE ME CM CE 3a a , DE 4 a a 17 a 13 Theo định lý Cosin AME, ta có : cos EAM AE2 AM EM AE.AM 85 Ta có A ( AE ) A(m; 4m) vì A có tung độ dương nên : 4m m Suy đường thẳng AM có VTCP là AM (4 m; 4m 2) mà đường thẳng AE có VTCP là a AE (1; 4) (17) Nguy n Ng c Tân - -TG5 AM a AE Khi đó : cos EAM cos AM , a AE AM a AE 1(4 m) 4(4m 2) 2 ( 4) (4 m) (4m 2) Lúc này, ta có : 12 17 m 17 17 m 24m 20 m 833m 1176m m 24 85 17 17m2 24m 20 17 12 17m Vì m chọn m Vậy : A(0; 4) Câu 25 : Ta có : B (d ) B (b; 2b 1) Mà : d ( B, (CM )) BH b 8(2b 1) 10 52 52 17b 18 52 65 65 12 (8)2 b B(2; 5) b 70 B 70 ; 123 17 17 17 70 123 Điểm B ; : loại, vì điểm B này và điểm D đã cho nằm cùng phía 17 17 đường thẳng CM Chọn B (2; 5) , suy I (3; 0) Ngoài : C (CM ) C (8c 10; c) với c BC (8c 12; c 5) Mà BC DC BC.DC với DC (8c 14; c 5) c (8c 12)(8c 14) (c 5)(c 5) 65c 208c 143 143 c 65 (18) Nguy n Ng c Tân - TG5 Vì c , chọn c , suy C (2;1) I là trung điểm AC nên A(8; 1) Vậy : A(8; 1), B (2; 5), C (2;1) Câu 26 : Đường tròn (C ) có tâm I(1,2),R=2 Gọi M(a,b) Do M (C1 ) a b 6a 4b 11 0(1) Phương trình đường tròn đường kính IM: x y2 (a 1) x (b 2) y a 2b Suy phương trình đường thẳng d: (a 1) x (b 2) y a 2b Do P d a b 0(2) a M (4;1) b Từ (1) và (2) suy ra: Câu 27 : Giả sử D a; b Vì M là trung điểm BD nên B a; 2 b Ta có ADC 900 AD DC BN / /CD NB a;1 b và CD a 4; b a b a 1 b b a 1 Ta có PD a 1; b 3 ; PD CD a 1 a b b 3 (2) a a Thế (1) vào (2) ta có 2a 18a 40 Ta có NB, CD cùng phương (19) Nguy n Ng c Tân - TG5 Với a = ta có b = -2 Khi đó D(4;-2) trùng C (loại) Với a = ta có b = -1 Vậy D(5;-1) và B(1;-1) Vì AD qua P(1;3) và D(5;-1) nên phương trình đường thẳng AD: x + y – = Vì AB vuông góc với BC nên phương trình đường thẳng AB: 3x - y – = 3 x y x x y y Tọa độ A là nghiệm hệ phương trình Vậy A 2; , D(5;-1) và B(1;-1) Câu 28 : Đường tròn (C) có tâm I (2;1) , bán kính R Do M d nên M (a;1 a) Do M nằm ngoài (C) nên IM R IM (a 2) (a) 2a 4a (*) Ta có MA2 MB IM IA2 (a 2) (a) 2a 4a Do đó tọa độ A, B thỏa mãn phương trình: ( x a) ( y a 1) 2a 4a x y 2ax 2(a 1) y 6a (1) Do A, B thuộc (C) nên tọa độ A, B thỏa mãn phương trình x y x y (2) Trừ theo vế (1) cho (2) ta (a 2) x ay 3a (3) Do tọa độ A, B thỏa mãn (3) nên (3) chính là phương trình đường thẳng qua A, B +) Do (E) tiếp xúc với nên (E) có bán kính R1 d ( E, ) Chu vi (E) lớn R1 lớn d ( E , ) lớn 11 2 Nhận thấy đường thẳng luôn qua điểm K ; (20) Nguy n Ng c Tân - TG5 Gọi H là hình chiếu vuông góc E lên d ( E, ) EH