bai tap cI hinh 8

40 4 0
bai tap cI hinh 8

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Chứng minh rằng lấy tích của bốn số nguyên liên tiếp cộng với 1, ta được một số chính phương... Chứng minh rằng số.[r]

(1)Chương I PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC §1 NHÂN ĐA THỨC I.Lý thuyết Phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức thức sau: A(B+C)=A.B+A.C (A+B)(C+D)=A.C+A.D+B.C+B.D II.Bài tập Bài Rút gọn biểu thức: y−x−{ x− y− [ y+ x−(5 y−x ) ] } Với 2 x=a +2 ab+ b , y =a −2ab +b LG: rút gọn theo x và y, x-y Sau đó rút gọn theo a và b, 4ab Bài Thực phép tính: xn ( x n−1−1 )−2 x n+1 ( x n−2−1 ) n 1 n LG: x  3x Bài Rút gọn các biểu thức: a) b) c) 10n+1 −6.10 n ; 90 10k −10 k+2 +10k+ ; 2,5.5 n−3 n .10+5 −6.5 n−1 LG: n 1 n n n n a) 10  6.10 10.10  6.10 4.10 k k 2 k 1 k k k b) 90.10  10  10 90.10  100.10  10.10 0 c) (2) Bài a) Chứng minh 210+ 211 +212 chia hết cho b) Viết 7.32 thành tổng ba lũy thừa số với các số mũ là ba số tự nhiên liên tiếp LG: 10 11 12 10 10 10 10 a)   2  2.2  4.2 7.2 chia hết cho 5 5 b) 7.32 7.2 2  2.2  4.2 2   1 Bài Tính 117 119 − 117 upload 123 doc net − + 119 117 upload.123 doc net 39 1 a, b 119 LG: Đặt 117 , ta có : (3  a )b  4a (6  b)  5ab  24a 3b  119 Bài Tính giá trị x 15−8 x14 +8 x 13−8 x 12+ …−8 x +8 x−5 với x=7 LG: Thay x+ Đáp số:2 Bài Rút gọn (a+b+c)( a2 +b 2+ c 2−ab−bc−ca ¿ 3 LG: a  b  c  3abc Bài Chứng minh đẳng thức: a (¿ ¿ 2+b + c −ab−bc−ca ) (a+b+c) ¿ 2 = a ( a 2−bc ) +b ( b 2−ac ) +c ( c 2−ab ) 3 LG: Cả hai vế a  b  c  3abc Bài Chứng minh đẳng thức : ( 100+a )( 100+b )=( 100+a+ b ) 100+ab Từ đó suy quy tắc nhân nhẩm hai số nhỏ 100 chút (3) LG: Gọi x là số lớn 100, ta gọi hiệu x−100 là phần Muốn nhân hai số lớn 100 chút, ta lấy số này cộng với phần số kia, viết tiếp vào sau tích hai phần (bằng hai chữ số) Ví dụ:112.103=11536; 102.104=10608 Bài 10 Hãy xây dựng quy tắc nhân nhẩm hai số nhỏ 100 chút dựa vào đẳng thức: ( 100−a ) (100−b )=( 100−a−b ) 100+ ab LG: Gọi x là số nhỏ 100, ta gọi hiệu 100−x là phần bù Muốn nhân hai số nhỏ 100 chút, ta lấy số này trừ phần bù số kia, viết tiếp vào sau tích hai phần bù (bằng hai chữ số) Ví dụ: 98.94=9212 Bài 11 Rút gọn biểu thức ( x+ a ) (x +b)( x +c ) Biết a+b +c=6 ab+ bc+ ca=−7 abc=−60 LG: ( x+ a ) ( x+ b ) ( x + c ) =¿ ( x 2+ bx+ ax+ ab ¿( x +c ) = x 3+ c x 2+ b x 2+bcx + a x +acx + abx+ abc = x 3+ ( a+b+ c ) x 2+ ( ab+bc +ca ) x +abc = x 3+ x 2−7 x−60 (4) §2 CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ I.Lý thuyết Bảy đẳng thức đáng nhớ học chương trình cho ta kết cuối cùng các phép nhân đa thức với đa thức: (1) ( a+b )2=a 2+2 ab+ b2 2 (2) ( a−b ) =a −2 ab+ b 2 ( a+b ) ( a−b )=a −b (3) 3 2 (4) (a+ b) =a +3 a b+3 a b + b 3 2 (5) (a−b) =a −3 a b+3 a b −b 2 3 (6) ( a+b ) ( a −ab+b ) =a +b 2 3 (7) ( a−b ) ( a + ab+b ) =a −b Các công thức (4) và (5) còn viết dạng: (a+ b)3 =a3 +b 3+ ab(a+ b) (a−b)3=a 3−b3 −3 ab( a−b) Từ công thức (1) suy công thức bình phương đa thức : (a+ b+c )2 =a2 +b 2+ c2 +2 ab+2 ac +2 bc II.Bài tập A CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC (1), (2), (3), (4) Bài 12 Tính nhanh kết các biểu thức sau: a) b) c) d) 8 4 −(18 −1)(18 +1) ; 2 2 100 −99 + 98 −97 + …+2 −1 ( 202 +182 +162 +…+ 2+22 ) −(19 2+17 2+15 2+ …+32 +12) ; e) ; 127 +146.127+73 780 −220 2 125 +150.125+75 LG: 2 a) (127  73) 200 40000 8 b) 18  (18  1) 1 c) ( 100+99 ) ( 100−99 ) + ( 98+97 ) ( 98−97 ) +…+(2+1)(2−1) =100+99+98+97+…+2+1=5050 (5) 2 2 2 d) Biến đổi thành 20  19  18  17    giải bài toán trên Đáp số: 210 (780  220)(780  220) 1000.560  14 (125  75) 200.200 e) Bài 13 So sánh hai số sau, số nào lớn ? a) A=1989.1991 và B=1990 2 ; x− y x −y và B= 2 với x > y >0 ; x+ y x +y b) A= c) A= (3+ ) ( 2+1 ) ( +1 ) ( 38 +1 ) ( 316 +1 ) và B=3 32−1 LG: a) Đặt 1990=x thì A= ( x −1 )( x +1 )=x 2−1 , còn B=x Vậy B lớn A là x  y ( x  y )( x  y ) x2  y2 x2  y    B 2 2 x  y ( x  y ) x  xy  y x  y b) (vì 32 1 A 32 c) (3  1) A 3  nên B lớn gấp đôi A A Bài 14 Rút gọn các biểu thức: a) b) c) d) x −1 ¿ ; ¿ 5¿ ( a2 +2 a+1 ) ( a2−2 a+ )−(2 a2+ 1)2 ; (9 x−1)2+(1−5 x)2 +2( x−1)(1−5 x ) ; (x 2−5 x+1)2 +2 ( x−1 ) ( x 2−5 x+ )+(5 x−1)2 ; LG: a) x 2+ 48 x−57 2 2 b) (2a  2a  1)(2a  2a  1)  (2a  1) (2a   2a )(2a   2a )  (2a  1)2 (2a  1)2  4a  (2a  1)2  4a c) Đặt x−1=a ,1−5 x =b , biểu thức trở thành x> y> ¿ (6) a  b  2ab (a  b) (9 x    x) (4 x) 16 x d) Giải bài toán trên Đáp số : x Bài 15 Rút gọn biểu thức: a) b) c) 2 ( a 2+b 2−c ) −( a2−b 