P x Qx ĐKXĐ của phương trình có chứa là Qx > 0 - Ngoài ra trong một phương trình có thể kết hợp vừa chứa ẩn ở mẫu vừa chứa ẩn trong căn bậc hai, khi đó ĐKXĐ của phương trình là sự kết hợ[r]
(1)CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Vấn đề Điều kiện xác định phương trình - Đối với phương trình chứa ẩn mẫu thì điều kiện xác định (ĐKXĐ) phương trình là cho mẫu thức khác (hoặc các mẫu thức khác 0) P (x) ĐKXĐ phương trình có chứa Q(x) là Q(x) ¹ - Đối với phương trình có chứa ẩn bậc hai thì ĐKXĐ phương trình là biểu thức bậc hai lớn P (x) ĐKXĐ phương trình có chứa là P (x) ³ - Đối với phương trình có chứa ẩn bậc hai mẫu thì ĐKXĐ phương trình là biểu thức đó lớn không P (x) Q(x) ĐKXĐ phương trình có chứa là Q(x) > - Ngoài phương trình có thể kết hợp vừa chứa ẩn mẫu vừa chứa ẩn bậc hai, đó ĐKXĐ phương trình là kết hợp các điều kiện đã nêu trên Bài tập áp dụng Tìm điều kiện xác định các phương trình sau: 5 3x + = 12 + x- x- 1) = 2) x + x - x - 2x 6- 5x + = 3) 3- x 2x - 3x - 5) 2x - = 4x + 6) 3x - + - 3x = 2x + 7) - 5x + 2x - = 5x - x- 4x 3- 5x 9x + = 2 2 x x + x x + x x + x x + 12 4) 8) 7x - 2x = 5x Vấn đề Phương trình chứa ẩn mẫu Phương pháp giải phương trình chứa ẩn mẫu: - Tìm điều kiện xác phương trình - Quy đồng mẫu thức và khử mẫu đưa phương trình bậc nhất, bậc hai - Giải phương trình tìm giá trị x - Đối chiếu với điều kiện ban đầu để nhận, loại giá trị x Kết luận nghiệm phương trình Bài tập áp dụng Giải các phương trình sau: x2 + x - x- x +1 3x = 10 x+ = + =4 x + x x 2 x 2 x 1) 2) 3) (2) 4) x - 1+ 2x - = x- x- x +2 + = 7) x - x x(x - 2) x +3= x +1 10) 13) x+ 2x - = x- x- 2x + +x = x +3 16) x + 2x 2- x x= x +2 x +2 19) x- 2x + = 22) x - x + x - 5) 1+ - 2x = x- x- x + 2x - +3= 6) x - x - = 8) 2x - x(2x - 3) x x = 11) x + x + x - 2x + + = x +1 9) x + x - 2x + = 2x - 12) = 14) x - x 2x + +x - 2= x +1 17) x + x- =1 15) x - 5x + 6 9x x+ = 3x - 3x - 18) 6x - 4x - + = 2x - 2x - 20) x 2x + + = x- 23) x - x + 2x - 6x - x2 - +1= x- 21) x - x + 2x + + = x +2 24) x + x + x x - 2x = 26) x - x - (x - 2)(x - 1) x +2 2x x 2x - 20 = =- x - 28) x - x + x - 29) x - x + 2 2x + x - 2x - 33- 2x 2x - = = + = x x + 3x 32) x + x - x - 30) 2x - 2x + 4x - 31) x + x x2 + 1 = + = x + x (x + 1)(x - 2) x x + x 16 33) 34) x + 2x + + = x +1 25) x + x + =1 x x + 27) 6x - 3x - + + = + = 35) 6- x x + x - 36 36) x x - x - (x - 1)(x - 2) x x 4x - 3x + = + = 37) x - x + (x + 1)(x - 3) 38) 2x - x + (2x - 1)(x + 3) 9x - 15 10 7x + + = + = 39) x x + x + x(x + 2) 40) x + 5x + (x + 5)(10x + 2) 1 + = 41) x - x - x 1 + = 44) x x + x +1 x - =2 x +1 42) x 5- x +1= x- 45) x - 1 + = 43) x - x + 4 40 24 19 = 46) x + x + x - x - x2 - 7x = x - 47) x + x - x + x + x2 - 4x + 24 = x2 - 48) x - x + (3) Vấn đề Phương trình chứa ẩn dấu bậc hai - Phương trình dạng: ìï B ³ A = B Û ïí ïï A = B ïî - Phương trình dạng: ìï A ³ (B ³ 0) A = B Û ïí ïï A = B î - Phương trình dạng: A+ B = C + Đặt điều kiện; + Bình phương hai vế đưa dạng phương trình trên - Ngoài ta có thể đặt ẩn phụ để giải các phương trình chứa ẩn dấu bậc hai Lưu ý đặt ẩn phụ phải kèm theo điều kiện ẩn phụ (điều kiện ẩn phụ là lớn 0) - Các đẳng thức cần nhớ: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 a2 - b2 = (a - b)(a + b) Bài tập áp dụng Giải các phương trình sau: 1) 2x - = x - 2) x2 + x - 12 = - x 3) 3x2 - 9x + = x - 4) 3x - = 2x - 5) 2x + = x - 6) x2 - 3x - = 2x - 7) - 6x - x2 = x + 8) - 6x - x2 = x + 9) 5x + 10 = 8- x 10) 2x + = 3x + 11) x2 - 3x - 10 = x - 2 13) 1- x = x - 14) x - 2 16) (x - 3) x + = x - 17) 2x + = + x - 21) 5x - = 3x - - 23) 2x2 + 5x + - 2x2 + 5x - = 2x - x +1- x- 1=1 22) 3x2 + 5x + - x2 - 3x + = 2(x - 1) 15) 1- 4x - = 3x x2 + 6x + = 2x - 19) 20) 2x + = 12) 18) x2 + 2x + = - x 3x2 + 5x + = 2 24) x + x - 3x + 11 = 3x + 2 25) 2x - x + 6x - 12x + = 26) 2 27) x - 6x + = x - 6x + 2 28) x + 7x + = x + 7x + 29) 6x2 - 12x + = x2 - 2x x2 - 3x + = x2 - 3x - 2 30) x + 11 = x + 32) (x + 1)(x + 4) = x + 5x + 2 31) x - 4x - = 2x - 8x + 12 2 33) x - 3x - 13 = x - 3x + (4) 2 34) x + x - x - = x + x +1- 38) 3x2 + 5x + - 37) x2 + - 39) x2 + x - + x2 + 8x - = 41) x2 - = 35) x + + 6- x = + (x + 3)(6 - x) x- 1=1 40) 45) x2 - 2x - + x + = x2 + 3x + + x - 49) 51) 52) x +1 = 3x2 + 5x + = 42) x + x + x + = 18 1 =2 x 2- x 44) x2 + x + + x2 - x - = 47) 3x - - 2x + + 5- 8x = 4x + 43) 46) 36) 2x + + x + = 3x + (2x + 3)(x + 1) - 16 x + + 6- x = + (x + 3)(6 - x) 7- x + 2+ x - (7 - x)(2 + x) = 48) 50) x - + 3- x - (x - 1)(3 - x) = x + + - x + (x + 1)(4 - x) = 3x - + x - = 4x - + 3x2 - 5x + 1+ x - x2 = x + 1- x 54) x + - x = - x2 + 9x + 55) 2x - + 2x - + 2x + + 2x - = 14 56) x + 5- x + + x + - x + = 57) 2x - 2x - - 2x + - 2x - + 2x + - 2x - = Vấn đề Phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối - Phương trình dạng: ìï B ³ ïï A =B A = B Û ïí é ïï ê ïï ê êA = - B îë - Phương trình dạng: éA = B A =B Û ê êA = - B ê ë * Chú ý: Ta có thể giải các phương trình này định nghĩa giá trị tuyệt đối Bài tập áp dụng Giải các phương trình sau: 4x + = 2x + 3x + = x - 1) 5) x2 - 2x = x2 - 5x + 2x + = + 2x 2) 6) (5) 3) 4) x2 - 4x - = 