EK 10 Dấu “=” xảy H K EK 2 Ta có EK ; , có vectơ phương u (a; a 2) Do đó EK EK u a (a 2) a 3 (thỏa mãn (*)) Vậy M 3;4 là điểm cần tìm Câu 29 : Vì ABCD là hình thang cân nên nội tiếp đường tròn Mà BC CD nên C B H A AC là đường phân giác góc BAD B' D M Gọi B ' là điểm đối xứng B qua AC Khi đó B ' AD Gọi H là hình chiếu B trên AC Tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình: x y 1 x Suy H 3; x y y Vì B’ đối xứng với B qua AC nên H là trung điểm BB’ Do đó B ' 4;1 Đường thẳng AD qua M và nhận MB ' làm vectơ phương nên có phương trình x y Vì A AC AD nên tọa độ điểm A là nghiệm hệ phương trình: x y 1 x Do đó, A 1;0 x 3y 1 y (21) Nguy n Ng c Tân - TG5 Ta có ABCB’ là hình bình hành nên AB B ' C Do đó, C 5; Gọi d là đường trung trực BC, suy d : 3x y 14 Gọi I d AD , suy I là trung điểm AD Tọa độ điểm I là nghiệm hệ: 3 x y 14 43 11 38 11 Suy ra, I ; Do đó, D ; 10 10 5 x 3y 1 Vậy, đường thẳng CD qua C và nhận CD làm vectơ phương nên có phương trình x 13 y 97 Câu 30 : Gọi H là hình chiếu vuông góc B lên CD ABM HBC BM BC BNC BMN BH d B, d 2 BD D BD D m; :BD d 1 d 1(L) V d Vậy : D(3;2) Câu 31 : Gọi N là điểm đối xứng M qua phân giác BE thì N thuộc BC Tính N(1; 1) Đường thẳng BC qua N và vuông góc với AH nên có phương trình 4x − 3y – = B là giao điểm BC và BE Suy tọa độ B là nghiệm hệ pt: 4 x y B (4;5) x y 1 A E M(0;2) I B N C H (22) Nguy n Ng c Tân - TG5 Đường thẳng AB qua B và M nên có phương trình : 3x – 4y + = A là giao điểm AB và AH, suy tọa độ A là nghiệm hệ pt: 3x y A( 3; ) 3x y 10 Điểm C thuộc BC va MC = suy tọa độ C là nghiệm hệ pt: C (1;1) x 1; y 4 x y 31 33 31 33 2 C ; x ; y x ( y 2) 25 25 25 25 Thế tọa độ A và C(1; 1) vào phương trình BE thì hai giá trị trái dấu, suy A, C khác phía BE, đó BE là phân giác tam giác ABC 31 33 Tương tự A và C ; thì A, C cùng phía với BE nên BE là phân giác ngoài tam 25 25 49 49 giác ABC BC = 5, AH d ( A, BC ) Do đó S ABC (đvdt) 20 Câu 32 : A là giao điểm đường phân giác AD và đường tròn (I) ( (I) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) x y x y x y x 2 (nhËn) Tọa độ A thỏa hệ 2 2 x x 20 x y x y 20 x (lo¹i) (23) Nguy n Ng c Tân - TG5 (do A có hoành độ âm) A(-2;2) Gọi D là điểm thỏa: D = (I) (d); D A Ta có D(5;-5) AD: đường phân giác BAC DAC BOD DOC ID là tia phân giác BOC Lại có BOC cân O BAD (OB=OC=R) ID là phân giác đồng thời BOC ID BC (I): x y x y 20 ( x 2)2 ( y 1) 25 Tâm I(2;-1) ID (3; 4) Đường thẳng BC qua M có VTCP ID (3; 4) nên có pt: 3x