Hãy điền vào cá ô trống dấu của các phép tính cộng, trừ, nhân , chia và thêm dấu ngoặc nêu cần để B là số nguyên lớn nhất, số nguyên nhỏ nhất.. Tìm hai số nguyên mà tích của chúng bằng h[r]
(1)Chương II Số nguyên § Tập hợp Z các số nguyên Thứ tự Z Bài 1: Cho A = {x Z | x > -9} B = {x Z | x < - 4} C = {x Z | x ≥ - 2} Tìm A B ; B C ; C A Bài 2: Viết tập hợp ba số nguyên liên tiếp đó có số Bài 3: Số nguyên âm lớn có chữ số và số nguyên âm nhỏ nhát có chữ số có phải là số nguyên liên tiếp không? Bài 4: Tìm các giá trị thích hợp a và b: a) a00 > -111 b) a99 > - 600 c) cb3 < cba d) -cba<c85 Bài 5: Cho ba số nguyên a;b;0 biết a là số âm và a<b Hãy xếp số đó theo thứ tự tăng dần Bài 6: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai? a) Nếu a = b thì | a | = | b | b) Nếu | a | = | b | thì a = b c) Nếu | a | < | b | thì a < b Bài 7: Tìm x biết: a) | x | + | - | = | 37 | b) | -6 |.|x| = 54 Bài 8: Tìm x, y, z Z biết : | x | + | y | + | z | = Bài 9: Tìm x Z, biết: a) | x | < 10 b) | x | > 21 c) | x | > -3 d) | x | < -1 Phép cộng hai số nguyên Tính chất phép cộng hai số nguyên Bài tập: Cho x {-3; -2; -1; 0; 1; 2; ; 10} y { -1 ; 1; 0; 1; ; 5} Biết : x + y = Tính nhanh : a) -37 + 54 + (-70) + (-163) + 256 b) – 359 + 181 + (-123) + 350 + (-172) c) – 69 + 53 + 46 + (-94) + (-14) +78 Tính tổng các số nguyên x biết: a) – 17 x 18 b) |x| < 25 Cho S1 = + (-3) +5 +(-7) + +17 S2 = -2 +4 +(-6) + +(-18) Tính tổng S1 + S2 Cho x và y là số nguyên tố có chữ số Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ tổng x + y Chứng minh số đối tổng hai số tổng hai số đối chúng Cho |x| = ; |y| = 11 Tính x + y (2) Cho x, y là hai số nguyên cùng dấu Tính + y biết |x| + |y| = 10 Tính tổng : a) S1 = a + |a| với a Z b) S2 = a + |a| + a + |a| + + a với a Z- và có 101 số hạng 10 Cho 18 số nguyên cho tổng số bất kì các số đó là số âm Giải thích vì tổng 18 số đó là số âm? Bài toán còn đúng không thay 18 số 19 số Phép trừ hai số nguyên Bài tập: Cho a và b các giá trị bảng sau Tìm hiệu a – b Không cần thực phép tính cho biết b – a a b a-b b-a 77 55 -29 -13 -6 -19 Tìm x biết (x + 153) – (48 – 193) = – – – Cho |x| = ; |y| = 20 với x, y Z Tính x – y Cho |x| 3; |y| với x,y Z Biết x – y = Tìm x và y ? Tìm x Z biết : a) |x + 8| = b) | x+ a | = a với a Z Tìm x Z , biết: < | x – 2| < Tìm x, y Z, biết | x + 35 – 40 | + | y + 10 – 11| Cho x < y < và |x| - |y| = 100 Tính x – y Cho x {-2 ; -1; ; 1; ; 11} y { -89; -88; - 87; ; -1; ; 11} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị