Phuong phap va bai tap Dao Ham

 Chú ý : Khi gặp các bài toán tìm các giá trị của tham số để một tam thức bậc 2 luôn âm hay luôn dương trên một miền nào đó, ngoài cách vận dụng định lí về dấu tam thức bậc hai ta có th[r]

ĐẠO HÀM Định nghĩa đạo hàm điểm 1.1 Định nghĩa: Cho hàm số điểm x0 là : 1.2 Chú ý:  Nếu kí hiệu y  f  x f '  x0   lim x  x0 xác định trên khoảng f  x   f  x0  x  x0  a ; b  và x0   a ; b  , đạo hàm hàm số x  x  x0 ; y  f  x0  x   f  x0  f '  x0   lim x x0 thì f  x0  x   f  x0  x  x0 y x x  lim y  f  x  Nếu hàm số có đạo hàm x0 thì nó liên tục điểm đó Ý nghĩa đạo hàm y  f  x  C 2.1 Ý nghĩa hình học: Cho hàm số có đồ thị f '  x0   C  hàm số y  f  x  M  x0 , y0    C   là hệ số góc tiếp tuyến đồ thị y  f  x M  x , y   C  Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm 0 là : y  f '  x0   x  x0   y0 2.2 Ý nghĩa vật lí: s s  t   Vận tốc tức thời chuyển động thẳng xác định phương trình : thời điểm t0 là v  t0  s '  t0  Q Q  t  I  t0  Q '  t0   Cường độ tức thời điện lượng thời điểm t0 là : Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm u u  x  ; v v  x  ; C : 3.1 Các quy tắc : Cho là số  u v  ' u 'v '   ( u+ v − w )' =u' + v ' − w'   C.u   C.u  u.v  ' u '.v  v '.u  C.u  u  u '.v  v '.u  C   , v          2 v u u  v y  f  u  , u u  x   yx  yu ux  Nếu 3.2 Công thức tính đạo hàm nhanh hàm hữu tỉ : 2 a ' x +b ' x +c ' ¿ ax + bx +c ¿  Dạng : y =  y’ = 2 (ab ' − a ' b) x +2(ac ' − a ' c ) x +(bc ' − b ' c) a' x +b ' x +c ' ¿ dx+ e ¿ ¿ ax 2+ bx +c  Dạng : y =  y’ = ad x 2+ 2ae x+( be − dc) dx+ e ¿ cx+ d ¿ ax+ b ¿  Dạng : y =  y’ = ad −cb cx+ d ¿ 3.3 Các công thức : Đạo hàm số: (C)’= Đạo hàm x: ( x ) '=1 ' ( x n ) =n x n − 1 √ x ¿' = √x ¿ ' =− x x sin x sin x lim =1 Giới hạn ; x x x→ () ( sin x )' =cos x ( cos x )' =−sin x Đạo hàm hàm hợp: ( ku )' =k ( u )' ' ( un ) =n un − u' ' (√ u) = u' √u ' =− u' (v = v(x) ) u u () Đạo hàm hàm số lượng giác: sin n u ¿' =n sin n − u ( sinu )' ( sin u )' =u' cos u ¿ ( cos u )' =− u' sin u n (cos u) '=ncos n −1 u (cos u)' ' u' ( ) tan u = (tan n u)'=n tan n −1 u (tan u)' cos x cos2 u ' ( cot x )' =− ( cot )' =− u2 (cot n u)'=n cot n− u (cot u) ' sin x sin u  Chú ý : Khi gặp các hàm số phức tạp có thể ta hãy rút gọn hàm số hãy tính đạo hàm , đặc biệt là các hàm số có chứa các hàm số lượng giác  Chú ý : Khi gặp các bài toán tìm các giá trị tham số để tam thức bậc luôn âm hay luôn dương trên miền nào đó, ngoài cách vận dụng định lí dấu tam thức bậc hai ta có thể lập bảng biến thiên hàm số bậc hai dựa vào bảng biến thiên để suy kết Vi phân 4.1 Định nghĩa : y  f  x y  f  x  Cho hàm số có đạo hàm x0 vi phân hàm số điểm x0 là: ( tan x )' = df  x0   f  x0  x f  x  x y  f  x f  x  Cho hàm số có đạo hàm thì tích gọi là vi phân hàm số y  f  x df  x   f  x  x  f  x  dx Kí hiệu : hay dy  y.dx f  x0  x   f  x0   f  x0  x 4.2 Công thức tính gần đúng : Đạo hàm cấp cao 5.1 Đạo hàm cấp : f  x   f  x     Định nghĩa : s  f t a  t0   f  t0   Ý nghĩa học: Gia tốc tức thời chuyển động thời điểm t0 là  n n f    x   f    x   ,  n   , n 2    5.2 Đạo hàm cấp cao :  Viết phương trình tiếp tuyến đường cong 6.1 Phương pháp: C : y  f  x M  x0 ; y0   Khi biết tiếp điểm : Tiếp tuyến đồ thị   , có phương trình là : y  f '  x0   x  x0   y0 (1)  C  : y  f  x  có hệ số góc là k