Nếu người thứ nhất chuyển xong một nửa số lương thực, thực phẩm; sau đó người thứ hai chuyển hết số còn lại lên tàu thì thời gian người thứ hai hoàn thành lâu hơn người thứ nhất là 3 giờ[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học: 2014 – 2015 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (1,5 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức A x 2x x , với x > 0, x 2 x x 2) Rút gọn biểu thức 3 x y 5 Bài 2: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 6 x y 8 P Bài 3: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) và hàm số y = 4x + m có đồ thị (dm) 1)Vẽ đồ thị (P) 2)Tìm tất các giá trị m cho (d m) và (P) cắt hai điểm phân biệt, đó tung độ hai giao điểm đó Bài 4: (2,0 điểm) Cho phương trình x2 + 2(m – 2)x – m2 = 0, với m là tham số 1)Giải phương trình m = 2)Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 với x1 < x2, tìm tất các giá trị m x1 x2 6 Bài 5: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH (H thuộc BC) Vẽ đường tròn (C) có tâm C, bán kính CA Đường thẳng AH cắt đường tròn (C) điểm thứ hai là D 1)Chứng minh BD là tiếp tuyến đường tròn (C) 2)Trên cung nhỏ AD đường tròn (C) lấy điểm E cho HE song song với AB Đường thẳng BE cắt đường tròn (C) điểm thứ hai là F Gọi K là trung điểm EF Chứng minh rằng: a) BA2 = BE.BF và BHE BFC b) Ba đường thẳng AF, ED và HK song song với đôi BÀI GIẢI Bài 1:1)A = – = 2)Với điều kiện đã cho thì P x 2x 2 x 3 x y 5 x y Bài 2: Bài 3: 1) x x x 6 x y 10 6 x y 8 x 1 2 x x y 2 6 x y 8 x y 2 (2) 2) Phương trình hoành độ giao điểm y = x2 và đường thẳng y = 4x + m là : x2 = 4x + m x2 – 4x – m = (1) (1) có 4 m Để (dm) và (P) cắt hai điểm phân biệt thì m m 1 m y = 4x + m = => x = m m 1 m m hay 2 m m Yêu cầu bài toán tương đương với m m m m m m m m 4m 4 m m (loại) hay m m m m 5 hay m 2 16 m m 14m 49 m 5 hay m m 2m 15 0 Bài 4: 1)Khi m = 0, phương trình thành : x2 – 4x = x = hay x – = x = hay x = 2 m m 2m 4m 2 m2 2m 1 2 m 1 0m 2) Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với m S x1 x2 2 m , P x1 x2 m 0 Ta có x x2 6 x12 x1 x2 x22 36 x1 x2 x1 x2 x1 x2 36 Ta có 2 m 36 m 9 m 1hay m 5 Khi m = -1 ta có x1 3 10, x 3 10 x1 x (loại) (3) x 34, x 34 x1 x 6 Khi m = ta có (thỏa) Vậy m = thỏa yêu cầu bài toán Bài 5: 1)Ta có BAC 90 nên BA là tiếp tuyến với (C) BC vuông góc với AD nên H là trung điểm AD Suy BDC BAC 90 nên BD là tiếp tuyến với (C) 2)a) Trong tam giác vuông ABCta có AB BH.BC (1) Xét hai tam giác đồng dạng ABE và FBA vì có góc B chung và BAE BFA (cùng chắn cung AE) AB BE AB2 BE.FB suy FB BA (2) Từ (1) và (2) ta có BH.BC = BE.FB BE BH BC BF Từ BE.BF= BH.BC BE BH tam giác BEH và BCF đồng dạng vì có góc B chung và BC BF BHE BFC A N B C H E D K F b) kết trên ta có BFA BAE HAC EHB BFC , AB //EH suy DAF DAC FAC DFC CFA BFA DAF BAE , góc này chắn các cung AE, DF nên hai cung này Gọi giao điểm AF và EH là N Ta có tam giác HED và HNA (vì