XÍCH MARKOV VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN QUÁ TRÌNH SINH – TỬ

Trong toán học, một xích Markov hay chuỗi Markov là một quá trình ngẫu nhiên mô tả một dãy các biến cố khả dĩ trong đó xác suất của mỗi biến cố chỉ phụ thuộc vào trạng thái của biến cố trước đó. Một dãy vô hạn đếm được, trong đó xích thay đổi trạng thái theo từng khoảng thời gian rời rạc, cho ta một xích Markov thời gian rời rạc. Một quá trình diễn ra trong thời gian liên tục được gọi là quá trình Markov thời gian liên tục. Chúng được đặt tên theo nhà toán học người Nga Andrey Andreyevich Markov. A. A. Markov đã đặt cơ sở cho một trong những sơ đồ tổng quát của các quá trình tự nhiên mà có thể nghiên cứu bằng các phương pháp của toán học. Về sau sơ đồ này được gọi là xích Markov và đã đưa đến sự phát triển của một chương mới của Lý thuyết xác suất đó là Lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên, mà nó đóng vai trò quan trọng trong khoa học hiện đại. Xích Markov được ứng dụng rộng rãi làm mô hình thống kê của nhiều quá trình thực tế như là Mô hình lý thuyết xếp hàng (Kinh tế, Kỹ thuật, …), Quá trình sinh – tử (Dân số học, Di truyền học, Y – Sinh học, …). Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi quyết định chọn hướng nghiên cứu xích thay đổi trạng thái theo từng khoảng thời gian rời rạc để làm đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình, với chủ đề về “Xích Markov và các vấn đề liên quan đến quá trình sinh – tử”.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

THÁI GIA PHÚ

XÍCH MARKOV VÀ CÁC VẤN ĐỀ

LIÊN QUAN ĐẾN QUÁ TRÌNH SINH – TỬ

ĐỀ CƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ

2021

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

THÁI GIA PHÚ

XÍCH MARKOV VÀ CÁC VẤN ĐỀ

LIÊN QUAN ĐẾN QUÁ TRÌNH SINH – TỬ

Chuyên ngành: Lý Thuyết Xác Suất và Thống Kê Toán học

Mã ngành : 8460106

Người hướng dẫn: TS

Mua file code LaTeX liên hệ email: buytexcode@gmail.com

Mã số file: M1

2021

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

oOo

Năm học 2020-2022

ĐỀ CƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ

XÍCH MARKOV VÀ CÁC VẤN ĐỀ

LIÊN QUAN ĐẾN QUÁ TRÌNH SINH – TỬ

Chuyên ngành: Lý Thuyết Xác Suất và Thống Kê Toán học

Mã ngành : 8460106

1 Chủ tịch hội đồng: PGS.TS Nguyễn Hữu Khánh

2 Thư ký: PGS.TS Võ Văn Tài

2021

MỤC LỤC

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

3.1 Đối tượng nghiên cứu 2

3.2 Phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Cấu trúc luận văn 3

NỘI DUNG CỦA LUẬN VĂN 3 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ VÀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 4 1.1 Không gian xác suất và không gian xác suất có lọc 4

1.2 Phân tích trực giao và phân tích chính tắc của quá trình ngẫu nhiên 4

1.3 Ma trận tương quan và ma trận hiệp phương sai 4

1.4 Phân tích phổ và một số phân tích đặc thù cho một ma trận ngẫu nhiên 4

2 CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ XÍCH MARKOV 5 2.1 Xích Markov với thời gian rời rạc 5

2.2 Xích Markov với thời gian liên tục 5

2.3 Xích Markov thuần nhất và không thuần nhất về thời gian 5

2.4 Phân phối giới hạn và phân phối dừng 5

3 QUÁ TRÌNH SINH-TỬ XÉT QUA MÔ HÌNH XÍCH MARKOV 6 3.1 Quá trình thuần sinh và phần tử sinh cực vi của nó 6

3.2 Quá trình thuần tử 6

3.3 Quá trình sinh - tử hỗn hợp 6

3.4 Một số bài toán và ví dụ có liên quan 6

THỜI GIAN LÀM LUẬN VĂN 8 TÀI LIỆU THAM KHẢO 9

PHẦN MỞ ĐẦU

Mua file code LaTeX liên hệ email: buytexcode@gmail.com

Mã số file: M1

1 Lí do chọn đề tài

Trong toán học, một xích Markov hay chuỗi Markov là một quá trình ngẫu nhiên mô tả một dãy các biến cố khả dĩ trong đó xác suất của mỗi biến cố chỉ phụ thuộc vào trạng thái của biến cố trước đó Một dãy vô hạn đếm được, trong