hỏ x – y 10 Cho x, y Z a) Với giá trị nào x thì biểu thức A = 1000 - |x + 5| có GTLN, tìm GTLN đó b) Với giá trị nào y thì biểu thức B = |y - 3| + 50 có GTNN, tìm GTNN đó c) Với giá trị nào x, y thì biểu thức C = | x – 100 | + | y + 200 | - có GTNN, tìm GTNN đó Bài tập bổ sung § 4.Quy tắc chuyển vế Quy tắc dấu ngoặc Bài tập: Tính hợp lý: a) -2003 + (-21+75 + 2003) b) 1125 – ( 374 + 1125) + (-65 +374) Đặt dấu ngoặc cách hợp lý để tính các tổng đại số sau: a) 942 – 2567 + 2563 – 1942 b) 12 - 12 + 11 + 10 - + - + - + + -1 (3) Tìm x biết: a) 416 + ( x – 45) = 387 b) 11 – (x + 84) = 97 c) - (x + 84) + 213 = - 16 Chứng minh đẳng thức: a) - (- a + b + c) + ( b + c – 1) = (b –c + 6) – ( – a + b) + c Cho A = a + b – 5; B=-b–c+1 C = b – c – 4; D=b–a Chứng minh A + B = C – D Cho a > b ; Tính |S| biết: S = - ( a – b – c ) + ( - c + b + a) – ( a + b) Cho M = a + b – và N = b + c – Biết M > N hỏi hiệu a – c dương hay âm ? Viết số nguyên vào đỉnh ngôi năm cánh cho tổng hai số hai đỉnh liền luôn – Tìm số nguyên đó? Phép nhân hai số nguyên Kiến thức nâng cao 1- Luỹ thừa bậc chẵn số nguyên âm là số nguyên dương - Luỹ thừa bậc lẻ số nguyên âm là số nguyên âm a b ac ab c > a b ac ab c < Giá rị tuyệt đối tích tích các giá trị tuyệt đối: | a b| = |a|.|b| Với a Z thì a2 ( dấu “=” xảy và a = ) Ví dụ: Tìm a, b Z biết a,b = 24 và a + b = - 10 Giải Ta thấy ab > nên a, b cùng dấu a + b = -10 nên a, b cùng dấu âm Do đó a b = 24 = (-1).(-24) = (-2).(-12)= (-3).(-8) = (-4).(-6) Trong các trườnghợp trên thì có (-4) + (-6) = -10 Vậy a = - 4; b = -6 a = - 6; b = - Ví dụ 2: Tìm tất các cặp số nguyên cho tổng tích Giải Gọi hai số cần tìm là x và y Ta có xy = x + y xy – x – y = xy – x – y + = x(y – 1) – (y – 1) = y x 1 (y – 1)(x – 1) = y x Bài tập: Tìm x Z biết: a) x(x+3) = x 2; y 2 x 0; y 0 (4) b) (x – 2)(5 – x) = c) (x-1)(x2 + 1) = Thu gọn các biểu thức sau: a) 7x – 19x + 6x b) –ab – ba 2 3 Cho A = (5m – 8m – 9m )(-n + 4n ) Với giá trị nào m và n thì A Tìm x biết: a) – 12(x – 5) + 7(3 – x) = b) 30(x + 2) – 6(x – 5) – 24x =100 224 Tìm x Z biết: a) | 2x – | = 13 b) 7x + 3| = 66 c) | 5x – 2| Tìm x Z biết: a) (x – 3) (2y + 1) = b) (2x + 1) (3y – 2) = - 55 Tìm x Z cho : (x- 7) (x + 3) < Tính giá trị biểu thức sau cách hợ lý: a) 125.(-61).(-2)3.(-1)2n (n N*) b) 136.(-47) + 36.(-304) c) (-48).72 + 36.