góc H đối đỉnh, HD = HA, EDH HDN (do AD // AF) (4) Suy HE = HN, nên H là trung điểm EN Suy HK là đường trung bình tam giác EAF Vậy HK // AF Vậy ED // HK // AF SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2014-2015 MÔN : TOÁN (không chuyên) Ngày thi: 19/6/2014 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (1,5 điểm) a/ Tính: √ 25+3 √ b/ Xác định a và b để đồ thị hàm số y = ax + b qua điểm A(1; 2) và điểm B(3; 4) c/ Rút gọn biểu thức A = ( √√x +2x + √ x2− ) : √x+x+42 với x và x Bài 2: (2,0 điểm) 1/ Giải phương trình x4 + 5x2 36 = 2/ Cho phương trình x2 (3m + 1)x + 2m2 + m = (1) với m là tham số a/ Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b/ Gọi x1, x2 là các nghiệm phương trình (1) Tìm m để biểu thức B = x12 + x22 3x1x2 đạt giá trị lớn Bài 3: (2,0 điểm) Để chuẩn bị cho chuyến đánh bắt cá Hoàng Sa, hai ngư dân đảo Lý Sơn cần chuyển số lương thực, thực phẩm lên tàu Nếu người thứ chuyển xong nửa số lương thực, thực phẩm; sau đó người thứ hai chuyển hết số còn lại lên tàu thì thời gian người thứ hai hoàn thành lâu người thứ là Nếu hai 20 cùng làm chung thì thời gian chuyển hết số lương thực, thực phẩm lên tàu là Hỏi làm riêng mình thì người chuyển hết số lương thực, thực phẩm đó lên tàu thời gian bao lâu? Bài 4: (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Gọi M là điểm chính cung AB; P là điểm thuộc cung MB (P khác M và P khác B) Đường thẳng AP cắt đường thẳng OM C; đường thẳng OM cắt đường thẳng BP D Tiếp tuyến nửa đường tròn P cắt cắt CD I a/ Chứng minh OADP là tứ giác nội tiếp đường tròn b/ Chứng minh OB.AC = OC.BD c/ Tìm vị trí điểm P trên cung MB để tam giác PIC là tam giác Khi đó hãy tính diện tích tam giác PIC theo R Bài 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức A = (4x5 + 4x4 5x3 + 5x 2)2014 + 2015 Tính giá trị biểu thức A x = - HẾT - √ √ 2− √2+1 (5) Giám thị coi thi không giải thích gì thêm GỢI Ý BÀI GIẢI TOÁN VÀO 10 KHÔNG CHUYÊN Bài 1: a/ Tính: √ 25+3 √ = 10 + = 16 b/ Đồ thị hàm số y = ax + b qua A(1; 2) nên a + b = 2, và B(3; 4) nên 3a b = Suy a = 3, b = Vậy (d): y = 3x + c/ Với x và x ta có:A = ( √√x +2x + √ x2− ) : √x+x+42 = … = x +2 =√ √x− x − Bài 2: 1/ Giải phương trình x4 + 5x2 36 = Đặt t = x2 ( t 0) ta có phương trình t2 + 5t 36 = t = 25 4.1.(36) = 169 t1 = (tmđk); t2 = (loại) Với t = x2 = x = 2/ a/ Với m là tham số, phương trình x2 (3m + 1)x + 2m2 + m = (1) Có = [(3m + 1)]2 4.1.( 2m2 + m 1) = m2 + 2m + = (m + 1)2 + > m Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b/ Gọi x1, x2 là các nghiệm phương trình (1) Ta có x1 + x2 = 3m + 1; x1x2 = 2m2 + m B = x12 + x22 3x1x2 = (x1 + x2)2 5x1x2 = (3m + 1)2 5(2m2 + m 1) = (m2 m 6) 13 13 1 B = (m ) + Dầu “=” xảy m =0m= 2 2 13 Vậy Bmin = m = 2 Bài 3: Gọi x (giờ) là thời gian người thứ I mình làm xong công việc 20 và y (giờ) là thời gian người thứ II mình làm xong công việc (Với x, y > ) ¿ ¿ 1 + = 1 + = (1) x y 20 x y 20 Ta có hệ phương trình: y x − =3 y − x=6 (2) 2 ¿{ ¿{ ¿ ¿ 1 30 + = Từ (1) và (2) ta có phương trình: Giải phương trình x1 = 4, x2 = x x +6 20 Chọn x = Vậy thời gian mình làm xong công việc người thứ I là giờ, người thứ II là 10 Bài 4: a/ C/minh AOD = APD = 900 O và P cùng nhìn đoạn AD góc 900 OADP tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AD (6) b/ C/ minh AOC DOB (g.g) OC AC = OB DB OB.AC = OC.BD (đpcm) c/ Ta có IPC = PBA (cùng chắn cung AP (O)) và có ICP = PBA (cùng bù với OCP) Suy IPC = ICP IPC cân I Để IPC là tam giác thì IPC = 600 PBA = 600 OP = PB = OB = R số đo cung PB 600 C/minh DIP cân I ID = IP = IC = CD:2 1 1 R √3 R2√3 Do đó SPIC = SDPC = CP.PD = R = 2 12 (đvdt) Bài 5: √ ( √ 2−1 ) √2 −1 √ 2− = = 2 ( √ 2+1 ) ( √ −1 ) √2+1 − 2√ √ −7 17 −12 √ 29 √ − 41 x2 = ; x3 = x.x2 = ; x4 = (x2)2 = ; x5 = x.x4 = Ta có: x = √ 16 32 29 √ − 41+34 −24 √ −25 √ 2+35+20 √ 2− 20− 16 =−1 Do đó: 4x5 + 4x4 5x3 + 5x = Vậy A = (4x5 + 4x4 5x3 + 5x 2)2014 + 2015 = (1)2014 + 2015 = + 2015 = 2016 ĐỂ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2014 - 2015 Môn Thi : Toán ( Dành cho tất thí sinh ) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài : 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) Ngày thi : 20 tháng năm 2014 Câu I ( 1, điểm ) Cho phương trình x 2+2 mx −2 m −6=0 (1) , với ẩn x , tham số m 1) Giải phương trình (1) m = 2) Xác định giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 cho x + x nhỏ Câu II ( 1,5 điểm ) Trong cùng hệ toạ độ , gọi (P ) là đồ thị hàm số y = x2 và (d) là đồ thị hàm số y = -x + 1) Vẽ các đồ thị (P) và (d) Từ đó , xác định toạ độ giao điểm (P) và (d) đồ thị 2) Tìm a và b để đồ thị Δ hàm số y = ax + b song song với (d) và cắt (P) điểm có hoành độ -1 Câu III ( 2,0 điểm ) (7) 1) Một người xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B , quãng đường AB dài 24 km Khi từ B trở A người đó tăng vận tốc thêm 4km so với lúc , vì thời gian ít thời gian 30 phút Tính vận t ốc xe đạp từ A đến B ) Giải phương trình √ x+ √ − x+ √ x ( 1− x )=1 Câu IV ( 3,0 điểm ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và ba đường cao AA’ , BB’ ,CC’ cắt H Vẽ hình bình hành BHCD Đường thẳng qua D và song song với BC cắt đường thẳng AH M 1) Chứng minh năm điểm A, B ,C , D , M cùng thuộc đường tròn 2) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh BM = CD và góc BAM = góc OAC 3) Gọi K là trung điểm BC , đường thẳng AK cắt OH G Chứng minh G là trọng tâm tam giác ABC Câu V ( 2, điểm ) 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2014 2) Có thành phố đó thành phố thì có ít thành phố liên lạc với Ch ứng minh thành phố nói trên tồn thành phố liên lạc với .Hết (Đề này gồm có 01 trang) Họ và tên thí sinh : S ố báo danh : Hướng dẫn sơ lược đề thi môn toán dành cho tất thí sinh năm học 2014-2015 Thi vào THPT chuyên Câu I ( 1, điểm ) Cho phương trình x 2+2 