4x - 17 7) 4x - 17 = x2 - 4x - 8) x + x + = 3x - x +2 - x - +x = Vấn đề Phương trình trùng phương - Dạng: ax4 + bx2 + c = 0(a ¹ 0) t = x2 (t ³ 0) - Cách giải: Đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho dạng at + bt + c = Bài tập áp dụng: Bài Giải các phương trình sau: 4 1) x - 3x - = 2) 3x + 5x - = 3) x - 5x - 36 = 4 4) x - 5x + = 5) x + x - 30 = 6) x - 20x + 64 = 7) x + 5x + = 8) x + 7x - = 9) x - 10x + = 2 12) (1- x )(1+ x ) + = 10) x - 3x - = 11) x - x - 12 = 2 Bài Cho phương trình x - 2x + 1- m = Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm x = 2 Bài Cho phương trình x + (1- 2m)x + m - = Tìm giá trị m để phương trình: a) Vô nghiệm d) Có nghiệm b) Có nghiệm c) Có nghiệm e) Có nghiệm 2 Bài Cho phương trình x - (3m + 4)x + m = Tìm giá trị m để phương trình: a) Vô nghiệm b) Có nghiệm c) Có nghiệm d) Có nghiệm e) Có nghiệm Bài Cho phương trình x + 8mx - 16m = Tìm giá trị m để phương trình: a) Vô nghiệm b) Có nghiệm c) Có nghiệm d) Có nghiệm e) Có nghiệm Vấn đề Phương trình bậc hai - Định lý Viet Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0(a ¹ 0) (*) có D = b - 4ac x= - Nếu D > thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt b x =2a - Nếu D = thì phương trình (*) có nghiệm kép - Nếu D < thì phương trình (*) vô nghiệm Định lý Viet - b± D 2a (6) Hai số x1, x2 là các nghiệm phương trình bậc hai ìï ïï S = x + x = - b ï a í ïï c ï P = x1x2 = a thoả mãn các hệ thức ïïî ax2 + bx + c = 0(a ¹ 0) Các trường hợp dấu nghiệm số phương trình bậc hai (*) có hai nghiệm trái dấu Û P < ìï D ³ Û ïí ïï P > î (*) có hai nghiệm cùng dấu ìï D ³ ïï Û ïí P > ïï ïï S > î (*) có hai nghiệm dương ìï D ³ ïï Û ïí P > ïï ïï S < î (*) có hai nghiệm âm Biểu thức đối xứng nghiệm số phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0(a ¹ 0) (*) x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = S - 2P x13 x23 (x1 x2) (x1 x2)2 3x1x2 S(S 3P ) 1 S x1 x2 P x12 x22 S 2P P2 Bài tập áp dụng Bài Cho phương trình (m 1)x 2(m 1)x m (1) Xác định m để: a) (1) có nghiệm b) (1) có nghiệm Tính nghiệm còn lại c) Tổng bình phương các nghiệm Bài Cho phương trình x 2(2m 1)x 4m (2) A x13 x23 a) Tính theo m, biểu thức b) Tìm m để (2) có nghiệm gấp lần nghiệm 2 Bài Cho phương trình x 2(m 1)x m 3m (3) a) Tìm m để (3) có nghiệm x Tính nghiệm còn lại và chúng (7) x ,x b) Tìm m để (3) có hai nghiệm x ,x x2 x22 c) Tìm m để (3) có hai nghiệm thoả Bài Cho phương trình mx (2m 3)x m (4) x ,x a) Tìm m để (4) có hai nghiệm x ,x b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m x ,x