thì ta  Khi biết hệ số góc tiếp tuyến: Nếu tiếp tuyến đồ thị M x ;y   f '  x0  k gọi 0 là tiếp điểm (1) y  f  x0   Giải phương trình (1) tìm x0 suy y k  x  x0   y0  Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng :  Chú ý: M  x0 , y0    C  k  f  x0  tan   Hệ số góc tiếp tuyến là Trong đó  là góc chiều dương trục hoành và tiếp tuyến  Hai đường thẳng song song với thì hệ số góc chúng  Hai đường thẳng vuông góc tích hệ số góc chúng  A  x1 ; y1   Biết tiếp tuyến qua điểm : y  f  x M  x ; y0  y  f '  x0   x  x0   y0  1  Viết phương trình tiếp tuyến 0 : A  x1 ; y1   y1  f '  x0   x1  x0   f  x0   *  Vì tiếp tuyến qua  Giải phương trình(*) tìm x0 vào (1) suy phương trình tiếp tuyến Trường hợp Viết phương trình tiếp tuyến d (C) điểm M  x0 ; y0  Viết phương trình tiếp tuyến d (C) điểm có hoành độ x  x0 Hệ số góc : f '  x0  Hệ số góc : f '  x0  Tung độ tiếp điểm Viết phương trình tiếp tuyến d (C) điểm có tung độ Cần tìm y  y0 Hoành độ tiếp điểm Hệ số góc : Viết phương trình tiếp tuyến d (C) , biết hệ số góc k tiếp tuyến d y0  f  x0  x0 Tung độ tiếp điểm Tìm vi phân hàm số và tính gần đúng nhờ vi phân  f '  x0  x0    f  x0  Từ Giải phương trình y0  f  x0  f '  x0  Hoành độ tiếp điểm Ghí chú x0 y0  f  x0  Giải phương trình f '  x0  k 7.1 Phương pháp: Dựa theo định nghĩa và công thức sau : y  f  x f  x  f  x  x y  f  x  Cho hàm số có đạo hàm thì tích gọi là vi phân hàm số df  x   f  x  x  f  x  dx  Kí hiệu : hay dy  y dx  f  x0  x   f  x0   f  x0  x Đạo hàm cấp cao Phương pháp:  Dựa theo các định nghĩa sau :  Đạo hàm cấp : f  x   f  x     n n f    x   f    x   ,  n   , n 2     Đạo hàm cấp cao :  Chú ý: Để tìm công thức tính đạo hàm cấp n hàm số ta tìm đạo hàm cấp , , … sau đó dự đoán công thức tính đạo hàm cấp n và chứng minh công thức đó phương pháp quy nạp  Chú ý : Khi tìm đạo hàm cấp n hàm số , ta hãy biến đổi hàm số đã cho thành tổng ; sin ax ; cos ax các hàm số có các dạng : ax  b áp dụng các công thức ví dụ trên , dự đoán công thức đạo hàm cấp n hàm số đã cho và chứng minh lại quy nạp (nếu cần) BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Bài Cho hàm số y  x  3x  (C) 1) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M  2;  2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ 3) Viết phương trình (C) các điểm có tung độ là Bài Cho hàm số y  x  3x  (C) x 1) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ là 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) , biết hệ số góc tiếp tuyến k  3) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng Bài Cho hàm số y  x  x (C)    : y 3 x  1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hoành độ x 2 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có tung độ y  3) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) , biết hệ số góc tiếp tuyến 24 Bài Cho hàm số y  x  x  (C) 1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hoành độ x 2 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có tung độ y  3) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) , biết hệ số góc tiếp tuyến 24 Bài Cho hàm số y  x  x  (C) 1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có tung độ y 1 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng  d1  : y 6 x  2010 3) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  