mx −2 m −6=0 (1) , với ẩn x , tham số m 1) Giải phương trình (1) m = 2) Xác định giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 cho x + x HD : 1) GPT m =1 + Thay m =1 v ào (1) ta đ ợc x2 + 2x – = ( x + ) ( x – ) = x = { - ; } KL : 2) x ét PT (1) : + Xét PT (1) có x +2 mx −2 m −6=0 (1) , với ẩn x , tham số m Δ ' =m2 +2 m+ 6=( m+1 )2 +5>0 ( 1) (luôn đúng ) với m => PT (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với m ¿ x 1+ x 2=− m + Mặt khác áp dụng hệ thức viét vào PT ( 1) ta có : x x 2=− ( m+6 ) (I) ¿{ ¿ 2 + Lại theo đề và (I) có :A = x1 + x2 nhỏ (8) = ( x1 + x2 )2 – x1x2 = ( - 2m )2 + ( 2m + ) = 4m2 + 4m + 12 = ( 2m + 1)2 + 11 11 với m => Giá trị nhỏ A là 11 m = −1 KL : Câu II ( 1,5 điểm ) Trong cùng hệ toạ độ , gọi (P ) là đồ thị hàm số y = x2 và (d) là đồ thị hàm số y = -x + 1) Vẽ các đồ thị (P) và (d) Từ đó , xác định toạ độ giao điểm (P) và (d) đồ thị 2) Tìm a và b để đồ thị Δ hàm số y = ax + b song song với (d) và cắt (P) điểm có hoành độ -1 HD : 1) v ẽ ch ính xác và xác định đ ược giao ểm (P) v à (d) l à M ( ; 1) v à N ( -2 ; ) 2)T ìm đ ợc a = -1 v à b = =>PT Δ là y = - x Câu III ( 2,0 điểm ) 1) Một người xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B , quãng đường AB dài 24 km Khi từ B trở A người đó tăng vận tốc thêm 4km so với lúc , vì thời gian ít thời gian 30 phút Tính vận t ốc xe đạp từ A đến B ) Giải phương trình √ x+ √ − x+ √ x ( 1− x )=1 HD : 1) G ọi x ( km /h ) l à v ận t ốc ng ời xe đ ạp t A -> B ( x > ) L ý luận đ ưa PT : 24 24 − = => x = 12 ( t/m ) KL : x x +4 a −1 = √ x (1 − x ) 2) ĐKXĐ ≤ x ≤1 Đ ặt < a = √ x+ √ − x ⇒ a2 − =1 a2 + 2a – = ( a – )( a + ) = a = { -3 ; } => a = > + PT m ới l à : a + + Nếu a = = > √ x+ √ − x=1 ⇒ x = { ; } ( t/m) KL : ………… Câu IV ( 3,0 điểm ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và ba đường cao AA’ , BB’ ,CC’ cắt H Vẽ hình bình hành BHCD Đường thẳng qua D và song song với BC cắt đường thẳng AH M 1) Chứng minh năm điểm A, B ,C , D , M cùng thuộc đường tròn 2) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh BM = CD và góc BAM = góc OAC 3) Gọi K là trung điểm BC , đường thẳng AK cắt OH G Chứng minh G là trọng tâm tam giác ABC (9) HD : HS tự vẽ hình 1) Chứng minh các tứ giác ABMD , AMDC nội tiếp => A, B ,C,D , M nằm trên cùng đường tròn 2) Xét (O) có dây MD//BC => sđ cung MB = sđ cung CD => dây MB = dây CD hay BM = CD + Theo phần 1) và BC//MD => góc BAM =góc OAC AH 3)Chứng minh OK là đường trung bình tam giác AHD => OK//AH và OK = OK = hay (*) AH OK GK = = => AG=2 GK , từ đó suy G là + Chứng minh tam giác OGK đồng dạng với tam giác HGA => AH AG trọng tâm tam giác ABC Câu V ( 2, điểm ) 1)Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2014 2)Có thành phố đó thành phố thì có ít thành phố liên lạc với Chứng minh thành phố nói trên tồn thành phố liên lạc với HD : 1) Giá trị nhỏ P là 2011 a =b = 2) Gọi th ành phố đã cho