Bài Cho phương trình mx (2m 1)x m (5) Tìm hệ thức liên hệ các nghiệm (5) không phụ thuộc vào tham số m Bài Cho phương trình x 2mx a) Chứng minh phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt b) Gọi x1, x2 x2 x22 x1x2 là hai nghiệm phương trình trên Tìm m để x x 17 x ,x Bài Tìm m để phương trình x (4m 1)x 2(m 4) có hai nghiệm thoả 2 x ,x Bài Tìm m để phương trình (m 1)x 2(m 2)x m có hai nghiệm phân biệt thoả (4x1 1)(4x2 1) 18 mãn P x12 x22 x ,x Bài Cho phương trình x 2(m 1)x m Tính giá trị nhỏ (với là nghiệm phương trình đã cho) 2 Bài 10 Xác định m để phương trình x 2(m 1)x m a) Có hai nghiệm dương phân biệt b) Có hai nghiệm âm phân biêt Bài 11 Tìm các giá trị m để phương trình 3x 4x 2(m 1) có hai nghiệm phân biệt nhỏ 2 Bài 12 Tìm các giá trị m để phương trình x mx có ít nghiệm lớn Vấn đề Hệ phương trình a1x by c1 a x b2y c2 - Hệ hai phương trình bậc hai ẩn giải phương pháp phương pháp cộng đại số (đã học lớp 9) - Ta thể dùng các ẩn phụ để đưa hệ phương trình đã cho hệ phương trình đơn giản để giải (lưu ý các phương trình hệ ban đầu phải xác định) - Đối với hệ phương trình gồm phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai thì cách giải thông dụng là dùng phương pháp Tức là chọn phương trình bậc biểu diễn ẩn này qua ẩn còn lại tiến hành vào phương trình bậc hai (8) S x y P xy - Đối với hệ phương trình đối xứng loại I, ta sử dụng cách đặt để đưa hệ phương trình đã S P cho hệ phương trình với các ẩn là và Bài tập áp dụng Bài Giải các hệ phương trình sau: 1 18 x y 51 1) x y 10 1 x y2 25 2 2) x y 27 32 7 2x y x 3y 45 48 3) 2x y x 3y Bài Giải các hệ phương trình sau: ìï x2 + 4y2 = ï í ï x + 2y = 1) ïïî ìï 3x - 4y + = ï í ï xy = 3(x + y) - 2) ïî ìï x2 - xy = 24 ï í ï 2x - 3y = 3) ïïî ìï 2x + 3y = ï í ïï 3x - y2 + 2y = 4) ïî ìï (x - y)2 = 49 ï í ï 3x + 4y = 84 5) ïïî ìï y + x2 = 4x ï í ï 2x + y - = 6) ïïî ìï 2x - 3y = ï í ï x - xy = 24 7) ïïî ìï x2 + y = 4x ï í ï 2x + y = 8) ïïî ìï x2 + 4y2 = ï í ï x + 2y = 9) ïïî ìï x + y = ï í ïï x + y2 = 53 10) ïî ìï x - y = ï í ï xy = 21 11) ïî ìï x2 - xy + y2 = 13 ï í ï x +y = - 12) ïïî ìï x - y = ï í ïï x + xy + y2 = 13) ïî ìï 2x - y = ï í ïï x + xy + y2 = 14) ïî ìï x + y = ï í ïï x + y3 = 61 15) ïî 16) ìï 3x + 2y = 36 ï í ï (x - 2)(y - 3) = 18 17) ïî 18) ìï 2x + 3y = ï í ïï xy + x + y + = î 19) ìï x2 - xy = 24 ï í ïï 2x - 3y = ïî 20) ìï x2 + y2 = 2(xy + 2) ï í ïï x + y = ïî ìï (x - y)2 = 49 ï í ïï 3x + 4y = 84 ïî Bài Giải các hệ phương trình sau: x y xy x y2 xy a) x y 2xy x y2 xy b) x y 2xy x y3 c) xy(x y) x y3 d) (9)