Sử dụng phương pháp đánh giá giải hệ phương trình đại số – vô tỷ 1.. Biên soạn: Ths..[r]
(1)www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Bài HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÔ TỶ I Hệ phương trình Hệ đối xứng loại I VD 285 Giải các hệ phương trình sau: 2 x + xy + y = a) x + xy + y = { } ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ⋅ x + xy + y = b) 2 x y + y x = ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) ; ( 2;1) ⋅ 1 1 + =− c) x y x2 + y = ĐS: ( x; y ) = {( −1; ) ; ( 2; −1)} ⋅ 2 x + y + x + y = d) x( x + y + 1) + y( y + 1) = ĐS: ( x; y ) = {( ± 3 x + y = e) x + y + xy = ĐS: ( x; y ) = {( 2; ) ; ( 0; )} ⋅ x + x y + y = 17 f) x + xy + y = ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) ; ( 2;1) ⋅ 2 x + y + xy = 13 g) 4 2 x + y + x y = 91 ĐS: ( x; y ) = {( ±3; ±1) ; ( ±1; ±3 )} ⋅ 2 x + y + xy = h) 4 2 x + y + x y = 21 ĐS: ( x; y ) = {( ±1; ±2 ) ; ( ±2; ±1)} ⋅ ĐS: ( x; y ) = {( ±1; ±2 ) ; ( ±2; ±1)} ⋅ x + y + x y = 41 i) 2 xy( x + y ) = 10 VD 286 Giải các hệ phương trình sau: { } } ) 2; ∓ ; (1; −2 ) ; ( −2;1) ⋅ { } 1 x + y + x + y = a) x2 + y + + = x2 y ± ± ĐS: ( x; y ) = 1; ;1 ⋅ ; ( x + y ) + 2 = 49 x y b) ( x + y) + = xy ±3 7 ±3 ĐS: ( x; y ) = −1; ; −1 ⋅ ; 2 ( x + y )(1 + xy) = 18 xy c) 2 2 2 ( x + y )(1 + x y ) = 208 x y ĐS: ( x; y ) = x + y + x + y = xy d) 1 y x x + y + x2 + y = ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ⋅ y x ( x + y ) + = e) x y 2 4 2 ( x + y )( x + y ) = x y ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ⋅ Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 {( 0; ) ; (7 ± { } { } )} 3; ± ⋅ Page - 230 - (2) www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 VD 287 Giải các hệ phương trình sau: x y + y x = a) 2 x y + y x = 20 2( x + y ) = 3( x y + xy ) b) x + y = x + y + xy = c) x + y = x + y − xy = d) x + + y + = x − + y − = xy + e) 1 + =1 y x x − + y − = f) x + y = + ( x − 1)( y − 1) x + y + xy + xy = g) x + y = 2 { } ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) ; ( 4;1) ⋅ { } ĐS: ( x; y ) = ( 64; ) ; ( 8; 64 ) ⋅ ĐS: ( x; y ) = {( 4; )} ⋅ ĐS: ( x; y ) = {( 3; )} ⋅ ĐS: ( x; y ) = {( ± ĐS: ( x; y ) = {( 2; ) ; ( 5; )} ⋅ ĐS: ( x; y ) = {( 2; )} ⋅ 2; ± )} ⋅ Hệ đối xứng loại II VD 288 Giải các hệ phương trình sau: x − x = y a) y − y = x ± 13 ∓ 13 ĐS: ( 0; ) ; ( 7; ) ; ; ⋅ 2 x − xy = 3(2 + y) b) y − xy = 3(2 + x) + 3 − ĐS: ( x; y ) = ( −2; −2 ) ; − ; ⋅ 2 xy + x = + y c) xy + y = + x 2 ( x − 1)( y + 6) = y( x + 1) d) 2 ( y − 1)( x + 6) = x( y + 1) 1 ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) , − ; − , ( a; − a − 1) ⋅ 2 x + = y e) y + = x −1 ± −1 ± ĐS: ( x; y ) = (1;1) , ; ⋅ 2 2 x + y = x f) 2 y + = x y (5 x − y )(3x + y) = y − x g) (5 y − x)(3 y + x) = x − y ĐS: ( x; y ) = ĐS: ( x; y ) = {( 2; ) ; ( 3; ) ; ( 3; ) ; ( 2; )} ⋅ {( ±1; ±1) , ( ± { 2; ∓ )} ⋅ } ĐS: ( x; y ) = ( 0; ) ; ( 1;1) ⋅ 2 (6 x + y )( x + y − 1) = y( x + 1) h) 2 (6 y + x)( x + y − 1) = 5x( y + 1) ĐS: ( x; y ) = ( 0; ) ; ( ±1; ±1) ⋅ x + y − xy − x = i) y + x − yx − y = 9 ĐS: ( x; y ) = ( 0; ) ; ; ; 1; ; ;1 ⋅ 8 Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 { } Page - 231 - (3) www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 VD 289 Giải các hệ phương trình sau: x + − y = a) y + − x = ĐS: ( x; y ) = x + + − y = b) y + + − x = ĐS: ( x; y ) = ( 8; ) x + + y − = c) x − + y + = ĐS: ( x; y ) = (11;11) x +3 +2 x = 3+ y d) y + + y = + x ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) x + + − y = e) y + + − x = 11 11 ĐS: ( x; y ) = ( 3; ) , ; ⋅ 9 2 x + y + y + x = f) x + x + y + y = ĐS: ( x; y ) = 2 x (1 − x )(1 − y ) = x − y g) y (1 − y )(1 − x ) = y − x VD 290 Giải các hệ phương trình sau: {( 0; ) , ( 2; )} − ⋅ −1 ; { } ĐS: ( x; y ) = ( 0; ) ; ( 1;1) ⋅ ( x + y )(3xy − x ) = −2 a) ( x + y )(3xy + y ) = 2 − 1 −1 3 ĐS: ( x; y ) = ; x + y = 4( x − 1) − 16 b) y + x = 4( y − 1) + 16 ĐS: ( x; y ) = ± 3;1 ± x + x + y + + x + y + x + y + + y = 18 c) x + x + y + − x + y + x + y + − y = ĐS: ( x; y ) = ( 4; ) 12 − x =2 y + 3x d) + 12 y = y + 3x ĐS: ( x; y ) = + 3;12 + 2 x + x e) 2 y − x2 1 ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ; ; − ⋅ 2 = =1 + y + y2 ( ĐS: ( x; y ) = 2 x + − x + y − − 34 = x + xy g) 2 y + − x + y − − 34 = y − xy ĐS: ( x; y ) = ( −2; ) Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 ) ( 78 y = 20 x + x + y2 f) y + 78 x = 15 x2 + y ⋅ ) {( 2; 3) ; (18;12 )} ⋅ Page - 232 - (4) www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Hệ đẳng cấp và phương pháp tạo phương trình bậc cao phương trình đẳng cấp VD 291 Giải các hệ phương trình sau: 3 x − xy = 16 a) 2 x − xy − y = ĐS: ( x; y ) = x + xy + y = b) 2 2 x + xy + y = 17 17 ĐS: ( x; y ) = ± ;∓ 17 17 2 x − xy + y = −1 c) 2 x + xy − y = ĐS: ( x; y ) = x − xy + y = d) 2 2 x − 13 xy + 15 y = ĐS: ( x; y ) = ( ±3; ±2 ) , ± ;± ⋅ 2 3 x + xy + y = 11 e) 2 x + xy + y = 17 ĐS: ( x; y ) = ( ±1; ±2 ) ; ± ;∓ ⋅ 3 2 x − xy + y = f) 2 2 x − 13 xy + 15 y = 18 3 ĐS: ( x; y ) = ( ±3; ) ; ± ;± ⋅ 2 {( −2;1) ; ( 