l à A,B,C,D,E,F + X ét thành phố A theo nguyên l í Dirichlet ,trong thành phố còn lại thì có ít thành phố liên lạc với A có ít thành phố không liên lạc với A ( v ì số thành phố liên lạc với A không vượt quá và số thành phố không liên lạc với A không vượt quá thì ngoài A , s ố thành phố còn lại không vượt quá ) Do đó xảy các khả sau : Khả : số thành phố liên lạc với A không ít , giả sử B,C,D liên lạc với A Theo đề bài thành phố B,C,D có thành phố liên lạc với Khi đó thành phố này cùng với A tạo thành thành ph ố đôi m ột liên lạc với Khả : số thành phố không liên lạc với A , không ít ,giả sử thành phố không liên lạc với A là D,E,F Khi đó thành phố ( A,D,E) thì D và E liên lạc với ( v ì D,E không liên lạc với A ) Tương tự ( A,E,F) v à ( A,F,D) th ì E,F liên lạc với , F và D liên lạc với và D,E,F l à thành phố đôi liên lạc với Vậy ta có ĐPCM C âu V : đ ề chuyên toán ng ày thi 20-6-2014 (10) Cho tập A = { ; ; ; ….; 16 } Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ cho tập hợp gồm k phần tử A tồn hai số phân biệt a, b mà a2 + b2 là số nguyên tố HD : Nếu a , b chẵn thì a2 + b2 là hợp số Do đó tập X A có phần tử phân biệt a,b m à a2 + b2 là số nguyên tố thì X không thể chứa các số chẵn => K Bây ta chứng minh K = là giá trị nhỏ cần tìm bài toán Thật với tập X gồm phần tử bất kì A luôn tồn phần tử phân biệt a,b m à a2 + b2 l à số nguyên tố Thật : ta chia tập hợp A thành các cặp phần tử phân biệt a , b mà a2 + b2 là số nguyên tố ,ta có tất cặp l à : ( 1;4) , ( 2;3) , ( 5;8) , ( 6;11) , ( 7; 10) , ( ;16 ) , ( 12 ;13) , ( 14 ; 15 ) Theo nguyên lí Dirichlet thì phần tử X có phần tử cùng thuộc cặp => ĐPCM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN THI: TOÁN (KHÔNG CHUYÊN) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 20/6/2014 (Thời gian : 120 phút – không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,00 điểm) A 1) Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức: 1 10 2 a a a 1 : a a a với a > 0, a 2) Rút gọn biểu thức B = a a Bài 2: (2,00 điểm) ax y y x by a 1) Cho hệ phương trình: Tìm a và b biết hệ phương trình đã cho có nghiệm (x, y) = (2; 3) 2)Giải phương trình: x – 1 5x 3x Bài 3: (2,00 điểm) y x2 Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P): a)Vẽ đồ thị (P) b)Trên (P) lấy điểm A có hoành độ xA = -2 Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox cho MA – MB đạt giá trị lớn nhất, biết B(1; 1) (11) Bài 4: (2,00 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kình AB = 2R Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến (O) B Trên cung AB lấy điểm M tùy ý (M khác A và B), tia AM cắt d N Gọi C là trung điểm AM , tia CO cắt d D a) Chứng minh rằng: OBNC nội tiếp b) Chứng minh rằng: NO AD c) Chứng minh rằng: CA CN = CO CD d) Xác định vị trí điểm M để (2AM + AN) đạt giá trị nhỏ - HẾT Giám thị không giải thích gì thêm HƯỚNG DẪN GIẢI (Lê Quốc Dũng, GV THCS Trần Hưng Đạo, Nha Trang, Khánh Hoà) Bài 1: (2,00 điểm) A 1) 2) B 1 10 21 2 2(2 5) 1 2 a a a 1 : a a a với a > 0, a = a a a a a 1 a a ( a 2) : a a a 2 a a 4 a a 2 a 1 = = Bài 2: (2,00 điểm) a a ( a 2) a (1 a ) ( a 2) a ( a 2) a a 1 a a 1 ax y y x by a có nghiệm (x, y) = (2; 3) nên ta có hpt: 1) Vì hệ phương trình: 2a b 2 3b a Vậy a = 1, b = 2a b 3 a 3b 6a 3b 9 a 3b 7a 7 2a b 3 a 1 b 1 (12) 2) Giải phương trình: x – 1 x 3x x – 1 x 2 x ((5x 6) x 9) ((3x 8) x 1) 0 ( x 3) ( 3x 1) 0 x 0 x 3 3x 0 Vậy pt có nghiệm x = Bài 3: (2,00 điểm) y x2 Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P): a)Lập bảng giá trị (HS tự làm) Đồ thị: b)Vì A (P) có hoành độ xA = -2 nên yA = Vậy A(-2; 2) Lấy M(xM; 0) bất kì thuộc Ox, Ta có: MA – MB AB (Do M thay đổi trên Ox và BĐT tam giác) Dấu “=” xẩy điểm A, B, M thẳng hàng, đó M là giao điểm đường thẳng AB và trục Ox - Lập pt đường thẳng AB - Tìm giao điểm đường thẳng AB và Ox, tìm M (4; 0) Bài 4: (2,00 điểm) (13) Cho nửa đường tròn (O) đường kình AB = 2R Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến (O) B Trên cung AB lấy điểm M tùy ý (M khác A và B), tia AM cắt d N Gọi C là trung điểm AM , tia CO cắt d D a) Chứng minh rằng: OBNC nội tiếp HD: Tứ giác OBNC nội tiếp có OCN OBN 180 b) Chứng minh rằng: NO AD HD: AND có hai đường cao cắt O, suy ra: NO là đường cao thứ ba hay: NO AD c) Chứng minh rằng: CA CN = CO CD CA CO HD: CAO CDN CD CN CA CN = CO CD d) Xác định vị trí điểm M để (2AM + AN) đạt giá trị nhỏ Ta có: 2AM + AN 2 AM AN (BĐT Cauchy – Côsi) Ta chứng minh: AM AN = AB2 = 4R2 (1) (14) Suy ra: 2AM + AN 2.4R = 4R Đẳng thức xẩy khi: 2AM = AN AM = AN/2 (2) Từ (1) và (2) suy ra: AM = R AOM vuông O M là điểm chính cung AB SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 Năm học: 2014 – 2015 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (2 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) x x 12 0 b) x ( 1) x 0 c) x x 20 0 3 x y 4 x y 5 d) Bài 2: (1,5 điểm) a) Vẽ đồ thị (P) hàm số y x và đường thẳng (D): y 2 x trên cùng hệ trục toạ độ b) Tìm toạ độ các giao điểm (P) và (D) câu trên phép tính Bài 3: (1,5 điểm) Thu gọn các biểu thức sau: A 5 5 2 3 x B : 1 x 3 x x 3 x x 3 x (x > 0) Bài 4: (1,5 điểm) Cho phương trình x mx 0 (1) (x là ẩn số) a) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm trái dấu b) Gọi x1, x2 là các nghiệm phương trình (1): P x12 x1 x22 x2 x1 x2 Tính giá trị biểu thức : Bài 5: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC) Các đường cao AD và CF tam giác ABC cắt H a) b) c) Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp Suy AHC 180 ABC Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC đường tròn (O) (M khác B và C) và N là điểm đối xứng M qua AC Chứng minh tứ giác AHCN nội tiếp Gọi I là giao điểm AM và HC; J là giao điểm AC và HN (15) d) Chứng minh AJI ANC Chứng minh : OA vuông góc với IJ BÀI GIẢI Bài 1: (2 