1.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.[r]
(1)Cùc trÞ hµm bËc ba I,Tãm t¾t lý thuyÕt: 1.Hµm sè y=f ( x)=ax 3+ bx +cx+ d ( a ≠ ) 2.§¹o hµm : y ' =f '(x )=3 ax 2+2 bx+ c 3.§iÒu kiÖn tån t¹i cùc trÞ Hàm số y=f (x) có cực trị ⇔ y=f (x) có cực đại và cực tiểu ⇔ f ' (x)=0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt ⇔ Δ ' =b −3 ac ≻ 4.Kü n¨ng tÝnh nhanh cùc trÞ: Bíc1:Thùc hiÖn phÐp chia f ( x) cho f ' (x) ta cã: b b bc x+ f ' (x)+ c − x+ d − 9a 3a 9a Tøc lµ: f ( x)=q(x ) f '( x)+r (x ) f (x)= Bíc 2:Do [ ] ¿ f ' (x 1)=0 f ' (x 2)=0 ¿{ ¿ [ nªn ] ( ) ¿ b bc y 1=f (x 1)=r ( x 1)= ( c − ) x 1+(d − ) 3a 9a b bc y 2=f (x 2)=r ( x 2)= ( c − )x 2+(d − ) 3a 9a ¿{ ¿ .HÖ qu¶:§êng th¼ng ®i qua C§,CT cã ph¬ng tr×nh lµ: b bc )+( d − ) Y =r ( x) hay y= (c − 3a 9a II.C¸c d¹ng bµi tËp: D¹ng 1:Sù tån t¹i vµ vÞ trÝ cña c¸c ®iÓm cùc trÞ: Bµi tËp: Bài 1:Tìm m để hàm số : y= x +mx2 +(m+ 6)x −(2 m+1) có cực đại và cực tiểu Giải:Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ phơng trình y ' (x)=0 có hai nghiệm phân biÖt ⇔ x 2+2 mx+(m+6)=0 cã hai nghiÖm ph©nbiÖt ⇔ Δ '=m2 −m −6> 0⇔ (m<− 2) ∪(m>3) Bài 2:Tìm m để hàm số y=(m+2) x 3+ x +mx −5 có cực đại và cực tiểu Gi¶i: Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ phơng trình y ' ( x)=0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ 3(m+2) x +6 x+ m=0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt ⇔ m+2≠ Δ ' =−3 m2 − m+9>0 ⇔ ¿ m≠ −2 m +2 m−3 <0 ⇔−3< m≠ −2<1 ¿{ Bài 3:Tìm m để hàm số y= x +( m−2)x +(5 m+ 4)x +(m2+1) đạt cực trị x1,x2 tháa m·n ®iÒu kiÖn x1<-1<x2 Gi¶i: yªu cÇu bµi to¸n ⇔ y ' ( x )=x +2(m− 2) x+(5 m+4 )=0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,x2 tháa m·n ®iÒu kiÖn x1<-1<x2 ⇔ y ' (−1)=3 m+ 9<0 ⇔ m<− Bài 4:Tìm m để hàm số y= x +( m+3) x2 + 4( m+3) x+(m2 − m) đạt cực trị x1,x2 tháa m·n ®iÒu kiÖn -1<x1<<x2 (2) Gi¶i: yªu cÇu bµi to¸n ⇔ y ' ( x )=x +2(m+3)x +4 (m+3)=0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,x2 tháa m·n ®iÒu kiÖn -1<x1<x2 ⇔ Δ'> f ' (−1)>0 S −1< ⇔ ¿ m + 2m −3>0 2m+7> −1<−(m+3) −7 ⇔ <m<−3 ¿{{ Bài 5: Tìm m để hàm số y= x +( m2 −m+2)x +(3 m2 +1) x+(m −5) đạt cực tiểu x=2 Gi¶i: *§iÒu kiÖn cÇn: Giả sử hàm số đạt cực tiểu x=-2 suy f ' (−2)=0 ta có 2 f ' (x)=x +2(m − m+2) x+ m +1 suy −m2 +4 m−3=0 ⇔ m=1; m=3 *Điều kiện đủ: NÕu m=3 th× f ''(x )=2 x+16 ⇒ f ''(−2)=12>0 ⇒ x CT =− 2 Nếu m=1 thì f ''(x )=2 x+ ⇒ f ''(−2)=0 nhng lúc đó ta có x+ 2¿ ≥ ∀ x ⇒ f ' (x)=¿ Hµm sè kh«ng cã cùc trÞ *KÕt luËn:m=3 Dạng 2:phơng trình đờng thẳng qua cực đại và cực tiểu Bài 1:Tìm cực trị và viết phơng trình đờng thẳng qua cực đại,cực tiểu hàm số f ( x)=x −3 x −6 x +8 Gi¶i: Ta cã f ' (x)=3 ( x −2 x − 2) f ' ( x)=0 ⇔ g( x)=x −2 x − 2=0 ⇔ x 1=1 − √ ¿ x 2=1+ √3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ suy hàm số y=f ( x) đạt cực trị x1,x2 Thùc hiÖn phÐp chia f (x) cho g(x) ta cã ¿ g( x 1)=0 g( x 2)=0 ¿{ ¿ ¿ y 1=f (x 1)=− 6(x −1)=6 √ nªn y 2=f (x 2)=− 6( x −1)=− √ ¿{ ¿ f ( x)=g ( x)(x − 1)−6 (x − 1) (3) f ''(x )=6( x −1)⇒ f ''(x 1)=− √ 3<0 f ''(x 2)=6 √3> ⇒ ¿ f ct =f ( x 1)=6 √ f cd=f ( x 2)=−6 √ ¿{ .Phơng trình đờng thẳng qua CĐ,CT là y=− 6( x − 1) Bài 2:Tìm m để hàm số f ( x)=2 x 3+ 3(m− 1) x 2+ 6(m −2)x −1 có đờng thẳngđi qua CĐ,CT song song với đờng thẳng y=ax +b Gi¶i: §¹o hµm f ' (x)=6 ( x 2+(m −1) x +m− 2) f ' (x)=0 ⇔ g( x)=x 2+(m− 1) x+ m−2=0 hµm sè cã C§,CT ⇔ f ' ( x)=0 hayg (x )=0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt m− ¿ > ⇔m ≠3 ⇔ Δ g=¿ Thùc hiÖn phÐp chia f (x) cho g(x) ta cã m− 3¿ x −( m2 −3 m+3) f ( x)=g ( x)[2 x +(m−1)] −¿ Với m≠ thì g( x)=0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị x1,x2 m− ¿2 x 1−(m2 − m+ 3) ¿ ¿ g( x 1)=0 m− ¿2 x 2−(m2 − m+ 3) g( x 2)=0 nªn ¿ ¿{ ¿{ ¿ ¿ y 1=f ( x 1)=−¿ 2 suy đờng thẳng qua CĐ,CT là( Δ ): m− ¿ x −( m −3 m+3) y=− ¿ y=ax +b ⇔ m≠ m− ¿2=a ¿ ⇔ ¿ ¿ m≠ , a<0 ¿ ta có ( Δ ) song song với đờng m− ¿2=− a ¿ ⇔ ¿ ¿ ¿ a<0 ¿ −¿ vËy nÕu a ≥ th× kh«ng tån t¹i m;nÕu a<0 th× m=3 ± √− a Bài 3: Tìm m để hàm số f (x)=2 x 3+ 3(m− 1) x 2+ m(1− 2m)x có cực đại và cực tiểu nằm trên đờng thẳng y=− x Gi¶i: §¹o hµm f ' (x)=6 ( x 2+(m −1) x +m(1− m)) f ' (x)=0 ⇔ g( x)=x 2+(m− 1) x+ m(1− 2m)=0 (4) hµm sè cã C§,CT ⇔ f ' ( x)=0 hayg (x )=0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt m− 1¿ − m(1 −2 m)=¿ ⇔ Δ g=¿ Thùc hiÖn phÐp chia f (x) cho g(x) ta cã m−1 ¿2 x+ m(m−1)(1 −2 m) f (x)=g ( x)[2 x+(m− 1)]− ¿ Với m≠ thì g(x)=0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị 3 m−1 ¿2 >0 ⇔ m≠ x1,x2 m−1 ¿2 x 1+m(m −1)(1− m) ¿ ¿ g( x 1)=0 m−1 ¿2 x 2+m(m −1)(1− m) g( x 2)=0 nªn ¿ ¿ { ¿{ ¿ ¿ y 1=f (x 1)=−¿ suy đờng thẳng qua CĐ,CT là( Δ ): m−1 ¿ x+ m(m−1)(1 −2 