Tính thể tích khối tứ diện A/AMN b/ Tính khoảng cách giữa hai cạnh A/B và AC Câu 7.1,0 điểm.. Lập phương trình đường thẳng cắt d1,d2 và trục Ox lần lượt tại..[r]
(1)ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2015 MÔN TOÁN SỐ 101 Ngày 14 tháng năm 2015 y= Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số x−3 x +1 có đồ thị là (C) a/ Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho b/ Tìm tọa độ điểm M trên (C) cho độ dài IM là ngắn (I: giao điểm hai tiệm cận của(C)) Câu 2.(1,0 điểm) cos x − sin x =√ cos 2 x+ sin x − 2i 2i z 3i 3i Xác định phần thực ,phần ảo số phức Câu 3.(1,0 điểm ).Giải phương trình: √ 1+ log x − √ log x=log x − ¿ x − y ( x+ y )+1=0 Câu 4.(1,0 điểm).Giải hệ phương trình: ( x + ) ( x + y −2 ) + y=0 ¿{ ¿ Giải phương trình: π Câu 5.( 1,0 điểm) Tính: A=∫ ( sin x −cos x ) ln ( 1+sin x ) dx Câu 6.(1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ có (A/BC) tạo với đáy góc 600, tam giác A/BC có diện tích √ a/Gọi M ,N là trung điểm BB/ và CC/ Tính thể tích khối tứ diện A/AMN b/ Tính khoảng cách hai cạnh A/B và AC Câu 7.(1,0 điểm) Cho tam giác ABC với B(1;–2),phương trình đường cao vẽ từ A là d: x –y + = 0.Tìm tọa độ A ,C tam giác.Biết C thuộc đường thẳng : 2x + y –1 = và diện tích tam giác ABC Câu 8.(1,0 điểm) Cho hai đường thẳng có phương trình ( d ) : x −7 y −4 z − = = −1 và x −3 y − z −1 ( d ) : − = = Lập phương trình đường thẳng ()cắt (d1),(d2) và trục Ox các điểm A, B, C cho B là trung điểm AC Câu 9.(0,5 điểm) Tìm số hạng chứa x13 khai triển (1 – x)n, biết n là số cạnh đa giác lồi có số đường chéo gấp 13 lần số cạnh nó Câu 10.( 1,0 điểm) Gọi x , x , x là nghiệm phương trình: x − (2 m+3 ) x 2+ ( 2m − m+9 ) x − 2m2 +3 m− 7=0 Tìm giá trị nhỏ và giá trị lớn biểu thức: A=x 21 + x 22+ x23 + x x x3 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 101 (2) Câu 1.1 NÔI DUNG y= Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: Điểm x−3 x +1 1,0 Tập xác định: D = R \ –1 ❑ y❑= y >0, ∀ x ∈ D , ( x+1 ) 0,25 x −3 x → ( −1 )+¿ =−∞ x −3 x +1 =+ ∞ và Vì: lim x → ( −1 ) x +1 lim 0,25 nên: x = –1 là tiệm cận đứng − ¿ 1.2 x −3 x −3 =1 và lim =1 Vì: lim nên: y = là tiệm cận ngang x →− ∞ x+ x →+∞ x +1 Bảng biến thiên và kết luận Đồ thị Tìm tọa độ điểm M trên (C) cho độ dài IM là ngắn (I: giao điểm hai tiệm cận của(C)) m− Gọi M m; thuộc đồ thị, có I(–1 ; 1) m+1 ( √ ) IM= ( m+1 )2+ 2.1 16 ( m+1 ) √ IM= ( m+1 )2+ 16 ≥ 16 √ √ ( m+1 ) √2 16 ( Tương ứng xét g ( t ) =t+ ,t >0 và t = (m + 1)2 và lập bảng biến thiên t IM nhỏ IM=2 √ Khi đó (m + 1)2 = Tìm hai