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) x x 12 0 7 4.12 1 1 7 x 4 hay x 3 2 b) x ( 1) x 0 Phương trình có : a + b + c = nên có nghiệm là : c x 1 hay x a c) x x 20 0 Đặt u = x2 0 pt thành : u 9u 20 0 (u 4) (u 5) 0 u 4 hay u 5 Do đó pt x 4 hay x 5 x 2 hay x 3 x y 4 x y 5 d) 12 x y 16 12 x y 15 y 1 x 2 Bài 2: a) Đồ thị: Lưu ý: (P) qua O(0;0), 1;1 , 2; 1;1 , 3;9 (D) qua b) PT hoành độ giao điểm (P) và (D) là x 2 x x x 0 x hay x 3 (a-b+c=0) (16) y(-1) = 1, y(3) = Vậy toạ độ giao điểm (P) và (D) là Bài 3:Thu gọn các biểu thức sau A 1;1 , 3;9 5 5 2 3 (5 5)( 2) 5( 1) 5(3 5) ( 2)( 2) ( 1)( 1) (3 5)(3 5) 15 15 3 4 3 3 x B : 1 x 3 x x 3 x x 3 x (x>0) x x : x 3 x x ( x 3) x 3 x ( x 2)( x 3) : x x ( x 3) ( x 1) x x x 1 Câu 4: Cho phương trình x mx 0 (1) (x là ẩn số) a) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm trái dấu Ta có a.c = -1 < , với m nên phương trình (1) luôn có nghiệm trái dấu với m b) Gọi x1, x2 là các nghiệm phương trình (1): Tính giá trị biểu thức : x12 x1 x22 x2 P x mx1 và x 22 mx (do x , x thỏa 1) x1 x2 Ta có 1 mx1 x mx x (m 1)x1 (m 1)x P 0 x x 0 ) x1 x2 x1 x2 Do đó (Vì x1 Câu A a) Ta có tứ giác BFHD nội tiếp có góc đối F và D vuông FHD AHC 1800 ABC N J O b) ABC AMC cùng chắn cung AC F B Q H I C D K M (17) mà ANC AMC M, N đối xứng Vậy ta có AHC và ANC bù tứ giác AHCN nội tiếp c) Ta chứng minh tứ giác AHIJ nội tiếp Ta có NAC MAC MN đối xứng qua AC mà NAC CHN (do AHCN nội tiếp) IHJ IAJ tứ giác HIJA nội tiếp AJI bù với AHI mà ANC bù với AHI (do AHCN nội tiếp) ANC AJI Cách : Ta chứng minh IJCM nội tiếp Ta có AMJ = ANJ AN và AM đối xứng qua AC Mà ACH = ANH (AHCN nội tiếp) ICJ = IMJ AMC IJCM nội tiếp AJI ANC d) Kẻ OA cắt đường tròn (O) K và IJ Q ta có AJQ = AKC vì AKC = AMC (cùng chắn cung AC), AKC = AMC = ANC Xét hai tam giác AQJ và AKC : Tam giác AKC vuông C (vì chắn nửa vòng tròn ) tam giác trên đồng dạng Vậy Q 90 Hay AO vuông góc với IJ Cách : Kẻ thêm tiếp tuyến Ax với vòng tròn (O) ta có xAC = AMC mà AMC = AJI chứng minh trên ta có xAC = AJQ JQ song song Ax IJ vuông góc AO (do Ax vuông góc với AO) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2014 – 2015 Ngày thi : 21 tháng năm 2014 Môn thi : TOÁN (Không chuyên) Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang, thí sinh không phải chép đề vào giấy thi) Câu : (1điểm) Thực các phép tính a) A 2 2 Câu : (1 điểm) Giải phương trình: x x 15 0 b) B= 50 (18) 2 x y 3 y 4 Câu : (1 điểm) Giải hệ phương trình: x d : y a x b Câu : (1 điểm) Tìm a và b để đường thẳng có hệ số góc và qua điểm M 1; Câu : (1 điểm) Vẽ đồ thị hàm số y x Câu : (1 điểm) Lớp 9A dự định trồng 420 cây xanh Đến ngày thực có bạn không tham gia triệu tập học bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi nhà trường nên bạn còn lại phải trồng thêm cây đảm bảo kế hoạch đặt Hỏi lớp 9A có bao nhiêu học sinh x m +1 x m 0 Câu : (1 điểm) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 