(-304) Tìm x Z biết: a) (x +1) + ( x+3) + (x + 5) + + (x + 99) = b) (x -3) + ( x - 2) + (x - 1) + + 10 + 11 = Cho m và n các số nguyên dương: 2+4+6+ +2m m A= 2+4+6+ +2n n B= Biết A < B hãy so sánh m và n 10* Cho 16 số nguyên Tích số bất kì luôn là số âm Chứng minh tích 16 số đó là số dương 11 Bỏ dấu ngoặc và thu gọn biểu thức: a) (a + b)(a + b) b) (a – b)(a – b) c) (a + b)(a – b) 12 Chứng minh số nguyên liên tiếp thì bình phương số hn tich hai số đúng đơn vị 13 Cho a = - 20 ; b – c = - 5, hãy tìm A biết A2 = b(a – c) – c(a – b) 14 Biến đổi tổng thành tích: a) ab – ac + ad b) ac + ad – bc – bd 15 Cho a, b , c Z Biết ab – ac + bc – c2 = -1 Chứng minh a và b là hai số đối 16* Tìm x, y Z biết : a) xy + 3x – 7y = 21 (5) b) xy + 3x – 2y = 11 Bài tập bổ sung § Bội và ước số nguyên Kiến thức nâng cao Các tính chất chia hết (hay không chia hết) số tự nhiên đúng với số nguyên Nếu alà bội b thì - a là bội b Nếu b là ước a thì -b là ước a Do đó số nguyên m có k ước tự nhiên thì có thêm k ước âm (đó là các số đối các ước tự nhiên) Chú ý: - Trong tập hợp số Z , số chia dư 1; dư biểu diễ công thức 3k + 1; 3k + gộp lại là 3k - Số lẻ viết là 2k + 2k – Bài tập: Các số sau có bao nhiêu ước? a) 54 ; b) – 196 Chứng minh a b thì |a| |b| Với n Z, các số sau là chẵn hay lẻ? A = (n – 4)(n – 15) B = n2 – n – Co a, b , x , y Z đó x , y không đối Chứng minh ax – by x+ y thì ay – bx x + y Tìm các giá trị nguyên dương nhỏ 10 x và y cho 3x – 4y = -21 (Phương trình Điôphăng) Cho S = – + 32 – 33 + + 398 – 399 a) Chứg minh S là bội – 20 b) Tính S, từ đó suy 3100 chia cho dư Tìm số nguyên dương n cho n + là ước 111 còn n – là bội 11 Tìm n Z để; a) 4n – n b) -11 là bội n – c) 2n – là ước 3n + Tìm n Z cho: n – là bội n + và n + là bội n – 10* Tìm n Z để: a) n2 – là bội n + b) n + là bội n2 – Bài tập bổ sung § Ôn tập chương II Ví dụ: Tìm x, y, z biết : x – y = - ; y – x = 10 ; z + x = 11 Ví dụ: Cho x Z hãy so sánh x2 và x3 Chú ý: để so sánh A và B ta thường xét hiệu A – B (6) Nếu A – B > thì A > B ; Nếu A – B < thì A < B Bài tập: Tính giá trị biể thức A với x = - 43; y = 17 A = - 125(x + x + + x – y – y – – y) (x có số hạng, y có số hạng) Cho biểu thức B = 10 100 Hãy điền vào cá ô trống dấu các phép tính cộng, trừ, nhân , chia và thêm dấu ngoặc (nêu cần) để B là số nguyên lớn nhất, số nguyên nhỏ Tìm x Z biết |x| Tìm x Z a) – 3x + = 41 b) 52 - | x | = 80 c) |7x + 1| = 20 Cho A = {6 ;7; 8; } ; B = { - 1; - 2; - 3; 4; 8} a) Có bao nhiêu hiệu dạng a – b với a A; b B b) Có bao nhiêu hiệu chi hết cho c) Có bao nhiêu hiệu là số nguyên âm ? Số (-3)20 + có phải là tích hai số nguyên liên tiếp không ? Tìm x Z biết (x + 5)(3x – 12) > Tìm x Z biết (x3+ 5)(x3 + 