2+ c 2) ; ( a+b +c )2+ ( a+b−c )2−2 ( a+ b )2 ; ( a+b +c )2+ ( a−b+c )2 + ( a+ b−c )2 + ( b+ c−a )2 LG: 2 a) Áp dụng x  y ( x  y )( x  y ) ta : (a  b  c  a  b  c )(a  b  c  a  b  c ) 2a (2b  2c ) 4a 2b  4a 2c 2 b) (a  b  c )  (a  b  c )  2(a  b) (a  b)  2c(a  b)  c  ( a  b)  2c(a  b )  c  2(a  b) 2c c)  ( a  b)  c  2   (a  b)  c    ( a  b)  c    c  (a  b)  (a  b)2  2c (a  b)  c  (a  b)  2c(a  b)  c  (a  b)  2c(a  b)  c  c  2c(a  b)  (a  b) 2(a  b)  2(a  b)  4c 2(a  2ab  b )  2(a  2ab  b )  4c 4(a  b  c ) Bài 16 Chứng minh cacs đẳng thức: a) b) c) 2 ( a 2−b2 ) + ( ab )2 =( a2 +b 2) ; ( a 2+b )( c 2+ d 2) =( ac +bd )2 + ( ad−bc )2 ; d) ( ax +b )2 +(a−bx)2 +c x +c 2=(a2 +b 2+ c 2)( x 2+ 1) ; ( a+b+ c ) [ ( a−b )2+ ( b−c )2+ ( c−a )2 ] =a3 +b 3+ c3 −3 abc ; e) 1000 +1003 + 1005 + 1006 =1001 +1002 +1004 +1007 2 2 2 LG: e) Xét vế trái và vế phải: 10002  10032  10052  10062  10012  1002  1004  1007 2 (7) (10032  10022 )  (10052  10042 )  (1007  1006 )  (10012  10002 ) (1003  1002)  (1005  1004)  (1007  1006)  (1001  1000) 2005  2009  2013  2001 0 Bài 17 Cho 10 a2=10 b 2+ c2 Chứng minh rằng:( a−3 b+2 c )( a−3 b−2 c )=(3 a−7 b)2 2 2 LG: Biến đổi vế trái thành (7a  3b)  (2c) thay c 10a  10b Bài 18 Cho a+b +c=2 p Chứng minh : a) b) bc+b 2+ c 2−a2 =4 p( p−a) : ( p−a)2 +(p−b)2 +( p−c )2=a2 +b 2+ c 2− p2 LG: a) Biến đổi vế phải thành p (2 p  2a ) (a  b  c )(b  c  a ) (b  c )  a b  2bc  c  a vế trái Bài 19 Viết đa thức x 2+3 x +2 dạng đa thức x−1 LG: ( x  1)  5( x  1)  Bài 20 Hiệu các bình phương hai số tự nhiên chẵn liên tiếp 36 Tìm hai số LG: Gọi hai số chẵn liên tiếp là x và x+2( x chẵn ) Ta có: 2 ( x+ 2) −x =36 , suy x=8 Đáp số : và 10 Bài 21 Hiệu các bình phương hai số tự nhiên lẻ liên tiếp 40 Tìm hai số LG: và 11 Bài 22 Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết tổng các tích cặp hai số ba số 74 LG: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là x−1, x , x+1 (8) Ta có x( x  1)  ( x  1)( x  1)  x( x  1) 74 suy x 25 , mà x  nên x 5 Đáp số: 4, 5, Bài 23 Tổng ba số a , b , c 9, tổng các bình phương chúng 53 Tính ab+ bc+ ca 2 2 LG:Áp dụng (a  b  c) (a  b  c )  2(ab  bc  ca) Đáp số : ab  bc  ca 14 Bài 24 Tìm x và y biết x 2−2 x + y +4 y+ 5=0 ( x  1)  ( y  2) 0 ,do đó x   y  0 Vậy x 1, y  Bài 25 Cho a2 +b 2+ c 2−ab−bc−ca=0 chứng minh a=b=c 2 LG: Biến đổi 2(a  b  c  ab  bc  ca) 0 thành (a  b)  (b  c)  (c  a ) 0 Bài 26 Cho (a−b)2+(b−c )2+(c−a)2=4 (a 2+ b2+ c 2−ab−bc−ca) Chứng minh a=b=c LG: Biến đổi đẳng thức đã cho dạng : (a  b)  (b  c)  (c  a ) 0 Bài 27 Tính giá trị các biểu thức; a) b) c) với x=105 ; x + 0,2 x +0,01 với x=0,9 2 ( a−5 )( a+ )−( a−5 ) +36 với a=99 x −10 x+26 LG: 2 a) ( x  5)  100  10001 2 b) ( x  0,1) 1 1 (9) 2 c) (a  1) 100 10000 Bài 28 Chứng minh : a) b) c) a ( a−6 ) +10> ; ( x−3 ) ( x−5 ) + 4>0 ; a +a+ 1> LG: 2 a) Vế trái a  6a  10 (a  3)  2 b) Vế trái x  x  19 ( x  4)  1  1 a  a  a  2.a    a    4  2 c) 2 Bài 29 Tìm giá trị nhỏ các biểu thức: a) b) c) x −4 x +1 ; x +4 x+11 ; x −6 x−1 LG: 2 2 a) Biến đổi x  x   x  x   ( x  2)  Do ( x  2) 0 nên ( x  2)   Giá trị nhỏ biểu thức  x 2 2 b) x  x  11 (2 x  1)  10 Giá trị nhỏ biểu thức 10khi x  2 c) 3x  x  3( x  1)  Giá trị nhỏ biểu thức  x 1 Bài 30 Tìm giá trị lớn các biểu thức: a) b) LG: 5−8 x−x ; x − x 2+1 (10) 2 a)  x  x  ( x  x  16)  21  ( x  4)  21 2 Do  ( x  4) 0 nên  ( x  4)  21 21 Giá trị lớn biểu thức 21 x  2 b) x  x   ( x  2)  có giá trị lớn x 2 Bài 31 Tìm giá trị nhỏ các biểu thức: a) b) ( x−1 ) ( x +2 ) ( x+ ) (x +6) ; x −2 x + y −4 y +6 LG: 2 2 a) ( x  1)( x  2)( x  3)( x  6) ( x  x  6)( x  x  6) ( x  x)  36  36 Giá trị nhỏ biểu thức -36 x  x 0 , tức là x 0 x  2 b) Biến đổi thành ( x  1)  ( y  2)  Giá trị nhỏ biểu thức x 1, y 2 B_CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC (4), 5), (6), (7) Bài 32 Tính giá trị các biểu thức: a) b) c) d) với a=9 ; x +3 x +3 x với x=19 ; a3 +3 a 2+3 a+6 với a=29; a −3 a +3 a+1 với a=101 a +1+3 a+3 a LG: a) (a  1) 1000 b) ( x  1)  7999 c) (a  1)  27005 d) (a  1)  1000002 Bài 33 Rút gọn các biểu thức: (11) a) b) c) x ( x−1 ) ( x+ )−(x +1)(x −x+ 1) ; x2 ( x+ )( x−1 ) −( x 2−1 ) ( x + x 2+1 ) +(x 2−1)3 ; (a+ b+c )3 +(a−b−c)3 +(b−c−a)3 +( c−a−b)3 LG: a)  x  b) c) 3  a  (b  c)   a  (b  c)   (b  c)  a    (b  c)  a  Đáp số: 24abc Bài 34 Tìm x biết: 6( x +1)2−2 ( x +1 ) +2 ( x−1 ) ( x2 + x +1 )=1 LG: x  Bài 35 Chứng minh các đẳng thức: a) b) a3 +b 3=(a+b)3−3 ab(a+ b) ; (a+ b+c )3 =a3 +b 3+ c 3+3 ( a+b ) ( b+ c )(c+ a) LG: học sinh tự chứng minh Bài 36 Cho a+b +c=0 Chứng minh a3 +b 3+ c 3=3 abc LG: Ta có a  b  c 0 nên c  (a  b) Do đó: a  b3  c a  b3  (a  b)3  3ab( a  b) 3abc Bài 37* Cho a+b +c +d=0 Chứng minh : a3 +b 3+ c 3+ d 3=3(ab−cd)(c+ d) .LG: Ta có a  b  c  d 0 nên a  b  (c  d ) 3 Suy (a  b)  (c  d ) , tức là a  b3  3ab(a  b)  c  d  3cd (c  d ) (12) 3 3 hay a  b  c  d  3ab(a  b)  3cd (c  d ) Chú ý a  b  (c  d ) nên vế phải đẳng thức trên 3ab(c  d )  3cd (c  d ) 3(c  d )(ab  cd ) Bài 38 Cho a+b=1 Tính giá trị M =2 ( a3 +b )−3 ( a2+ b2 ) LG: M 2( a  b)(a  ab  b )  3(a  b ) 2( a  ab  b )  3( a  b )  ( a  b)  §3 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I.Lý thuyết Ba phương pháp thường dùn g để phân tích đa thức thành nhân tử: _Đặt nhân tử chung _Nhóm các hạng tử _Dùng đẳng thức Ngoài ra, để phân tích đa thức thành nhân tử, người ta còn dùng phương pháp khác : tách hạng tử thành nhiều hạng tử, thêm và bớt cùng hạng tử, đổi biến, hệ số bất định II.Bài tập Bài 39 Phân tích thành nhân tử: a) b) c) d) e) f) LG: x −4 x −8 x +8 ; 1+6 x−6 x −x ; x −x −486 x +81 ; x −4 x + x−1 ; x ( x +4 )−x +4 ; 2 2 x ( x+ 4) −( x +4 ) −( x −1) (13) a )( x  2)( x x  4) b)( x)( 7 x  x ) c)(6 x  1)( x  9)( x  9) d ) x  (4 x  x  1) ( x )  (2 x  1) ( x  x  1)( x  1) e) x  x   x ( x  2)  x ( x  x  2)( x  x  2) g )( x  1)( x  1)( x  5)( x  3) Bài 40 Phân tích thành nhân tử: a) b) c) d) e) f) g) (xy +1)2 −(x + y )2 ; (a+ b+c )2 +(a+b−c )2−4 c ; a2 b2−(a2 +b 2−c 2)2 ; a ( b 2−c ) +b ( c 2−a2 ) +c (a 2−b2 ) ; ab ( a+ b ) +bc ( b+c ) +ca ( c + a ) +2 abc ; ab ( a+ b ) +bc ( b+c ) +ca ( c + a ) +3 abc ; a3−b ); a ( b 3−c ) +b ( c3 −b3 ) +c ¿ h*) a3 ( b3 −c ) +b3 ( c 3−a3 ) +c (a 3−b3 ) ; k*) a( b−c)2 +b(c−a)2 +c (a−b)2−a 3−b3 −c +4 abc LG: a )( xy  1)  ( x  y ) ( xy   x  y )( xy   x  y ) ( x  1)( y  1)( x  1)( y  1) b) Cách (a  b  c)  (a  b  c)  4c (a  b)  2c (a  b)  c  (a  b)  2c(a  b)  c  4c 2(a  b)  2c 2(a  b  c)(a  b  c) Cách (14) (a  b  c)  (a  b  c  2c)( a  b  c  2c) (a  b  c )  (a  b  c )(a  b  3c ) (a  b  c )(a  b  c  a  b  3c ) 2( a  b  c)(a  b  c ) c)4a 2b  (a  b  c ) (2ab  a  b  c )(2ab  a  b  c ) (a  b  c)(a  b  c)(c  a  b)((c  a  b) d )(a  b)(b  c)(c  a) e)(a  b)(b  c)(c  a ) g )ab(a  b)  bc(b  c)  ca (c  a )  3abc ab(a  b)  abc  bc(b  c)  abc  ca (c  a)  abc (a  b  c)(ab  bc  ca ) 3 3 3 h) Chú ý: c  a   (b  c )  (a  b )  Đáp số : (a  b)(b  c )(c  a)(a  b  c) i )( a  b)(b  c)( a  c)( ab  bc  ca) k )a (b  c )2  b(c  a )  c(a  b)  a  b  c  4abc a (b  c)  a  4abc  b(c  a )  b  c(a  b)  c a[(b  c)  4bc  a ]  b[(c  a )  b ]  c[(a-b)  c ] =a[(b+c)  a ]  b  (c  a)2  b2   c  ( a  b)  c  a (b  c  a )(b  c  a )  b(c  a  b)(c  b  a )  c (a  b  c)(a  b  c) (b  c  a)  a(b  c  a)  b(c  b  a)   c(a  b  c )(a  b  c ) (b  c  a)  ab  ac  a  bc  ab  b   c(a  b  c)(a  b  c ) (b  c  a)[c( a  b)  ( a  b)(a  b)]  c( a  b  c)(a  b  c ) (b  c  a)(a  b)( a  b  c )  c(a  b  c)(a  b  c) (a  b  c)[( a  b)(b  c  a)  c (a  b  c)] (a  b  c)( ab  ac  a  b  bc  ab  ac  bc  c ) (a  b  c)[b  (a  c) ] (a  b  c)(b  a  c)(b  a  c) (15) Bài 41 Phân tích thành nhân tử: a) b) a3 +b 3+ c 3−3 abc ; 3 3 (a+b+c ) −a −b −c 2 3 LG: a ) Viết a  b dạng (a  b)  3a b  3ab 3 3 2 Do đó a  b  c  3abc (a  b)  c  3a b  3ab  3abc (a  b  c)[(a  b)  c (a  b)  c ]  3ab(a  b  c) (a  b  c)(a  b  c  ab  bc  ca ) b) Áp dụng ( x  y )3  x3  y  xy ( x  y ) ta có ( a  b  c )3  a  b  c (a  b)3  c  3c(a  b)(a  b  c)  a  b  c 3(a  b)(ab  ac  bc  c ) 3(a  b)(b  c )(c  a ) Bài 42 Phân tích các tam thức bậc hai thành nhân tử: a) b) c) x 2−7 x+12 ; x 2−5 x−14 ; x −3 x−1 LG: a )( x  3)( x  4) b)( x  7)( x  2) c)( x  1)(4 x  1) Bài 43 Phân tích thành nhân tử cách đổi biến để đưa dạng tam thức bậc hai biến mới: a) b) c) d) x −11 x +3 ; ( x 2+ x ) +3 ( x + x ) +2; x ( x +1 ) ( x +2 ) ( x+ ) +1; 2 x −7 xy+ 12 y ; (16) e) 2 x −2 xy + y +3 x−3 y−10 LG: 2 Đặt x  y Đáp số : (3x  1)(2 x  3) b) Đặt x  x  y Đáp số ( x  x  1)( x  x  2) c) x( x  1)( x  2)( x  3)  ( x  x)( x  3x  2)  Đặt x  3x  y , đa thức y ( y  2)   y  y  ( y  1)2 ( x  3x  1)2 d )( x  y )( x  y ) e) Viết đa thức thành ( x  y )  3( x  y )  10 Đáp số : ( x  y  5)( x  y  2) Bài 44 Phân tích x 3−7 x−6 thành nhân tử nhiều cách LG: ( x  1)( x  2)( x  3) 3 Cách x  x   x   x  3 Cách x  x   x  x  x  3 Cách x  x   x  x  x  3 Cách x  x   x  27  x  21 Bài 45 Phân tích thành nhân tử: a) b) c) d) e) x −5 x +8 x−4 ; x −3 x+2 ; 3 x −5 x +3 x +9 ; x + x +17 x+ 