Khi ca nô khởi hành từ A thì cùng lúc đó, một khúc gỗ cũng trôi tự do từ A theo dòng nước và gặp ca nô trên đường trở về tại một điểm cách A là 8km.. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận [r]
(1)Phòng GD- ĐT Thạnh Hóa Trường THCS ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA KHỐI MÔN: Toán Thời gian: 150 phút Câu 1: ( 4đ) 2x x 2x x x x : 1 x x x 1 x x Cho biểu thức P = a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn P c) Tính giá trị P với x = d) Tìm giá trị lớn a P > a Câu 2( 5đ) Cho hình chữ nhật ABCD Đường phân giác góc B cắt đường chéo AC thành 72 57 hai đoạn và Tính các kích thước hình chữ nhật Câu 3: ( 5đ) Bài 1: ( 2đ) 2 a) Giải phương trình sau: x x x x x x 3 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= x x x 1 x 1 Bài 2: ( 3đ) Hai bến sông A và B cách 40 km Một ca nô xuôi dòng từ A đến B quay A với vận tốc riêng không đổi hết tất 15 phút Khi ca nô khởi hành từ A thì cùng lúc đó, khúc gỗ trôi tự từ A theo dòng nước và gặp ca nô trên đường trở điểm cách A là 8km Tính vận tốc riêng ca nô và vận tốc dòng nước Câu 4: ( 3đ ) Cho (0;R) và điểm M cố định không nằm trên đường tròn Qua M vẽ cát tuyến cắt đường tròn A và B Chứng minh tích MA.MB không phụ thuộc vào vị trí cát tuyến Câu 5: ( 3đ ) a) Chứng minh rằng: 1 1 1 2 2 a b a b a b a b b) Tìm các số nguyên x để 199 x x là số chính phương chẵn (2) ĐÁP ÁN Câu 1: a) ĐKXĐ: x > , x 1 0,25đ b) P = : x x x1 x 1 = 1 x 1 x x x x x x1 xx x = (1.5 đ) bước 0.25 đ 7 2 c) P = 1 x 1 x1 x 1 x 1 1 x x x x : x x 1 x 1 x x x1 = x x 1 xx x 1 = x x1 x1 : 1 x x x 1 x x1 = x 1 x x1 x 1 x x : x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 6 3 2 3 2 2 x1 x d) P = bước 0,25đ 0,25đ 1 x1 x 2 x x Mà 2 x1 x Nên P P 1 dấu “ =” xảy 0,25đ x x 1 x 0,25đ Nhưng x = không thoã mãn ĐKXĐ Vậy P > 0,25đ Suy giá trị lớn a để P > a là a = 0,25đ B C Câu 2:( 5đ) E (1 đ) (3) A D ( đ) Áp dụng tính chất đường phân giác tam giác ABC có : EC EA AB CB EA EC AB CB (1) AB CB AB suy (2) CB AB AB CB CB 16 16 Hay 72 75 = (1đ) (1đ) AC 25 AC CB 16 BC Áp dụng tính chất dãy tỉ số suy Mà AC= AE+ EB = + 10.4 8 (1 đ) = 10 (0,5 đ) 3.BC 6 Vậy BC= , AB= (0,5đ) Kích thước hình chữ nhật là 6m,8m Câu 3: ( 5đ) Bài 1: ( 2đ) a) x 2 1 x 2 4 x 2 3 Vế trái Vế trái 3 Dấu “ = ” xảy x 0 x 2 Mỗi ý 0,25đ c) Ta có A x x x 1 x 1 2x 2 x 1 A A 3 Vậy Giá trị nhỏ A là Bài 2: ( 3đ) Mỗi ý 0,25đ (4) Gọi vận tốc riêng ca nô là x km/h Gọi vận tốc dòng nước là y km/h.( x > y > ) Vận tốc ca nô xuôi dòng là x + y ( km/h) Vận tốc ca nô ngược dòng là x – y ( km/h) Theo đề ta có hệ phương trình: 40 40 x y x y 4 40 32 x y x y y 0,25đ 1đ ( phương trình 0,5đ) 40 40 x y x y x 9 y 0,5đ x 36 Giải hệ này ta y 4 thỏa mãn điều kiện ẩn 1đ ( chia nhỏ 0,25đ) Vậy vận tốc riêng ca nô là 36 km/h, vận tốc dòng nước là km/h 0,25đ C B M Câu 4: ( 3đ ) (0,5 đ) A D * Trường hợp M nằm đường tròn Vẽ đường kính CD qua M , nằm M và D ADM và CBM có : BAD = BCD = ½ sđ BD (0,5đ) CBA = CDA = ½ sđ AC suy ADM CBM (g-g) MA MD MA.MB MC.MD (OC OM ).(OD OM ) ( R OM ).( R OM ) MC MB MA.MB R OM (0,5 đ) MA.MB không đổi * Trường hợp M nằm ngoài đường tròn (0,5đ) M C D (5) A B Kẻ cát tuyến MCD qua O , giả sử nằm Mvà D Xét hai tam giác MCB và MAD có A DM = CBM M chung (0,5 đ) MCB MAD MC MB MA MD MA.MB MC MD (OM OC ).(OM OC ) OM R Vậy MA.MB không đổi (0,5 đ) 2 Từ trường hợp trên ta thấy MA.MB= / R OM / không đổi Do đó MA MB không phụ thuộc vào vị trí M (* trường hợp đạt 1,5 đ) Câu 5: ( 3đ ) a) ( 1đ) Bình phương hai vế ta được: 1 1 1 2 2 2 2 2 a b a b a b a b ab a a b b a b 0 2 a b ab ab a b 0 Bước đầu 0,5đ, hai bước sau bước 0,25đ b) Đặt 199 x x 2n ( n N ) 0,25đ 200 x 1 4n 2 4n 2 200 4n 16 n 2 ( vì n N ) Với n = phương trình vô nghiệm Với n = ta x1= 13; x2 = – 15 Với n = ta x3 = ; x4 = – Vậy x 15; 3;1;13 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ (6)