y 25 Tọa độ B,C thỏa hệ: 2 3x y 25 x y x y 20 3( x 3) 4(y 4) 3x y 25 3x y 25 2 (4 y 25) 12(4 y 25) 18 y 180 9 y 25 y 170 y 145 3 x y 25 x x y 1 y 1 y 29 y 29 5 Vậy ta tìm điểm A, B, C thỏa đề: 29 A ( 2;2); B (7; 1); C ( ; ) 15 A(2;2); B ( ; 29 ); C (7; 1) 15 Câu 33 : (24) Nguy n Ng c Tân - TG5 M H B A I C D Ta có : tam giác MDC vuông D =>(MD) : x – y + = => D(-2; 3) MD = => HD = MD = 2 Gọi AB = a => SABCD = 3a.2 = 12 => a = 2 =>DC = Gọi C(c; –c ) => DC2 = 2(c + )2 => c = hay c = -6 (loại)=>C(2; -1) =>B(3; 2) => (BC): 3x – y – = Câu 34 : 45 BCA 135 AIB 90 BCA 45 ADC cân D Suy CAD Ta có DI AC Khi đó phương trình đường thẳng AC có dạng: x y A 2a 9; a , AD 2a; 1 a AD 40 a 6a a a A 1;5 (n) (25) Nguy n Ng c Tân - TG5 Phương trình BD : x y Phương trình BI: 3x y B BI BD B 2; 2 Câu 35 : Gọi H’ là đối xứng H qua phân giác BD thì H ' AB HH ' BD ptHH ' : x y c H (4;1) HH ' c Vậy pt HH’: x –y + = Gọi K là giao điểm HH’ và BD , tọa độ K thỏa hệ: x y 5 K (0;5) x y K là trung điểm HH’ H '(4;9) MH ' ; 3 1; 5 5 quaH ' 4;9 AB : VTPT n 5;1 Pt AB: 5x + y – 29 = 5 x y 29 B(6; 1) x y B là giao điểm AB và BD tọa độ B thỏa hệ 4 5 M là trung điểm AB A ;25 Câu 36 : * C là giao điểm AC và Oy => C(0 , 4) (26) Nguy n Ng c Tân - TG5 * Gọi B(0 , b) * Phương trình AB: y = b (do AB vuông góc BC Oy) 16 4b * A là giao điểm AB và AC => A ,b * Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Ta có: b4 2SABC S pr r b4 AB BC CA b b b 3 b A(4,1), B(0,1), C(0, 4), D(4, 4) * r = b4 3 b A( 4,7), B(0, 7), C(0, 4), D( 4, 4) Câu 37 : Gọi n a; b là vtpt CD a b PT CD: ax by a b S BCD S ACD d A; CD 2.S d M , CD CD 0.25 CD : y a 0; b 3a 4ab a b a 4; b CD : x y 2a b 2 0.25 d d 9 : L Với CD: y D d ; 1 ; CD AB 64 D 7; 1 ; AB DC 4; B 9; 3 0.25 25 d 1 4d 64 : loại Voí CD: x y D d ; CD Câu 38 : 0.25 (27) Nguy n Ng c Tân - TG5 E A I B H F P D K C +) Gọi AB=a (a>0) S EFK S ABCD S AEF S FDK S KCBE S EFK 5a 16 25 a 17 FH.EK , FH d(F, EK) ; EK a5 17 ABCD là hình vuông cạnh EF 2 x 11 25 x 58 (loai) x ( y 3) 5 +) Tọa độ E là nghiệm: E 2; 2 17 2 19 x y 18 y +) AC qua trung điểm I EF và AC EF AC: x y 29 10 x 7 x y 29 10 17 Có : AC EK P P ; 3 19 y 18 y 17 Ta xác định được: IC IP C (3;8) Câu 39 : (28) Nguy n Ng c Tân - TG5 Gọi E,F,G là trung điểm BH AB Ta chứng minh AF EF G A Ta thấy các tứ giác ADEG và giác ADEF nội tiếp, đó H Tọa độ điểm F là D E 17 x 3 x y 10 17 F ; AF 5 x 3y y các đoạn thẳng CD, ADFG nội tiếp nên tứ AF EF F Đường thẳng AF có pt: x+3y-4=0 