10; x +3 x +6 x+ (17) LG: a)Chú ý đa thức có tổng các hệ số x3  x  8x  x3  x  x  x    x ( x  1)  x( x  1)  4( x  1) ( x  1)( x  2)2 b)Cách 1: Đa thức có tổng các hệ số x3  3x  x3   3x  ( x  1)( x  x  1)  3( x  1) ( x  1)( x  x  2) Tiếp tục phân tích x  x  ( x  1)( x  2) Kết ( x  1) ( x  2) Cách 2:Đa thức có nghiệm -2 x3  3x   x3   3x  ( x  2)( x  x  4)  3( x  2) ( x  2)( x  x  1) ( x  2)( x  1)2 c)( x  1)( x  3) d )( x  1)( x  2)( x  5) e) x3  x  x   x3   x  x  12 ( x  2)( x  x  4)  3( x  x  4) ( x  x  4)( x  1) Bài 46 Phân tích thành nhân tử : a) b) c) d) e) x −2 x −4 ; 2 x −12 x + 17 x −2; x + x +4 ; 3 x +3 x +3 x+2 ; x + x +26 x +24 ; (18) f) g) 2 x −3 x +3 x−1; x3 −14 x 2+ x +3 LG: a)2 là nghiệm đa thức Đáp số: ( x  2)( x  x  2) b)2 là nghiệm đa thức Đáp số: ( x  2)(2 x  x  1) c)-2 là nghiệm đa thức 3 2 Cách x  x   x  x  x   x ( x  2)  ( x  2)( x  2) ( x  2)( x  x  2) 3 Cách x  x   x   x  ( x  2)( x  x  4)  ( x  2)( x  2) ( x  2)( x  x  2) d)-2 là nghiệm đa thức Đáp số: ( x  2)( x  x  1) 3 e)Biến đổi đa thức thành x  x  27  x  ( x  3)  ( x  3) Đáp số : ( x  3)( x  4)( x  2) g) là nghiệm đa thức Đáp số: (2 x  1)( x  x  1) h) là nghiệm đa thức Đáp số: (3x  1)( x  x  3)  Bài 47 Phân tích thành nhân tử: a) b) x +2 x3 + x + x+1 ; ( 1+ x ) −4 x ( 1−x ) ; (19) c) ( x 2−8 ) +36 LG: a )( x  1)( x  x  1) b)(1  x )  x(1  x ) (1  x )  x  x(1  x ) [(1  x )  x]2 ( x  x  1) c)( x  8)  36  x  16 x  100 ( x  10)2  36 x ( x  x  10)( x  x  10) Bài 48 Phân tích thành nhân tử: a) b) c) d) x +4 ; x +64 ; 64 x +1 ; 81 x 4+ 2 LG: a) Thêm bớt hạng tử 4x Đáp số : ( x  x  2)( x  x  2) 2 b)Thêm bớt 16x Đáp số: ( x  x  8)( x  x  8) c)(8 x  x  1)(8 x  x  1) d )(9 x  x  2)(9 x  x  2) Bài 49* Phân tích thành nhân tử: a) b) x + x +1 ; x + x +1 LG: a) Cách Để “ nối” từ x đến x , ta thêm bớt x , x , x Ta có : (20) x5  x   x5  x  x  x3  x  x  x  x   x3 ( x  x  1)  x ( x  x  1)  ( x  x  1) ( x  x  1)( x3  x  1) 2 Cách Thêm bớt x để làm xuất nhân tử chung x  x  Ta có : x5  x   x5  x  x  x   x ( x3  1)  ( x  x  1)  x ( x  1)( x  x  1)  ( x  x  1) ( x  x  1)( x3  x  1) b)Thêm bớt x đáp số : ( x  x  1)( x  x  x  x  1) m 1 n 2 Chú ý: Các đa thức dạng x  x  : x  x  1, x  x5  1, x  x5  1, x  x  1, phân tích thành nhân tử bài trên Bài 50* Phân tích thành nhân tử phương pháp hệ số bất định: a) b) c) 2 x −22 xy −4 x +8 y +7 y +1; 2 12 x +5 x−12 y +12 y−10 xy−3 ; x +6 x + 11 x +6 x +1 LG: a) Đồng với đa thức (3x  ay  b)( x  cy  d ) Đáp số: (3x  y  1)( x  y  1) b) Đồng với đa thức (ax  by  3)( x  dy  1) Đáp số: (4 x  y  3)(3 x  y  1) c) Dễ thấy đa thức không có nghiệm hữu tỉ nên đa thức phân tích thành 2 2 nhân tử thì phải có dạng ( x  ax  1)( x  bx  1) ( x  ax  1)( x  bx  1) (21) Xét dạng thức nhất, ta a b 3 Vậy đa thức phân tích thành ( x  3x  1) Cũng có thể giải sau: ( x  x3  11x  x  1)  x  x (3 x  1)  (9 x  x  1)  x  x (3 x  1)  (3x  1) ( x  x  1) Bài 51* Tìm số nguyên a cho đa thức ( x+ a ) ( x−5 ) +2 phân tích thành (x+ b)(x+ c) với b,c là số nguyên LG: Với x , ta có ( x  a)( x  5)  ( x  b)( x  c) (1), với x 5 thì (5  b)(5  c) Vì b và c nguyên nên (5+b)(5+c) là tích hai số nguyên Số viết dạng tích hai số nguyên hai cách 1.2 và(-1).(-2) Giả sử b c , ta xét hai trường hợp: {5+ b=1 1) 5+c=2 Suy b=-4, c=-3 Thay vào (1) ( x  a )( x  5)  ( x  4)( x  3) với x Với x 4 thì  (4  a)  0 suy a  Đa thức phân tích thành ( x  2)( x  5)  ( x  4)( x  3) {5+ b=−2 2) 5+c=−1 Suy b  7, c  Thay vào (1) ( x  a )( x  5)  ( x  7)( x  6) với mội x Với x 6 thì (6  a)  0 nên a  Đa thức phân tích thành ( x  8)( x  5)  ( x  7)( x  6) Bài 52* Tìm số nguyên m cho ( x+ m )( x +5 ) +3 phân tích thành (x+ a)(x+ b) với a, b là số nguyên (22) LG:giải tương rụ bài trren m 9, m 1 Đáp số : ( x  9)( x  5)  ( x  8)( x  6); ( x  1)( x  5)  ( x  2)( x  4) Bài 53 Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức sau là số nguyên tố: a) b) 3 A=n −4 n +4 n−1 ; B=n −6 n −9 n−2 LG: a) Phân tích thành nhân tử A (n  1)( n  3n  1) Nếu n 0;1;2 thì A thứ tự -1; 0; Nếu n 3 thì A 2 là số nguyên tố Nếu n 4 thì n  3 ,còn n  3n  n(n  3)  5 nên A là hợp số Vậy có n=3 thì A là số nguyên tố b) B (n  2)(n  4n  1) Đáp số n=1 n=4 Bài 54* Trong đẳng thức (x+ 1)3=x +3 x 2+3 x +1 , thay x 1, 2, 3, …, n cộng các đẳng thức đó lại Bằng cách đó hãy tính 2 S=1 +2 +3 +…+ n 3 LG: Thay x 1, 2,3, , vào đẳng thức ( x  1) x  3x  3x  , ta được: 23 13  3.13  3.1  33 23  3.23  3.2  (n  1)3 n3  3n3  3n  Cộng các vế tương ứng các