Bài 29: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a và khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a.. Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm AH[r]
(1)PHẦN: QUAN HỆ VUÔNG GÓC Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và cạnh a SA vuông góc với mp(ABCD) và SA = a a) Tính góc SC và mp(SAB),(SCD) và (SAD) b) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBD) c) Gọi (P) là mặt phẳng trung trực đoạn AD Xác định và tính diện tích thiết diện bị cắt hình chóp và mặt phẳng (P) Bài 2: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc ABC = 60 Tam giác SAC , tam giác SBD cân S a) Chứng minh: SO ( ABCD ) SBD b) Chứng minh: (SAC) c) Xác định và tính góc mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) Bài 3: Cho hình chóp S.ABC, đáy hình chóp là tam giác ABC vuông B, AB a , 4a AC và SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a a) Chứng minh đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (SAB) b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) c) Tính góc đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) Bài 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A, B với AB = BC = a , AD = a , SA vuông góc với mp(ABCD) và SA = a a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông b) Gọi O là giao điểm AC và BD Tính góc SO và BC c) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBD) d) Dựng thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng qua SB và vuông góc với mặt phẳng (SAC) Tính diện tích thiết diện Bài 5: Trong mp( ) cho tam giác ABC vuông A B 60 AB = a Gọi O là trung điểm BC Lấy điểm S ngoài mp( ) cho SB = a và SB OA Gọi M là điểm trên cạnh AB, mặt phẳng ( ) qua M và song song với SB và OA cắt BC, SC, SA N, P, Q Đặt BM x (0 x a ) a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông b) Tính theo a, x diện tích hình thang MNPQ; tìm x để diện tích là lớn (2) Bài 6: Cho hai hình chữ nhật ABCD và ABEF không cùng nằm mặt phẳng và thỏa mãn các điều kiện: AB a; AD AF a ; đường thẳng AC vuông góc với đường thẳng BF Gọi HK là đường vuông góc chung AC và BF (H thuộc AC, K thuộc BF) a) Gọi I là giao điểm đường thẳng DF với mặt phẳng chứa AC và song song DI với BF Tính tỉ số DF b) Tính độ dài đoạn HK c) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABHK Bài 7: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh a Hai điểm M, N chuyển động trên hai đoạn thẳng BD và B’A tương ứng cho BM B’N t Gọi , là các góc tạo đường thẳng MN với các đường thẳng BD và B’A a) Tính độ dài MN theo a,t Tìm t để độ dài MN ngắn b) Tính , độ dài MN ngắn c) Trong trường hợp tổng quát chứng minh hệ thức cos 2 cos Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông SA ( ABCD) Chứng minh rằng: BC ( SAB) , DC ( SAD) , DB ( SAC ) Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông; SA ( ABCD) Gọi H, I, K là hình chiếu vuông góc A xuống SB, SC, SD Chứng minh rằng: a) SC ( AHK ) , I ( AHK ) b) HK ( SAC ) , HK AI Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có SA ( ABC ) Gọi H, K là trực tâm các tam giác ABC và SBC Chứng minh: HK ( SBC ) Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và B; cho biết BA BC a, AD 2a , SA ( ABCD) Chứng minh tam giác SCD vuông Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a , SA ( ABCD ) ; M là trung điểm AD Chứng minh: ( SBM ) ( SAC ) Bài 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông B, AB = a, BC = 2a, SA ( ABC ) , SA = 2a; M là trung điểm SC Chứng minh tam giác ABM cân M và tính diện tích nó Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông; mặt bên (SAD) là tam giác và vuông góc với đáy M, N, P là trung điểm SB, BC, CD Chứng minh rằng: AM BP (3) Bài 15: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC, đôi vuông góc với và OA OB OC a Gọi K, M, N là trung điểm các cạnh AB, BC, CA Gọi E là điểm đối xứng O qua K và I là giao điểm CE với mp(OMN) a) Chứng minh CE vuông góc với mp(OMN) b) Tính diện tích tứ giác OMIN theo a Bài 16: Cho tứ diện SABC có SC CA AB a và SC ( ABC ) ABC vuông A, các điểm M thuộc SA và N thuộc BC cho AM CN t (0 t 2a) a) Tính độ dài đoạn thẳng MN b) Tìm giá trị t để MN ngắn c) Khi đoạn thẳng MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung BC và SA Bài 17: Cho hình chóp S.ABC có AB AC a , CAB 2 , SA ( ABC ) Gọi I là trung điểm BC; HA SI a) Chứng minh HA ( SBC ) Tính AH AK x b) Điểm K AI và AI , mặt phẳng (R) qua K và vuông góc với AI, cắt AB, AC, SC, SB các điểm M, N, P, Q Tứ giác MNPQ là hình gì? Tính diện tích MNPQ Bài 18: Cho hình chóp ABCD có AB ( BCD) , BE CD ; DF CB ; O BE DF ; DK CA Gọi H là trực tâm tam giác ACD Chứng minh rằng: ( ABE ) ( ADC ); ( DFK ) ( ADC ); OH ( ADC ) Bài 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, cạnh bên SA vuông o góc