Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, mặt phẳng SAB vuông góc với đáy, tam giác SAB cân tại S và SC tạo với đáy một góc 600.. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng c[r]
(1)SỞ GD & ĐT THÁI NGUYÊN đề thi thử thpt quốc gia lần năm 2015 TRƯỜNG THPT LƯƠNG NGỌC QUYẾNwww.VNMATH.com M«n: To¸n Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) x x a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm thực phương trình Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y x x m Câu (1,0 điểm) Giải các phương trình sau: a) x 2.71 x b) (sinx cosx)2 cosx Câu (1,0 điểm) a) Tìm phần thực và phần ảo số phức: z 4i (3 5i )(6 i ) 2i b) Tìm hệ số x9 khai triển 2 3x , đó n là số nguyên dương thỏa mãn: C21n 1 C23n1 C25n1 C22nn11 4096 2n Câu (1,0 điểm).Tính tích phân I cos x sin x dx Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, tam giác SAB cân S và SC tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách hai đường thẳng BD và SA theo a Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (T) có phương trình ( x 1) ( y 2) 25 Các điểm K(-1;1), H(2;5) là chân đường cao hạ từ A, B tam giác ABC Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC biết đỉnh C có hoành độ dương Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;2;1), 2 10 11 B ; ; và mặt cầu (S): x 1 y z Chứng minh mặt 3 3 phẳng trung trực đoạn thẳng AB tiếp xúc với mặt cầu (S) Xác định tọa độ tiếp điểm x2 y y 1 x2 1 x Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: x y 1 x 1 x Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương x, y , z thay đổi, thỏa mãn x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x3 y3 z3 14 x yz y xz z xy z 1 xy x y HÕt -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Hä vµ tªn thÝ sinh: ……………………………………………… Sè b¸o danh: ……………………………… (2) Sở giáo dục và đào tạo thái nguyên Trường thpt lương ngọc quyến www.VNMATH.com Hướng dẫn chấm thi thö kú thpt quèc gia lÇn n¨m 2015 m«n To¸n Lưu ý chấm bài: - Đáp án trình bày cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có bài làm học sinh Khi chấm học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo các ý đáp án điểm - Trong bài làm, bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết sai đó không điểm - Học sinh sử dụng kết phần trước để làm phần sau - Trong lời giải câu 5, học sinh không vẽ hình vẽ sai hình thì không cho điểm - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn C©u §iÓm Néi dung x x a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Cho hàm số y C©u b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình a, 1,0 b, 1,0 x x m a, *TXĐ: D * Giới hạn: lim y ; x lim y 0,25 x * Chiều biến thiên: x0 y ' x3 x; y ' x x x x x 2 - Hàm số đồng biến trên khoảng 2;0 và 2; - Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 2 và 0;2 0,25 - Hàm số đạt cực đại xCĐ= 