đẳng thức trên ta (n  1)3 1  3(12  22   n )  3(1    n)  n (23) Do đó 3(12  22   n ) (n  1)3  3n(n  1)  (n  1) (n  1)[(n  1)  Suy 12  22   n  3n  1] n(n  1)(2n  1) Bài 55* Bằng cách tương tự bài 54, hãy tính 3 3 S=1 +2 +3 +…+ n Từ đẳng thức ( x+ 1)4 =x + x3 +6 x +4 x+1 LG: giải tương tự bài trên và áp dụng kết bài trên n (n  1) S Đáp số : §4 CHIA ĐA THỨC I.Lý thuyết Đa thức A (x ) gọi là chia hết cho đa thức B ( x) khác tồn đa thức Q(x) cho A ( x )=B ( x ) Q (x) Với cặp đa thức A(x) và B(x), đó B(x)≠0, tồn cặp đa thức Q(x) và R( x ) cho A ( x )=B ( x ) Q ( x ) + R(x ) , đó R ( x ) =0 bậc R ( x ) nhỏ bậc B ( x) Khi đó Q ( x ) là thương và R( x ) là dư phép chia A ( x ) cho B( x ) Nếu R ( x ) =0 , ta phép chia hết Nếu R( x )≠ , ta phép chia có dư Ta cung nhắc lại đây hai đa thức gọi là chúng có cùng giá trị với giá trị biến Do đó hai đa thức ( viết dạng thu gọn) có các hệ số tương ứng các đơn thức đồng dạng chứa hai đa thức đó thì hai đa thức đó II.Bài tập Bài 56 Rút gọn các biểu thức: (24) a) 12 49 :7 ; 25 50  25      :  ; b)  16    25 10  3     :  ; c)    16  LG: a) Đổi thành các lũy thừa cùng số 12 12 24 20 Cách 49 : (7 ) : 7 : 7 12 12 2 12 10 Cách 49 : 49 : (7 ) 49 : 49 49 b) ( ) 25 c) Bài 57 Rút gọn các biểu thức: 125100.2160 ; 298 80 a) 98.53 ; b) 27 c) (15.311  4.27 ) : 97 ; 8( x  y )5 x  y d) LG: 5300.2160 52 25 298 160 2 b) 15 c) 1 a) d) 8( x  y )5 8( x  y )5  4( x  y ) 2x  y 2( x  y ) Bài 58 Xác định số a cho : (25) a) b) c) LG: chia hết cho x+2 ; x +a x 2+ chia hết cho x 2+2 x +1 ; x2 + ax+27 chia hết cho x+ có số dư 2 27 x + a a) a=-12 b)a=-2 c) Gọi thương phép chia phép chia là Q( x) thì 3x  ax  27 ( x  5).Q( x)  với x sau đó cho x  ta a 20 Bài 59 Xác định số a và b cho : a) b) c) d) chia hết cho x 2+ x +1 ; a x 3+ bx−24 chia hết cho ( x+ 1)(x +3) ; 2 x −x −3 x +ax +b chia hết cho x −x−2 có dư là x −3 ; x +ã +b chia cho x+ dư −6 , chia cho x−2 dư 21 x +a x 2+ b LG: a) Cách Làm phép chia, ta thương x  x  , dư (1  a) x  (b  a ) Muốn chia hết thì đa thức dư phải đồng 0, tức là  a 0, b  a 0 Do đó a b 1 Cách Nhận xét thương là đa thức bậc hai có hạng tử cao là x : x  x , hạng tử thấp là b :1 b 2 Gọi thương là x  cx  b đồng ( x  x  1)( x  cx  b) với ( x  ax  b) , ta c  0, b  c  a, b  c 0 , suy c  1, b 1, a 1 b)Đáp số : a 2, b  26 Cách Thực phép chia, thương là ax  4a , dư (13a  b) x  (12a  24) (26) Cách Đồng đa thức ax  bx  24 với ( x  x  3)(ax  8) suy 4a  0,3a  32 b Cách Với x , ta có ax  bx 24 ( x  1)( x  3).Q( x) Lần lượt cho x  1, x 3 c)a  1 , b  3 d)Với x , ta có x  ax  b ( x  1).P ( x)  x3  ax  b ( x  2).Q( x)  21 (1) (2) Với x  thì   a  b  Với x=2 thì 16  2a  b 21 Do số a 3, b  Bài 60 Không làm phép chia đa thức, hãy xác định xem đa thức x 3−7 x 2−x −2 có hay không chia hết cho : a) b) x−2 ; x+ ? LG: a) x  x  x  ( x  2).P ( x)  r vói x Với x 2 thì 4.2  7.2  x  0 nên r 0 Vậy x  x  x  chia hết cho x  b) Số dư phép chia -60 Bài 61 Xác định dư phép chia đa thức x+ x + x + x 27+ x 81 cho : a) b) x−1 ; x −1 LG: a) Dư phép chia cho x  là số Gọi thương phép chia là Q( x) , 27 81 dư là r , với x ta có x  x  x  x  x ( x  1).Q ( x)  r Với x 1 thì     r hay r 5 (27) Vậy dư phép chia là b) Dư phép chia cho x  có bậc cao là bậc Gọi thương phép chia là Q( x) và dư là ax  b , với x ta có: x  x3  x  x 27  x81 ( x  1).Q ( x )  ax  b Với x 1 thì a  b Với x  thì   a  b Từ đó a 5, b 0 Dư phép chia là 5x Bài 62 Chứng minh (x 2+ x −1)10 +(x 2−x +1)10−2 chia hết cho x−1 10 10 LG: Trong đẳng thức ( x  x  1)  ( x  x  1)  ( x  1).Q( x)  r ta cho x 1 , r 0 Bài 63 Tìm các giá trị nguyên x để : a) Giá trị biểu thức x + x−7 chia hết cho giá trị biểu thức x−2 b) Giá trị biểu thức 10 x2−7 x −5 chia hết cho giá trị biểu thức x −3 LG: a) 3; 1; 5; -1 b) 2; 1; -2; Bài 64 tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức 25 n2−97 n+11 chia hết cho giá trị biểu thức n−4 LG: n  phải là ước 23 Đáp số : 5; 3; 27 Bài 65* Chứng minh không tồn số tự nhiên nào để giá trị biểu thức n3−3 n2 +n+3 chia hết cho giá trị biểu thức n2−n 2 LG: ta phải có n  n là ước Điều này không xảy vì n  n là số chẵn §5 TÍNH CHIA HẾT I.Lý thuyết Định nghĩa Cho hai số nguyên a và b đó b ≠ Ta nói a chia hết cho b (28) tìm số nguyên q cho a=bq Các tính chất chia hết a) Bất số nào khác chia hết cho chính nó b) Nếu a chia hết cho b, b chia hết cho c thì a chia hết cho c (tính chất bắc cầu) c) Số chia hết cho số b ≠ d) Bất số nào chia hết cho e) Nếu a và b cùng chia hết cho