Đang tải... (xem toàn văn)
Việc lựa chọn được một cách giải hợp lý , ngắn gọn và rõ ràng, trong sáng, không chỉ dựa vào việc nắm vững kiến thức đã học, mà cần phải hiểu sâu sắc mối liên hệ chặt chẽ giữa các phân m[r]
(1)Xây dựng bài toán từ số đẳng thức quen thuộc Hạ Vũ Anh – THPT Chuyên Vĩnh Phúc Đối với học sinh phổ thông, kỹ làm toán thường thể khả lựa chọn phương pháp giải thích hợp cho bài toán cụ thể Việc lựa chọn cách giải hợp lý , ngắn gọn và rõ ràng, sáng, không dựa vào việc nắm vững kiến thức đã học, mà cần phải hiểu sâu sắc mối liên hệ chặt chẽ các phân môn khác toán học chương trình học, biết áp dụng nó vào việc tìm tòi lời giải cho bài toán đặt Trong việc học toán và làm toán, việc áp dụng phương pháp công cụ lĩnh vực này, phân môn này, để giải vấn đề cho lĩnh vực khác hay phân môn khác đôi khá hiệu Hơn nữa, việc làm này giúp cho người học hiểu rõ vai trò và ý nghĩa phân môn cách sâu sắc và cụ thể Trong bài viết này, chúng tôi xin bàn đến vấn đề xưa trái đất: Hằng đẳng thức, và việc vận dụng chúng vào giải toán nào? Trước hết, xin số bài toán Bài toán Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện abc 1 Xét các số thực x, y , z xác 1 x a , y b và z c a b c định sau 2 Chứng minh x y z xyz 4 (1) (2) Lời giải Ta có 1 1 1 1 1 xyz a b c a b c a b c a b c x y z Suy điều phải chứng minh Vấn đề đặt ra, với ba số thực x, y , z thỏa mãn (2), có hay không các số thực a, b, c : abc 1 thỏa mãn (1)? x y 1 z thỏa mãn (2), không có Câu trả lời đây là không, chẳng hạn a, b, c nào thỏa mãn (1) Và vì vậy, cần thêm điều kiện x, y , z x, y, z : max x , y , z Bài toán 1’ Cho thỏa mãn (2) Chứng minh tồn các số thực a, b, c : abc 1 thỏa mãn (1) Lời giải x u * x 2 u Viết lại Không tính tổng quát, coi Khi đó, tồn u cho 2 (2) dạng z xy z x y 0 Coi đây là phương trình bậc hai biến z Vì (2) phương trình luôn có nghiệm nên y v * v cho v x y 0 suy y 2 Do đó, tồn u v z z uv v u uv Và đó, phương trình có nghiệm v u v a; b; c u; ; z v u , v u , thì chọn Vậy, a; b; c u; v; uv Bài toán giải z uv uv thì chọn Bài toán Cho x, y , z thỏa mãn xyz x y z Chứng minh tồn các số bc ca a b x ,y ,z a b c thực dương a, b, c cho 1 1 xyz x y z x y z Lời giải Viết lại điều kiện dạng 1 a ,b ,c 1 x 1 y z , ta thấy a, b, c và a b c 1 Đặt 1 a b c x a a Hơn nữa, từ cách xác định a suy c a a b y ,z b c (ĐPCM) Tương tự, có Bài toán 2’ Cho x, y, z thỏa mãn xy yz zx xyz 1 Chứng minh tồn a b c x ,y ,z bc ca a b các số thực dương a, b, c cho 2 Bài toán Cho x, y, z : x y z xyz 1 Chứng minh tồn tam giác nhọn (3) ABC cho x cos A, y cos B, z cos C x , y , z 1 Từ đó, để ý hàm số y cos x là hàm số chẵn, suy tồn các góc nhọn A, B, C cho x cos A, y cos B, z cos C Khi đó (3) trở thành cos B cos 2C cos2 A 2cos A cos B cos C 1 2 cos2 A cos( B C ) cos( B C ) cos A cos( B C )cos( B C ) 0 Lời giải Từ giả thiết suy cos A cos( B C ) cos A cos( B C ) 0 (3) Từ đó, A, B, c nhọn, nên thu cos A cos( B C ) và đó A B C Bài toán giải Từ bài toán này, ta thu kết “Các số thực x, y , z thỏa mãn (3) và tồn tam giác nhọn ABC cho x cos A, y cos B, z cos C ” Và sau đây chúng ta xem xét đến ứng dụng kết các bài toán này nào? Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy yz zx xyz 4 Chứng minh Bài toán x y z xy yz zx Lời giải Để ý 2 xy yz zx xy yz zx xy yz zx xyz 4 1 2 2 2 2 xy 2cos A, yz 2 cos B, zx 2cos C suy tồn tam giác nhọn ABC cho 2cos B cos C cos C cos A 2cos A cos B ( x; y; z ) ; ; cos A cos B cos C Giải hệ, thu Và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 2cos B cos C cos C cos A 2cos A cos B cos2 A cos B cos2 C cos A cos B cos C Từ đó, bất đẳng thức điều phải chứng minh mn cos A np cos B pm cos C m n p m, n, p suy Bài toán Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 4abc Chứng minh 1 1 1 3 ab bc ca a b c Lời giải 1 x, y , z b c Đặt a , ta x y y z z x x y z 1 2 2 2 2 2m 2n 2p x ,y ,z n p p m mn Khi đó, tồn các số dương m, n, p cho xy yz zx xyz 4 m n p x y z 2 3 n p p m m n Suy (Do bất đẳng thức Nesbit) Mặt khác, điều kiện bài toán có thể viết lại dạng 2 xy yz zx xy yz zx 2 1 2 2 2 (4) Theo kết bài toán 3, thì tồn tam giác nhọn xy 2cos A, yz 2cos B, zx 2cos C Khi đó ABC cho xy yz zx 2 cos A cos B cos C 3 x; y; z thỏa mãn Bài toán Cho a, b, c Tìm tất các ba số thực dương x y z a b c 2 a x b y c z abc 4 xyz Lời giải Giả sử hệ có nghiệm Phương trình thứ hai hệ viết lại thành 2 a b 2 c a b c 1 2 yz zx xy yz zx xy Do đó, tồn tam giác ABC nhọn cho a 2cos A yz , b 2cos B zx , c 2 cos C xy và Khi đó, phương trình thứ trở thành x 2 z cos B y cos C Coi đây là phương trình bậc hai ẩn y sin C z sin B (*) x y z 2cos A yz 0 x Phương trình này có biệt thức 0 Nhưng phương trình luôn có nghiệm, nên 0 y x z Từ đó, đạt sin A sin B sin C Từ đó và (*), thu bc ca a b x ,y ,z 2 Trên đây, chúng tôi đã trình bày số đẳng thức đặc biệt và vài ứng dụng nó Tuy nhiên, khuôn khổ bài báo, hẳn chúng ta chưa thể thấy hết cái hay nó Sau đây là số câu hỏi và bài tập tương tự, để các thầy, cô đồng nghiệp và các em học sinh tham khảo Câu hỏi Tam giác nhọn tìm bài toán có không? Chứng minh 2 Câu hỏi Từ đẳng thức cos A cos B cos C 2cos A cos B cos C 1 ABC chúng ta xây dựng bài toán 3, với các đẳng thức khác tam giác thì sao? x y z 4 xyz xy yz zx 2( x y z ) Bài tập Tìm tất các ba số dương x, y , z thỏa mãn Bài tập Ký hiệu là tập hợp các số thực dương Tìm tất các x y z xyz 4 x; y; z thỏa mãn x y z 3 (5) Bài tập Cho x, y , z thỏa mãn xy yz zx xyz 4 Chứng minh 1 3 x y z y z x a b c abc a , b , c Bài tập Cho thỏa mãn Chứng minh a b b c c a 0 Bài tập Cho x, y , z thỏa mãn xy yz zx xyz 1 Chứng minh 1 4 x y z x y x Bài tập Chứng minh rằng, với tam giác nhọn ABC có cos2 A cos2 B cos2 B cos2 C cos2 C cos2 A cos2 A cos2 B cos2 C (6)