d  : y  x  203 Bài Cho hàm số y  x  x  (C) 1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có tung độ y 1 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) , biết hệ số góc tiếp tuyến y  x4  x2 Bài Cho hàm số (C) 1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng  d1  : y 15 x  2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đườngthẳng  d  : y  x  10 45 Bài Cho hàm số y  4x  3x  (C) 1) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 15  d1  : y  x  10 x  d  : y   72 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 3) Viết phương trình tiếp tuyến (C) , biết tiếp tuyến qua điểm Bài Cho hàm số y = 2x - 3x - (C) M  1,   1) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  d1  : y  x  2010 M  2;3 2) Viết phương trình đường thẳng qua và tiếp xúc với đồ thị (C) Bài 10 Cho hàm số y = - 2x + 3x - (C) 1) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  1 M  1;    và tiếp xúc với đồ thị (C) 2) Viết phương trình đường thẳng qua Bài 11 Cho hàm số y = ( - x) ( x + 1) Viết phương trình tiếp tuyến (C) 1} Tại điểm có hoành độ x0 3  d1  : y  x2 (C) 2) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x3 y   x  3x  Bài 12 Cho hàm số (C)  d1  : y  x4 1) Viết phương trình tiếp tuyến d (C) điểm có hoành độ x 2 2) Chứng minh tiếp tuyến d có hệ số góc nhỏ  7 M  4;    và tiếp xúc đồ thị (C) 3) Viết phương trình đường thẳng qua điểm y  x  x  Bài 13 Cho hàm số (C) 1) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ x 1 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường  d  : x  231 y  0 thẳng M  0;  1 3) Viết phương trình đường thẳng qua điểm và tiếp xúc với đồ thị (C) Bài 14 Cho hàm số y  x  x  (C) 1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm (C) với trục tung 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có tung độ 2x 1 y x  (C) Bài 15 Cho hàm số x 1) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ 3) Viết phương trình tiếp tuyến (C) , biết hệ số góc tiếp tuyến k  x 1 y x  (C) Bài 16 Cho hàm số y 1) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng  d1  : y  x  3) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  d2  : y  x  x y x  (C) Bài 17 Cho hàm số 1) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) và trục hoành 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) và trục tung y  BÀI TẬP TÌM ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Bài Tìm đạo hàm các hàm số sau theo định nghĩa các điểm đã : a) f  x   x  3x  x0 3 ; x  3x  x2 c) x0 4 ; Bài Dùng định nghĩa tìm đạo hàm các hàm số sau: x0 1 ;  x0  f  x  cos x ; d) b) f  x  f  x   2x  x2 y a) y  x b) y 3 x  c) y  x  d) Bài Tìm đạo hàm các hàm số sau định nghĩa a) y = f(x)= x3  2x +1 x0= b) y = f(x)= x2  2x x0=  x2  c) y = f(x)= x  x0= d) y =f(x) x  x0 = e) y  x  tai x0 = x f) y= x2 – 2x + x0 = TÌM ĐẠO HÀM BẰNG CÔNG THỨC VÀ QUY TẮC Bài Tính đạo hàm các hàm số sau: x3 x2 y  x 1) 2) 4) 5) y = (x3 – 3x )(x4 + x2 – 1) y=5 x (3 x −1) y=( x 2+1)(5 −3 x 2) 2  y   x  x  10)  16) y 8) y=x (2 x −1)(3 x +2)  x1 13) y  x  x 2 x  3x  x y=2 x − +3 11) y  x 14) 17) y  x  1  x    3x   y x3  x x2  x 1 y    x x x 7x4 3) 6) x +5 ¿ 7) y=¿ x +3 ¿ 9) x +2 ¿ ¿ y=( x+1)¿ 12) y = ( 5x3 + x2 – )5 x2  y x2 15) 18) y  x2  7x  x  3x 19) y=√ x 2+ x+7 x2 −2 x+ √ y= x +1 25)  y  x2  x   x3  x  x  