m thì a+b chia hết cho m, a-b chia hết cho m f) Nếu hai số a và b chia hết cho m, số không chia hết cho m thì a+b không chia hết cho m, a-b không chia hết cho m Hệ quả: Nếu tổng hai số chia hết cho m và hai số chia hết cho m thì số còn lại chia hết cho m g) Nếu thừa số tích chia hết cho m thì tích chia hết chom h) Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n thì ab chia hết cho mn Hệ : Nếu a chia hết cho b thì an chia hết cho bn i) Nếu a chia hết cho các số nguyên dương m và n thì a hia hết cho BCNN m và n Hệ quả: Nếu a chia hết cho hai số nguyên tố cùng m và n thì a chia hết cho tích mn j) Nếu tích chia hết cho số nguyên tố p thì tồn thừa số củ tích chia hết cho p Hệ quả: Nếu an chia hết cho số nguyên tố p thì a chia hết cho p k) Nếu tích ab chia hết cho m, đó b và m là hai số nguyên tố cùng thì a chia hết cho m Các nhân xét sau dùng các chứng minh chia hết: Trong k số nguyên liên tiếp, có số chia hết cho k Khi chia số nguyên n cho số nguyên m ≠ 0, sảy m dạng sau: n=mk, n=mk+1, n=mk+2, …, n=mk+(m-1) với k nguyên II.Bài tập Bài 66 Chứng minh tổng các bình phương hai số lẻ thì không chia hết cho 4, hiệu các bình phương hai số lẻ thì chia hết cho LG: Gọi hai số lẻ là 2a  và 2b  1( a, b  ) (2a  b)  (2b  1) 4a  4a  4b  4b  không thể chia hết cho 4; (2a  1)2  (2b  1) 4a  4a  4b  4b 4a( a  1)  4b(b  1) chia hết cho (chú ý tích hai số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 2) (29) Bài 67 Chứng minh số chính phương chẵn thì chia hết cho 4, số chính phương lẻ thì chia cho dư (số chính phương là bình phương số nguyên) 2 LG: số chính phương chẵn là bình phương số chẵn Ta có (2k ) 4k chia hết cho Số chính phương lẻ là bình phương số lẻ Ta có (2k  1) 4k (k  1)  chia cho dư Bài 68 Chứng minh chia số chính phương cho 3, không số dư 2 2 LG: Xét (3k ) ,(3k  1) ,(3k  1) Bài 69 Chứng minh : a) Tổng các bình phương ba số nguyên liên tiếp không là số chính phương b) Tổng các bình phương bốn số nguyên liên tiếp không là số chính phương c) Tổng các bình phương năm số nguyên liên tiếp không là số chính phương LG: 2 a) Xét tổng (n  1)  n  (n  1) 2 2 b) Xét tổng (n  1)  n  (n  1)  (n  2) 2 2 c) Xét tổng (n  2)  (n  1)  n  (n  1)  ( n  2) 5( n  2) 2 Ta thấy n không tận cùng 3, nên n  không chia hết cho Do đó 5(n  2) không là số chính phương Bài 70 Số có dạng n2 +n+1 (n là số nguyên dương) có thể là số chính phương không ? 2 LG: Nhận xét n  n  n   (n  1) với n nguyên dương (30) Số n  n  nằm lọt gữa hai số chính phương liên tiếp nên không phải là số chính phương Bài 71 Chứng minh số có dạng 9n +1 không chia hết cho với số tự nhiên n n n n 2 LG: Biến đổi  (3 )  (3 )  (2 k  1)  4k  k  là số chính phương Bài 72 Chứng minh : a) Một số chính phương có tận cùng thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn b) Một số chính phương có tận cùng 4thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn LG: a) Số chính phương tận cùng là là bình phương số tận cùng hay 9, tức là bình phương số có dạng 10a 1 2 2 Xét (10a 1) 100a 20a  10(10a 2a )  Ta thấy 10a 2a là số hàng chục số chính phương Đó là số chẵn Vậy chữ số hàng chục số chính phương là số chẵn b) Cách Xét (10a 2) Cách Số chính phương tận cùng chẵn thì chia hết cho Giả sử cữ số hàng chục số chính phương đó là chữ số lẻ thì số chính phương đó tận cùng 14, 34, 54, 74 94 không chia hết cho Vậy chữ số hàng chục số chính phương đó là chữ số chẵn Bài 73 Một số chính phương có chữ số hàng chục là Chứng minh chữ số hàng đơn vị nó LG: Biết chữ số hàng chục chữ số chính phương là Nếu số chính phương đó chẵn thì tận cùng 32, 36(để chia hết cho 4) Nếu số chính phương lẻ thì tận cùng 33, 37(để chia dư 1) Nhưng số chính phương không tận cùng 2, 3, Vậy số chính phương này tận cùng 36 Bài 74 Chứng minh n3+ n2+ n chia hết cho với số nguyên n (31) 3 LG: 2n  3n  n 2n  2n  3n  3n  2(n3  n)  3n(n  1) 2n( n  1)(n  1)  3n(n  1) chia hết cho vì hạng tử chia hết cho Bài 75 Chứng minh a3 b−a b3 chia hết cho với số nguyên a và b 3 3 3 LG: a b  ab a b  ab  ab  ab b(a  a )  a (b  b) 3 Các số a  a và b  b đểu chia hết cho Bài 76 Chứng minh rằng: a) Tổng các lập phương hai số nguyên chia hết cho và tổng hai số nguyên đó chia hết cho b) Tổng các lập phương ba số nguyên chia hết cho và tổng ba số nguyên đó chia hết cho LG: 3 3 a) Gọi các số nguyên đó là a và b Xét hiệu (a  b )  (a  b) (a  a )  (b  b) 3 chia hết cho Do đó a+bchia hết cho thì a  b chia hết cho 6, a  b3 chia hết cho thì a+b chia hết cho 