nghiệm hệ AFE DCB EF B C 32 AF ; 2 51 17 E t ;3t 10 EF t 3t 5 5 19 19 5t 34t 57 t t hay E 3; 1 E ; 5 Theo giả thiết ta E 3; 1 , pt AE: x+y-2=0 Gọi D(x;y), tam giác ADE vuông cân D nên x 12 y 12 x 32 y 12 AD DE AD DE x 1 x 3 y 1 y 1 y x x x hay D(1;-1) D(3;1) y 1 y x 1 x Vì D và F nằm hai phía so với đường thẳng AE nên D(1;-1) Khi đó, C(5;-1); B(1;5) Vậy B(1;5); C(5;-1) và D(1;-1) Câu 40 (29) Nguy n Ng c Tân - TG5 Gọi E = BN AD D là trung điểm AE Dựng AH BN H AH d A; BN Trong tam giác vuông A H M ABE: 1 2 AH AB AE 4AB2 AB B K D N 5.AH 4 E B BN B(b; - 2b) (b > 2) AB = B(3; 2) Phương trình AE: x + = E = AE BN E(-1; 10) D(-1; 6) M(-1; 4) Gọi I là tâm (BKM) I là trung điểm BM I(1; 3) R BM Vậy phương trình đường tròn: (x - 1)2 + (y - 3)2 = Câu 41 C (30) Nguy n Ng c Tân - TG5 Câu 42 O K B A (C): x2 + y2 = có tâm O(0;0) bán kính R = (31) Nguy n Ng c Tân - TG5 Ta có d(O;d) = 10 =OA OA (d) A (d) A(t;3t-2) OA =(t;3t-2) (d) có vtcp ud =(1;3) Ta có: OA ud = t + 3(3t-2) = t = 3 1 A ; 5 5 Ta có OAB vuông A, KA = KB KA = KB = OK K là trung điểm OB OB = 2OK = Vì B (d) B(b;3b-2)Ta có OB2 = 20 b2+(3b-2)2 = 20 5b2-6b-8=0 b B 2; b B ; 22 5 3 1 22 Vậy A ; , B(2;4) B ; 5 5 Câu 43 Đường tròn (C) có tâm I(-1; 2), bán kính R = 13 Khoảng cách từ I đến đường thẳng ( ) là d ( I , ) 13 <R Vậy đường thẳng ( ) cắt (C) hai điểm A, B phân biệt Gọi M là điểm nằm trên (C), ta có S ABM AB.d ( M , ) Trong đó AB không đổi nên S ABM lớn d ( M , ) lớn -Gọi d là đường thẳng qua tâm I và vuông góc với ( ) (32) Nguy n Ng c Tân - TG5 PT đường thẳng d là 3x + 2y - = Gọi P, Q là giao điểm đường thẳng d vời đường tròn (C) Toạ độ P, Q là nghiệm hệ phương trình: x y x y x 1, y 1 x 3, y 3 x y P(1; -1); Q(-3; 5) Ta có d ( P , ) 13 ; d ( Q , ) 22 13 Ta thấy d ( M , ) lớn và M trùng với Q Vậy tọa độ điểm M (-3; 5) Câu 44 Gọi I là trung điểm CD, I 1 I (a; nên DI (a 6; 2a 17 ) 2a ) , đường thẳng 1 có VTCP u1 (3; 2) vì DI u1 a 4 đó I (4; 3) suy C (2;0) Gọi C’ đối xứng với C qua Ta có phương trình CC’: x-5y+2=0 x 5y 1 J ( ; ) nên C ' (3;1) 2 5 x y Gọi J là trung điểm CC’ Tọa độ J là nghiệm hệ Đường thẳng AB qua C’ nhận DC làm VTCP có phương trình: 3x-2y-7=0 \ 3 x y A(1; 2) 5x y Tọa độ A là nghiệm hệ: Do ABCD là hình bình hành nên AB DC suy B (5; 4) Vậy A(1; 2) , B (5; 4) , C (2;0) Câu 45 (33) Nguy n Ng c Tân - TG5 A M H B d I Gọi I ( t ; t ) d là tâm đường tròn ( t ) IM t (2 t ) + d (I, ) t + Gọi H là trung điểm đoạn AB Ta có: IH AH IA2 IH AH IM t 12 