0, yCĐ y 1 - Hàm số đạt cực tiểu xCT 2 , * Bảng biến thiên 2 x y' - + y -5 yCT y 2 5 0 -1 - + -5 0,25 * Đồ thị: (3) www.VNMATH.com 0,25 x x m (*) Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm đồ thị (C) và đường thẳng d: y = m - Nếu m>-1 m= - thì d cắt (C) điểm nên phương trình (*) có nghiệm - Nếu m= - thì d cắt (C) điểm nên phương trình (*) có nghiệm - Nếu m (5; 1) thì d cắt (C) điểm phân biệt nên phương trình (*) có nghiệm phân biệt - Nếu m< -5 thì d không cắt (C) nên phương trình (*) vô nghiệm Giải các phương trình sau: a) x 2.71 x b) (sinx cosx)2 cosx a) Đk: x Đặt t x , t t 14 Ta có pt: t t 9t 14 ( thỏa mãn t > ) t t Với t = x x Với t = x x log x log b) Ta có: x x m C©u a, 0,5 b, 0,5 Vậy PT đã cho có hai nghiệm : x=1, x log b) Ta có: (s inx cosx)2 cosx sin xcosx cosx cosx(2 sin x-1) cosx s inx= x k x= k2 (k Z) 5 x k2 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 (4) www.VNMATH.com x k Vậy: phương trình có nghiệm x= k2 (k Z) 0,25 5 x k2 a) Tìm phần thực và phần ảo số phức: z C©u 3 4i (3 5i )(6 i ) 2i b) Tìm hệ số x9 khai triển 2 3x , đó n là số nguyên dương 2n thỏa mãn: C21n1 C23n1 C25n1 C22nn11 4096 a) 0,5 b) 0,5 a) Ta có (3 4i)(3 2i) 18 3i 30i 5i 32 22 298 333 i 13 13 298 333 Vậy phần thực: , phần ảo: 13 13 z 0,25 0,25 b) Ta có n 1 1 x C20n1 C21n1 x C22n1 x C22nn11 x 2n1 Cho x=1, ta có 22n1 C20n1 C21n1 C22n1 C22nn11 (1) (2) Cho x= -1, ta có : C20n1 C21n1 C22n1 C22nn11 Lầy (1) trừ (2), ta : 22n1 C21n1 C23n1 C25n1 C22nn11 22n C21n1 C23n1 C25n1 C22nn11 Từ giả thiết ta có 22n 4096 22 n 212 2n 12 Do đó ta có 2 3x ( 1 )k C12k 212k ( 3x )k 12 0,25 12 ( ≤ k ≤ 12, k nguyên) k 0 0,25 hệ số x9 là : - C129 39 23 C©u Tính tích phân I cos x sin x dx 1,0 Đặt u sin x cos xdx udu Đổi cận: x u 1; x 0,25 0,25 u2 2 2 u3 Khi đó: I u udu 3 1 Tính I C©u 0,25 14 0,25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, tam giác SAB cân S và SC tạo với đáy góc (5) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách hai đường thẳng www.VNMATH.com BD và SA theo a 1.0 S k E H A B C D Gọi H là trung điểm AB Do SAB cân S,suy SH AB, mặt khác (SAB) (ABCD) nên SH (ABCD) và SCH 60 0,25 Ta có SH CH tan 60 CB BH tan 60 a 15 1 15 V S ABCD SH S ABCD a 15.4a a 3 Qua A vẽ đường thẳng song song với BD Gọi E là hình chiếu vuông góc H lên và K là hình chiếu H lên SE, đó (SHE) HK suy HK (S, ) Mặt khác, BD//(S, ) nên ta có d BD; SA d BD; S , d B; S , 2d (H ;(S , )) 2HK 0,25 0,25 Ta có EAH DBA 45 nên tam giác EAH vuông cân E, suy HE AH HK a HE.HS HE HS a a 15 a a 15 2 Vậy: d BD;SA C©u 15 a 31 15 a 31 0,25 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (T) có phương trình ( x 1) ( y 2) 25 Các điểm K(-1;1), H(2;5) là chân đường cao hạ từ A, B tam giác ABC Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC biết đỉnh C có hoành độ dương (6) 1,0 A www.VNMATH.com x H I B K C (T) có tâm I (1;2) Gọi Cx là tiếp tuyến (T) C Ta có ABC Sđ HCx AC (1) (cùng bù với Do AHB AKB 900 nên AHKB là tứ giác nội tiếp ABC KHC ) (2) góc AHK KHC HK // Cx Từ (1) và (2) ta có HCx Mà IC Cx IC HK Do đó IC có vectơ pháp tuyến là KH (3;4) , IC có phương trình x y 11 Do C là giao IC và (T) nên tọa độ điểm C là nghiệm hệ 3 x y 11 x x 3 Do xC nên C (5;1) ; 2 ( x 1) ( y 2) 25 y 1 y 0,25 0,25 Đường thẳng AC qua C và có vectơ phương là CH (3;6) nên AC có phương trình x y Do A là giao AC và (T) nên tọa độ điểm A là nghiệm hệ 2 x y x x (loại) Do đó A(1;7) ; 2 ( x 1) ( y 2) 25 y y 1 0,25 Đường thẳng BC qua C và có vectơ phương là CK (6;2) nên BC có phương trình x y Do B là giao BC và (T) nên tọa độ điểm B là nghiệm hệ x y x 4 x (loại) Do đó B(4;2) , 2 ( x 1) ( y 2) 25 y y 1 Vậy A(1;7) ; B(4;2) ; C (5;1) C©u 1,0 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(3;2;1), 2 10 11 B ; ; và mặt cầu (S): x 1 y z Chứng 3 3 minh mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB tiếp xúc với mặt cầu (S) Xác định tọa độ tiếp điểm Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3),R 1 7 Phương trình mặt phẳng (P) là trung trực AB qua M ; ; , có vtpt 3 3 0,25 (7) 16 16 + 2y – z + 3=0 (P) AB ; ; l : 2x www.VNMATH.com 3 Ta có: d(I;(P)) R nên mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB tiếp xúc với mặt cầu (S) (đpcm) Phương trình đường thẳng d qua I nhận véc tơ n (P) 2;2; 1 làm vt phương là: x 2t y 2t z t 0,25 0,25 0,25 x 2t y 2t 11 d (P) H hệ pt: H ; ; 3 3 z t 2x 2y – z 11 Vậy: tọa độ tiếp điểm là H ; ; 3 3 C©u 1,0 0,25 x2 y y 1 x2 1 x Giải hệ phương trình: x y 1 x 1 x Lời giải: ĐKXĐ: x x y y x x (1) +) Hệ pt tương đương với x y 1 x 1 x +) Nhận thấy x không thỏa mãn hệ phương trình đó x2 y y x x2 y y y 1 0,25 1 1 1 x x x * +) Xét hàm số f t t t t 1, t (0; ) f ' t 0, t (0; ) suy hàm số 0,25 f t đồng biến trên (0; ) (**) +) Từ (*) và (**) nhận y vào phương trình (2) hệ ta x x 1 x 1 x x3 x x 1 x x +) Ta thấy hàm số g x x3 x x 1 x đồng biến trên khoảng 0; 0,25 +) Lại có g 1 suy phương trình g x x3 x x 1 x có nghiệm x y Vậy: Hệ pt đã cho có nghiệm x; y 1; 2 0,25 (8) C©u Cho số thực dương x, y , z thay đổi, thỏa mãn x y z Tìm giá trị nhỏ www.VNMATH.com x3 y3 z3 14 biểu thức P x yz y xz 1,0 Ta có: x, y, z nên 1 x 1 y z 1 z xy x y 2 xy x y z 1 dấu = xảy 4 2 Lại có: xy x y 1 x 1 y và 2xy x y dấu = xảy x y x y 0,25 Nên ta P x3 y3 z3 14 x yz y xz z xy z 1 xy x y x4 y4 z3 x xyz y xyz z xy z 1 P x4 y4 z3 x xyz y xyz z xy z 1 x y2 14 1 x 1 y 14 1 x 1 y z3 P x y xyz 1 x 1 y z 1 x P y2 1 z z3 1 x 1 y z 1 14 1 x 1 y 14 1 x 1 y x y 14 z3 P 1 z 1 x 1 y z 1 1 x 1 y 2 x y z 1 z 28 z z z 57 z3 28 P 2 1 z z 1 z 1 2 1 z z 1 2 z 1 Xét hàm f z z z z 57 z 1 0,25 , z 1 z 3z 14 z 23 , z 1 z 1 Lập bảng biến thiên hàm số f z Ta có f ' z f ' z z 0,25 53 ta nhận zmin f z f 1; 53 Vậy GTNN P đạt x y , z 3 0,25 (9)