"Bạn trước mặt mình là người nói thật, bạn bên trái của bạn trước mặt mình là người nói dối." • Mệnh đề 2: "Bạn trước mặt mình là người nói dối, bạn bên trái của bạn trước mặt mình là ng[r]
(1)ĐỀ THI VMEO IV THÁNG 11 Diễn đàn Toán học Ngày 31 tháng 10 năm 2015 (2) CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ Bài toán 1.1 Cho đường thẳng (d) : y = x + √ trên mặt phẳng tọa độ Oxy Chứng minh đường tròn có tâm I thuộc (d) và bán kính không chứa điểm nguyên nào Tìm số dương k lớn cho khoảng cách từ điểm nguyên trên mặt phẳng tới đường thẳng d không nhỏ k Bài toán 1.2 Cho tam giác BAC cân A có ∠BAC = 20o Dựng tam giác BDC cho D, A cùng phía so với BC Dựng tam giác DEB cân D có ∠EDB = 80o và C, E khác phía so với DB Chứng minh tam giác AEC cân E √ Bài toán 1.3 Có bao nhiêu số tự nhiên n bé 2015 mà chia hết cho b nc ? Ở đây bac là số nguyên lớn không vượt quá a(a ∈ R) Bài toán 1.4 Các bạn học sinh trường xếp các hàng dọc cho đếm từ trái sang, hàng thứ có n bạn, hàng thứ có n − bạn, hàng thứ n có bạn Các bạn quay mặt phía hàng thứ Ví dụ với n = (mỗi dấu * đại diện cho bạn): * ** *** **** * * * * * (hàng thứ nhất) Mỗi bạn phép chọn mệnh đề hai mệnh đề đây để phát biểu (trừ các bạn đứng đầu hàng) • Mệnh đề "Bạn trước mặt mình là người nói thật, bạn bên trái bạn trước mặt mình là người nói dối." • Mệnh đề 2: "Bạn trước mặt mình là người nói dối, bạn bên trái bạn trước mặt mình là người nói thật." Với n = 2015, hãy tìm số người nói thật nhiều có thể Chú thích: Nếu bạn học sinh nói dối thì bạn nói ngược thật Còn bạn học sinh nói thật thì bạn nói đúng thật Hết đề cấp THCS VMEO IV Diễn đàn Toán học (3) CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Bài toán 2.1 Với k > cho trước và a, b, c là ba số thực dương cho a b c + + = (k + 1)2 + b c a k+1 Chứng minh a2 + b2 + c2 (k + 1)(ab + bc + ca) Bài toán 2.2 Cho tam giác ABC với hai điểm P, Q đẳng giác Gọi D, E là hình chiếu P lên AB, AC G là hình chiếu Q lên BC U là hình chiếu G lên DE, L là hình chiếu P lên AQ, K là đối xứng L qua U G Chứng minh U K qua điểm cố định Bài toán 2.3 Tìm tất các số nguyên dương a, b, c đôi nguyên tố cùng cho a2 + b | b2 + c, b2 + c | c2 + a và tất các ước nguyên tố a2 + b không đồng dư với modulo Hết đề cấp THPT VMEO IV Diễn đàn Toán học (4)