đó xích thay đổi trạng thái theo từng khoảng thời gian rời rạc, cho ta một xích Markov thời gian rời rạc Một quá trình diễn ra trong thời gian liên tục được gọi là quá trình Markov thời gian liên tục Chúng được đặt tên theo nhà toán học người Nga Andrey Andreyevich Markov

A A Markov đã đặt cơ sở cho một trong những sơ đồ tổng quát của các quá trình tự nhiên mà có thể nghiên cứu bằng các phương pháp của toán học

Về sau sơ đồ này được gọi là xích Markov và đã đưa đến sự phát triển của một chương mới của Lý thuyết xác suất đó là Lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên,

mà nó đóng vai trò quan trọng trong khoa học hiện đại

Xích Markov được ứng dụng rộng rãi làm mô hình thống kê của nhiều quá trình thực tế như là Mô hình lý thuyết xếp hàng(Kinh tế, Kỹ thuật, ), Quá trình sinh – tử(Dân số học, Di truyền học, Y – Sinh học, )

Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi quyết định chọn hướng nghiên cứu xích thay đổi trạng thái theo từng khoảng thời gian rời rạc để làm đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình, với chủ đề về “Xích Markov và các vấn đề liên quan đến quá trình sinh – tử”

2 Mục đích nghiên cứu

Tập trung nghiên cứu hai vấn đề chính Thứ nhất, Xích Markov với thời gian rời rạc, liên tục và các vấn đề liên quan đến quá trình sinh tử Thứ hai, tìm

hiểu sâu về việc thu nhập, xử lý dữ liệu bằng các phần mềm chuyên dùng trong phân tích dữ liệu

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

- Quá trình ngẫu nhiên; Quá trình thuần sinh; Quá trình thuần tử; Quá trình sinh tử hỗn hợp

- Ứng dụng lý thuyết vào trong một số vấn đề cụ thể

3.2 Phạm vi nghiên cứu

- Mô hình Xích Markov

- Dữ liệu ứng dụng là dữ liệu thứ cấp

4 Phương pháp nghiên cứu

Trước tiên, sử dụng các công cụ của giải tích kinh điển kết hợp với các công

cụ của giải tích ngẫu nhiên để nghiên cứu về các đối tương liên quan đến đề tài

cụ thể là:

- Quá trình Wiener và các quá trình ngẫu nhiên có liên quan

- Vi và tích phân ngẫu nhiên(Vi-tích phân Itô), công thức Itô, các phép toán cho quá trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc và hữu hạn trạng thái

- Nghiên cứu về quá trình thuần sinh và thuần tử trong mô hình các quá trình sinh học, tổng quát hơn đó là mô hình về quá trình phục hồi trong giải tích ngẫu nhiên

Thứ hai, về phương pháp luận trong nghiên cứu, giải quyết các vấn đề là kết hợp giữa phương pháp quy nạp và phương pháp diễn dịch

- Nghiên cứu từ những ví dụ, bài toán cụ thể để rồi tổng hợp thành các tính chất chung(nếu có) của đối tượng nghiên cứu(Quy nạp)

- Cách tiếp cận khác song song với phương pháp trên là diễn dịch, tức là

từ những mầm mống sơ khởi có tính quy luật ta chứng minh cho những trường hợp đơn giản để khẳng định và thấy rõ hơn đặc tính mà ta có thể rút ra từ những nét khái quát ban đầu

Ngoài ra, phương pháp nghiên cứu luôn dự trên các kiến thức mà các thầy,

cô đã truyền tải trong các môn học của chương trình cao học cùng với sự phân tích, tìm tòi thêm qua các tài liệu tham khảo từ các trạng mạng và từ các sách chuyên khảo nước ngoài liên quan đến các vấn đề của đề tài

5 Cấu trúc luận văn

Luận văn ngoài phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận, trong đó phần nội dung gồm 3 chương:

Chương 1 Một số khái niệm về đại số và quá trình ngẫu nhiên Chương 2 Các vấn đề cơ bản về Xích Markov

Chương 3 Quá trình sinh-tử xét qua mô hình Xích Markov

1 Mua file code LaTeX liên hệ email: buytexcode@gmail.com

2 Mã số file: M1

Chương 1

MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ

VÀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

Trong chương này trình bày có chọn lọc các kiến thức về không gian xác suất và không gian xác suất có lọc, phân tích trực giao và phân tích chính tắc của quá trình ngẫu nhiên, ma trận tương quan và ma trận hiệp phương sai, phân tích phổ và phân tích suy biến cho một ma trận để chuẩn bị cho hai chương sau Các kiến thức được trích từ những nguồn tài liệu có tính khoa học và tính sư phạm cao

Dự kiến phân chia thành các mục với trình tự phát triển của mạch kiến thức hợp lý như sau:

1.1 Không gian xác suất và không gian xác suất có lọc

1.2 Phân tích trực giao và phân tích chính tắc của quá trình

ngẫu nhiên

1.3 Ma trận tương quan và ma trận hiệp phương sai

1.4 Phân tích phổ và một số phân tích đặc thù cho một ma

trận ngẫu nhiên

Chương 2

CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ XÍCH MARKOV

Trong chương này trình bày có chọn lọc các kiến thức về Xích Markov với thời gian rời rạc, sau đó mở rộng sang trường hợp là quá trình Markov xét kèm theo những đặc tính và các liên hệ giữa các khái niệm đó Bên cạnh đó là ý nghĩa thực tế của các khái niệm vế xích Markov được xét qua các ví dụ cụ thể bằng các công cụ của các phép toán ngẫu nhiên(các phép toán Itô, )

Dự kiến phân chia thành các mục với trình tự phát triển của mạch kiến thức hợp lý như sau:

2.1 Xích Markov với thời gian rời rạc

2.2 Xích Markov với thời gian liên tục

2.3 Xích Markov thuần nhất và không thuần nhất về thời gian 2.4 Phân phối giới hạn và phân phối dừng

Chương 3

QUÁ TRÌNH SINH-TỬ XÉT QUA

MÔ HÌNH XÍCH MARKOV

Trong chương này trình bày các vấn đề cơ bản kèm theo kết quả(nếu có) của mình theo hướng của đề tài và chỉ ra được mối liên hệ giữa mô hình và một

số ví dụ thực tế trong nông nghiệp hoặc trong y-sinh

Phần cuối luận văn sẽ trình bày một mô hình rút từ thực tế có sử lý số liệu bằng các phần mềm chuyên dùng như R, SPSS hoặc EViews

Dự kiến phân chia thành các mục với trình tự phát triển của mạch kiến thức hợp lý như sau:

3.1 Quá trình thuần sinh và phần tử sinh cực vi của nó

3.2 Quá trình thuần tử

3.3 Quá trình sinh - tử hỗn hợp

3.4 Một số bài toán và ví dụ có liên quan

PHẦN KẾT LUẬN

- Tổng kết các vấn đề đã thực hiện trong luận văn

- Đưa ra những định hướng hướng nghiên cứu tiếp trong thời gian tới từ những nghiên cứu đã thực hiện

THỜI GIAN LÀM LUẬN VĂN

1 Thu thập tài liệu: 5/2021-8/2021

2 Viết và báo cáo đề cương: 8/2021-10/2021

3 Viết chương 1: 10/2020-12/2020

4 Viết chương 2: 01/2022-03/2022

5 Hoàn chỉnh luận văn: 05/2022-06/2022

6 Chuẩn bị và thực hiện báo cáo luận văn: 7/2022-8/2022

TÀI LIỆU THAM KHẢO

A Tài liệu tiếng Việt

[1] Dương Tôn Đảm (2006) Quá trình ngẫu nhiên: Phần mở đầu Đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh

[2] Dương Tôn Đảm (2007) Quá trình ngẫu nhiên Phần I - Tích phân và phương trình vi phân ngẫu nhiên Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh [3] Dương Tôn Đảm (2010) Quá trình ngẫu nhiên Phần II - Các phép toán Malliavin Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh

[4] Dương Tôn Đảm; Dương Tôn Thái Dương; Đặng Kiên Cường (2018) Một

số phương pháp Toán thống kê trong phân tích dữ liệu và Qúa trình khuếch tán ngẫu nhiên Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh

[5] Nguyễn Duy Tiến (2001) Các mô hình xác suất và ứng dụng Tập 1 - Xích Markov và ứng dụng Đại học Quốc gia Hà Nội

[6] Nguyễn Duy Tiến (2001) Các mô hình xác suất và ứng dụng Tập 2 - Quá trình dừng và ứng dụng Đại học Quốc gia Hà Nội

[7] Nguyễn Duy Tiến (2005) Các mô hình xác suất và ứng dụng Đại học Quốc gia Hà nội

[8] Nguyễn Viết Phú; Nguyễn Duy Tiến (2004) Cơ sở lý thuyết xác xuất Đại học quốc gia Hà Nội

B Tài liệu tiếng Anh

[9] Anders Tolver (2016) An Introduction to Markov Chains Lecture Notes for Stochastic Processes

[10] Frank Beichelt (2016) Applied Probabiliry and Stochastic Processes CRC Press Taylor and Francis Group

[11] Kemeny, T G; Snell, J Laurie (1960) Finite Markov chains D Van Nostrand

[12] Mario Lefebvre (2007) Applied Stochatic Processes Springer

[13] Richard Serfozo (2009) Basics of Applied Stochastic Processes Springer [14] Yuri Suhov; Mark Kelber (2008) Probability and statistics by example Markov chains: a primer in random processes and their applications Cambridge University Press

Cần Thơ, ngày 01 tháng 10 năm 2021 Xác nhận của người hướng dẫn Học viên thực hiện