DE HSG TOAN 6

Vì On thuộc nửa mặt phẳng bờ xzcó chứa tia Oy nên On tạo với xz 2 góc kề bù là xOn; nOz.[r]

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN LỚP ĐỀ SỐ Câu 1(3 điểm): Thực phép tính a) A=1.2.3…9 - 1.2.3…8 - 1.2.3…8.8 16  3.4.2  13 11 b) B= 11.2  16 131313 c) C = 70.( 565656 131313 + 727272 131313 + 909090 ) Câu 2(2 điểm) Cho A = 1+3 + 32 + … + 329+330 a) TÝnh A b) A cã ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng kh«ng? c) Chøng tá A-1 chia hÕt cho Câu 3(4 điểm) : Tìm x   biết : a)  x  11 2  200 x  15  b)   x  15  c) x + (x + 1) + (x + 2) +…+ ( x + 2013) = 2035147  1 1        9.10 10.11 11.12 x(x  1)   d) Câu 4: ( ®iÓm ) a) Cho S = + + + + 10 11 12 13 14 Chøng minh r»ng : 1< S < b Tìm số tự nhiên n để các biểu thức sau là số tự nhiên: 2n  5n  17 3n   B = n2 n2 n2 135 c) Tìm phân số phân số 165 , biết hiệu mẫu số và tử số phân số đó lµ 28 Câu5 ( ®iÓm ) Cho p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3, hái p2+2012 lµ sè nguyªn tè hay hîp sè C©u 6: (3 ®iÓm) a) Cho n điểm đó không có điểm nào thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đờng thẳng Biết có tất 105 đờng thẳng Tính n? b) Cho gãc xOy vµ yOz lµ hai gãc kÒ bï víi vµ yOz 30 Trªn nöa mÆt 0 phẳng bờ xz có chứa tia Oy kẻ tia On Biết xOn  , tìm giá trị  để tia Oy là tia ph©n gi¸c cña nOz \ Câu 4: ( ®iÓm ) a) Cho S = + + + + 10 11 12 13 14 Chøng minh r»ng : 1< S < b Tìm số tự nhiên n để các biểu thức sau là số tự nhiên: 2n  5n  17 3n   B = n2 n2 n2 135 c) Tìm phân số phân số 165 , biết hiệu mẫu số và tử số phân số đó lµ 28 Câu5 ( ®iÓm ) Cho p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3, hái p2+2012 lµ sè nguyªn tè hay hîp sè C©u 6: (3 ®iÓm) a) Cho n điểm đó không có điểm nào thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đờng thẳng Biết có tất 105 đờng thẳng Tính n? b) Cho gãc xOy vµ yOz lµ hai gãc kÒ bï víi vµ yOz 30 Trªn nöa mÆt 0 phẳng bờ xz có chứa tia Oy kẻ tia On Biết xOn  , tìm giá trị  để tia Oy là tia ph©n gi¸c cña nOz HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN: TOÁN LỚP ĐÁP ÁN Câu a) A=1.2.3…9- 1.2.3…8- 1.2.3…82 =1.2.3…8.9-1.2.3…8-1.2.3…8.8 = 1.2.3…8.(9-1-8) =1.2.3…0 =0 BIỂU ĐIỂM 0,25 0,25 0,25 0,25 16  3.4.2  13 11 b)B= 11.2  16 0,25 0,25 0,25 0,25 16  3.2   11.213.222  236 9.236  11.235  236 9.236  35  11    0,25 9.236 2 235.9 0,25 131313 c) C = 70.( 565656 + 131313 727272 0,25 + 131313 ) 909090 13 = 70.( 56 13 + 72 = 70.13.( + 7.8 1 = 70.13.