Trong toán học, một xích Markov hay chuỗi Markov là một quá trình ngẫu nhiên mô tả một dãy các biến cố khả dĩ trong đó xác suất của mỗi biến cố chỉ phụ thuộc vào trạng thái của biến cố trước đó. Một dãy vô hạn đếm được, trong đó xích thay đổi trạng thái theo từng khoảng thời gian rời rạc, cho ta một xích Markov thời gian rời rạc. Một quá trình diễn ra trong thời gian liên tục được gọi là quá trình Markov thời gian liên tục. Chúng được đặt tên theo nhà toán học người Nga Andrey Andreyevich Markov. A. A. Markov đã đặt cơ sở cho một trong những sơ đồ tổng quát của các quá trình tự nhiên mà có thể nghiên cứu bằng các phương pháp của toán học. Về sau sơ đồ này được gọi là xích Markov và đã đưa đến sự phát triển của một chương mới của Lý thuyết xác suất đó là Lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên, mà nó đóng vai trò quan trọng trong khoa học hiện đại. Xích Markov được ứng dụng rộng rãi làm mô hình thống kê của nhiều quá trình thực tế như là Mô hình lý thuyết xếp hàng (Kinh tế, Kỹ thuật, …), Quá trình sinh – tử (Dân số học, Di truyền học, Y – Sinh học, …). Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi quyết định chọn hướng nghiên cứu xích thay đổi trạng thái theo từng khoảng thời gian rời rạc để làm đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình, với chủ đề về “Xích Markov và các vấn đề liên quan đến quá trình sinh – tử”.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN THÁI GIA PHÚ XÍCH MARKOV VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN QUÁ TRÌNH SINH – TỬ ĐỀ CƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ 2021 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN THÁI GIA PHÚ XÍCH MARKOV VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN QUÁ TRÌNH SINH – TỬ Chuyên ngành: Lý Thuyết Xác Suất Thống Kê Toán học Mã ngành : 8460106 Người hướng dẫn: TS Mua file code LaTeX liên hệ email: buytexcode@gmail.com Mã số file: M1 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN oOo Năm học 2020-2022 ĐỀ CƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ XÍCH MARKOV VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN QUÁ TRÌNH SINH – TỬ Chuyên ngành: Lý Thuyết Xác Suất Thống Kê Toán học Mã ngành : 8460106 Chủ tịch hội đồng: PGS.TS Nguyễn Hữu Khánh Thư ký: PGS.TS Võ Văn Tài 2021 MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên 3.1 Đối tượng nghiên cứu 3.2 Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn cứu NỘI DUNG CỦA LUẬN VĂN 1 2 2 3 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ VÀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 1.1 Không gian xác suất không gian xác suất có lọc 1.2 Phân tích trực giao phân tích tắc q trình ngẫu nhiên 1.3 Ma trận tương quan ma trận hiệp phương sai 1.4 Phân tích phổ số phân tích đặc thù cho ma trận ngẫu nhiên 4 4 CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ XÍCH MARKOV 2.1 Xích Markov với thời gian rời rạc 2.2 Xích Markov với thời gian liên tục 2.3 Xích Markov không thời gian 2.4 Phân phối giới hạn phân phối dừng 5 5 Q TRÌNH SINH-TỬ XÉT QUA MƠ HÌNH XÍCH MARKOV 3.1 Q trình sinh phần tử sinh cực vi 3.2 Quá trình tử 3.3 Quá trình sinh - tử hỗn hợp 3.4 Một số tốn ví dụ có liên quan 6 6 PHẦN KẾT LUẬN THỜI GIAN LÀM LUẬN VĂN TÀI LIỆU THAM KHẢO i PHẦN MỞ ĐẦU Mua file code LaTeX liên hệ email: buytexcode@gmail.com Mã số file: M1 Lí chọn đề tài Trong tốn học, xích Markov hay chuỗi Markov trình ngẫu nhiên mơ tả dãy biến cố xác suất biến cố phụ thuộc vào trạng thái biến cố trước Một dãy vơ hạn đếm được, xích thay đổi trạng thái theo khoảng thời gian rời rạc, cho ta xích Markov thời gian rời rạc Một trình