Bài tập 2: Tính khoảng cách từ ñiểm ñến ñường thẳng ñược cho tương ứng như sau: TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10... CHUYÊN ðỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH ðƯỜNG TRÒN Dạng 1: Nhận dạng một ph[r]
(1)TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ðÀ NẴNG SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO THÀNH PHỐ ðÀ NẴNG TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUANG TRUNG TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN 10 NĂM HỌC 2011 - 2012 TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10 (2) TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ðÀ NẴNG TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10 (3) TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ðÀ NẴNG TÓM TẮT LÝ THUYẾT I Phần ðại số Bất phương trình và hệ bất phương trình Các phép biến ñổi bất phương trình: a) Phép cộng: Nếu f(x) xác ñịnh trên D thì P(x) < Q(x) ⇔ P(x) + f(x) < Q(x) + f(x) b) Phép nhân: * Nếu f(x) >0, ∀ x ∈ D thì P(x) < Q(x) ⇔ P(x).f(x) < Q(x).f(x) * Nếu f(x) <0, ∀ x ∈ D thì P(x) < Q(x) ⇔ P(x).f(x) > Q(x).f(x) c) Phép bình phương: Nếu P(x) ≥ và Q(x) ≥ 0, ∀ x ∈ D thì P(x) < Q(x) ⇔ P ( x) < Q ( x) Dấu nhị thức bậc Dấu nhị thức bậc f(x) = ax + b –∞ x − (Trái dấu với hệ số a) f(x) * Chú ý: Với a > ta có: f ( x) ≤ a ⇔ − a ≤ f ( x) ≤ a b a +∞ (Cùng dấu với hệ số a) f ( x) ≤ − a f ( x) ≥ a ⇔ f ( x) ≥ a Phương trình và hệ bất phương trình bậc hai ẩn a Biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình ax + by ≤ c (1) 2 (a +b ≠ 0) Bước 1: Trong mp Oxy, vẽ ñường thẳng ( ∆ ) : ax + by = c Bước 2: Lấy M o ( xo ; yo ) ∉ (∆) (thường lấy M o ≡ O ) Bước 3: Tính axo + byo và so sánh axo + byo và c Bước 4: Kết luận Nếu axo + byo < c thì nửa mp bờ ( ∆ ) chứa Mo là miền nghiệm ax + by ≤ c Nếu axo + byo > c thì nửa mp bờ ( ∆ ) không chứa Mo là miền nghiệm ax + by ≤ c b Bỏ bờ miền nghiệm bpt (1) ta ñược miền nghiệm bpt ax + by < c Miền nghiệm các bpt ax + by ≥ c và ax + by > c ñược xác ñịnh tương tự c Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình bậc ẩn: Với bất phương trình hệ, ta xác ñịnh miền nghiệm nó và gạch bỏ miền còn lại Sau làm trên ñối với tất các bpt hệ trên cùng mp tọa ñộ, miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm hệ bpt ñã cho Dấu tam thức bậc hai a ðịnh lí dấu tam thức bậc hai: ðịnh lí: f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ Nếu có số α cho a f (α ) < thì: TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10 (4) TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ðÀ NẴNG - f(x)=0 cho hai nghiệm phân biệt x1 và x2 - Số α nằm nghiệm x1 < α < x2 Hệ Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, ∆ = b2 – 4ac * Nếu ∆ < thì f(x) cùng dấu với hệ số a (a f(x)>0), ∀ x ∈ R −b * Nếu ∆ = thì f(x) cùng dấu với hệ số a (a f(x)>0), ∀ x ≠ 2a * Nếu ∆ > thì f(x) cùng dấu với hệ số a x < x1 x > x2; f(x) trái dấu với hệ số a x1 < x < x2.