4t (2 t )2 t t t (tm ) t 1 ( l ) t I ( 4; 2) , bán kính đường tròn R IM Phương trình đường tròn: ( x 4) ( y 2) 16 Câu 46 x + y -11 = C(6; 7) D H M(3; 2) A(2; 1) E B N (34) vNguy n Ng c Tân - TG5 Kéo dài AM cắt CD N Gọi E, H là hình chiếu M lên AB, CD Theo giả thiết HM = 5ME Do ABCD là hình bình hành nên AB / / CD Lại có M nằm A và N, MN = 5MA MN HM MN 5MA MA EM xN 5 3 x MN 5MA N N 8; yN y N 5 1 Đường thẳng CD qua hai điểm C(6; 7), N(8; 7) nên CD có vtcp là có vtpt là nCD 0; u CD CN 2;0 CD Phương trình CD có dạng CD: y – = Đỉnh D là giao điểm CD và : x y 11 nên tọa độ điểm D là nghiệm hệ phương trình: y x D 4; x y 11 y AD qua hai điểm A, D nên AD có vtcp là u AD 2; => AD có vtpt là n 3; 1 suy phương trình cạnh AD có dạng 3x – y – = Kiểm tra thấy thỏa mãn điểm M thuộc miền hình bình hành ABCD Vậy phương trình cạnh AD là 3x – y – = Câu 47 Hình vẽ: (35) Nguy n Ng c Tân - TG5 Gọi H là trực tâm ABC thì có BHCD là hình bình hành, nên M là trung điểm HD H 2; BH chứa E 1; 3 nên BH : x2 y 0 BH : x y 1 3 Do DC BH và D 4;2 thuộc DC nên DC : x y Do BH AC và F 1; 3 thuộc AC nên AC : x y x y x y Do C AC DC nên tọa độ C là nghiệm hệ Tìm C 5;1 M 3;1 là trung điểm BC nên B 1;1 BC 4; Do H là trực tâm ABC nên AH BC AH : x x A 2; x y Do A AH AC nên tọa độ A là nghiệm hệ Kết luận: A 2; ; B 1;1 ; C 5;1 (36) Nguy n Ng c Tân - TG5 Câu 48 Đường tròn ngoại tiếp ABC chính là đường tròn ngoại tiếp MNP có phương trình là 3 x y 3x 29 có tâm là K ; Vì P là điểm chính cung AB nên đường thẳng chứa AB qua Q 1;1 vuông góc với KP PT AB: x y Tọa độ A, B là thỏa mãn hệ y 2x y x 2 x y x 2 x x 3 x 29 x y x 29 x 4 Từ đó, tìm A 1;3 , B 4; 5 Ta lại có AC qua A, vuông góc với KN có phương trình x y Nên tọa độ điểm C thỏa mãn y 2x y x 2 x y x C 4; 1 2 x y x 29 x x x 29 x4 Câu 49 (37) Nguy n Ng c Tân - TG5 +) Gọi E’ là điểm đối xứng với E qua AC B E’ thuộc AD E Vì EE’ vuông góc với AC và qua điểm E 9; I A J E' F phương trình EE’: x y D Gọi I = AC EE’, tọa độ I x y x I 3; x y 1 y 2 là nghiệm hệ Vì I là trung điểm EE’ E '(3; 8) AD qua E '(3; 8) và F (2; 5) phương trình AD: x y A AC AD A(0;1) Giả sử C (c;1 c ) Vì AC 2 c c 2; c 2 C (2;3) Gọi J là trung điểm AC J (1; 2) phương trình BD: x y Do D AD BD D (1; 4) B (3;0) Vậy A(0;1) , B (3; 0), C (2;3), D(1; 4) C (38) Nguy n Ng c Tân - TG5 Câu 50 Theo giả thiết ta có H là trọng tâm tam giác IC 3IH Mà IH 1;1 , giả sử x 3.1 x C x; y C 4;1 y 3.1 y Do I là trung điểm AC nên A(-2;-5) Lại có AB AD nên CM