với mp (ABC) ; Cho biết SA = AB = a, BAC 60 a) Chứng minh tam giác SBC vuông b) Mặt phẳng (P) qua A, vuông góc với SB M, SC N Chứng minh MN song song với BC và tính diện tích tam giác AMN c) Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm SA và BC; P thuộc cạnh SB cho IS IB IP QA QC PS PB , Q thuộc cạnh AC cho Chứng minh và IA IC IQ Từ đó suy bốn điểm A, J, P, Q nằm ttrong mặt phẳng Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N là trung điểm cạnh BC và SD Chứng minh ba véc tơ SA , MN , CD đồng phẳng (4) Bài 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = a a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là tam giác vuông b) Chứng minh rằng: (SAC) (SBD) c) Tính góc SC và mp (SAB) d) Tính góc hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) Bài 22 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, đôi vuông góc và OA = OB = OC = a, I là trung điểm BC a) Chứng minh rằng: (OAI) (ABC) b) Chứng minh rằng: BC (AOI) c) Tính góc AB và mặt phẳng (AOI) d) Tính góc các đường thẳng AI và OB Bài 23: Cho hình chóp S.ABC có ABC vuông A, góc B = 600 , AB = a; hai mặt bên (SAB) và (SBC) vuông góc với đáy; SB = a Hạ BH SA (H SA); BK SC (K SC) a) Chứng minh: SB (ABC) b) Chứng minh: mp(BHK) SC c) Chứng minh: BHK vuông d) Tính cosin góc tạo SA và (BHK) Bài 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD) và SA = 2a a) Chứng minh (SAC ) (SBD ) ; (SCD) (SAD) b) Tính góc SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC) c) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC)) Bài 25: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD 60 và SA = SB = SD = a a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD) b) Chứng minh tam giác SAC vuông c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) Bài 26: Cho tam giác ABC vuông cân B, AB = BC= a , I là trung điểm cạnh AC, AM là đường cao SAB Trên đường thẳng Ix vuông góc với mp(ABC) I, lấy điểm S cho IS = a a) Chứng minh AC SB, SB (AMC) b) Xác định góc đường thẳng SB và mp(ABC) c) Xác định góc đường thẳng SC và mp(AMC) Bài 27: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a và cạnh bên 2a Gọi O là tâm đáy ABCD a) Chứng minh (SAC) (SBD), (SBD) (ABCD) (5) b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD) và từ điểm O đến mp(SBC) c) Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách hai đường thẳng chéo BD và SC Bài 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, BAD 60 , đường cao SO = a a) Gọi K là hình chiếu O lên BC Chứng minh rằng: BC (SOK) b) Tính góc SK và mp(ABCD) c) Tính khoảng cách AD và SB Bài 29: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a và khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm AH a) Chứng minh đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a b) Chứng minh đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC) c) Tính khoảng cách AD và BC Bài 30: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a, AOB AOC 60 , BOC 90 a) Chứng minh ABC là tam giác vuông b) Chứng minh OA vuông góc BC c) Gọi I, J là trung điểm OA và BC Chứng minh IJ là đoạn vuông góc chung OA và BC 0 Bài 31: Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABCD) và ABCD là hình thang vuông A và B Biết AB = BC = a, ADC 45 , SA a a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông b) Tính góc (SBC) và (ABCD) c) Tính khoảng cách AD và SC Bài 32: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ( ABCD) và SA a a) Chứng minh : BD SC , (SBD ) (SAC ) b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) c) Tính góc SC và (ABCD) Bài 33: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách hai đường thẳng chéo BD và BC Bài 34: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a, SA vuông góc với (ABCD) Gọi I, K là hình chiếu vuông góc A lên SB, SD a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông b) Chứng minh: (SAC) vuông góc (AIK) c) Tính góc SC và (SAB) (6) d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD) Bài 35: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, SO ( ABCD ) , SB a a) Chứng minh: SAC vuông và SC vuông góc với BD b) Chứng minh: (SAD) (SAB), (SCB) (SCD) c) Tính khoảng cách SA và BD OB a 3 , SA ( ABC ), SA a Gọi I là trung Bài 36: Cho tứ diện S.ABC có ABC cạnh a, điểm BC a) Chứng minh: (SBC) vuông góc (SAI) b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) c) Tính góc (SBC) và (ABC) Bài 37: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, BAD 60 , SO SB SD a 13 Gọi E là trung điểm BC, F là trung điểm BE vuông góc với (ABCD), a) Chứng minh: (SOF) vuông góc (SBC) b) Tính khoảng cách từ O và A đến (SBC) c) Gọi ( ) là mặt phẳng qua AD và vuông góc (SBC) Xác định thiết diện hình chóp bị cắt ( ) Tính góc ( ) và (ABCD) Bài 38: Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên (SAB), (SAC) cùng vuông góc với (ABC), tam giác ABC vuông cân C AC = a, SA = x a) Xác định và tính góc SB và (ABC), SB và (SAC) b) Chứng minh ( SAC) ( SBC) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) c) Tinh khoảng cách từ O đến (SBC) (O là trung điểm AB) d) Xác định đường vuông góc chung SB và AC Bài 39: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B và có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) a) Chứng minh: BC (SAB) b) Giả sử SA = a và AB = a, tính góc đường thẳng SB và mp (ABC) c) Gọi AM là đường cao SAB, N là điểm thuộc cạnh SC Chứng minh: (AMN) (SBC) Bài 40: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA ( ABCD ) , SA a a) Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC) b) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SC (7) c) Tính góc mặt phẳng (SBD) với mặt phẳng (ABCD) Bài 41: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA = SB = SC = SD = 2a Gọi M, N là trung điểm BC và SO Kẻ OP vuông góc với SA a) Chứng minh rằng: SO (ABCD), SA (PBD) b) Chứng minh rằng: MN AD c) Tính góc SA và mp (ABCD) d) Chứng minh rằng: vec tơ BD, SC , MN đồng phẳng Bài 42: Cho tam giác ABC cạnh a Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) B, ta lấy điểm M cho MB = 2a Gọi I là trung điểm BC a) Chứng minh AI (MBC) b) Tính góc hợp đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC) c) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (MAI) Bài 43: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Gọi hai điểm M, N là trung điểm SA và SC a) Chứng minh AC SD b) Chứng minh MN (SBD) c) Cho AB = SA = a Tính cosin góc (SBC) và (ABCD) Bài 44: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi vuông góc với Gọi H là chân đường cao vẽ từ A tam giác ACD a) Chứng minh: CD BH b) Gọi K là chân đường cao vẽ từ A tam giác ABH Chứng minh đường thẳng AK vuông góc với mặt phẳng (BCD) c) Cho AB = AC = AD = a Tính cosin góc (BCD) và (ACD) Bài 45: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, SA vuông góc với mặt phẳng đáy a) Chứng minh tam giác SBC vuông b) Gọi H là chân đường cao vẽ từ B tam giác ABC Chứng minh hai mặt phẳng (SAC) và (SBH) vuông góc với c) Cho AB = a, BC = 2a Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) Bài 46: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA (ABC), SA = a a) Gọi M là trung điểm BC Chứng minh rằng: BC (SAM) b) Tính góc các mặt phẳng (SBC) và (ABC) c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Bài 47: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, đường cao SO = a Gọi I là trung điểm SO a) Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD) (8) b) Tính góc các mặt phẳng (SBC) và (SCD) c) Tính khoảng cách hai đường thẳng AC và SD Bài 48: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA (ABCD), SA a Gọi M và N là hình chiếu điểm A trên các đường thẳng SB và SD a) Chứng minh MN // BD và SC (AMN) b) Gọi K là giao điểm SC với mp (AMN) Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc c) Tính góc đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD) Bài 49: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông ABCD cạnh a, tâm O Cạnh SA = a và SA (ABCD) Gọi E, F là hình chiếu vuông góc A lên cạnh SB và SD a) Chứng minh BC (SAB), CD (SAD) b) Chứng minh (AEF) (SAC) c) Tính tan với là góc cạnh SC với (ABCD) Bài 50: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a , SD = a và SA (ABCD) Gọi M, N là trung điểm SA và SB a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông b) Tính góc hợp các mặt phẳng (SCD) và (ABCD) c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND) Bài 51: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = a a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là tam giác vuông b) Chứng minh rằng: (SAC) (SBD) c) Tính góc SC và mp (SAB) Bài 52: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD) a) Chứng minh: (SAB) (SBC) b) Chứng minh: BD (SAC) a c) Cho SA = Tính góc SC và mặt phẳng (ABCD) Bài 53: Cho hình vuông ABCD và tam giác SAB cạnh a, nằm hai mặt phẳng vuông góc với Gọi I là trung điểm AB a) Chứng minh tam giác SAD vuông b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung SD và BC c) Gọi F là trung điểm AD Chứng minh (SID) (SFC) Tính khoảng cách từ điểm I đến (SFC) Bài 54: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có AB = BC = a, AC = a a) Chứng minh rằng: BC AB (9) b) Gọi M là trung điểm AC Chứng minh (BCM) (ACCA) c) Tính khoảng cách BB và AC Bài 55: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông C, cạnh CA = a, CB = b, mặt bên AABB là hình vuông Từ C kẻ CH AB, HK // AB (H AB, K AA) a) Chứng minh rằng: BC CK, AB (CHK) b) Tính góc hai mặt phẳng (AABB) và (CHK) c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (CHK) -۞¤۩¤۞ - (10)