điểm M ( ; −1 ) và M ( −3 ; ) cos x − sin x =√ Giải phương trình: cos 2 x+ sin x − −2 sin 2 x +sin x +1 ≠ ⇔ sin x ≠1 Điều kiện: sin x ≠− ¿{ cos x − sin x =√ cos x − sin x=√ ( sin x +cos x ) − sin2 x+ sin x +1 cos x − √ sin x=√ 3cos x +sin x x 2x k 2 π π cos x + =cos x − x 2x- k 2 ( ) ( π x= +kπ x gt 2i 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 k 36 π 2π x=− + k 3 2i 2i z 3i 3i Xác định phần thực ,phần ảo số phức z 0,25 ) 0,25 So lại điều kiện nghiệm phương trình đã cho: 2.2 0,25 0,25 1,0 3i 2i 3i 0,5 11 6 9i 2i 9i 2i z z 11 2 11 0,25 (3) 6 0,25 và phần ảo z 11 .suy phần thực z 6 2 2 11 Vậy phần thực z và phần ảo z Giải phương trình: √ 1+ log x − √ log x=log x − Điều kiện xác định: x ≥ √ 1+ log9 x − √ log x=log x − √ 1+ log9 x − √ log9 x=2 log9 x −1 1− log x= ( log x −1 ) ( √ 1+log x+ √ log x ) ( log x −1 ) ( √ 1+ log x +3 √ log x +1 ) =0 log x =1 vì: √ 1+ log x + √ log x+ 1> x = Vậy nghiệm phương trình đã cho: x = ¿ x − y ( x+ y )+1=0 Giải hệ phương trình: ( x 2+ ) ( x + y −2 ) + y=0 ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿ 2 x − y ( x+ y )+1=0 x +1= y ( x + y ) x + 1= y ( x+ y ) ( x 2+ ) ( x + y −2 ) + y=0 y ( x + y ) ( x+ y − )+ y=0 ( x+ y )( x + y −2 ) +1=0 ¿{ ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ ( Vì: y = không là nghiệm hệ) ¿ ¿ ¿ x +1= y ( x + y ) x 2+1= y ( x + y ) x +1= y ( x + y ) ( x+ y )2 −2 ( x + y ) +1=0 ( x + y −1 )2=0 x+ y=1 ¿{ ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x=0 ∨ x=− x 2+1= y x 2+1=1− x x 2+ x=0 y=1 − x x + y=1 y=1 − x y =1− x ¿{ ¿{ ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿ Nghiệm hệ: (0 ; 1) , ( –1 ; 2) π Tính: 0,5 0,25 0,25 1,0 0,25 0.25 0,25 0,25 1,0 A=∫ ( sin x −cos x ) ln ( 1+sin x ) dx 0,25 π A=∫ ( sin x −cos x ) ln ( sin x+ cos x ) dx 2 ∫ sin x cos x ln sin x cos x dx 0 π [ ] (Vì: sin x+ cos x> , ∀ x ∈ ; ¿ ( u=ln sin x +cos x ) Đặt dv=( sin x − cos x ) dx suy ra: ¿{ ¿ ) ¿ cos x −sin x du= dx sin x+ cos x v=cos x +sin x ¿{ ¿ A sin x cos x ln sin x cos x 04 cos x sin x dx ∫ 0,25 0,25 (4) A ln sin x cos x 04 [ √2 ln √ 2− √ 2+1 ] = ln 2 6.a Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có (A/BC) tạo với đáy góc 600, tam giác A/BC có diện tích √ Gọi M ,N là trung điểm BB/ và CC/ Tính thể tích khối tứ diện A/AMN ❑ Ta có AA ⊥ ( ABC ) C A Gọi H là trung điểm BC AH BC nên A/H BC Vậy góc A/HA 600 B N AH BC √ ❑ =2 =BC √3 Trong A/HA vuông có: A H = cos 60 M A C BC √ ❑ / Diện tích tam giác A BC: S= BC A H= H 2 / / 0,25 1,0 0,5 0,25 / B S=8 √ nên BC = 4, AA ❑=AH tan60 0=6 V A AMN =V lt −2 V A BMNC= BC AH AA❑ =16 √ 3 Tính khoảng cách hai cạnh A/B và AC Tính khoảng cách hai đoạn thẳng A/B và AC C A ❑ Ta có AA ⊥ ( ABC ) Dựng hình hộp ABDC.A/B/D/D AC//BD B D nên AC//(A/BD) A/B nên d(AC;A/B) = d(AC;(A/BD)) = d(A;(A/BD)) T A C Kẻ AK BD (K BD) BD AK và BD AA/ nên BD (A/AK) (A/BD) (A/AK) B K D Kẻ AT A/K (TA/K) AT(A/BD) AT=d(A; / / (A BD)) = d(AC;A B) 0,25 1 1 = + ❑ 2= + 2= = hay AT = 2 AT AK A A ( √ ) 36 Cho tam giác ABC với B(1;–2),phương trình đường cao vẽ từ A là d: x –y + = 0.Tìm tọa độ A ,C tam giác.Biết C thuộc đường thẳng : 2x + y –1 = và diện tích tam giác ABC BC qua B và vuông góc d nên BC có phương trình: x + y + = ¿ x + y −1=0 x + y +1=0 ⇔ Tọa độ C là nghiệm hệ Vậy: C(2 ; –3) ¿ x=2 y =−3 ¿{ ¿ |2 a+ 4| A ( a ; a+3 ) ∈ d d ( A ; BC )= , BC=√ √2 |2 a+ 4| 1 BC d ( A ; BC )=1 hay √ =1 Theo giả thiết ta có: 2 √2 0,5 ❑ 6.b / / / 0,5 0,5 / 1,0 0,25 0,25 (5) 0,5 |2 a+ 4| √ =1 ⇔|2a+ 4|=2 ⇔ √2 a=−1 ¿ Hay a=−3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Với a = –1 thì A(–1 ; 2), với a = –3 thì A(–3 ; 0) Cho hai đường thẳng có phương trình ( d ) : x −7 y −4 z − = = −1 và 1,0 x −3 y − z −1 ( d ) : − = = Lập phương trình đường thẳng ()cắt (d1),(d2) và trục Ox các điểm A, B, C cho B là trung điểm AC Gọi A ( 7+a ; 4+2 a ; − a ) ∈ ( d ) , B ( −7 b ;1+2 b ; 1+3 b ) ∈ ( d ) và C(c ; ; 0) Ox a 1 ¿ ¿ 7+a+ c=2 ( 3− b ) a+14 b+c +1=0 b 1 +2 a=2 ( 1+2 b ) a− b+2=0 c 16 B là trung điểm AC nên: 9− a=2 (1+3 b ) a+6 b − 7=0 ¿{{ ¿{ { ¿ ¿ A ( ; ; ) ∈ ( d ) , B ( − ; ; ) ∈ ( d1 ) x − y − z −8 = = Phương trình Δ : 12 Tìm số hạng chứa x13 khai triển (1 – x)n, biết n là số cạnh đa giác lồi có số đường chéo gấp 13 lần số cạnh nó C2 n C n 13n Số đường chéo đa giác là n Theo giả thiết: n Giải n 29 k k Số hạng tổng quát khai triển là C29( x) 13 C13( x)13 67863915x13 Số hạng chứa x là 29 = Gọi x , x , x là nghiệm phương trình: x − (2 m+3 ) x 2+ ( 2m − m+9 ) x − 2m2 +3 m− 7=0 Tìm giá trị nhỏ và giá trị lớn biểu thức: A=x 21 + x 22+ x23 + x x x3 Phương trình: x − (2 m+3 ) x 2+ ( 2m − m+9 ) x − 2m2 +3 m− 7=0 (*) Có nghiệm x 3=1 Nên (*) ( x − ) [ x − ( m+1 ) +2 m2 −3 m+7 ]=0 x=1 ¿ x −2 ( m+1 ) x +2 m2 − m+7=0=0 ( ) ¿ ¿ ¿ ¿ (1) có hai nghiệm x ; x khi: ( m+ )2 −2 m2 +3 m−7 ≥ −m2 +5 m− ≥0 2≤ m ≤3 2 2 A=x + x 2+ x3 + x x x3 = x 1+ x +1+ x x 2 = ( x 1+ x ) − x x +1 = ( m+2 )2 −2 m2+ m−6 Hay A = f ( m )=2 m2 +11 m− m [ 2; ] 11 f ❑ ( m )=4 m+11 , f ❑ ( m )=0 m=− ∉ [ 2; ] f ( )=28 và f ( ) =49 Vậy: 10 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 (6) Vậy max A=49 m = và A=28 m = (7)