( 10 13 + ) 90 1 + ) 9 10 0,25 0,25 0,25 0,25 ) = 39 Câu 2(2 điểm) Cho A = 1+3 + 32 + … + 329+330 (0.5đ) a) A = 1+3 + 32 + … + 329+330  A 3  32  33   330  331  A  A (3  32  33   330  331 )    320,25  33   330   A 331   0,25 31  A 1 (0.75đ) 31   3 b) Ta có .3  1 33  1      331     331   3 0,25 Mà số chính phương không thể có chữ số tận cùng là nên A không phải là số chính phương (0.75đ) c) Ta có 2A-1=3 + 32 + … + 329+330 0,25 Từ  30 có 30 số tự nhiên liên tiếp 0,25 nên từ 31  330 có 30 lũy thừa 3, nhóm lũy thừa vào cặp ta có 15 cặp sau 0,25     A             A         A 84      A 7.12      7 0,25  A7 0,25 0,25 A  31  34  (32  35 )   327  330 4 1 26 1 0,25 26 26 0,25 26 (1đ) a)  x  11 Câu 3 2  200  x  11 32.25  200  x  11 1000  x  11 103 0,25  x  11 10 x 10  11 x 21 x 3 b)  x  15  (0.75đ)  x  15    x  15  0  x  15    x  15  1 0  x  15    x  15  0     x  15   0  x  15 0  x 7,5    x  15  0,25 0.25 0.25  0   x  15  12  x  15 1 x 16 x 8(  ) 0.25 0.25 Vậy x=8 (1.25đ) c) x+(x+1)+(x+2)+…+ (x+2013)=2035147 0.25  (x+0)+(x+1)+(x+2)+…+ (x+2013)=2035147(1) NX : Từ  2013 có 2014 số tự nhiên liên 0.25 tiếp nên từ x+0  x  2013 có 2014 số x Tổng các số tự nhiên liên tiếp từ  30 là  2013   2014 2027091 0.5 Vậy từ (1)ta có 2014.x + 2027091 = 2035147 2014.x = 2035147-2027091 0.75 2014.x=8056 X = 8056 :2014 x= d ) (1đ) 0.25  1 1        x(x  1)   9.10 10.11 11.12 1  1 1         x x 1   10 10 11 0.5 1      x 1  2   x 1   x  18  x 17 x 1 Câu 4\ 0.5 (1.25đ) a)S = 3 3 3 3 3 => S + + + + > + + + + 10 11 12 13 14 15 15 15 15 15 15 =1 15 > (1) S= 3 3 3 3 3 + + + + < + + + + 10 11 12 13 14 10 10 10 10 10 => 0.5 15 20 S< (2) < =2 10 10 Tõ (1) vµ (2) => < S < b) (2.25đ) 0.5 0.25 B = n+ n+17 n n+ 9+5 n+17 −3 n n+26 + − = = n+2 n+2 ❑ n+2 n+2 n+2 0.5 B= n+26 4(n+2)+18 18 = =4+ n+2 n+2 n+ 0.25 18 §Ó B lµ sè tù nhiªn th× n  lµ sè tù nhiªn ( 18) = ⇒ 18 ⋮ (n+2) => n+2 { 1; ; ; ; ; 18 } +, n + 2= ⇔ n= +, n + 2= ⇔ n= +, n + 2= ⇔ n= +, n + 2= ⇔ n= +, n + 2= 18 ⇔ n= 16 VËy n { ; 1; ; ; 16 } th× B 0.5 N 0.75 135  c) (2.5đ)Ta có 165 11  các phân số 0.25 135 9n (n  Z ; n 0) phân số 165 có dạng 11n Vì hiệu mẫu và tử phân số là 28 nên 0.5 11n-9n=28  n 14 9.14 126  Vậy phân số phait tìm là 11.14 154 Câu5 (2đ) Vì p lµ sè nguyªn tè lín h¬n Nên p không chia hết cho vẽ 0.5 0.25  p 3k  1; p 3k   Nếu p=3k+1 thì p  3k 1 3k  3k 1 1  3k 1 3k 3k  3;1 3k     không chia hết cho Vì  nên p2 không chia hết cho Nên p2 có dạng p 3m   p  2012 3m   2012 3m  2013 3.(m  671)3  p +2012 Là hợp số  Nếu p=3k+2 thì 0.5 0.25 0.25 0.25 p  3k   3k  3k     3k   3k  3k    2.3k   p : 3(1)  p 3m  p 3m   p  2012 3m   2012 3m  2013 3.(m  671)3  p2+2012 Là hợp số Vậy p lµ sè nguyªn tè lín h¬n thì p2+2012 Là hợp số Câu6(1.5đ) +chọn điểm n điểm cho trước Với n-1 điểm thì ta vẽ n-1 đường thẳng Nhưng số điểm đã tính lần nên số đường thẳng thực tế tạo thành là n  n  1 Nếu có 105 đường thẳng thì ta có n  n  1 105 n  n  1 2.105 210 15.14  n 15 Vậy có 15 điểm b) (1.5đ) n y x O z Vì xOy; yOz là góc kề bù nên xOy  yOz 1800 Theo bài Oy là tia phân giác góc nOz thì zOy yOn 300  zOy  yOn 600 Vì On thuộc nửa mặt phẳng bờ xzcó chứa tia Oy nên On tạo với xz góc kề bù là xOn; nOz  xOn  nOz 1800  xOn 1800  nOz 1800  600 1200   1200 Vậy để Oy là tia phân giác góc nOz thì  120 (Chú ý: Các cách làm khác mà đúng thì cho điểm tối đa)