BC BAC MBC BC AB BCA 90 MBC BCA 90 AC BM Mà BAC Đường thẳng BM qua H(2;-1), có vtpt IH 1;1 pt BM: x + y – = B t;1 t Có AB t 2;6 t ; CB t 4; t Vì AB BC AB.CB t t t t BCD nên (39) Nguy n Ng c Tân - TG5 t B 2; 1 B 2; 1 Câu 51 Gäi A(t;t-4) thuéc d1 Gäi I=AC DM IA AD Ta cã IAD ~ ICM (g.g) nªn 4 IC CM IA=4IC IA 4IC GoÞ I(x,y) Ta cã IA (t-x; t-4-y); IC (7 x;5 y ) t 28 x t x 28 x IA 4IC t y 20 y y t 16 t 28 t 16 I ( ; ) I thuéc DM nªn 5 t 28 t 16 18 t 5 Vậy tọa độ A=(5;1) M thuộc BC và DM nên tọa độ M có dạng (u;3u+18) (40) Nguy n Ng c Tân - TG5 Câu 52 Gọi D' là điểm trên cạnh BC cho CD' = MN A Ta có MNCD' là hình bình hành N M MD' = CN = AM AMD' cân tại M MD'A = MAD' = D'AC B D C AD' là phân giác của góc A D' trùng D CA qua C và song song MD CA có vectơ chỉ phương là MD = (4; –1) x 4t AC: y t A AC A(5 + 4a; – a) MA = (9 + 4a; 2– a) Ta có MA = MD (9 + 4a)2 + (2 – a)2 = 17 17a2 + 68a + 85 – 17 = a = –2 Vậy A(–3; 4) x4 y MA = (1; 4) AB: 4x – y = –16 ; 5y=5 4x y 16 Do đó B: 3x 5y x 5 y 4 Vậy B(–5; –4) x y 1 3x – DC = (5; 3) BC: (41) Câu 53 Nguy n Ng c Tân - TG5 (42) Nguy n Ng c Tân - TG5 Nguy n Ng c Tân - TG5 (43) Nguy n Ng c Tân - TG5 Câu 54 A D E I B C Gọi I BE CD BA EA E là chân đường phân giác góc ABC BC EC BD BC BE CD BE : 3x y 17 I BE CD Tọa độ I (5; 2) Đặt BC x AB x; AC x 5; EC CEB 450 IC IB BC.cos 450 IE CE CI IE x x x IB 3IE B (4;5) C CD C (3a 1; a ) a BC BI BC a 4a a Với a=1 thì C (2;1), A(12;1) Với a=3 thì C (8;3), A(0; 3) Nguy n Ng c Tân - TG5 (44) Nguy n Ng c Tân - TG5 Câu 55 A (T) có tâm I(3;1), bán kính R N E ICA (1) Do IA IC IAC M Đường tròn đường kính AH cắt BC M MH AB MH //AC (cùng vuông góc ICA (2) AC) MHB B I H AHM (chắn cung AM) (3) Ta có: ANM Suy ra: AI vuông góc MN phương trình đường thẳng IA là: x 2y Giả sử A(5 2a;a) IA a Mà A (T) (5 2a)2 a 6(5 2a) 2a 5a 10a a Với a A(1; 2) (thỏa mãn vì A, I khác phía MN) Với a A(5; 0) (loại vì A, I cùng phía MN) Gọi E là tâm đường tròn đường kính AH E MN E t; 2t Do E là trung điểm AH H 2t 1; 4t 38 10 58 48 AH 2t 2; 4t , IH 2t 4; 4t 10 10 Nguy n Ng c Tân - TG5 10 C (45) Nguy n Ng c Tân - TG5 Vì AH HI AH.IH 20t 272 896 t 0 25 11 13 H ; (thoûa maõn) t 5 5 28 31 17 H ; (loại) t 25 25 25 11 13 ; (thỏa mãn) 5 5 Với t H 3 Ta có: AH ; BC nhận n (2;1) là VTPT 5 phương trình BC là: 2x y Câu 56 OA : x y OA BC BC : x y m m Tọa độ điểm B là nghiệm hệ x y 1 x 1 m B 1 m; m 2 x y m y m Tọa độ điểm C là nghiệm hệ 3 x y x m C m 2; 3m 2 x y m y 3m SOABC 1 OA BC d O, BC 