2; −1)} ⋅ ⋅ {( ±1; ±1)} ⋅ VD 292 Giải các hệ phương trình sau: 14 x − 21y + 22 x − 39 y = a) 2 35 x + 28 y + 111x − 10 y = ĐS: ( x; y ) = {( 0; ) , ( −3;1)} ⋅ 3 x + xy − y = 38 b) 2 5 x − xy − y = 15 ĐS: ( x; y ) = {( −3; −1) , ( 3;1)} ⋅ 2 2 x − x( y − 1) + y = y c) 2 x + xy − y = x − y ĐS: ( x; y ) = ( 0; ) ; ( ±1;1) ; ; ⋅ 43 43 14 x − 21y − x + 45 y − 14 = d) 2 35 x + 28 y + 41x − 122 y + 56 = ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) , ( −2; ) ⋅ { } VD 293 Giải các hệ phương trình sau: x − xy + y = a) 3 x − x + y = ± 33 −153 ∓ 44 23 ĐS: ( 1; ) ; ; ⋅ 49 xy = x + y + b) 2 x y = 10 y − ĐS: ( x; y ) = ( 3; −1) ; 1; − ⋅ 2 x + y( x + 1) = x c) 5 x − x = y ĐS: ( x; y ) = x ( y + 1)( y + x + 1) = 3x − x + d) x( y + 1) + = x ĐS: ( x; y ) = ( 1; −1) ; −2; − ⋅ x + x y + x y = x + e) x + xy = x + 17 ĐS: ( x; y ) = −4; ⋅ x − y + = f) y + 2( x − 3) x + = − VD 294 Giải các hệ phương trình sau: Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 {( 0; ) ; (1;1) ; ( 2; )} ⋅ 3 ĐS: ( x; y ) = 3; − ⋅ 4 Page - 233 - (5) www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 5 x − y = x − 3xy a) 2 x − x = y − y 1 ĐS: ( x; y ) = ; ; ( −1;1) ⋅ 2 x + y − xy = b) 4 4 x + y = x + y 1 ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) ; ( 1; ) ; ( 1;1) ; ; ⋅ 3 25 25 x − y = x + y c) 2 13x − 41xy + 21y = −9 ĐS: ( x; y ) = x + y = d) 2 x y + xy + y = 1 3 3 ; ĐS: ( x; y ) = ; , ⋅ 2 x − x = y + y e) 2 x − y = 6 ;4 ĐS: ( ±1; −3 ) ; ⋅ 13 13 x + y = y + 16 x f) 2 1 + y = 5(1 + x ) ĐS: ( x; y ) = {( 0; ±2 ) ; (1; −3 ) ; ( −1; )} ⋅ 2 x − y = ( x − y )(2 xy + 3) g) 2 x − xy + y = ĐS: ( x; y) = {( ±2; ±1)} ⋅ 2 ( x + y)( x + y ) = 15 h) y + y = x ĐS: ( x; y ) = {( 2;1) , ( 2 x + y = i) 2 ( x + y )(4 − x y − xy ) = y ĐS: ( x; y ) = {( ±1; ±1)} ⋅ {( 2;1) ; ( −2; −1)} ⋅ )} 3; − 3 ⋅ II Biến đổi phương trình tích số, kết hợp với phương trình còn lại Sử dụng tách, ghép, nhóm và tam thức bậc hai đưa phương trình tích VD 295 Giải các hệ phương trình sau: 2 x + xy + y = a) 2 x − xy − y = − x + y (CĐ – 2014) ĐS: ( x; y ) = xy + x − = b) 2 2 x − x y + x + y − xy − y = (D – 2012) −1 ± ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) , ; ± ⋅ 5 x y − xy + y − 2( x + y) = c) 2 xy( x + y ) + = ( x + y) (A – 2011) 2 ĐS: ( x; y ) = ( ±1; ±1) , ± ;± ⋅ 5 {( ±2; ±1) ; ( 2; −3 ) ; ( −3; )} ⋅ 2 y + xy − x = d) 2 x − xy − y + x + y + = −13 ∓ 157 −13 ± 157 ; ĐS: ⋅ ( 1; −1) , ( 3; −3 ) 2 x + xy − y = 5x − y − e) 2 x + y + x + y = 13 ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) , − ; − ⋅ x + 5x − xy = y − f) 2 4 x y − xy + y = −45 ± 233 ĐS: −3; , ( −1;1) , ; ⋅ 4 2 2 x + x y − xy = y − x − y g) 2 x − xy + x = ± 17 ĐS: ( x; y ) = ( 1; −1) , ;10 ± 17 ⋅ 2 x − xy − xy + y = h) 16 x + x − y + = ± 19 ± 19 ĐS: ( x; y ) = ;1 , ; ⋅ Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 234 - (6) www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 x − 3x + x + y = xy + i) 2 2 y − xy − x + x = y VD 296 Giải các hệ phương trình sau: xy + x + y = x − y a) x y − y x − = x − y y − xy + y = − x + x + b) y + 13 − 15 − x = x + x + y + x − y = + x − y c) x + y = ĐS: ( 3; −4 ) , ( 3; ) , ( −1; ) , − ; ⋅ (D – 2008) ĐS: ( x; y ) = x − y − xy = d) x − − y − = x − x y + xy − y = e) x − y + x + y = x 2 + y = y − x − y f) x + x − 2y = x + 3y − y + ( y − 3) x − y = −3 g) x − + − y = 3 y + + y( x + 1) = y x + y + h) y( y − x) = − y x + y = i) y − 1( x + y − 1) = ( y − 2) x + y x + y = x y + xy j) x − y − + y − 14 = x − 2 x( y + 1) − y( y − 1) = 4+y k) x +y −x= x2 + y 2 xy =1 x + y + x +y l) x + y = x2 − y {( 2; )} ⋅ ĐS: ( x; y) = {(3; −2),(3; 2)} ⋅ ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) HD: ( 1) ⇔ ( ĐS: ( x; y ) = x+ y )( ) x − y = {( 2; ) , ( 32 − 15; − 15 )} ⋅ ĐS: ( x; y ) = ( 12; −2 ) , ; ⋅ ĐS: ( x; y ) = ( 3; ) 415 17 ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) , ; ⋅ 51 ĐS: ( x; y ) = ( −1; ) ( ) ĐS: ( x; y ) = ± 2; ± HD: ( ) ⇔ ( x2 + y − x { ) = } ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) , ( −2; ) x − 3x y − x + y + 16 xy − 16 y = m) x − y + x + y = 3 ĐS: ( x; y ) = ( 8; ) , − − ⋅ ; 3 ( x − y )( x + xy + y + 3) = 3( x + y ) + n) 4 x + + 16 − y = x + ĐS: ( x; y ) = x + y = o) 2 4 x + y = ( x − y ) xy 22 + 22 − ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) , ; ⋅ 25 25 y − xy + y − 3x − = p) x − = ( y + 2015)(5 − y ) + y ĐS: ( x; y ) = ( 4; ) Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 {( 2; ) , ( −1; −3 )} ⋅ Page - 235 - (7) www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 ( x − y )( x + y + y ) = x( y + 1) q) ( y + 2)2 x + 4x = + ĐS: ( x; y) = (2; 3) Liên hợp đưa phương trình tích số VD 297 Giải các hệ phương trình sau: ( x + x + 4)( y + y + 1) = a) 6 y − y + = x + ĐS: ( x; y ) = ( 0; ) ; −1; ⋅ y−3 x+y + x+3 = b) x x+y + x =x+3 ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) x + y − − x + y − = y − x − c) 2 x + y − xy + x − y = x + y + = y + x + + d) 2 x + x + 11( y + 1) + + x − y − = 5x + ĐS: ( x; y ) = ( 2; ) ± 13 −1 ± 13 ; ĐS: ( x; y ) = ⋅ x + y + + = 4( x + y )2 + 3( x + y) e) x + y + 2x − y = 2 1 ĐS: ( x; y ) = ; − ⋅ 3 6 x + x + y + = x y + y + f) ( x + y − 1) y + = 10 ĐS: ( x; y ) = ( 3; ) x + y + x − y + x y = x + y + y x g) 2 2(1 − y) x + y − = y − x − ĐS: ( x; y ) = xy − ( x − y)( xy − 2) + x = y + y h) ( x + 1) y + xy + x(1 − x) = ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) x + + x − − y + = y i) 2 x + x( y − 1) + y − y + = ( ) − 1; − { } (A – 2013) ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) ; ( 2;1) (1 − y ) x − y + x = + ( x − y − 1) y + 5 − j) (B.14) ĐS: ( x; y ) = ( 3;1) ; ; ⋅ 2 y − 3x + y + = x − y − x − y − (1 − y ) x + y + x + y = + ( x + y − 4) y k) x − 2y − x + = x− y−7 ĐS: ( x ; y ) = ( 3;1) ( x + 1) y + ( x − y + 1) y + x + = y + y l) 3x − − y = x − y − 3 5 ĐS: ( x; y ) = ; ⋅ 2 2 x + 2( y − 1)( x − y ) + xy = y m) x(2 x + y − 5) + y( y − 3) + = 3 ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ; ; ⋅ 5 x + (4 x − 9)( x − y) + xy = y n) 4 ( x + 2)( y + x) = 3( x + 3) ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 236 - (8) www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 x( x + y ) + x + y = y − y o) 2 x y − x + x + y − = xy − x + ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) x + y + 2 x − xy + y = x + y + xy p) x + y + x − y = x − y + ĐS: ( x; y ) = ( 2; ) ( x + 1) y + y + + ( y − 1) x + x + = x + y q) 2 ( x + x) x − y + = x + x + y + 1 ĐS: ( x; y ) = ; − ; ; − ; ( −1; −2 ) ⋅ 2 8 ( x − y − 1) x + = x − y + (1 − x) x − y r) x + 2y + x + y + = − x + x + y ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) x + y = s) x + + y + = ĐS: ( x; y ) = ( 2; ) VD 298 Giải các hệ phương trình sau: y x −x−y = x−y a) 2 2( x + y ) − x − = 11 5 3 ĐS: ( x; y ) = ; ⋅ 2 2 3 y2 2 x + x + y + xy = x + xy + b) ( x − 1) x + − x + x − y + y − + x − y ĐS: ( x; y ) = ( 2; ) x + y + x − 12 xy + y = x + y + xy c) ( y + 1) x + + 2( x + 5) y + = y + 14 x + 13 ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) x − x + = y − − y d) x + 16( y − x) + y = xy ĐS: ( x; y ) = ( 6; ) y + y − y + x + = x + x + + e) 2 3 y − x − y + 3x + = 25 ĐS: ( x; y ) = ( −1; −1) ; − ; ⋅ 23 23 { } 2( x + y ) + 2(5x − y) − 4( xy − 3) + x + = y f) ĐS: ( x; y ) = ( 2; ) y − 4( x + y ) + 17 − x − y + = ( x − y + 2) x + = y g) (4 − x + 1) x + = y − + − x ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) ; − ; ⋅ 5 x + y + xy − x + y − = h) x + + x + = y − y + y − ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) ( x + y) x − y + = x + y + i) ( x − y ) x − y + = ( x + y + 1) x + y − 5 1 ĐS: ( x; y ) = ; ⋅ 2 2 x = y + + y − x − j) (8 y − x + 9) x + 21 + 16 x − 12 x + x = 21 ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 237 - (9) www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Đưa tích số dựa vào phương pháp cộng VD 299 Giải các hệ phương trình sau: 2 x + y = a) 4 x + x − 57 = − y(3 x + 1) 25 11 ĐS: ( x; y ) = ; ; ; ⋅ 5 25 2 14 x − 21y − x + 45 y − 14 = b) 2 35 x + 28 y + 41x − 122 y + 56 = ĐS: ( x; y ) = {( −2; ) ; (1; )} ⋅ xy − x = 2( y + 8) c) 2 x + y − x − y = 33 ĐS: ( x; y ) = {( −3 ± 2 x + xy + x + y = d) 2 x + xy + y + x = 3 ĐS: ( 0; ) ; − ; − ; −3 ± 2; ∓ ⋅ 5 )} 3; −2 ∓ ⋅ ( ) VD 300 Giải các hệ phương trình sau: 3 x − y = 35 a) 2 2 x + y = x − y ĐS: ( x; y ) = {( 2; −3 ) ; ( 3; −2 )} ⋅ 3 x − y = b) 2 2 x + y − x + y = ĐS: ( x; y ) = {( 2; −1) ; (1; −2 )} ⋅ 3 x + y = 91 c) 2 4 x + y = 16 x + y ĐS: ( x; y ) = {( 3; ) ; ( 4; )} ⋅ 3 x − y − y = d) 2 x + y = x − y ± 33 −9 ± 33 ; ĐS: ( x; y ) = ⋅ 4 VD 301 Giải các hệ phương trình sau: x y + x − x + = a) 2 x y − x + y = ĐS: ( x; y ) = ( 1; −1) x + xy = xy − x − 49 b) 2 x − xy + y = 10 y − 25x − ĐS: ( x; y ) = 2( x + y )(25 − xy ) = x + 17 y + 105 c) 2 x + y + x − y = ĐS: ( x; y ) = ( 2;1) 6 x y + y + 35 = d) 2 5 x + y + xy + 5x + 13 y = 5 ĐS: ( x; y ) = ± ; − ⋅ 2 x + xy = −49 e) 2 x − xy + y = y − 17 x VD 302 Giải các hệ phương trình sau: ĐS: ( x; y ) = {( −1; ) ; ( −1; )} {( −1; −4 ) ; ( −1; )} x y + x + y − = a) 2 x y − xy − y + y − x + = ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) ; ( 1; ) ⋅ 3 x + xy − x − y − y = b) 2 x − 20 x − x y − 20 y = ĐS: ( x; y ) = x − xy + x + y = c) 2 x − x y + x + y = ĐS: ( x; y ) = ( 0; ) ; ( 2; ) ; ( 1; ) ⋅ Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 { } {( 0; ) ; ( 2; −1) ; (10;15 )} ⋅ { } Page - 238 - (10) www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 III Đặt ẩn phụ giải hệ phương trình đại số – vô tỷ Loại Đặt hai ẩn đưa phương trình đẳng cấp VD 303 Giải các hệ phương trình sau: x + y + x − y = y a) x + y = x − = y y + b) 2 22( y − 1) = ( x + 9)( x + y ) ( x + y + 3) xy + y = y(8 y + 3x + 9) c) − x + x − 24 y + 417 = ( y + 3) y − + y + 17 4 ĐS: ( x; y ) = 1; ⋅ 5 ĐS: ( x; y ) = {( − )( 2; ; )} 2;0 ⋅ ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) x + = ( y + 1)(3 y − x) d) x+5 = xy − y − 3y − − ĐS: ( x; y ) = ( 3; ) xy 2 = 16 x + y + x +y e) x + 2x = x + x − y 8y 3y 24 ĐS: ( x; y ) = ; ; ( −8;12 ) ⋅ 7 Loại Đặt ẩn phụ dạng tổng – hiệu