diễn thời gian liên tục gọi trình Markov thời gian liên tục Chúng đặt tên theo nhà toán học người Nga Andrey Andreyevich Markov A A Markov đặt sở cho sơ đồ tổng quát q trình tự nhiên mà nghiên cứu phương pháp toán học Về sau sơ đồ gọi xích Markov đưa đến phát triển chương Lý thuyết xác suất Lý thuyết q trình ngẫu nhiên, mà đóng vai trị quan trọng khoa học đại Xích Markov ứng dụng rộng rãi làm mơ hình thống kê nhiều q trình thực tế Mơ hình lý thuyết xếp hàng(Kinh tế, Kỹ thuật, ), Quá trình sinh – tử(Dân số học, Di truyền học, Y – Sinh học, ) Xuất phát từ lý trên, chúng tơi định chọn hướng nghiên cứu xích thay đổi trạng thái theo khoảng thời gian rời rạc để làm đề tài cho luận văn thạc sĩ mình, với chủ đề “Xích Markov vấn đề liên quan đến trình sinh – tử” Mục đích nghiên cứu Tập trung nghiên cứu hai vấn đề Thứ nhất, Xích Markov với thời gian rời rạc, liên tục vấn đề liên quan đến trình sinh tử Thứ hai, tìm hiểu sâu việc thu nhập, xử lý liệu phần mềm chuyên dùng phân tích liệu Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu - Quá trình ngẫu nhiên; Quá trình sinh; Quá trình tử; Quá trình sinh tử hỗn hợp - Ứng dụng lý thuyết vào số vấn đề cụ thể 3.2 Phạm vi nghiên cứu - Mơ hình Xích Markov - Dữ liệu ứng dụng liệu thứ cấp Phương pháp nghiên cứu Trước tiên, sử dụng cơng cụ giải tích kinh điển kết hợp với công cụ giải tích ngẫu nhiên để nghiên cứu đối tương liên quan đến đề tài cụ thể là: - Quá trình Wiener q trình ngẫu nhiên có liên quan - Vi tích phân ngẫu nhiên(Vi-tích phân Itơ), cơng thức Itơ, phép tốn cho q trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc hữu hạn trạng thái - Nghiên cứu trình sinh tử mơ hình q trình sinh học, tổng qt mơ hình q trình phục hồi giải tích ngẫu nhiên Thứ hai, phương pháp luận nghiên cứu, giải vấn đề kết hợp phương pháp quy nạp phương pháp diễn dịch - Nghiên cứu từ ví dụ, toán cụ thể để tổng hợp thành tính chất chung(nếu có) đối tượng nghiên cứu(Quy nạp) - Cách tiếp cận khác song song với phương pháp diễn dịch, tức từ mầm mống sơ khởi có tính quy luật ta chứng minh cho trường hợp đơn giản để khẳng định thấy rõ đặc tính mà ta rút từ nét khái quát ban đầu Ngoài ra, phương pháp nghiên cứu dự kiến thức mà thầy, cô truyền tải mơn học chương trình cao học với phân tích, tìm tịi thêm qua tài liệu tham khảo từ trạng mạng từ sách chuyên khảo nước liên quan đến vấn đề đề tài Cấu trúc luận văn Luận văn phần mở đầu, phần nội dung phần kết luận, phần nội dung gồm chương: Chương Một số khái niệm đại số trình ngẫu nhiên Chương Các vấn đề Xích Markov Chương Q trình sinh-tử xét qua mơ hình Xích Markov Mua file code LaTeX liên hệ email: buytexcode@gmail.com Mã số file: M1 Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ VÀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Trong chương trình bày có chọn lọc kiến thức không gian xác suất không gian xác suất có lọc, phân tích trực giao phân tích tắc q trình ngẫu nhiên, ma trận tương quan ma trận hiệp phương sai, phân tích phổ phân tích suy biến cho ma trận để chuẩn bị cho hai chương sau Các kiến thức trích từ nguồn tài liệu có tính khoa học tính sư phạm cao Dự kiến phân chia thành mục với trình tự phát triển mạch kiến thức hợp lý sau: 1.1 Không gian xác suất khơng gian xác suất có lọc 1.2 Phân tích trực giao phân tích tắc trình ngẫu nhiên 1.3 Ma trận tương quan ma trận hiệp phương sai 1.4 Phân tích phổ số phân tích đặc thù cho ma trận ngẫu nhiên Chương CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ XÍCH MARKOV Trong chương trình bày có chọn lọc kiến thức Xích Markov với thời gian rời rạc, sau mở rộng sang trường hợp q trình Markov xét kèm