( Với x1, x2 là hai nghiệm f(x) và x1< x2) Bảng xét dấu: f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, ∆ = b2– 4ac > x1 x2 +∞ x –∞ f(x) (Cùng dấu với hệ số a) (Trái dấu với hệ số a) (Cùng dấu với hệ số a) Chú ý: Dấu tam thức bậc hai luôn luôn cùng dâu với hệ số a i) ax +bx +c >0, ∀x a > ⇔ ∆ < ii) ax +bx +c <0, ∆<0 ∀x ⇔ a < ∆ < a > ∆ ≤ a < iv) ax2 +bx +c ≤ 0, ∀ x ⇔ ∆ ≤ iii) ax2 +bx +c ≥ 0, ∀ x ⇔ Bất phương trình bậc hai a ðịnh nghĩa: Bất phương trình bậc là bpt có dạng f(x) > (Hoặc f(x) ≥ 0, f(x) < 0, f(x) ≤ 0), ñó f(x) là tam thức bậc hai ( f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ ) b Cách giải: ðể giải bất pt bậc hai, ta áp dụng ñịnh lí vầ dấu tam thức bậc hai Bước 1: ðặt vế trái f(x), xét dấu f(x) Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu và chiều bpt ñể kết luận nghiệm bpt II Phần Hình học Các vấn ñề hệ thức lượng tam giác a Các hệ thức lượng tam giác: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c , trung tuyến AM = ma , BM = mb , CM = mc ðịnh lý cosin: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA; c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC Hệ quả: TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10 b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB; (5) TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ðÀ NẴNG b +c −a 2bc cosA = 2 cosB = a2 + c2 − b2 2ac cosC = a2 + b2 − c2 2ab ðịnh lý sin: a b c = = = sin A sin B sin C 2R (với R là bán kính ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ) b .ðộ dài ñường trung tuyến tam giác: b + c a 2(b + c ) − a 2 ma = − = ; 4 a + c b 2( a + c ) − b 2 mb = − = 4 2 b +a c 2(b + a ) − c 2 mc = − = 4 c Các công thức tính diện tích tam giác: • S= S= abc 4R aha = S = pr bhb = chc S= ab.sinC 1 bc.sinA = ac.sinB 2 p( p − a )( p − b)( p − c) với p = (a + b + c) S= = Phương trình ñường thẳng * ðể viết ñược phương trình ñường thẳng dạng tham số cần phải biết ñược Toạ ñộ ñiểm và vectơ phương * ðể viết ñược phương trình ñường thẳng dạng tổng quát cần biết ñược toạ ñộ ñiểm và vectơ pháp tuyến a Phương trình tham số ñường thẳng ∆: x = x0 + tu1 y = y0 + tu với M ( x0 ; y0 )∈ ∆ và u = (u1; u ) là vectơ phương (VTCP) b Phương trình tổng quát ñường thẳng ∆: a(x – x0 ) + b(y – y0 ) = hay ax + by + c = (với c = – a x0 – b y0 và a2 + b2 ≠ 0) ñó M ( x0 ; y0 ) ∈ ∆ và n = (a; b) là vectơ pháp tuyến (VTPT) • Phương trình ñường thẳng cắt hai trục tọa ñộ hai ñiểm A(a ; 0) và B(0 ; b) là: x y + =1 a b • Phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k có dạng : y – y0 = k (x – x0 ) c Khoảng cách từ mội ñiểm M ( x0 ; y0 ) ñến ñường thẳng ∆ : ax + by + c = ñược tính theo công thức : d(M; ∆) = ax0 + bx0 + c a2 + b2 d Vị trí tương ñối hai ñường thẳng : TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10 (6) TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ðÀ NẴNG ∆1 = a1 x + b1 y + c1 = và ∆ = a2 x + b2 y + c2 = a1 b1 ≠ ∆1 cắt ∆ ⇔ a2 b2 ; Tọa ñộ giao ñiểm ∆1 và ∆ là nghiệm hệ a1 x + b1 y + c1 =0 a2 x + b2 y + c2 =0 a1 b1 c1 a1 b1 c1 = = (với a , b , c khác 0) = ≠ ∆1 ⁄ ⁄ ∆ ⇔ ; ∆1 ≡ ∆ ⇔ 2 a b2 c2 a2 b2 c2 ðường tròn a Phương trình ñường tròn tâm I(a ; b) bán kính R có dạng : (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1) hay x2 + y2 – 2ax – 2by + c = (2) với c = a2 + b2 – R2 • Với ñiều kiện a2 + b2 – c > thì phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = là phương trình ñường tròn tâm I(a ; b) bán kính R • ðường tròn (C) tâm I (a ; b) bán kính R tiếp xúc với ñường thẳng ∆: αx + βy + γ = và : d(I ; ∆) = α a + β b + γ α2 +β2 =R Phương trình Elip a Trong mặt phẳng Oxy cho ñiểm F1(-c; 0), F2(c; 0) và F1F2 = 2a (a > c > 0, a = const) Elip (E) là tập hợp các ñiểm M : F1M + F2M = 2a Hay (E) = {M / F1M + F2 M = 2a} b Phương trình chính tắc elip (E) là: x2 y2 + =1 a2 b2 (a2 = b2 + c2) c Các