a = x + y ; b = x − y VD 304 Giải các hệ phương trình sau: 2 x + x − y = a) 2 2( x + y ) = ĐS: ( x; y ) = ; − ; ; ⋅ 2 2 x + x + − y = b) 2 x + xy + y = ĐS: ( x; y ) = 2 x + y − xy = c) 2 x + x + = y + y − 3 ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) ; ; ⋅ 3 2 =7 4 xy + 4( x + y ) + + x y)2 ( d) 2 x + = x+y ĐS: ( x; y) = (1; 0) = 13 8( x + y ) + xy + ( x + y )2 e) 2 x + = x+y ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) (4 x − xy + y − 51)( x − y)2 + = f) (2 x − 7)( x − y) + = 5± 5∓ ĐS: ( x; y ) = ; ⋅ xy + y x − y x+y x−y = + 14 2 g) 3 x−y x+y + =9 ĐS: ( x; y ) = ( 5; ) Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 {( −3; ) ; (1; )} ⋅ Page - 239 - (11) www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 xy =1 ( x − y ) + x+y h) 3x + y + x = (3x + y − 6)2 + x + y ) 13 + 29 −9 − 29 ĐS: ; − ; ; ⋅ 4 2 1 1 Loại Đặt ẩn phụ dạng a = x + ; b = y + a = x + ; b = y + ⋅ x y y x VD 305 Giải các hệ phương trình sau: x2 + y xy + + =5 xy xy a) ( x + y) + = xy ± ± ĐS: ( x; y ) = 1; ;1 ⋅ ; ( x + y )(1 + xy) = 18 xy b) 2 2 2 ( x + y )(1 + x y ) = 208 x y ± 3; ± ; ± 3; ± ĐS: ⋅ ( 0; ) 2 x − y − xy = xy(1 − x) c) + + ( x y ) = 12 xy ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ( x + y ) + =8 d) xy xy(2 x + y − 6) + y + x = ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) 125 ( x + y ) + = xy e) 25 = ( x + y ) + xy 1 ĐS: ( x; y ) = ( 2; ) ; ; ⋅ 2 ( )( ) Loại Chia để xác định lượng đặt ẩn phụ xy + x + = y a) 2 x y + xy + = 13 y 2 x + y + xy = x − b) 4 ( x + xy ) + ( y + 2) = 17 x 3 1 + x y = 19 x c) 2 y + xy = −6 x 2 x + y + xy + = y d) 2 y( x + y) = x + y + x − y x + y = y − e) x ( x + y − 2) + x = y + ĐS: ( x; y ) = ( 3;1) ; 1; ⋅ x y + y + 16 = 11xy f) 2 x + y + 12 y = 3xy ± 17 ± 17 ĐS: ( 4; ) ; ( −2; −1) ; ; 2 xy + x + + x + x − x = g) xy + x + = x( xy + + 3) 7 ĐS: ( x; y) = 3; ⋅ 3 Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 { } ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) ; ( 3; −2 ) ; ( 2; ) ; ( 3; −1) ⋅ ĐS: ( x; y ) = ; −2 ; − ; ⋅ { } ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) ; ( −2; ) ⋅ −3 ± 53 11 ∓ 53 ĐS: ( x; y ) = ; ⋅ 2 ⋅ Page - 240 - (12) www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 (2 x + y − 1)( x + + xy + x ) = x h) ( x + + xy ) + xy = x(6 − x) ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) x5 y ( x − 1) + = x +2 i) x y − xy x − 3 y − x = x + 3y ⋅ ĐS: ( x; y ) = − − ; − − Loại Liên hợp để tìm phép đặt ẩn phụ x2 + + y + + x + y = a) x + + y + − x − y = 17 13 ĐS: ( x; y ) = ; ; ; ⋅ 20 20 x + y = b) x + + y + = ĐS: ( x; y ) = ( 2; ) x y + + y x + = xy c) x x + + y y + = x + y + 15 30 ; ĐS: ( x; y ) = 1; ; ⋅ 15 15 x2 2 +2 x +1+ y = y d) y x + + y2 = x x + + ĐS: ( x; y ) = ( 0; −1) Loại Dựa vào định lý đảo Viét để tìm cách đặt ẩn phụ x + y + xy + y = a) xy( y + xy + x + y ) = 12 ( x; y ) = ( 2;1) ; ( −3;1) ; ± ; ĐS: ⋅ ( x; y ) = ± 3; ; ± 17 2 x + xy + y = b) x + x y + x ( y + 1) + xy + y = ĐS: ( x; y ) = ± 2; ±1 ± y3 =2 x + xy + y + x + x+1 c) 2 x + y + y = x+1 ±1 ± 17 ∓1 ± 17 ĐS: ( 0;1) ; ( 1; ) ; ; ⋅ 4 y + x + xy − y + = d) 2 y x − y + x y + x = ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) x + xy + y = y − e) 2 x + x y = x − x + −1 ± 5 ∓ ; ĐS: ( x; y ) = ⋅ 2 2 x + xy = f) x xy = 1+ 2(1 − x)2 2(1 − x) −1 ± ĐS: ( x; y ) = ;2⋅ ( ( ) ) ( ) Loại Biến đổi để xác định lượng đặt ẩn phụ x + y + x + y = a) x + y + x + y = Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 −9 ĐS: ( x; y ) = − 5; ⋅ Page - 241 - (13) www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 x + y − x + y = b) 2 x + y − x + = 56 13 ĐS: ( x; y ) = ; ⋅ 5 (2 x − y + 2)(2 x + y) + x − y + = c) x + + y − = 3 ĐS: ( x; y ) = ; ⋅ 2 x+ + x+y−3 =3 y d) 2 x + y + = y ĐS: x y + xy = + x e) 2 x ( x y − y + y) = + x ( x − 1)( y − 1)( x + y − 2) = f) 2 x + y − x − y − = {( ± } ) 10; ∓ 10 ; ( 5; −1) ; ( 3;1) ⋅ ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) ĐS: ( x; y ) = {( 2; ) ; ( 3; )} ⋅ 2 ( x + x)( y + y ) = g) 2 x ( y + 1) + y( x + x + 1) = −1 ± −1 ± ĐS: ( x; y ) = ; ⋅ 2 x + y − = h) x + x + y + 2( x + 1) y − = 29 ĐS: ( x; y ) = x y − − = 18 y x i) y 2x 9x + x + y + y = 1 1 ĐS: ( x; y ) = ; ⋅ 9 3 xy + x + y = j) 1 x2 + x + y + y = ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ; ( −3; −3 ) ⋅ x y + =1 k) y + x + 2 1 + xy = x + y ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) ; ( 0;1) ⋅ x y 1 = + −1 + − y x xy x y l) 2 x + y = x − xy + y x + y + xy ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) 2 x − x + y − 2.y = −9 m) 2 2.x y + x + 2.y = 22 2 ĐS: ( x; y) = ±2; ; ± 2; ⋅ 2( x − 1) x+y−2 + x+y =3 n) ( x + y) x − y + = x + y − ĐS: ( x; y ) = ( 4; ) ; ; ⋅ 2 5 y( xy − 1) = 2( y + 1) o) 2 x( xy − 1) = x + x − xy − y = p) 2 y( xy − y + y − xy ) = Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 {( 2;17 ) ; ( 3;10 )} ⋅ { { } } ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) 3 2 ĐS: ( x; y ) = ; ⋅ 2 Page - 242 - (14) www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 