De DA HSG Truong Tran Dai Nghia TPHCM 20142015

 BHC  BOC  Tứ giác BHOC nội tiếp tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh với hai góc bằng nhau Vậy B, I, H, O, C cùng thuộc một đường tròn... COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC TH[r]

COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG TRẦN ĐẠI NGHĨA LỚP – LẦN (T1/2015) Baøi 1: (2 ñieåm) Cho x2  3x   x Tính giá trị biểu thức: A     x3  10x  x  2015 x  x   x  3x  Bài 2: (2 điểm) Tìm m để phương trình: x4  x2  mx   m  1 x  m  x Baøi 3: (4 ñieåm) Giaûi phöông trình vaø heä phöông trình sau:  coù hai nghieäm phaân bieät x1;x a) x  x4  x2   x  x3 4x  2xy  y  4y   b)    2x  y  4x        Baøi 3: (4 ñieåm) a) Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng:   1    a c  b c  a b  4abc   2  a  b c b  c a c  a b c       b a  433 x  x2  143 x  x với  x  17 Bài 5: (4 điểm) Cho ABC nhọn (AB < AC), có H, I, O là trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp Giả sử bốn điểm B, C, I, O cùng thuộc đường tròn Chứng minh rằng: IH  IO b) Tìm giá trị lớn của: A  Bài 6: (4 điểm) Cho ABC có phân giác AD Ở miền BAD và CAD vẽ hai tia AM, AN cho MAD  NAD (M thuộc đoạn BD, N thuộc đoạn CD) Gọi E, F là hình chiếu M lên AB, AC; P, Q là hình chiếu N lên AB, AC a) Chứng minh rằng: điểm E, F, P, Q cùng thuộc đường tròn AB2 BM.BN  b) Chứng minh rằng: AC2 CM.CN   HEÁT   Trang Học Sinh Giỏi Lớp 9(Lần 1) –Tr.TĐN (14-15) COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 HƯỚNG DẪN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG TRẦN ĐẠI NGHĨA LỚP – LẦN (2014-2015) Baøi 1: (2 ñieåm) Cho x2  3x   x Tính giá trị biểu thức: A     x3  10x  x  2015 x  x   x  3x  x  x 1 Ta coù: x2  3x    x2  3x  ; x3  x.x2  x  3x  1  3x2  x   3x  1  x  8x  x4  x.x3  x  8x  3  8x2  3x  3x  1  3x  21x  Vaäy A   21x   8x   30x  10  x  201521x   3x   1  21x   9x   21x   3x   2014  24x    30x  10 16112 3x  1  10 3x  1 16122  3x  1 8061     24x  8  3x  1  3x  1 Bài 2: (2 điểm) Tìm m để phương trình: mx   m  1 x  m  x  coù hai nghieäm phaân bieät x1;x 2 Do pt đã cho có hai nghiệm phân biệt x1;x  mx2   m  1 x  m   có hai nghiệm Ñieàu kieän: x  phân biệt x1;x lớn m  a  m  m     4m    '   m  1  m  m    4m  1  1  1       x1     x     x  x   x1  2  2      x x   x  x     1  2 x   x1   x    2  2   m  m    m   m     m  0, m   , m  2, m  12       m  12    m  1  m  1  0  m  0, m   , m  2, m  12(voâ ly)ù     m  m m  12  m  2  m  1    0   m 0   m m Vậy với m > 12 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 ,x Trang Học Sinh Giỏi Lớp 9(Lần 1) –Tr.TĐN (14-15) COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 Baøi 3: (4 ñieåm) Giaûi phöông trình vaø heä phöông trình sau: a) x  x4  x2   x  x3 Ñieàu kieän: x  1;0  x  Ta coù: x  x4  x2   x  x3  x  x  x3  x4  x2   x2   x  x3  x  x     x  x  x  x  x  x3  x  x     x2     x  x  x   x  x  11  x   x  1  x     x  x  x   x 1  x 1  x   x   x  x   x   x  x  x   x 1  x 1  x    x  x   1  x    x  x 1  x    x  x   1  x    x  x 1  x    x  x   1  x         x  x 1  x    x  x 1  x   x  x  x  x  x    x  x  1  x  x  1   x  1   x  x3  x   x  x  x  2x   x    4 3  4  4 3 4 3 2   x2  x2  x    x  x    x  1  1  ;x  2   1  1    ; Vaäy S    2     4x  2xy  y  4y   b)    2x  y  4x             4x   2xy  y  2y  2y  4x   2xy  y  4y      y y y2 2x  2x  y    4x   4x   2y y 1  2x  y  2  2x  y   2x  y    2 0     1    4x  4x    y 2x  y   y 2x  y    4x   4x  y  2x   2x  y    2x  y      y  2x   y  2x   x  1            y 2 y 1 2x  x    2x   4x  x  2x  y     4x   4x     x  1;y  1  Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm  x;y    1;5  ; ;2    x  ;y  2   Trang Học Sinh Giỏi Lớp 9(Lần 1) –Tr.TĐN (14-15) COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 