theo đặc tính liên hệ khái niệm Bên cạnh ý nghĩa thực tế khái niệm vế xích Markov xét qua ví dụ cụ thể cơng cụ phép tốn ngẫu nhiên(các phép tốn Itơ, ) Dự kiến phân chia thành mục với trình tự phát triển mạch kiến thức hợp lý sau: 2.1 Xích Markov với thời gian rời rạc 2.2 Xích Markov với thời gian liên tục 2.3 Xích Markov khơng thời gian 2.4 Phân phối giới hạn phân phối dừng Chương QUÁ TRÌNH SINH-TỬ XÉT QUA MƠ HÌNH XÍCH MARKOV Trong chương trình bày vấn đề kèm theo kết quả(nếu có) theo hướng đề tài mối liên hệ mơ hình số ví dụ thực tế nông nghiệp y-sinh Phần cuối luận văn trình bày mơ hình rút từ thực tế có sử lý số liệu phần mềm chuyên dùng R, SPSS EViews Dự kiến phân chia thành mục với trình tự phát triển mạch kiến thức hợp lý sau: 3.1 Quá trình sinh phần tử sinh cực vi 3.2 Q trình tử 3.3 Q trình sinh - tử hỗn hợp 3.4 Một số toán ví dụ có liên quan PHẦN KẾT LUẬN - Tổng kết vấn đề thực luận văn - Đưa định hướng hướng nghiên cứu tiếp thời gian tới từ nghiên cứu thực THỜI GIAN LÀM LUẬN VĂN Thu thập tài liệu: 5/2021-8/2021 Viết báo cáo đề cương: 8/2021-10/2021 Viết chương 1: 10/2020-12/2020 Viết chương 2: 01/2022-03/2022 Hoàn chỉnh luận văn: 05/2022-06/2022 Chuẩn bị thực báo cáo luận văn: 7/2022-8/2022 TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tài liệu tiếng Việt [1] Dương Tơn Đảm (2006) Q trình ngẫu nhiên: Phần mở đầu Đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh [2] Dương Tơn Đảm (2007) Q trình ngẫu nhiên Phần I - Tích phân phương trình vi phân ngẫu nhiên Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh [3] Dương Tơn Đảm (2010) Q trình ngẫu nhiên Phần II - Các phép toán Malliavin Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh [4] Dương Tơn Đảm; Dương Tôn Thái Dương; Đặng Kiên Cường (2018) Một số phương pháp Tốn thống kê phân tích liệu Qúa trình khuếch tán ngẫu nhiên Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh [5] Nguyễn Duy Tiến (2001) Các mơ hình xác suất ứng dụng Tập - Xích Markov ứng dụng Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Nguyễn Duy Tiến (2001) Các mô hình xác suất ứng dụng Tập - Quá trình dừng ứng dụng Đại học Quốc gia Hà Nội [7] Nguyễn Duy Tiến (2005) Các mơ hình xác suất ứng dụng Đại học Quốc gia Hà nội [8] Nguyễn Viết Phú; Nguyễn Duy Tiến (2004) Cơ sở lý thuyết xác xuất Đại học quốc gia Hà Nội B Tài liệu tiếng Anh [9] Anders Tolver (2016) An Introduction to Markov Chains Lecture Notes for Stochastic Processes [10] Frank Beichelt (2016) Applied Probabiliry and Stochastic Processes CRC Press Taylor and Francis Group [11] Kemeny, T G; Snell, J Laurie (1960) Finite Markov chains D Van Nostrand [12] Mario Lefebvre (2007) Applied Stochatic Processes Springer [13] Richard Serfozo (2009) Basics of Applied Stochastic Processes Springer [14] Yuri Suhov; Mark Kelber (2008) Probability and statistics by example Markov chains: a primer in random processes and their applications Cambridge University Press 10 Cần Thơ, ngày 01 tháng 10 năm 2021 Xác nhận người hướng dẫn Học viên thực TS Thái Gia Phú 11 ... 5 5 QUÁ TRÌNH SINH- TỬ XÉT QUA MƠ HÌNH XÍCH MARKOV 3.1 Q trình sinh phần tử sinh cực vi 3.2 Quá trình tử 3.3 Quá trình sinh - tử hỗn hợp ... tượng nghiên cứu - Quá trình ngẫu nhiên; Quá trình sinh; Quá trình tử; Quá trình sinh tử hỗn hợp - Ứng dụng lý thuyết vào số vấn đề cụ thể 3.2 Phạm vi nghiên cứu - Mơ hình Xích Markov - Dữ liệu... 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN oOo Năm học 2020-2022 ĐỀ CƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ XÍCH MARKOV VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN QUÁ TRÌNH SINH – TỬ Chuyên ngành: