Nội dung cần đạt Điểm Gọi M là điểm nằm trên mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến tới C và tạo với nhau một góc 600, gọi A, B là hai tiếp điểm.. Cho tứ giác ABCD, gọi M, N lần lượt là các đ[r]
(1)TRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN NGUYÊN -ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 10 Năm học 2015- 2016 Thời gian làm bài: 180 phút Câu I (4 điểm): Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y x – x Tìm tất các giá trị tham số m để đường thẳng (d): y x cắt đồ thị hàm số y x 2mx 3m A và B cho tam giác OAB có diện tích 12 (O là gốc tọa độ) Câu II (4 điểm): Giải phương trình: x( x 3) ( x 5)(2 x) y x y x y xy y x y 2 y x Giải hệ phương trình: x, y R Câu III (4 điểm): Xét các số thực a, b, c thỏa mãn a 2b 3c 20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: L a b c a 2b c 2 Giải bất phương trình: ( x x) x x 0 Câu IV (4 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d1 ) : x y 0 và đường thẳng (d ) : x y 0 Viết phương trình đường thẳng ( ) qua I (1;0) và cắt hai đường thẳng d1 , d A, B cho AB 2 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 x + y +2 x − y −7=0 và đường thẳng : x – y + m = Tìm m để trên có đúng điểm mà từ điểm đó kẻ đúng hai tiếp tuyến với (C) và cặp tiếp tuyến đó tạo với góc 600 Câu V (4 điểm): Cho tứ giác ABCD, gọi M, N là các điểm thuộc cạnh AD, BC cho 2015 MD NC MN AB DC 2015 2016 2016 MA NB Chứng minh 3cos 2 P tan , sin cos 2 với Tính giá trị biểu thức: Cho 2sin Hết (2) Học sinh không sử dụng máy tính Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh……………… TRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN NGUYÊN -ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG MÔN TOÁN LỚP 10 NĂM 2016 Thời gian làm bài: 180 phút Đề thi gồm 01 trang Câu I (4 điểm): (2 điểm) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y x – x Nội dung cần đạt - Tọa độ đỉnh I(2;-1) Trục đối xứng x= -1 - Đồ thị cắt trục Oy M(0;3) Đồ thị cắt Ox N(1;0) và P(3;0) - Bảng biến thiên: x - ∞ + ∞ + ∞ + ∞ y -1 - Đồ thị : y Điểm 0,5 0,5 0,5 O -1 0,5 x I (2 điểm) Tìm các giá trị tham số m để đường thẳng y x cắt đồ thị hàm số y x 2mx 3m A và B cho tam giác OAB có diện tích 12 (O là gốc tọa độ) Nội dung cần đạt Xét phương trình hoành độ giao điểm d và (Cm) là: Điểm x 2mx 3m x x 2( m 1) x 3(m 1) 0 (1) Để d cắt (Cm) A và B pt (1) có nghiệm phân biệt m ' (m 1)2 3(m 1) (m 1)(m 4) m x1 x2 2(m 1) x x 3(m 1) x , x Gọi nghiệm (1) là Theo Viet ta có AB ( x x1 )2 4( x1 x )2 A ( x ; x ), B ( x ; x ) 1 2 Khi đó , ( x1 x2 )2 x1 x2 4(m 1)2 12(m 1) d (0; d ) , 1 SOAB AB.d (0; d ) 4( m 1) 12( m 1) 4 ( m 1) 3( m 1) 2 Do đó SOAB 12 (m 1) 3( m 1) 12 0,5 0,5 (3) m 3 m 2 m (m 1)2 3(m 1) 18 0 m (TM) Vậy m 2, m 0,75 0,25 Câu II (4 điểm): (2 điểm) Giải phương trình: x( x 3) x 5 x Nội dung cần đạt Điểm Đk : x x 0 0,5 2 pt x x x x 10 0 đặt t x x ( đk t 0 ) t 2 t Kết hợp với điều kiện ta t = Ta có phương trình: t 3t 10 0 x 1 x 3x 2 x x 0 x (TM) Với t =2 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = - ĐK: y -1 Xét (1): 1 y Phương trình (1) trở thành: x y x y xy 0,75 0,25 y x y x y xy y x y 2 y x (2 điểm) Giải hệ phương trình: Nội dung cần đạt 0,5 Đặt x, y R Điểm x y t t 0 t y t x y x y 3xy 0 0,5 = (1 – y)2 + 4(x2 + 2y2 + x + 2y + 3xy) = (2x + 3y + 1)2 t x y t x y Với x y x y x y x y x y x y , thay vào (2) ta có: y y 3 y y 0 9 y y 0 Với 0,5 x y x y , ta có hệ: x x (vô nghiệm) 1 x y x x y x y y 1 1 x; y Vậy hệ phương trình có nghiệm 1 ; 0,25 0,5 0,25 (4) Câu III (4 điểm): (2 điểm) Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn a 2b 3c 20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: L a b c a 2b c Nội dung cần đạt Điểm Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có 4 3 4 a 2 a· 4 a 3, a a 4 a dấu đẳng thức xảy và a 2 9 1 9 b 2 b· 6 b 3, b b 2 b dấu đẳng thức xảy và b 3 16 16 1 16 2 c· 8 c 2, c c 4 c dấu đẳng thức xảy và c 4 3a b c 8 Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều, thu 4 a 2b c (1) a b 3c 5 Mặt khác, a 2b 3c 20 nên 4 (chia hai vế cho 4) (2) L a b c 13 a 2b c Cộng (1) và (2), vế đối vế, ta Dấu đẳng thức xảy và a 2, b 3, c 4 c Vậy giá trị nhỏ biểu thức L 13, đạt a 2, b 3, c 4 BPT TH1: 2 (2 điểm) Giải bất phương trình: ( x x) x 3x 0 Nội dung cần đạt x 3x 0 x 3x x x 0 x 3x 0 x 2 x x 3x x x 3 2 TH2: x x 0 1 T ; 2 3; 2 Vậy tập nghiệm bất phương trình là: 0,5 0,5 0,5 0,5 Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu IV (4 điểm): (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d1 ) : x y 0 và đường thẳng (d ) : x y 0 Viết phương trình đường thẳng ( ) qua I (1;0) và cắt hai đường thẳng d1 , d A, B cho AB 2 Nội dung cần đạt Điểm (5) Ta nhận thấy d1 / / d Chọn N(3; 1) thuộc (d1 ) và M (2a 3; a) cho MN 2 Suy MN// ( ) nên MN là vectơ phương ( ) a NM (2a ) (a 1) 8 5a 2a 0 a 7 a M(1; 1) MN(2; 2) : x y 0 Với 29 a M( ; ) MN (29;7) : x 29 y 0 5 5 Với : x y 0 : x 29 y 0 2 0,5 0,5 0,5 0,5 2 (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x + y +2 x − y −7=0 và đường thẳng : x – y + m = Tìm m để trên có đúng điểm mà từ điểm đó kẻ đúng hai tiếp tuyến với (C) và cặp tiếp tuyến đó tạo với góc 600 Nội dung cần đạt Điểm Gọi M là điểm nằm trên mà từ đó kẻ hai tiếp tuyến tới (C) và tạo với góc 600, gọi A, B là hai tiếp điểm +) Nếu góc AMB = 600, thì IM = 2IA = đó M là giao với đường tròn (C1) tâm 0,5 I, bán kính R1 = 2IA √3 AMB +) Nếu góc = 1200, thì IM = = đó M là giao với đường tròn 0,5 (C2) tâm I, bán kính R2 = √ Để trên có điểm M thì phải có đúng giao điểm với (C1) và (C2), đây là hai đường tròn đồng tâm nên điều này xảy và tiếp xúc với (C2) 0,5 |− 1− 1+m| =2 √ ⇔ m=2± √ Vậy m 2 2 Do đó d ( M , Δ)=2 √ ⇔ 0,5 √2 Vậy Câu V (1,0 điểm): (2 điểm) Cho tứ giác ABCD, gọi M, N là các điểm thuộc cạnh AD, BC cho MD NC 2015 2015 MN AB DC MA NB 2016 2016 Chứng minh Nội dung Theo bài ta có MD 2015MA 0 ; NC 2015 NB 0 MN MA AB BN 2015 MN 2015 MA 2015 AB 2015 BN (1) Ta có và MN= MD+ DC+ CN (2) Cộng theo vế (1) và (2) ta 2016 MN (2015MA MD ) (2015 AB DC ) (2015 NB NC ) 2015AB DC 1 2015 MN AB DC 2016 2016 Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 (6) 3cos 2 P tan , sin cos 2 2 Tính giá trị của: (2,0 điểm) Cho 2sin Nội dung tan tan 0 2 tan ( (0; )) tan 2 nên Vì tan tan (l ) tan 2 Suy Do tan 51 P 2 5 tan 2 Thay vào ta có Vậy P = Lưu ý: Thí sinh làm cách khác đúng cho điểm tối đa Điểm tan 0,5 0,5 0,75 0,25 (7)