3 b) Xét hiệu (a  b  c )  (a  b  c ) và chứng minh hiệu đó chia hết cho Bài 77 Cho hai số lẻ có hiệu các lập phương chia hết cho Chứng minh hiệu hai số chia hết cho 2 3 LG: Nếu a  b chia hết cho thì (a  b)(a  ab  b ) chia hết cho Nhưng a và 2 2 b là số lẻ nên a , ab, b là số lẻ, đó a  ab  b là số lẻ Vậy a  b chia hết cho Bài 78 Chứng minh bình phương thiếu tổng hai số nguyên chia hết cho thì tích hai số chia hết cho (32) 2 2 LG: ta có a  ab  b (a  b)  3ab Nếu a  ab  b chia hết cho thì chia hết cho 3, nên (a  b) chia hết cho 3, suy a-b chia hết cho 3(vì là số nguyên tố) Do đó (a  b) chia hết cho Theo giả thiết (a  b)  3ab chia hết cho Suy 3ab chia hết cho 9, đó ab chia hết cho Do là số nguyên tố nên hai thừa số a và b , tồn thừa số chia hết cho 3chẳng hạn a chia hết cho Nhưng a  b chia hết cho nên b chia hết cho Vậy ab chia hết cho Bài 79 Chứng minh tổng các lập phương ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho LG: Cách Gọi ba số nguyên liên tiếp là n  1, n, n  Ta có: (n  1)3  n3  (n  1)3 3n3  6n 3n3  3n  6n  3n 3(n3  n)  9n chia hết cho Cách Cũng biến đổi trên 3n  6n 3n(n  2) xét các trường hợp n 3k , n 3k 1 Cách Trong ba số nguyên liên tiếp, có số chia hết cho 3, số chia cho3 dư 1, số chia cho dư Tổng các lập phương chúng có dạng (3a)3  (3b  1)3  (3c  1)3 Khai triển, ta thấy tổng trên chia hết cho Bài 80 Chứng minh n5−5 n 3+ n chia hết ch 120 với số nguyên n LG: n5  5n3  4n n(n  5n  4) n( n  1)( n  4)  n(n  1)(n  1)(n  2)(n  2) , là tích năm số nguyên liên tiếp Trong năm số nguyên liên tiếp, có ít hai bội 2(trong đó có bội 4), bội 3, bội Do đó tích năm số nguyên liên tiếp chia hết cho 8.3.5=120(vì các số 8, 3, nguyên tố cùng đôi một) Bài 81 Chứng minh n3 +3 n2−n+3 chia hết cho 48 với số lẻ n 2 LG: n  3n  n  n (n  3)  (n  3) (n  3)(n  1)(n  1) (33) Thay n 2k  (k nguyên) ta (2k  2).2k (2k  2) hay 8(k  1) k (k  1) , chia hết cho 48(chú ý tích ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 6) Bài 82 Chứng minh n4 + n 3−4 n2−16 n chia hết cho 384 với số chẵn n LG: Phân tích thành n(n  4)(n  2)(n  2) thay n 2k 16k ( k  2)(k  1)( k  1) Chú ý tích bốn số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 24 Bài 83* Chứng minh với số nguyên n: a) Số n2 +11 n+39 không chia hết cho 49 b) Số n2 +n+1 không chia hết cho LG: a) Cách Viết biểu thức dạng n  11n  39 n  11n  18  21 (n  9)( n  2)  21  A Ta thấy n  và n  có hiệu nên chúng cùng chia hết cho 7, cùng không chia hết cho Nếu n  và n  cùng chia hết cho thì (n  9)( n  2) chia hết cho 49, 21 không chia hết 49, nên A không chia hết cho 49 Nếu n  và n  cùng không chia hết cho thì (n  9)(n  2) không chia hết cho 7, đó không chia hết cho 49 Vậy n  11n  39 không chia hết cho 49 với số nguyên n Chú ý: Trong biến đổi trên, ta đưa biểu thức n  11n  39 dạng (n  a )(n  b)  c đó (n  a )  (n  b) 7, a  b 11 Như cần chọn a và b cho a  b 7, a  b 11 Do đó ta chọn a 9, b 2 Cách Chứng minh phản chứng giả sử có số nguyên n mà n  11n  39 chia hết cho 49 thì n  11n  39 chia hết cho 7, đó n  4n  hay (n  2) chia hết cho Suy n  chia hết cho Vậy n 7 k  (34) Nhưng đó n  11n  39 (7k  2)  11(7 k  2)  11(7 k  2)  39 49k  49k  21 không chia hết cho 49, mâu thuẫn Vậy n  11n  39 không chia hết cho 49 với số nguyên n b) Viết n  n  thành (n  2)(n  1)  Bài 84 Chứng minh lấy tích bốn số nguyên liên tiếp cộng với 1, ta số chính phương LG: Xem bài 43c Bài 85 Chứng minh với số tự nhiên n>1: a) Số n4 + là hợp số b*) Số n4 + k là hợp số (k tự nhiên) 4 LG: a) Để chứng tỏ n  là hợp số, ta chứng minh n  phân tích tích hai thừa số lớn Thêm bớt 4n vào biểu thức, ta : n  (n  2n  2)[(n  1)  1] với n>1, hai thừa số lớn 4 2 2 b) n  4k (n  2nk  2k )(n  2nk  2k ) chứng minh thừa số lớn Bài 86 a) Tính giá trị biểu thức ( 1+ab−b ) a4 + với a=27 ,b=5 b) Số 232+1 có là số nguyên tố không ? LG: 32 a)  4 b) Dựa vào câu a) chứng minh (1  ab  b ) a  chia hết cho  ab 32 Do đó  chia hết  641 (35) Bài 87 Chứng minh số 11 …1 ⏟ 22 …2 ⏟ n chữ số n chữ số là tích hai số nguyên liên tiếp với số n nguyên dương LG: Đặt 11… 1= ⏟ k n chữ số … +1=10 n ⏟ thì k +1=99 n chữ số …1 22 … 2=11 …1 10n +2 11 …1 ⏟ ⏟ ⏟ ⏟ Ta có A=11 n chữ số n chữ số n chữ số n chữ số k 10n  2k  k (10n  2) k (9k   2) 3k (k  1) Vậy A là tích hai số nguyên liên tiếp Bài 88 Chứng minh số 33 … và 33 … 34 ⏟ ⏟ n chữ số 11 … 1−¿ ⏟ 2n chữ số n−1 chữ số 22 …2 ⏟ n chữ số Là số chính phương với số n nguyên dương LG: Cũng đặt 11 … 1=k ⏟ n chữ số , n k n (33 … 3)2 ⏟ k 