và biểu thức M x1 x2 x2 x1 không phụ thuộc vào m Câu : (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH (H thuộc BC), biết ACB 60 , CH = a Tính AB và AC theo a Câu : (1 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định, CD là đường kính thay đổi đường tròn (O) (khác AB) Tiếp tuyến B (O) cắt AC và AD N và M Chứng minh tứ giác CDMN nội tiếp Câu 10 : (1 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tếp đường tròn tâm O, bán kính a Biết AC vuông góc với 2 BD Tính AB CD theo a - HẾT Giám thị không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh : Số báo danh : Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị : BÀI GIẢI Câu : (1điểm) Thực các phép tính a) b) A 2 B= 2 5 4 50 100 3.2 10 4 Câu : (1 điểm) Giải phương trình: x x 15 0 12 4.2 15 121 11 , (19) 11 10 11 12 x2 4 2; 4 5 S = ; 3 2 Vậy Câu : (1 điểm) Điều kiện x 0 2 4 x y 3 x y 6 x 10 x 10 1 y 4 y 4 y 3 y 3 x x x x x1 x 4 y 3 x y (nhận) ; 1 2 x;y Vậy hệ phương trình có nghiệm d : y a x b M 1; Câu : (1 điểm) Tìm a và b để có hệ số góc và qua Đường thẳng d có hệ số góc a 4 a 6 M 1; y a x b Mặt khác (d) qua điểm nên thay a 6 , x 1 ; y vào b 4 b b Khi đó ta có : d : y 6 x Vậy a 6 v à b là các giá trị cần tìm và đó Câu : (1 điểm) Vẽ đồ thị hàm số y x BGT x y x 2 8 1 2 0 2 8 Câu : (1 điểm) x Z ,x x Gọi số học sinh lớp 9A là (20) 420 Theo kế hoạch, em phải trồng x (cây) Trên thực tế số học sinh còn lại là : x 420 Trên thực tế, em phải trồng x (cây) Do lượng cây em trồng trên thực tế cây so với kế hoạch nên ta có phương trình : 420 420 3 x x x 420 x 420 x 3x x x 21x 2940 0 x x 980 0 (chia 3) 7 4.1 980 3969 , 3969 63 63 63 x1 35 x2 28 2 (nhận) ; (loại) Vậy lớp 9A có 35 học sinh x m +1 x m 0 Câu : (1 điểm) Phương trình Phương trình có ' m 1 m m 2m m m m 1 1 19 ' m m m m 0,m 2 4 2 Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với m Khi đó, theo Vi-ét x1 x2 2m ; x1.x2 m M x1 x2 x2 x1 x1 x1 x2 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 M x1 x2 x1 x2 2m m 2m 2m 10 (không phụ thuộc vào m) Câu : G T K L 900 AH BC ABC , A , , ACB 600 CH = a , Tính AB và AC theo a? (21) ACH có cos C CH AC nên AC CH a a 2a cos C cos 60 ABC có AB = AC.tanC = 2a.tan 60 2a 2 3a Vậy AB = 3a , AC 2a Câu : (1 điểm) GT (O) đường kính AB cố định, đường kính CD thay đổi, MN là tiếp tuyến B (O) KL Tứ giác CDMN nội tiếp Chứng minh tứ giác CDMN nội tiếp ADC sñ AC Ta có : 1 sñ ADB N sñ BC sñ ACB sñ BC sñ AC 2 sñ AC ADC N (cùng ) Tứ giác CDMN nội tiếp (góc ngoài góc đối trong) Câu 10 : (1 điểm) G T K L 2 ABCD nội tiếp O;a , AC BD 2 Tính AB CD theo a Tính AB CD theo a Vẽ đường kính CE đường tròn (O) Ta có : EAC 90 , EDC 90 (góc nội tiếp chắn đường kính EC) (22) AC AE AE BD AC BD( gt ) ABDE là hình thang cân (hình thang nội tiếp (O)) AB = DE (cạnh bên hình thang cân) AB2 + CD = DE + DC2 = EC2 2a 4a (do EDC vuông D) 2 Vậy AB CD 4a - HẾT - (23)