de on tap hoc sinh gioi

Cho đa thức fx thoả mãn: Chứng minh rằng đa thức fx có ít nhất hai nghiệm khác nhau.. Kẻ đường cao AH.[r]

ĐỀ ÔN TẬP HOC SINH GIỎI Bài x  2011   y  2012  2012 0 a) Tìm x và y thoả mãn: b) Có tìm hai chữ số a và b để 2011ab là bình phương số tự nhiên không? Vì ? Bài x y  a) Cho Cho và y z = Tính M = x +3 y+ z x +4 y+ z a  b3  c a  3 d b) Cho các số a; b; c; d thỏa mãn: b2 = ac và c2 = bd Chứng minh rằng: b  c  d Bài a) Tính: P 1  1 1        3              2012  2012 b) Tìm x thoả mãn:     65     35  35  35 25  25  2x x f x  2011  x  2012 f x       Bài Cho đa thức f(x) thoả mãn: Chứng minh đa thức f(x) có ít hai nghiệm khác    Bài Cho tam giác ABC có B < 900 và B = C Kẻ đường cao AH Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho BE = BH Đường thẳng HE cắt AC D   1- Chứng minh: BEH  ACB 2- So sánh độ dài ba đoạn thẳng : DH ;DC và DA 3- Lấy B’ cho H là trung điểm BB’ Tam giác AB’C là tam giác gì ? Vì ? 4- Chứng minh : Nếu tam giác ABC vuông A thì: DE = BC2 – AB2 BÀI NỘI DUNG HƯỚNG DẪN GIẢI a)  x  2011 0 x  2012 y  2012  0 y    Nhận xét: Đẳng thức xảy 2x – 2011 = và 3y + 2012 = 2011  2012 Tìm x = và y = b) Ta có:  ab 99  201100 2011ab 201199 4482  2011ab  449 a) 448 và 449 là hai số tự nhiên liên tiếp nên 2011ab không là bình phương số tự nhiên x y x y y z y z x y z = ⇒ = ; = ⇒ = ⇒ = = (1) 15 20 20 24 15 20 24 x y z x+3 y + z Từ (1) ⇒ 30 =60 = 96 =30+ 60+96 và 3x y z 3x  y  z    45 80 120 45  80  120 x +3 y+ z : x + y +5 z = x : x = 30+60+96 45+ 80+120 30 45 x +3 y+ z x + y +5 z  : =1 30+60+96 45+ 80+120 2x  y  4z 245 x  y  z 186 1  M   186 3x  y  5z 3x  y  z 245 Từ b2 = ac và c2 = bd a b c a b3 c a  b3  c     c d = b3  c  d (2) ta có : b c d  b  b) a) b) a3 a.a.a a a a a b c a     b.b.b b b b b c d d Mà b (3) Từ (2) và (3) có điều cần chứng minh 1 1 P 1         3              2012  2012 2.3 3.4 4.5 2012.2013 1     2 2012 = 2013            2013  2 2 2  2012.2013  2025077    1        2013  1 2 2  45  45  45  45 65  65  65  65  65  65 35  35  35 25  25  6   =  3  4.45 6.65 46 66 3.35 2.25 = 36 26  4   212  2 x 212   x = 12 * Với x = ta có - 2012 f(0) = 0.f(- 2011) = hay f(0) = , đa thức có nghiệm x = * Với x = 2011 ta có 2011 f(2011- 20111) = (2011-2012) f(2011) Như -1 f(2011) = 2011.f(0) = , nên f(2011) = Vậy đa thức có nghiệm x = 2011 Từ đây suy điều cần chứng minh A Hình vẽ D B H C B’ E   1- Chứng minh: BEH  ACB   Tam giác BEH cân B nên E H1      Mà 2C  ABC E  H1 2 E Vậy BEH  ACB 2-.So sánh độ dài ba đoạn thẳng : DH ;DC và DA Chứng tỏ DHC cân D nên DC = DH (1)    DAH 900   DAH 900   C  H Chứng minh   AHD  Suy DAH DAH cân D nên DA = DH (2) Từ (1) và (2) ta có : DC = DH = DA 3- Lấy B’ cho H là trung điểm BB’ Tam giác AB’C là tam giác gì ? Vì ? ABB’ cân A nên    Vậy 2C  A1  C   '   AB ' B  ABB ' 2C  , mà AB B  A1  C A C  Kết luận : Tam giác AB’C cân B’ 4- Chứng minh : Nếu tam giác ABC vuông A thì: DE = BC2 – AB2 Chứng minh được: Khi tam giác ABC vuông A thì ABC 600 ; ACB 300 Chứng minh được: Tam giác AHD nên DA= AH Chứng minh : AHC DAE suy : DE = AC Do AC2 = BC2 – AB2 từ đó DE2 = BC2 – AB2