Bài 4: (4 điểm) a) Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng:   1   a c  b c  a b  4abc    2  a  b c b  c a c  a b c       b a  AÙp duïng BÑT Coâ –si cho hai soá döông, ta coù:   1    a c  b c  a b 4abc   2  a b c b  c a c  a b a c       b   4ab  4bc  a  b  b  c 4ab   4bc   4ca a b  b c  c a                  c  a  b a   c b   a c   a  b   b  c   c  a  4ca  a  b  b  c  c  a  a  b   4bc   b  c 4ab       a b  4ab    b  c 4bc   a  b  b  c  c  a    6 2 ab 2 4ab 2  a  b 4ab ca 6   c  a   4ca      ca  4ca     4bc 4ab  a  b bc 2 2 4ca 2 4bc  b  c  b  c 4bc 2 4ca  c  a  c  a 4ca 3.4ab 3.4bc 3.4ca   6 4ab 4bc 4ca  2223336  Vậy BĐT đã chứng minh Dấu " " xảy a  b  c  b)Tìm GTLN cuûa: A  433 x  x2  143 x  x với  x  17 AÙp duïng BÑT Coâ –si cho hai soá döông, ta coù : 433 433.12 143.12 289 x  x2  143 x  x  x 1  x   x 1  x  17 17 144 17 144  143.12  289  433.12    x 1 x    x 1 x  17  144 17  144   A 433.12.143 433.12 143.12.433 143.12 3456 x   x   17.2.144 17.2 17.2.144 17.2 17  x  1 x  144 x Daáu " " xaûy 144 145  289 x   x  144 3456 144 Vaäy GTLN cuûa A laø x  145 17  Trang A 3456 17 Học Sinh Giỏi Lớp 9(Lần 1) –Tr.TĐN (14-15) COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 Bài 5: (4 điểm) Cho ABC nhọn (AB < AC), có H, I, O là trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp Giả sử bốn điểm B, C, I, O cùng thuộc đường tròn Chứng minh rằng: IH  IO A D I E O H B C Ta có: I là tâm đường tròn nội tiếp ABC (gt) nên BI, CI là tia phân giác ABC;ACB Do đó: IBC  ICB  ABC  ACB 180  BAC  2    BIC  1800  IBC  ICB  180  Ta coù: BAC  1800  BAC BAC  90  2   BOC gnt và góc tâm cùng chắn BC (O)  BOC  2BAC BIC  BOC tứ giác BIOC nội tiếp   BAC BAC Ta coù : BIC  900  cmt  2BAC  900   BAC  600  2  BOC  2BAC cmt  Goïi D laø giao ñieåm cuûa BH vaø AC E laø giao ñieåm cuûa CH vaø AB BD  AC taïi D Ta có : H là trực tâm ABC   Neân ABD  900  BAC  900  600  300 BH  AB taïi E  BHC  BEH  ABD  120 Ta coù:   BOC  2BAC  120  BHC  BOC  Tứ giác BHOC nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh với hai góc nhau) Vậy B, I, H, O, C cùng thuộc đường tròn Mà OB = OC (=R)  OBC cân O    OBC  OCB  OBC  1800  BOC :2  300 Trang Học Sinh Giỏi Lớp 9(Lần 1) –Tr.TĐN (14-15) COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 Ta coù : ABI  CBI  ABD  IBH  OBC IBO  IBH  IBO Xeùt  BIHOC , ta coù: IBH  IBO  IH  IO  IH  IO Bài 6: (4 điểm) Cho ABC có phân giác AD Ở miền BAD và CAD vẽ hai tia AM, AN cho MAD  NAD (M thuộc đoạn BD, N thuộc đoạn CD) Gọi E, F là hình chiếu M lên AB, AC; P, Q là hình chiếu N lên AB, AC A F P Q E B D M N C a) Chứng minh rằng: điểm E, F, P, Q cùng thuộc đường tròn MAD  NAD  gt  Ta coù:  BAD  CAD AD laø tia phaân giaùc cuûa BAC     BAM  MAD  CAN  NAD  BAM  CAN Xeùt AEM vaø AQN , ta coù:   AEM  AQN  90 AE AM   AEM ∽ QAN  g  g     tsñd   AQ AN  BAM  CAN  cmt MAF  BAM  NAP  CAN  BAC   MAF  NAP Ta coù:  BAM  CAN  cmt   1  Xeùt AFM vaø APN , ta coù: MAF  NAP  cmt AF AM    AFM ∽ APN  g  g   2  AP AN AFM  APN  90   AE AF AP AF    Từ (1) và (2) ta có: AQ AP AQ AE   Xeùt APF vaø AQE , ta coù: Trang Học Sinh Giỏi Lớp 9(Lần 1) –Tr.TĐN (14-15) COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 PAF  goùc chung    APF ∽ AQE c  g  c  APF  AQE  Tứ giác PFQE nội tiếp  AP AF  cmt     AQ AE Vậy bốn điểm E, F, P, Q cùng thuộc đường tròn b) Chứng minh rằng: AB2 BM.BN  AC2 CM.CN  AM    AN Ta coù:   AM    AN ME  AEM ∽ AQN  ME MF  AM  NQ      ME.NP  MF.NQ NQ NP  AN  MF  AFM ∽ APN  NP 1 AB.ME AB.NP BM.BN BM BN SMAB SNAB    Do đó: CM.CN CM CN SMAC SNAC AC.MF AC.NQ 2 AB2 BM.BN AB2 ME.NP AB2    Vì ME.NP = MF.NQ Vaäy AC2  CM.CN AC2 MF.NQ AC2   HEÁT   Trang Học Sinh Giỏi Lớp 9(Lần 1) –Tr.TĐN (14-15)