10)(x3 + 30) < Tìm x, y Z biết (x – 7)(xy + 1) = 10 Cho a, b, c, d Z Biết tích ab là số liền sau tích cd và a + b = c + d Chứng minh a = b 11 Tìm hai số nguyên mà tích chúng hiệu chúng 12 Cho 18 số nguyên cho tổng số các số đó là số âm Giải thích vì tổng 18 số đó là số âm? Bài toán còn đúng không thay 18 số 19 số 13 a) Tìm tất các cặp số nguyên cho tổng tích b) Tìm tất các cặp số nguyên cho tích chúng hiệu 14.Tìm x, y Î Z biết : a) xy + 3x – 7y = 21 b) xy + 3x – 2y = 11 15.Tìm các giá trị nguyên dương nhỏ 10 x và y cho 3x – 4y = - 12 16 Tìm n Î Z để : a) n - là bội n + b) n + là bội n - x- 4 = vaø x - y = 17 Tìm x,y Î Z biết : y - 3 18 Tìm x Î Z biết (x+5)(3x-12) > HD : (7) 12 ta chia 18 số làm nhóm, nhóm số Vì tổng số là số âm nên tổng các số nhóm là số âm Vậy tổng nhóm tức là tổng 18 số là số âm Nếu thay 18 số 19 số thì 19 số ít có số âm (vì không có số âm nào thì tổng số không thể là số âm) Ta tách riêng số âm đó còn lại 18 số Theo c/m trên thì tổng 18 số là số âm, cộng với số âm đã tách riêng từ đầu số âm, tức là tổng 19 số đã cho là số âm 13 a) Tìm tất các cặp số nguyên cho tổng tích b) Tìm tất các cặp số nguyên cho tích chúng hiệu Giải a) Gọi hai số nguyên đó là x, y Theo bài ta có : xy = x + y Û xy - x- y = Û xy - x- y +1 = Û x(y -1)- (y -1) = Û (x -1)(y -1) = Ta có bảng sau : x- y-1 x y 1 2 -1 -1 0 b) Gọi hai số nguyên đó là x, y Theo bài ta có : xy = x - y Û xy - x+ y = Û xy - x + y - = -1 Û x(y -1) + (y -1) = Û (x +1)(y -1) = -1 Ta có bảng sau : x+ 1 -1 y-1 -1 x -2 y Î Z 14 Tìm x, y biết : a x = ; y Î Z x Î Z ; y = -3 b (x-2)(y+3)= 15 Ta thấy x M3; -21M3 Þ 4yM3 Vì (4;3) = nên y M3 Þ y = 3k (0 < k < 4) Thay y = 3k vào 3x – 4y = - 12 ta : 3x – 4.3k = - 12 Þ x = 4k-7 2 16 a) n - = n + 3n - 3n - + = (n + 3n) - (3n + 9) + = n(n + 3) - 3(n + 3) + (8) Vì n - là bội n + nên là bội n + Vậy n + Ta có bảng sau: Î { ±1; ±2} n+3 -1 -2 n -2 -4 -1 -5 2 b) n + là bội n - nên (n + )(n-3) là bội n - 2 2 hay n - 9Mn - Þ n - - 2Mn - Þ 2Mn - { Vậy Ta có bảng sau: n - Î ±1; ±2} n2 - n n Loại -1 Loại ±3 -2 Loại x- 4 = vaø x - y = y 3 Î Z 17 Tìm x,y biết : x- 4 = y 3 nên 3(x-4) = 4(y-3) Þ 3x-12=4y-12 Þ 3x=4y(1) Vì Mặt khác x-y=5 Þ x=5+y (2) Từ (1) Þ 3(5+y) = 4y Þ 15+3y = 4y Þ y = 15 Thay vào (2) Þ x = 20 Vậy x = 20; y = 15 ìï x + > ïí ï 18 (x+5)(3x-12) > Þ Hoặc ïî x - 12 > - TH ïìï x + > Þ í ïîï x - 12 > ìï x + < ïí Þ ïîï x - 12 < - TH ìï x + < ïí ïïî x - 12 < ïìï x >- Þ x >4 í ïîï x > ìï x <- ïí Þ x <- ïîï x < Vậy với x > x < -5 thì (x + 5)(3x - 12) > (9)