IV Sử dụng phương pháp đánh giá giải hệ phương trình đại số – vô tỷ Sử dụng phương pháp hàm số VD 306 Giải các hệ phương trình sau: ( x + + x)( y + + y) = a) 3x2 + x − 2 x = + y y2 1± 1± ĐS: ( x; y ) = ; ⋅ 3 8 x + y = y + x + b) 2 (3 x + + x )( y + + y ) = ĐS: ( x; y ) = ( 1; −3 ) x − 3x + x − = y + y c) x − + y + = ĐS: ( x; y ) = ( 4; ) x + y = x − x − y + d) 2 x + y − x + y − 10 = y + − x + y ĐS: ( x; y ) = ( 5; −4 ) x − 3x + = y + y e) 3 x − = y + y ĐS: ( x; y ) = ( 3;1) x − y + y − 3x = f) 2 x + − x − y − y + = ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) x − y + 3x + x − y + = g) 2 − x − 3 + y − y − x + = ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) x − 3x − x + 22 = y + y − y h) 2 x + y − x + y = ĐS: ( x; y ) = ; − ; ; − ⋅ 2 2 (A – 2012) x − y + y − 3x − = i) 2 x + − x − y − y + = VD 307 Giải các hệ phương trình sau: (2 x + 2) x − = y + y a) y − xy + = x − y 2x − x2 = − y2 + 2x − b) x − 3x + + ( y + 2) − y = (4 x + 1) x + ( y − 3) − y = c) 2 x + y + − x = ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) ( ) ĐS: ( x; y ) = + 2;1 + { } ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ; ( 1; −1) ⋅ (A – 2010) 1 ĐS: ( x; y ) = ; ⋅ 2 2 y + 12 y + 25 y + 18 = (2 x + 9) x + d) 2 3x + + x − 14 x − = − y − y ĐS: ( x; y ) = ( 5;1) x + x + ( x − y + 6) x − y + = e) 8 x − x − x = y − 1 ĐS: ( x; y ) = 1; ⋅ 2 2 y + y + x − x = − x f) 2 − y = x + y − ĐS: ( x; y ) = − 2; ± Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 ( ) Page - 243 - (15) www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 ( x + 1) x + + x + = y + y + y + g) 2 x + x + x − y − 14 y + 19 = 3 9( y + 1) ĐS: ( x; y ) = 1; − (23 − 3x) − x = (20 − y ) − y h) x + y + − −3x + y + = −3 x + 14 x + ĐS: ( x; y ) = ( 5; ) x + x = − y i) (15 − x) − x − (4 y + 9) y + = ĐS: ( x; y ) = ( 1;1)( −1; ) ; −2; ⋅ (53 − 5x) 10 − x + (5 y − 48) − y = j) x − y + + x − x − 66 = y − x + 11 ĐS: ( x; y ) = ( 9; ) (4 x + 2)(1 + x + x + 1) + y(2 + y + 3) = k) 4 x − y + + − y = 1 ĐS: ( x; y ) = −1; ⋅ 3 2 (18 x + 9) x + x + = y y + 27 l) (2 y + 3)2 = 24 x (2 y − 9) 45 ± 24 ĐS: ( x; y ) = ± 3; ⋅ VD 308 Giải các hệ phương trình sau: y = 2( x + x − y) a) y( y − x − 2) = − x ( ) ĐS: ( x; y) = ; ,(2 + 3;1 + 3) ⋅ x + + y − + x − y = b) 2 x − y + = 2( y − x + − x) ĐS: ( x; y ) = ( 3; ) x+ y +3 y −7 x = c) 2 (2 y − 1) − y xy = (2 x − 1) − x xy ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) ; ( 1; ) ⋅ 2 y + − 2( x + y ) = x − y − d) 3 y − x + − y − = x + ĐS: ( x; y ) = ( 4; ) x + + x − − y + = y e) 2 x + x ( y − 1) + y − y + = (A – 2013) { } { } ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) ; ( 2;1) ⋅ x + + x − − y + = y f) 2 x + x( y − 2) + y − y + = ĐS: ( x; y ) = x + y = x − y + g) 2 x − x − + x x + = 2( y + 1) y + y + ĐS: ( x; y ) = ( −1; −2 ) ; ; ⋅ 3 x = ( y − 1)( y + 2) + h) 2 2 xy( xy − 1) + x y = ( x + 1)( x + x + 1) ± 13 −1 ± 13 ĐS: ( x; y ) = ( −1; ) ; ; ⋅ 2 {( 2; ) ; ( 3;1)} ⋅ x − y − 3x + 12 y + x − 12 y = y − − x − 3+2 ;3 + 2 ⋅ i) ĐS: ( x; y ) = 2 (2 xy + 1) x = y x + y + VD 309 Giải các hệ phương trình sau: x + xy = y + y a) 3x + + y + = ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ; 33; − 33 ; 33; 33 ⋅ 2 x y + y = x6 + x b) ( x + 2) y + = ( x + 1) ĐS: ( x; y ) = Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 { {( ( )( )( )} )} 3; ; − 3; ⋅ Page - 244 - (16) www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 x11 + xy 10 = y 22 + y12 c) 4 2 7 y + 13 x + = y x(3x + y − 1) 16 + 89 ĐS: ( x; y ) = ⋅ ;± 89 − y (3 x − x − 23) + y = d) y ( x + 10 x + 27) − y = x+y x (1 + x) = y e) 3 x − + x − y = y 2 ĐS: ( x; y ) = 2; ⋅ 3 ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) ; ;1 ⋅ y (4 x + 1) + 2( y + 1) y = f) 2 y x(2 + x + 1) = y + y + 1 ĐS: ( x; y ) = ;1 ⋅ 2 x x + y + y = x + x + x g) x + x + x − + y( x − 1) = 4, 25 25 ĐS: ( x; y ) = ; ⋅ 16 16 4 + x2 y − = 3x + − 2x y + − x2 h) 2 x y − x = x + x − x y y + 2 x − x + x − = x (2 − y) − y i) x + = 14 − x − y + ĐS: ( x; y ) = − ; − ; ( 0; y ) , ∀y ∈ ℝ ⋅ 111 ĐS: ( x; y ) = 7; ⋅ 98 x3 = ( y + 2) ( x + 1)( y + 1) x + j) x+1 x y + − 2x + x + = 1+ ĐS: ( x; y ) = ;0⋅ x2 + 2 x + = (4 x − yx ) − y + x k) 3 − − 2y = 2x + x + x + 2x + −1 3+ ; ĐS: ( x; y ) = ⋅ 2 2( x − y ) + ⋅ 1 + = x + xy + y − x y − 2( ) l) 2 x y xy + + = 3 10 VD 310 Giải các hệ phương trình sau: ĐS: ( x; y ) = {( −1; −2 ) ; ( 2;1)} ⋅ 3x + x + 3y + = y − y + a) x+1 9y − + x + 2y + = 2y + ĐS: ( x; y ) = {( 8; 3) , ( 3; )} ⋅ + 4y2 + 1 = b) x + x − x + y( x − 1)2 2 y x − − x − y + x − = 1 ĐS: ( x; y ) = 2; ⋅ 2 2 y − y − + = x c) x + + xy y + = ĐS: ( x; y ) = − ; ; − ;1 ⋅ 2( x − 2) x + = − y d) ( x − 2) y + = x − x + y + ĐS: ( x; y ) = ( 3; ) Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 245 - (17) www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 2x + x2 + x + = y2 + 2y e) ĐS: ( x; y) = 19 ( y − 1) − 30 = ( y − 1) − x + 11 3x − + 2 {( 2; 5) ; ( 3; )} 2 x + y + + x + 12 y + = (8 y − y ) + y + 5 ĐS: ( x; y ) = ( 0; ) ; ( 1;1) ⋅ f) (2 x − 1) x + y = (6 − x − y) − x { } ( x + y) x − x + + ( x − 2) x + xy + y + = ± 10 ∓ 10 g) ĐS: ( x; y ) = ( 2; ) ; ; ⋅ 2 2 x − y( x − y ) = 2(1 − x + y ) VD 311 Giải các hệ phương trình sau: x + x − x + = y + y + a) ĐS: ( x; y ) = ; ; ; ⋅ 2 2 4 x − y − 3x + y + = x − x − + x x + = 2( y + 1) y + y + b) ĐS: ( x; y ) = ( −1; −2 ) ; ; ⋅ 2 3 x + y = x − y + y + y + y + x − 22 x + 21 = (2 x + 1) x − ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) ; ( 5; ) ⋅ c) x − 11x + = y 16 y + = 85 − x 5 d) ĐS: ( x; y ) = ; ⋅ 2 16( x − y) + x(3 − x) = y + + 21 5 y + 24 y + 18 + 2 + y + x + − x = e) ĐS: ( x; y ) = ± 5; −1 ± ⋅ x − y − = y − 17 xy + = y x + f) ĐS: ( x; y ) = − ;1 ⋅ 2 y + 2( x + 1) x + x + = x − x ( x + − 3x y + 2)( y + + 1) = x y 1 g) ĐS: ( x; y ) = 4; ⋅ 8 x y − x + = { } Sử dụng phương pháp bất đẳng thức VD 312 Giải các hệ phương trình sau: x xy + x + y = x y a) y + x = −2 x + 14 y − ĐS: x = y = x − y + y − x = b) 2 x y − xy + y − x − y = 2 ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) , ; ⋅ 5 4 x4 − x2 y + y + − = c) x y + = 2 1− y (1 − x )(1 − y ) 1− x 2 ĐS: ( x; y ) = ; ⋅ 2 (12 − y) x + y(12 − x ) = 12 d) 3x − + 19 x − 30 = 35 − y − x ĐS: ( x; y ) = ( 3; ) x 12 − y + y(12 − x ) = 12 e) x − x − = y − ĐS: ( x; y ) = ( 3; ) Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 (A – 2014) 19 + 37 − 13 ;x = y = ⋅ 18 Page - 246 - (18) www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 5x + xy + y + x + xy + y = 3( x + y ) f) x + y + + x + 12 y + = xy + y + ĐS: ( x; y ) = ( 0; ) ; ( 1;1) ⋅ x + xy + y + y + xy + x = 2( x + y ) g) (8 y − 6) x − = (2 + x − 2)( y + y − + 3) 22 22 ĐS: ( x; y ) = ( 2; ) ; ; ⋅ 9 x2 + y x + xy + y + = x+ y h) x xy + x + = xy − x − ĐS: ( x; y ) = ( 3; ) x2 + y x + xy + y + = 2x + y i) 5 x + − x + = ĐS: ( x; y ) = ( 3; ) x xy y + = + + 1 y x j) xy + 3x − + 19 x − 30 = x − x + 11 ĐS: ( x; y ) = y + x + x = ( x + 2)( y + + − x ) k) 1 =2 + ( x + y ) + + 3 x y x y ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) xy + y x − + 12 y = l) xy x + y + xy + y = x+ y 1 ĐS: ( x; y ) = 10; ⋅ 10 1 + = 2 + xy + 2y m) + x x(1 − x) + y(1 − y ) = (VMO – 09) { } {( 2; ) ; ( 3; )} ⋅ ± 73 ± 73 ĐS: ( x; y ) = ; ⋅ 36 36 ( x + y ) x + ( y + x) y = xy( x + y ) n) 2(1 − y) x + x − = y − x − ĐS: ( x; y ) = ( x + 1) x + + x + = y + y + y + o) 2 x + x + x − y − 14 y + 19 = 3 9( y + 1) ĐS: ( x; y ) = 1; − y − ( x + 4) y + y + x − x = p) − x + x + y + = 4( x − 1)2 + y − VD 313 Giải các hệ phương trình sau: ( − 1; − ) ( ) 1 1 ĐS: ( x; y ) = ; ⋅ 2 4 − (1 − x y)2 = x + y + a) + ( x − y)2 = x y + x − x6 ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) xy = x2 + y x + x x − + b) xy y + = y2 + x y − 2y + ĐS: ( x; y ) = ( 0; ) ; ( 1;1) ⋅ Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 { } Page - 247 - (19) www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 y 1 x + xy + = y x x c) ( x − 1) y + x( y − 1) = ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ( x − 1) y + ( y − 1) x = xy d) x y − + y x − = xy ĐS: ( x; y ) = ( 2; ) x2 y2 + = e) ( y + 1)2 ( x + 1)2 x + y + = xy 1 ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ; − ; − ⋅ 3 x + x − = − y − y − f) 6 x − y − 11 + 10 − x − x = ĐS: ( x; y ) = ( 1; −3 ) 2 x + y + y + − y = x + g) y + y − y − = x − x + ĐS: ( x; y ) = ( −1;1) 2 − x + − = 1+ y x h) x + = 2 − y ( ) x ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) x + − x − y = 2 i) x + − x + 2 y = + ĐS: ( x; y ) = 2; ( ) BÀI TẬP RÈN LUYỆN TỔNG HỢP HỆ PHƯƠNG TRÌNH BT 448 Giải các hệ phương trình sau: x − xy + x + y = a) 2 x − x y + x + y = x + y + xy + y + x = c) 2 2 x − y − y − = 8 x − + xy = y 12 x + y e) 2 x + y − x x + y − x − = 14 x + y − x − y = g) 2 x + + x − y = x ( x + y + 1) − = i) ( x + y ) − + = x ( ( ) ( )( x + y = k) 2 x y + xy + y = x + y = xy + y m) 2 2 x + 3xy = y + 3x y BT 449 Giải các hệ phương trình sau: 2 2 y + xy − x = a) 2 x − xy − y + x + y + = Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 ) ) x + xy + 49 = b) 2 x − xy + y = y − 17 x 2 x y + 3xy = x + y d) 7 y + = x + x x − x − y − = f) 2 y + x + y x − y x = x + y − x + y = h) 2 x + y − x + = 16 x y − y = ( xy − y ) xy + j) 2 2 x y − xy + y = ( ) x − y = x + y l) 2 13x − 41xy + 21y = −9 x − xy + y = n) 4 4 x − y = x − y x + y − 3xy + x − y = b) 2 x − y + y − = Page - 248 - (20) www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 2 x + x y − xy = y − x − y c) 2 x − xy + x = x + y + x − y = + x − y e) x + y = x − y + xy + x − y = d) 3 2 x − y + x y + y = −1 2 x − xy − xy + y = g) 16 x + x − y + = x − x + x + y = xy + i) 2 2 y − 3xy − x + x = y y + ( y − ) x − y = −3 k) x − + − y = y2 + y2 − x = 2x − m) x y + + 2x − = 2 x + xy − y = 5x − y − h) 2 x + y + x + y = x + 5x − xy = y − j) 2 4 x y − xy + y = x + y + y = x y + xy + x l) 2 x − y − + y − x − = 2 xy − y + x + y = o) − x + − y = x − y − xy = q) x − − y − = x + y = x y + xy p) 2 x − y − + y − 14 = x − 9 x + 24 y − xy + y = 16 − x + 24 y s) 8 y + y + 20 y − y + + 15 = x 6x − = 3x − y + y u) y 2 3x + 