1 22 2m 3 4m m 6 2 12 2m 1 m 12 Giải pt này cách chia trường hợp để phá dấu giá trị tuyệt đối ta m 7; m Vậy Nguy n Ng c Tân - TG5 (46) Nguy n Ng c Tân - TG5 B 7; 1 , C 1 7;1 B 2;1 , C 1; 5 Câu 57 AEF và DFC có: F1 C1 (vì cùng phụ với góc F2 ), D 900 AEF DFC A AE AF EF DF DC FC B C mà AE H AB , E x-3y-9=0 DF AD 3AD AB , AF 4 AD Do đó: A D F(2;1) Gọi H là hình chiếu củaF trên EC Khi đó: CF 2FH 2d(F, CE) Gọi C(3t 9; t) với t 3 (vì x C ) Ta có: CF CF 20 t 1 (3t 7)2 (t 1)2 20 t 4t t 3 (L) Với t 1 C(6; 1) Vậy C(6; 1) Câu 58 AJ qua J 2;1 và D 2; 4 nên có A phương trình AJ : x A AJ AH , ( đó H là chân đường cao xuất phát từ đỉnh A) E J B I C H Tọa độ A là nghiệm hệ x x A 2; 2 x y 10 y D Gọi E là giao điểm thứ hai BJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác Nguy n Ng c Tân - TG5 (47) Nguy n Ng c Tân - TG5 ABC DC DB DC và EC EA Ta có DB sđ DB )= DJB (sđ EC sđ DC )= (sđ EA DBJ cân D DBJ 2 DC DB DJ hay D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác JBC Suy B, C nằm trên đường tròn tâm D 2; 4 bán kính JD 02 52 có phương trình x y 25 Khi đó tọa độ B là nghiệm hệ x y 25 B 3; 4 x 3 x y 4 y 9 B 2; 9 x y Do B có hoành độ âm nên ta B 3; 4 qua B 3; 4 qua B 3; 4 BC : BC : BC : x y AH vtpt n u AH 1; 2 Khi đó tọa độ C là nghiệm hệ x 2 y 25 C 3; 4 B x 3 x C 5; y y C 5;0 x y Vậy A 2;6 , B 3; 4 , C 5;0 Nguy n Ng c Tân - TG5 (48) Nguy n Ng c Tân - TG5 Câu 59 Nguy n Ng c Tân - TG5 (49) Nguy n Ng c Tân - TG5 Câu 60 Câu 61 Nguy n Ng c Tân - TG5 (50) Nguy n Ng c Tân - TG5 Câu 63 Gọi I AC BD A B I Do BN DM IN IB ID D C IN IA IC ANC vuông N N M 1 7 9 Đường thẳng CN qua N ; và nhận NA ; là pháp tuyến 2 2 2 nên có phương trình: x y 13 Do C CN d C 2; 3 Nguy n Ng c Tân - TG5 (51) Nguy n Ng c Tân - TG5 Gọi B a; b Do AB BC và AB BC nên ta có hệ phương trình: a 1 a b b 3 2 2 a 1 b a b 3 a 5, b 1 Giải hệ trên suy a , b 5 Câu 64 (ktm) Vậy B 5; 1 , C 2; 3. Ta có E 2AI DE AB AC AE AD AB.AE AC AD AC AD cosCAD 0 AB.AE cos BAE AI DE D A J B a I Phương trình đường thẳng AI : x 4 y 3x y 14 3x y 14 x A 3;5 y 2x y Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ BD AD 10 Gọi D 3a 18; a ta có AD 10 3a 21 a 5 2 a 38 loai 10 10a 136a 456 a a D 0; 6 Đường thẳng AB qua A 3; 5 , vtpt là AD 3;1 có phương trình 3 x 3 y 3x y Gọi tọa độ điểm B b; 3b 4 ta có Nguy n Ng c Tân - TG5 C (52) Nguy n Ng c Tân - TG5 AB 10 b 3 3b 9 2 b 10 b Với b B 4; 8 C 4; 4 , loại góc BAC tù Với b B 2;2 C 6;2 , thỏa mãn Câu 66 Nguy n Ng c Tân - TG5 (53) Nguy n Ng c Tân - TG5 Câu 75 Câu 82 Nguy n Ng c Tân - TG5 (54) Nguy n Ng c Tân - TG5 Câu 83 Phương trình AK có dạng: x + y + m =0 ( vì AK vuông góc MN) K thuộc AK nên m = -3 Phương trình AK : x + y – = I là giao điểm AK và MN I (1; 2) MN là đường trung bình nên I là trung điểm AK A(0;3) (0.25) S KMN S ABC S ABC 4 AK 2 2S BC ABC 2 0.25 AK 2 KB KC B, C thuộc đường tròn (C): (x – 2)2 + ( y – 1)2 = Phương trình BC là: x – y – = Tọa độ B, C là nghiệm hệ: x y x 1; y 0.25 2 x 3; y x y 1 Vậy A(0;3) ; B(1;0); C(3;2) A(0;3) B(3;2) C(1;0) Câu 85 Nguy n Ng c Tân - TG5 (0.25) (55) Nguy n Ng c Tân - TG5 Câu 86 Nguy n Ng c Tân - TG5 (56) Nguy n Ng c Tân - TG5 Câu 86 Nguy n Ng c Tân - TG5 (57) Nguy n Ng c Tân - TG5 Câu 88 Nguy n Ng c Tân - TG5 (58) Nguy n Ng c Tân - TG5 Câu 90 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn C : x2 y x y Trực tâm tam giác ABC là H 2;2 , Gọi tâm đường tròn (C) là I ; và A(x;y) suy 2 2 AH ( x;2 y ) M là trung điểm BC Học sinh tính AH x y x y kết hợp với A thuộc đường tròn (C) nên ta có hệ phương trình Nguy n Ng c Tân - TG5 BC (59) Nguy n Ng c Tân - TG5 x y x y Giải hệ ta (x;y)=(0;3) (loại);Hoặc(x;y)=(1;4) (Nhận) x y x y Suy toạ độ A(1;4) ,chứng minh AH IM Từ AH IM ta tính M(2;3/2) Do (BC ) vuông góc với IM nên ta viết phương trình (BC): x-2y+1 =0 <=> x= 2y-1 thay vào phương trình đường tròn (C) ta y 1 x y x 2 y 12 y 3(2 y 1) y y y Suy toạ độ B(1;1) , C(3;2) B(3;2) , C(1;1) Vậy A( 1;4), B(1;1) , C(3;2) A( 1;4), B(3;2) , C(1;1) Câu 91 Đường tròn ngoại tiếp có tâm I(1;5) K B Tọa đôi điểm A là nghiệm hệ E I C A x y 2x 10y 24 x x 4 y y y Do A có hoành độ âm suy A(-4;0) Và gọi K(6;0),vì AK là phân giác góc A nên KB=KC, đó KI BC và IK 5;5 là vtpt đường thăng BC BC : 5 x y 1 x y Suy tọa độ B, C là nghiệm hệ x y 2x 10y 24 x x y x y y 2 Vây A(-4;0), B(8;4), C(2;-2) và A(-4;0), C(8;4), B(2;-2) Câu 93 Nguy n Ng c Tân - TG5 (60) Nguy n Ng c Tân - TG5 A E I J H d C M B Tứ giác AIHJ nội tiếp đ tròn đường kính AH, có phương trình: x y2 (C) Vì M thuộc d nên tọa độ M(2b + ; b) 2 Đường tròn tâm M, đường kính BC có pt : x 2b 1 y b (C’) Dễ thấy I, J thuộc đường tròn (C’) Vậy I, J là giao điểm đường tròn (C), (C’) nên pt IJ có dạng : x y x y 2b 1 x 2by 2b 1 b 2b 1 x 2by 2b 1 b Vì IJ qua E nên ta có b b 1 Mà b > nên b = suy M(3; 1) Đường thẳng BC qua M, có véc-tơ pháp tuyến AH Vậy phương trình BC: 2x + y – = Câu 94 Nguy n Ng c Tân - TG5 (61) Nguy n Ng c Tân - TG5 Nguy n Ng c Tân - TG5 (62)