y   x  x   x    x3 x2 y  x 28) 31) 21) y=(x+1) √ x + x+ 20) y=√ x − 1+ √ x +2 1 x y 1 x 23) 24) √ x (x2- √ x +1) 26) y =   y  x2  x  22) 27) y    x x x 7x 30) x y=2 x − +3 29) 33) x +5 ¿ y=¿ 32) y = (x3 – 3x )(x4 + x2 – 1) y=5 x (3 x −1) 34) y=( x 2+1)(5 −3 x 2) 2  y   3x  x  37) x1   43) x +1 52) y  x3  x 42) x3  x x2  x 1 45) 48) y=√ x − 1+ √ x +2 50) 1 x 1 x 53) y = √ x (x2- √ x +1) y x2 −2 x+ y= √  y  x  1  x    x   44) 47) 46) y=√ x + x+7  39) y = ( 5x3 + x2 – )5 41) 2 x  3x  y  x2  x 38) y  x 40) y  x  x y 35) y=x (2 x −1)(3 x +2) x +3 ¿ 36) x +2 ¿2 ¿ y=(x+1)¿ 51) y 2x2  x2 y  x  7x  x  3x y=(x+1) √ x + x+   y  2x2  x  49) 54)  x  y   x  x   x    Bài Tính đạo hàm các hàm số sau: 1) y = 5sinx – 3cosx y=cos x sin x  y cot (2x  ) 9) y=3 sin x sin x 13) y   tan x 2) y = cos (x3) 6) y cos x  cos3 x 10) y sin (cos x) 14) y  cos x  cot x 3sin x 3) y = x.cotx 7) y=sin x 2 4) 1+cot x ¿ y =¿ 8) y= sin x +cos x sin x −cos x 11) y cot  x 12) 15) y sin(2sin x) 16) y = sin p - 3x 5) x sin x 1+sin x ¿ y  ¿  tan x 17) 18) y= ¿ Bài Tính đạo hàm các hàm số sau: 2 19) y 2) y = cos (x3) 1) y = 5sinx – 3cosx y=cos x sin2 x 6)  y cot (2x  ) 9) y cos x  sin x x  x sin x 20) y   tan x 4) 1+cot x ¿ y =¿ 3) y = x.cotx cos3 x 7) y=sin x 8) y= sin x +cos x sin x −cos x 11) y cot  x 10) y sin (cos x) 5) 12) y=3 sin x sin x 13) y   tan x 14) 1+sin2 x ¿2 ¿ 17) y= ¿ y  cos x  cot x 3sin x x sin x y  tan x 18) 19) 16) y = sin p - 3x 15) y sin(2sin x) y sin x x  x sin x 20) y   tan x BÀI TẬP TÌM VI PHÂN CỦA HÀM SỐ VÀ TÍNH GẦN ĐÚNG NHỜ VI PHÂN Bài Tìm vi phân các hàm số sau : y a) y c) 2x  x  5x  32 ; b) y ( x  x ) ;   cos x  y     cos x  ; d) ; f) y sin(cos x )  cos(sin x ) ; h) ; x2  x  y cot (2 x  ) e) x  3x  y x g) sin x x y  x sin x i) ; j) y x  1  x  3x  y tan x  cot x sin x  cos3 x  sin x.cos x Chứng minh đẳng thức : y.dy  cos x.dx 0 Bài Cho hàm số Bài Tính gần đúng các giá trị sau (lấy chữ số thập phân kết quả) : a) 4,02 ; b) tan 44 30' ; c) 7,97 y BÀI TẬP ĐẠO HÀM CẤP CAO Bài 10 Tìm đạo hàm các cấp đã các hàm số sau : y  x  x  5x  x    a) Tìm y , y ;  c) y  x  x Tìm y b) y x  4 x  Tìm y , y, y ; Bài 11 Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số ra:  a) y y  0 y  x  x 2  x y  x  y c) ;    y  0 b) y  x.tan x * Chứng minh quy nạp các công thức sau đúng n   : Bài 12 a)  sin ax   n      ax  b   n  a n sin  ax      n ; b)  1 a n n!   n 1  ax  b  ; y b) x  3x  x 1 b) y 8sin x.cos x.cos x  x  1 b) y  sin ;  5 tìm y ; Chứng minh các đẳng thức sau : xy   y ' sin x   xy " 0 a) d) 2x x2  3x  y x  tìm y ;  4 tìm y y=x sin x ; ¿ 18 ( y −1 ) + y =0\} \{ y=cos x ; ¿ ¿ sin x +cos3 x ; y +y=0\} \{ y= 1− sin x cos x ¿ b) c)  4  xy  y 40 y  x2  y d) ; ¿ x−3 e) y ' 2=( y − ) y \} \{ y= ; x+ ¿ ¿ f) ( x2 +1 ) y +4x y' - y=0\} \{ y=√ x + √ 1+ x ; ¿ k  x y " xy ' k y 0  k   y=( x+ √ x + )   Bài 17 a) y Tìm đạo hàm các cấp đã các hàm số sau : Bài 16 g)  n  cos  ax    ;   a) y  x.cos x tìm y c) n n Bài 13 Tìm các đạo hàm cấp n các hàm số sau : x 1 y 2x  a) Bài 14 Tìm các đạo hàm cấp n các hàm số sau : 4 a) y sin x  cos x ; Bài 15  cos ax   y y   Tìm đạo hàm cấp n các hàm số sau : , 2x  x2 y b) x  x ; x2 x2  2x  ; g) y 8sin x.sin x.sin x y c) d) x  3x  6 f) y sin x  cos x ; ; y h) Cho y cos3 x Chứng minh x  5x  2n  n   1 32 n y ;