3x − y = 6x + y − BT 450 Giải các hệ phương trình sau: 1 x + y = a) + + + = 18 x y x y 4 x + xy + y + x + y = f) 8 − x + y − = x + y = n) y − ( x + y − 1) = ( y − ) x + y 2 x − 3x y − x + y + 16 xy − 16 y = r) x − y + x + y = x + y + xy = t) 2 x + y = x + y + 14 y 12 = + x − y − x v) x y + + y = x2 − x − 85 2 = x + xy + y + (x + y) b) x + = 13 x+y ( ) 13 2 x + y = c) 3 y x + x = 35 + =0 x + y + xy − (x − y) d) 2 y − + = x−y x + y + 3xy + = e) x − y + 18 =9 x−y ( x + y) ( x + y ) + =4 xy f) x + y =1 x2 + y + x2 + y g) 3 x +y xy + xy = h) ( x + y ) + = xy ( ( ) 1 + =8 xy ) 1 + = 16 xy Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 249 - (21) www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 4 x − y = y − x k) x2 − y + = ( x − y )2 x + xy + y − 20 + = j) 2 x − x − xy + y = x + y + 2 = 16 x y l) y x2 + = 2x y2 + 2 x y + y x + y + x = xy m) y x xy + xy + x + y = x ( x + y + 1) − = n) ( x + y ) − + = x x ( y − ) = −8 i) x y + = −6 ( ( ) ( ( ) ( t) ( ( x ) ( ) x y + = 16 y r) x ( xy + ) = y )( ) − x + x + y − y = 16 y 2 x y − xy + y − 10 y + = 27 x y − y = −125 x) 2 45 x y − y + 75 x = y + xy + y − x = z) 2 y + xy + x + y = BT 451 Giải các hệ phương trình sau: x + y + x + y = a) x + y + x − y = x − y + 3x − y = c) 2 3x − y + x + y = 2 x y (1 + y ) + x y ( + y ) + xy = 30 e) 2 x y + x + y + y + y − 11 = ( ) x + + y + xy = y p) y x + y − = + x2 ) ) ( 45 x2 + y + = xy o) ( x + y ) + xy = x + + y ( y + x ) = y q) x + ( y + x − ) = y ) ) ( x + 1)2 ( y + 1)2 = −9 xy v) 2 x + y + = −10 xy ( )( ) x + xy − 3x + y = y) 2 x + 3x y − 5x + y = x + y + x + y = w) x + y + x − y = 11x − y − y − x = b) 7 y − x + y − 26 x = 2 x − y + − x + y = d) 3 − x + y − x − y − = x + y = f) x + + y + = ( xy + )2 + ( x + y )2 = g) x y + =− x + y + x + x − 5x + y − x = 11 h) y − − = x2 + x y − x − xy + x + y − = x − + x − y i) 4 x x − = 17 − y 8 x + 3x − 13x − 15 = − y y k) y + = y x2 + x + x y + x + y − 22 = j) 2 x − x + y − y + = x y + xy + x − 12 y − 24 = m) 3 2 x − y = x + y + xy + ( x − y − ) ( x − y )2 = − x y n) x ( xy + y + 1) = y ( xy + 1) + ( ( ) ) Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 ( x − 1) x + y = ( − x − y ) − x l) 2 12 x + 3xy − 18 x = x − x − y + Page - 250 - (22) www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 xy − x − y = o) 3 4 x − 12 x + x = − y + y + x + x y − xy + xy − y = q) x + y − xy ( x − 1) = 1 1 x + x + + = y y q) x + x + = − x3 y2 y y3 2y + =1 2 x + y −1 x r) x2 + y − x = y x − − y + 2 x − = −8 s) y + y x − + x = 13 x − y + 3x + y + ( x − y ) = t) ( x + 1)( y − 1)( x − y + ) = x + y + x − y = 12 u) y x − y = 12 12 x + y − xy = 16 v) x + + y + = x + y + x y + xy + xy = − x) x + y + xy (1 + x ) = − − x 3 + xy + = y x y) ( xy + ) + = y + x x 46 − y ( + x + y ) = x + w) x + y + x + y = ( ) x + xy = 25 z) 2 x + xy + y = 10 x + y − BT 452 Giải các hệ phương trình sau: 3x = x2 + y − x y + y a) x − + 3x = x − y ) ( y x y − = 2 12 1− y 1− x b) 35 + = − y2 12 1− x 2y3 y3 = − + x x y x2 10 c) 22 x x3 + y6 x + = x3 + y6 x + y + xy = d) y + + x2 + = y2 x2 3x − y + 3x + y = 2 x − y e) xy x2 + y + + xy − 2 x − y2 x − y ( ) ( ) ( 3 − 4y 2x + 8y = x +x g) 2y x3 − y = x(4 x − 1) 2 x + y x − x + y x + y + = i) 3 y − x + = ( ) ( ) x + y + + x + 10 y + 11 = 10 k) 12 x + 13 y + 14 + 28 x + 29 y + 30 = 20 x + y + xy = m) 3x − xy + y + + = ( x − y ) ( Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 ) ) ( x + y ) + =5 xy f) = 35 x + y + x y = 49 ( ) 1 + =1 x y h) x − + y − = xy + 2 y + y − x + = xy + x − j) 3 x − x y = y − 2 y + = x − y l) x + y + x − y = y 2 x − y + = n) 4 y + ( x − ) x + + = Page - 251 - (23) www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 BT 453 Giải các hệ phương trình sau: x + + x2 y + + y = a) x x − xy + = xy + x + ( x − )( x + ) = y ( y − ) c) y x −1 = 2−y x −1 ( )( ) x − y + y − x − = e) 2 x + − x − y − y = x − x + ( y − 1) y + = g) 2 x + x + − y ( y + 1) = ( − x ) − x − y y − = i) x + + y + = 8 y + y + + 3x + 16 y = 19 k) 2 x + y = ( 23 − x ) − x + ( y − 20 ) − y = m) x + y + − − x + y + 3x = 14 x + x x − − 12 y − = y + 13 y + 18 x − o) x − x + x − + y + y + y = x + x2 + y + y + = b) 12 y − 10 y + = x + )( ( ) y + y ( x + 1) + x − x + = d) y + − x + + y + = x y + y = x + x + x + f) − x − y = − y − ( x − ) x − − y − y = h) 4 x − x + y + y = y − 3 ( x + 1) + x + = ( y − ) y − j) x + + y + = 2 y + y + x − x = − x l) y + − y = − x x − y + x − y − 30 = 28 y n) x + + x = y 2 x − x y = x − x + y + p) 3 2 x − y + 6( x − y) − 15 = x + y + x − x = − x − y (2102 − x) − x + (6 y − 2009) − y = r) q) 2 2 x − y + 14 x − 18 y = x + x + 13 y + = x + xy + x 2 3 x − x + 2( x − 1) x − x + = 2( y + 2) y + y + s) 2 x + y = x − y − BT 454 Giải các hệ phương trình sau: 2 x + y = x − y + y − x = b) a) 2( x − y)(1 + xy) = (1 − x)(1 + y) = x2 + y = 3 4 x + y = x y + xy + x d) c) 3 x = y + 3x − x y − y = ( )( ) y + x + x = x y g) 2 x + = y 3x − y =3 x + x + y2 i) y − x + 3y = x2 + y x + − y = f) y + − x = (6 − x)( x + y ) = x + y h) 2 (3 − y)( x + y ) = x − y 78 y = 20 x + x + y2 j) y + 78 x = 15 x2 + y 2 x + y = xy + k) 2 x + y + 21 = y + 10 x x − 3xy = −1 l) y − x y = − x − y + y − x = e) (2 − x)(2 + y ) = Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 252 - (24) www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Bài BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ I Bài toán chứa tham số phương trình vô tỷ VD 314 Tìm tham số m để phương trình: m x + = x + m có đúng nghiệm ? 1 <m< ⋅ Đáp số: m = ± ∨ − 2 VD 315 Tìm tham số m để phương trình: 11 Đáp số: m ≥ ⋅ x − mx + + = x luôn có nghiệm ? VD 316 Tìm tham số m để: − x − x + x + = m có nghiệm thuộc đoạn − 1;1 ? Đáp số: m = ∨ − ≤ m < −2 VD 317 Tìm tham số m để phương trình: Đáp số: m ∈ 2; − x + x + 21 − − x + x + 10 = m có hai nghiệm ? ( VD 318 Tìm tham số m để phương trình: x x + x + 12 = m Đáp số: ( ) − x + − x có nghiệm ? ) − ≤ m ≤ 12 VD 319 Tìm tham số m để phương trình: Đáp số: m = ( 21 ∨ 14 x + − − x = m ( x − 1) có hai nghiệm thực phân biệt ? 21 <m≤ ⋅ 7 21 + x − x − x + = m 10 31 ; Đáp số: m ∈ − ⋅ 10 10 VD 320 Tìm m để phương trình: ( ) x + + − x có nghiệm thực ? VD 321 Tìm tham số m để phương trình sau có nghiệm: x + + ( − m ) x − = ( m − 1) x − ? Đáp số: m ≥ 1, m ≠ ⋅ VD 322 Tìm m để phương trình: 10 Đáp số: ≤ m < ⋅ x = − x + x + m − − x có đúng bốn nghiệm thực phân biệt ? VD 323 Tìm m để phương trình: x − x − x = m − − x − có đúng hai nghiệm thực phân biệt ? 11 196 Đáp số: m ∈ 10 − ; ⋅ 10 VD 324 Tìm m để: x − − ( x − 1)( x + 1) + m x + = có đúng hai nghiệm thực phân biệt ? 1 Đáp số: m ∈ 0; ⋅ 4 VD 325 Tìm tham số m để: ( x + x −1 m x + + 16 x − x = có hai nghiệm thực phân biệt ? x −1 ) Đáp số: −16 < m < −11 VD 326 Tìm tham số m để phương trình: x + x + 13 = m2 ( x + 1) x + có nghiệm ? Đáp số: m < −2 ∨ m > Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 253 - (25) www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 VD 327 Tìm tham số m để phương trình: x + ( m + ) x + = ( m − 1) x + x có nghiệm ? Đáp số: m ≥ VD 328 Tìm tham số m để phương trình: m x − = x + có nghiệm thực ? Đáp số: m ≥ ( −1 )⋅ −3 VD 329 Tìm tham số m để phương trình: ( 2m − 1) x + + ( m − ) − x + m − = có nghiệm ? Đáp số: ≤m≤ ⋅ VD 330 Tìm tham số m để phương trình: Đáp số: x − m + − x = 3m có nghiệm ? 37 − 19 − ≤m≤ ⋅ 18 VD 331 Tìm tham số m để phương trình: x − 34 x + m − ( x − 1)( x − 33 ) = có nghiệm ? Đáp số: m ≥ 34 VD 332 Tìm m để phương trình: x + − x + m x ( − x ) − x ( − x ) = m3 có nghiệm ? Đáp số: m = −1 ∨ m = II Bài toán chứa tham số bất phương trình vô tỷ VD 333 Tìm tham số m để bất phương trình: mx x ( − x − 1)3 ≤ x − x − có nghiệm ? Đáp số: m ≥ VD 334 Tìm tham số m để bất phương trình: mx − ≥ x − x có nghiệm ? Đáp số: m ≥ ⋅ VD 335 Tìm m để bất phương trình: x ( − x ) + m x − x + + ≥ có nghiệm ∀x ∈ 2; + ? Đáp số: m ≥ −6 VD 336 Tìm tham số m để bất phương trình: Đáp số: m ≥ (1 − x )( + x ) ≤ 2m x2 + 2x + có nghiệm ? ⋅ VD 337 Tìm m để bất phương trình: + x + − x − m − + x − x ≤ có nghiệm thực ? Đáp số: m ∈ 2 − 16; 2 VD 338 Tìm tham số m để bất phương trình: x + (1 − x ) ≥ m có nghiệm ? Đáp số: m ≤ VD 339 Tìm tham số m để bất phương trình: x − x − + − x − x > m có nghiệm ? Đáp số: m ≤ 10 ( ) VD 340 Tìm tham số m để bất phương trình: x + − x − x − x ≥ 3m nghiệm đúng ? Đáp số: m ≤ − 2 ⋅ VD 341 Tìm m để bất phương trình: x + x + m − ≤ x x + nghiệm đúng ∀x ∈ 0;1 ? Đáp số: m ≤ −2 Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 254 - (26) www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 III Bài toán chứa tham số hệ phương trình 2 x + y = m VD 342 Tìm m để hệ phương trình: có nghiệm thực ? x + y − xy = ĐS: m ≥ x + xy + y = m + VD 343 Tìm m để hệ: có nghiệm thực ? x y + y x = m + ĐS: m ≤ − x + xy + y = m + VD 344 Tìm m để hệ: có nghiệm ? xy ( x + y ) = m + m ĐS: m = 2 x + y + x + y = VD 345 Tìm m để hệ: có ít nghiệm ? xy ( x + 1)( y + 1) = m 33 ĐS: m ∈ − ;16 ⋅ 16 y + x − = VD 346 Tìm m để hệ phương trình: có nghiệm ? 2 x + y − x = 3m + 2 x − ( y + ) x + xy = m VD 347 Tìm m để hệ: có nghiệm thực ? x + x − y = − m ∨ m ≥ 13 ĐS: − ≤ m ≤ ⋅ ĐS: m ≤ 2− ⋅ x + ( y + ) x + xy = −2 m − VD 348 Tìm m để hệ có nghiệm thực ? x + 3x + y = m ĐS: m ≥ −2 1 x + + y + = 15m − 10 y x VD 349 Tìm m để hệ: có nghiệm ? x + + y + = x y 7 ĐS: ; ∪ 22; +∞ ) 4 m x + x + x + = xy VD 350 Tìm m để hệ: có nghiệm thực ? m x + x + x + + ( m − 1) x = y x ( ( ) ) 1 Đáp số: m ∈ −∞; − ∪ 0; +∞ ) 3 y = x + y + my VD 351 Tìm m để hệ: có nghiệm ? 2 x = y + x + mx ĐS: m > x + − y = m + VD 352 Tìm m để hệ: có nghiệm ? y + − x = m + ĐS: m = − 3x + x + + y − y + = m VD 353 Tìm m để hệ: có nghiệm ? 3x − x + + y + y + = m ĐS: m ≥ 2 3 x − xy − y = VD 354 Tìm m để hệ phương trình: có nghiệm ? x + xy + y = m x − 12 x − y + y = 16 VD 355 Tìm m để hệ: có nghiệm ? 2 y − y = x + − x + m ĐS: m ≥ 25 ⋅ ⋅ ĐS: −16 ≤ m ≤ 2 x + y − xy + x − y − = VD 356 Tìm m để hệ: có bốn cặp nghiệm thực phân biệt ? 2 x + y − = mx − m Đáp số: − ≤ m ≤ − Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 255 - (27)