m) y=− ¿ y=− x ⇔( Δ)≡( y =− x) ⇔ m−1 ¿2=− ¿ m( m−1)(1 −2 m)=0 ¿ Ta có CĐ,CT nằm trên đờng thẳng ⇔ ¿ ¿ ¿|3 m−1|=2 −¿ Bài 4: Tìm m để hàm số f ( x)=x +mx +7 x +3 có đờng thẳng qua cực đại và cực tiểu vuông góc với đờng thẳng y=3 x − Gi¶i: Hµm sè cã C§,CT ⇔ f ' (x)=0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt ⇔ Δ ' g =m − 21> ⇔|m|> √ 21 Thùc hiÖn phÐp chia f (x) cho f ' (x) ta cã 1 7m f ( x)=f '( x )[ x + m]− [21− m2] x +3 − 9 Với |m|> √ 21 thì f ' (x)=0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị x1,x2 ¿ 7m ¿ y 1=f (x 1)= (21− m2) x 1+3 − f ' (x 1)=0 9 f ' (x 2)=0 nªn m y 2=f (x 2)= (21− m2) x 2+3 − ¿{ 9 ¿ ¿{ ¿ suy đờng thẳng qua CĐ,CT là( Δ ): y= (21 −m2) x+ 3− m 9 ⇔ |m|> √ 21 ta có ( Δ ) vuông góc với đờng thẳng y=3 x − ( 21− m2 )3=−1 ¿{ dạng 3:sử dụng định lý viét cho các điểm cực trị bµi 1:Cho f (x)= x +(cos a −3 sin a) x −8 (1+cos a) x +1 1.CMR:hàm số luôn có cực đại và cực tiểu (5) 2.Giả sử hàm số đạt cực trị x1,x2.CMR:x1 ❑2 +x2 ❑2 18 Gi¶i: 1.XÐt ph¬ng tr×nh: f ' ( x)=2 x 3+ 2(cos a − sin a) x − 8(1+cos a)=0 Ta cã cos a − sin a ¿ + 16(1+cos a) NÕu Δ' =¿ cos a − sin a ¿2+ 32cos a≥ ∀ a Δ' =¿ ¿ cos a=0 cos a − sin a=0 ⇔ 2 Δ ' =0 th× ⇒ 0=cos a+ sin a=1 ⇒ 0=1⇒ v«lý ¿ cos a=0 sin a=0 ¿{ ¿ Từ đó suy Δ ' > ∀ a ⇔f ' (x)=0 có nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị t¹i x1,x2 ¿ x 1+ x 2=3 sin a −cos a 2.Theo định lý Viét ta có x x 2=− (1+cos a) ¿{ ¿ Suy x1 ❑2 +x2 ❑2 =(x1+x2) ❑2 -2x1x2= 2 sin a −cos a ¿ + 8(1+cos a)=9 sin a− sin a cos a+ 17 cos a ¿ Khi đó BĐT:x1 ❑2 +x2 ❑2 18 ⇔ sin2 a −6 sin acos a+17 cos a ≤ 18(sin a+ cos2 a)⇔ sin a+cos a ¿ luôn đúng ≤¿ Bµi 2: Cho f (x)= x +(m+1) x2 +(m2+ m+2) x 1.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu 2.Tìm m để hàm số đạt cực trị ít điểm >1 3.Gäi c¸c ®iÓm cùc trÞ lµ x1,x2.t×m max cña A= |x x −2( x 1+ x 2)| Gi¶i: §¹o hµm f ' (x)=2 x 2+ 2(m+ 1) x+ m2 + m+3 1.-5<m<-1 (6) 2.hàm số đạt cực trị ít điểm >1 ⇔ f ' ( x)=0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 x 1<1< x ¿ ≤ x 1< x ¿ ⇔ ¿ ¿ Δ' > ¿ f ' (1)>0 ¿ S 1< ¿ tháa m·n ¿ ¿ ⇔ ¿ ¿ ¿ −5< m<− ¿ m≥ −3+ √¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x 1+ x 2=−(m+1) 3.Theo định lý viét ta có x x 2= (m2+ m+3) ¿{ ¿ 9 −¿ ≤ 9= 2 Khi đó A= m +4 m+3 +2(m+1) = ¿ |x x −2(x 1+ x 2)|= 2 Víi m=-4 (−5 ; −1) th× Max A= | | (7)