10  k  k  k 10  k  k (10  1)  k k  (3 k )  Ta có n chữ số Bài 89 Tìm số có ba chữ số cho chia nó cho 11 thì thương tổng các chữ số số bị chia LG: Gọi số phải tìm là xyz ( x, y, z nguyên,  x 9;0  y; z 9) Ta có xyz 11( x  y  z )  100 x  10 y  z 11x  11 y  11z  89 x 10 y  z  89 x  zy Như 89x là số không qua hai chữ số, đó x 1, zy 89 , nên z 8; y 9 Số phải tìm là 198 Thử lại 198=11(1+9+8) (36) Bài 90 Tìm số có bốn chữ số cho chữ số hàng nghìn và hàng trăm giống nhau, chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị giống nhau, số phải tìm có thể viết thành tích ba thừa số, thừa số là số có hai chữ số và chia hết cho 11 LG: Gọi số phải tìm xxyy ( x, y nguyên,  x 9;0  y 9) Ta có xxyy aa.bb.cc  1100 x  11y 11a.11b.11c  100 x  y 121abc  x0 y 121abc Như x0 y chia hết cho 121 Các bội 121 có ba chữ số là 121, 242, 363, 484, 605, 726, 847, 968 đó có số 605 có chữ số hàng chục Vậy x0 y 605 , suy abc 5 , đó ba số a, b, c có số 5, hai số Thử lại :6655=11.11.55 Bài 91* Chứng minh với số n nguyên dương: a) (n+1)(n+2)(n+3)…(2n) chia hết cho 2n b) (n+1)(n+2)(n+3)…(3n) chia hết cho 3n LG: a) Ta cần viết tích (n  1)(n  2)(n  3) (2n) thành tích đó có n thừa số Viết tích trên thành 1.2.3 (2n) 2.4.6 (2n) [1.3.5 (2n  1)] 1.2.3 n 1.2.3 n (1.2.3 n)2n 2.4.6 (2n) 2n Biểu thức 1.2.3 n rút gọn thành 1.2.3 n n Như (n  1)(n  2)(n  3) (2n) chia hết cho Chú ý: Còn có thể nói tích trên chứa đúng n thừa số vì biểu thức dấu móc là tích các số lẻ nên không chứa thừa số nào (37) b) Viết tích (n  1)(n  2)(n  3) (3n) dạng 1.2.3 (3n) 3.6.9 (3n) [1.4.7 (3n  1)].[2.5.8 (3n  2)] 1.2.3 n 1.2.3 n §6 MỘT SỐ HẰNG ĐẲNG THỨC TỔNG QUÁT I.Lý thuyết Tổng quát các đẳng thức (3), (6), (7), phép nhân đa thức, ta chứng minh các đẳng thức sau: (8) an −bn =(a−b)( an−1+ an−2 b+a n−3 b 2+ …+a bn −2 +a n−1) Với n nguyên dương an−1−an−2 b−an−3 b2−…−a b n−2+ an−1 a n+ bn=(a+ b)¿ (9) Với n lẻ Ví dụ: a 4−b 4=(a−b)(a 3+ a2 b+a b 2+ b3) 5 2 a −b =(a−b)(a +a b+ a b +a b +b ) a5 +b 5=( a+b)(a4 −a3 b+a b 2−a b3 +b ) Tổng quát các đẳng thức (1), (2), (4), (5) ta có công thức lũy thừa bậc n nhị thức (nhị thức Niu-tơn) (10) (a+ b)n=an +C 1n an−1 b+C 2n a n−2 b 2+ …+Cn−1 a bn −1 +b n n Với n nguyên dương Trong công thức trên, C1n =Cnn −1=n ,C 2n=C n−2 n = Cnk  n(n−1) n(n−1)(n−2) , Cn=C n−3 n = 1.2 1.2.3 n(n  1)(n  2)  n  (k  1)  1.2.3 k Tổng quát : ( Cnk còn gọi là số tổ hợp chập k n phần tử) Ví dụ: (38) (a  b) a  4a 3b  6a 2b  4ab3 4 (a  b)5 a  5a 4b  10a 3b  10a 2b3  5ab  b5 Để xác định các hệ số khai triển Niu-tơn nói trên, ngoài cách dùng công thức trên, còn có cách sau: -Dùng bảng tam giác Pa-xcan: → 1 ↓ → ↓ ↓ → → ↓ → ↓ → ↓ Trong bảng này, các số dọc theo cạnh huyền và cạnh góc vuông Cộng số với số liền bên phải thì số đứng hàng dưới(xem hình trên ) _Hệ số hạng tử thứ là AB Hệ số hạng tử thứ k+1 k , đó A là hệ số hạng tử thứ k, B là số mũ a hạng tử thứ k Áp dụng các đẳng thức trên vào tính chia hết, ta có với số nguyên a, b , số nguyên n; a n  b n chia hết cho a  b (từ đẳng thức 8) a n1  b n 1 chia hết cho a+b (từ đẳng thức 9) (a  b) n  (bội số a) b n (từ đẳng thức 10) II.Bài tập n Bài 92 Chứng minh 8.16  chia hết cho 120 n n LG: 8.16  8(16  1) chia hết cho 8.15=120 Bài 93 Chứng minh 100…01 là hượp số (4n+1 chữ số 0) LG: 100 … 01 ⏟ n+1 chữ số hợp số =10 n 2  1002 n 1  chia hết cho 100+1( dẳng thức 9) nên là (39) n Bài 94 Chứng minh 16  chia hết cho 15, không chia hết cho 17 với n là số lẻ n LG: 16  chia hết cho 15(hằng đẳng thức 8) 16n  16 n   không chia hết cho 17, vì 16n  chia hết cho 17 13 Bài 95 Tìm số dư các phép chia 48 cho 13 13 13 LG: 48 (19  1) bs  Vậy 48 chia cho dư Bài 96 Tìm tổng các hệ số đa thức khai triển a )(3x  2) b)(5 x  3)10 LG: 4 a) Với x , ta có (3 x  2) c0 x  c1 x  c2 x  c3 x  c4 đó c0 , c1 , c2 , c3 , c4 là các hệ số đa thức với x 1 ta c0  c1  c2  c3  c4 Vậy tổng các hệ số 10 10 b)Trong đẳng thức (5 x  3) c0 x  c1 x   c9 , cho x 1 210 c0  c1   c9 Vậy tổng các hệ số 1024 n Bài 97* Tìm giá trị nnguyeen dương để  cha hết cho n 3k k LG: Nếu n 3k thì  2  8  chia hết cho n k 1 3k Nếu n 3k  thì  2  2(2  1)  không chia hết cho n k 2 3k Nếu n 3k  thì  2  4(2  1)  không chia hết cho n Vậy  chia hết cho và n là bbooij số (40) 1990 Bài 98* Tìm hai số tận cùng LG: Lũy thừa sát với bội số 100 là 2401 Do đó 71990 7 k 2 49.7 k 49(2400  1) k 49(bs100  1) bs100  49 1990 Vậy tận cùng 49 (41)

Ngày đăng: 27/09/2021, 20:14

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan