Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB chứa nửa đường tròn O vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn.. Trên đoạn thẳng AO lấy điểm H cố định H không trùng với A, O.[r]
(1)SỞ GD&ĐT NGHỆ AN Đề chính thức KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP CẤP THCS NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: TOÁN - BẢNG B Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Câu (4 điểm): a Tìm số tự nhiên n cho n 119 là số chính phương 2 2 b Cho các số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn: a b c d Chứng minh a b c d là hợp số Câu 2.(5 điểm): a Giải phương trình: x x 3 x y xy 2 3 b Giải hệ phương trình: x y 2 x y Câu (3 điểm): Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: abc 1 1 P a 2b b 2c c 2a Tìm giá trị lớn biểu thức Câu (6 điểm): Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Trên đoạn thẳng AO lấy điểm H cố định (H không trùng với A, O) Gọi M là điểm di chuyển trên nửa đường tròn Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với MH, đường thẳng này cắt các tiếp tuyến Ax, By C, D a Chứng minh AC.BD = AH.BH b Xác định vị trí điểm M để tam giác CHD có diện tích nhỏ Câu (2 điểm): Cho 121 điểm phân biệt nằm trên các cạnh tam giác có cạnh 6cm Chứng minh có thể vẽ hình tròn đường kính cm chứa ít 11 điểm số các điểm đã cho Hết (2) Họ và tên thí sinh Số báo danh SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP CẤP THCS NĂM HỌC 2014 – 2015 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN – BẢNG B ( Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang) Câu Nội dung Điểm Tìm số tự nhiên n cho n2 + 119 là số chính phương Đặt n2 + 119 = k2 ; k N, k > n 0.5 Suy k2 – n2= 119 => (k-n)(k+n) =119 0.5 Vì k, n là các số nguyên dương và k > n => 0.5 k-n; k+n là các số nguyên dương và k+n > k-n a 2.0đ Câu Mặt khác 119 = 1.7.17 => (k-n)(k+n) =119 4.0đ k= 60 (TM ) n=59 k-n=1 k+n=119 k-n= k+n=17 0.5 k=12 (TM ) k+n=5 => n = 5; 59 0.5 * Vì a,b,c,d N a+b+c+d 4 (1) b 2.0đ Xét a2 +b2 +c2+ d2 –(a+b+c+d) = (a2 –a)+(b2 –b)+(c2 -c)+( d2-d) Từ (1)và (2) => ĐPCM ĐKXĐ x 0.5 0.25 0.25 Đặt a x ; b x ĐK b Câu 5.0đ 0.5 0.5 = a(a-1) + b(b-1) + c(c-1) + d(d-1) 2 Mà a2 +b2 +c2+ d2= 2(a2 +b2) 2=> a+b+c+d 2 (2) x x 3 phương trình trở thành a 2.5đ => a3 a 6a 0 0.5 a b 3 b a 3 0.5 0.5 (a 6)(a 1) 0 a 0 a 1 b 2 (TMĐK) => x -1 =1 => x = (TMĐKXĐ) Vậy pt có nghiệm là x =2 0.5 (3) Câu Nội dung x y xy 2 x y xy 2 xy 2 x y 2 x y ( x y )( x y xy ) 2 x y ( x y )(2 xy ) 2 x y 2b 2.5đ 2 Điểm x2y+ xy2+y = y(x2+xy+1)=0 y 0 x xy 0 0.5 0.5 Với y 0 x 0.5 2 Với x xy 0 x xy 0.5 y 3 y x x 0 có < => PTVN Vậy hệ pt có nghiệm là ( x; y ) ( 2;0);( 2;0) 0.5 0.5 Ta có a 2b (a b) (b 1) 2 ab b 1 a 2b 2( ab b 1) 1 1 ; Tương tự b 2c 2( bc c 1) c 2a 2( ac a 1) 0.5 1 1 P ab b bc c ac a 1 c bc P bc c bc c bc c abc 1 0.5 Câu 3.0đ 0.5 Vì abc=1 P bc c 1 P bc c 0.5 0.5 Dấu “=” xảy a b c 1 Vậy giá tri lớn P là a b c 1 Câu y 6.0đ D x M C A H O B (4) Câu Tứ giác AHMC nội tiếp → Nội dung MCH MAH = Tứ giác BDMH nội tiếp → MDH = MBH Điểm 0,75 4a 3đ → MCH + MDH = MAH + MBH = 900 → CHD = 900 → HCA = DHB (cùng phụ CHA ) 0,75 Mà CAH = HBD = 900 0,75 → ∆ ACH đồng dạng với ∆ BHD => AC BH = AH BD => AC.BD = AH.BH Ta có: SCHD= HC.HD 0,75 0,5 Theo định lý Pitago: HC2= AC2+AH2; HD2= BH2+BD2 → SCHD= ≥ SCHD ≥ = 0,5 0,5 (vì AH BH= AC BD) → SCHD≥ AH BH không đổi Đẳng thức xảy ↔ AC= AH và BD= BH Cách dựng điểm M :Trên tia Ax lấy điểm C cho AC=AH Vẽ 4b 3đ đường tròn đường kính HC cắt nửa đường tròn (O) M Kẻ tia CM 0,5 cắt tia By D Khi đó CMH=90 =>CD MH 0 và ACH 45 AMH 45 HDB 45 => tam giác BHD vuông cân B => DB = BH Vậy GTNN SCHD = AH BH M là giao điểm đường 0,5 tròn đường kính HC với nửa đường tròn (O) (5) Câu Nội dung Điểm A O1 N M O O3 O2 B Câu 2.0đ C P Giả sử tam giác ABC có cạnh 6cm Gọi M,N,P là trung điểm AB, AC, BC => MN, MP, NP chia tam giác ABC thành tam giác 0,5 Gọi O, O1, O2, O3 ;lần lượt là tâm các tam giác MNP, AMN, BMN,CMN 0,5 Từ O, O1, O2, O3 vẽ các đoạn thẳng vuông góc đến các cạnh tam giác MNP, AMN, BMN,CMN (hình vẽ) Khi đó tam giác ABC chia thành 12 tứ giác và tứ giác nội tiếp đường tròn có đường kính và 0,5 O1A 1 (cm) AP= Mà O1A= Mặt khác có 121 điểm thuộc 12 tứ giác trên nên theo dirichle có tứ giác chứa ít => ĐPCM Lưu ý: 121 12 11 ( điểm) - Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tối đa - Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần, không làm tròn 0,5 (6)