thành phần elip (E) là: Hai tiêu ñiểm : F1(-c; 0), F2(c; 0) Bốn ñỉnh : A1(-a; 0), A2(a; 0), B1(-b; 0), B2(b; 0) ðộ dài trục lớn: A1A2 = 2b ðộ dài trục nhỏ: B1B2 = 2b Tiêu cự F1F2 = 2c d Hình dạng elip (E); (E) có trục ñối xứng là Ox, Oy và có tâm ñối xứng là gốc tọa ñộ TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10 (7) TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ðÀ NẴNG C BÀI TẬP MẪU CHUYÊN ðỀ 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Dạng 1: Tính số yếu tố tam giác theo số yếu tố cho trước Phương pháp: * Sử dụng trực tiếp ñịnh lí Cosin và ñịnh lí Sin * Chọn các hệ thức lượng thích hợp ñối với tam giác ñể tính số yếu tố cần thiết Bài tập Bài 1:Cho tam giác ABC có b = 7cm , c = 5cm và Cos A = 0,6 a) Tính a, Sin A, diện tích tam giác ABC b) Tính ñường cao xuất phát từ ñỉnh A và kính R ñường tròn ngoại tiếp tam giác Giải a) Theo ñịnh lí Cosin ta có: a = b + c − 2bc cos A = + − 2.7.5.0,6 = 32 ⇒ a = 32 = (cm) Mặt khác vì Sin2A = – Cos2A = − 16 = ⇒ SinA = 25 25 1 ⇒ S = b.c.SinA = 7.5 = 14 (cm ) 2 S 2.28 S = a h ⇒ h = = = (cm) a a b) Từ a 2 a a = 2R ⇒ R = = = (cm) Theo ñịnh lí Sin thì: SinA 2 SinA Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 21cm, BC = 17cm , CA = 10cm a) Tính góc A =? b) Tính diện tích tam giác và chiều cao c) Tính bán kính ñường tròn nội tiếp r tam giác d) Tính ñộ dài ñường trung tuyến ma phát xuất từ ñỉnh A tam giác e) Tính bán kính ñường tròn ngoại tiếp R tam giác Giải a) Tính góc A =? Theo hệ ñịnh lí Cosin ta có: b) Ta có: p= cos A = a + b + c 21 + 17 + 10 = = 24 (cm) 2 b + c − a 10 + 212 − 17 = = 0,6 2bc 2.10.21 Theo công thức hê rông ta có: S = 24(24 − 12)(24 − 17)(24 − 10) = 84 (cm ) TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10 (8) TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ðÀ NẴNG Do ñó: S = a.ha ⇒ = 2S = 2.84 = (cm) a 21 S 84 c) Ta có S = p.r r = = = 3,5 p 24 d) ðộ dài ñường trung tuyến ma ñược tính theo công thức: b + c a 17 + 10 212 337 − = − = = 84,25 4 ⇒ ma = 84,25 ≈ 9,18 ma2 = e) Tính bán kính ñường tròn ngoại tiếp R tam giác Ta có: S = abc R = abc = 21.17.10 = 10,625 4R 4S 4.84 Dạng 2: Giải tam giác Phương pháp Sử dụng các ñịnh lí Cosin, ñịnh lí Sin, ñịnh lí tổng góc tam giác 1800, là tam giác vuông thì có thể sử dụng các hệ thức lượng tam giác Bài tập Bài tập Giải tam giác biết a) b = 14 ; c = 10 ; Aˆ = 1450 b) a = ; b = ; c = Giải 2 a) Ta có: a = b + c − 2bc cos A = 14 + 10 − 2.14.10 cos145 a ≈ 196 + 100 − 280.(−0,8191) ≈ 525,35 a ≈ 23 a b b.SinA 14.Sin145 = ⇒ SinB = = ≈ 0,34913 ⇒ Bˆ = 20 26' SinA SinB a 23 0 Cˆ =180 − ( Aˆ + Bˆ ) ≈180 − (145 + 20 26' ) ≈ 14 34' b + c − a + − 58 = = ≈ 0,8286 ⇒ Aˆ ≈ 34 3' b) cos A = 2bc 2.5.7 70 a + c − b + − 40 cos B = = = ≈ 0,71428 ⇒ Bˆ ≈ 440 25' 2ac 2.4.7 56 Cˆ = 1800 − ( Aˆ + Bˆ ) ≈ 1800 − (34 3'+440 25) ≈ 1010 32' CHUYÊN ðỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH ðƯỜNG THẲNG Dạng 1: Viết phương trình ñường thẳng ∆ ñi qua M ( x0 ; y0 ) và có vtcp u = (u1 ; u2 ) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ∆ c¸c tr−êng hîp sau : a §i qua M (1; −2) vµ cã mét vtcp u = (2; −1) TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10 (9) b §i c §i TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ðÀ NẴNG qua hai ®iÓm A(1; 2) vµ B(3; 4) x = + 2t qua M(3; 2) vµ // d : y = − t d §i qua M(2; - 3) vµ ⊥ d : 2x − y + = Giải a) ði qua M (1 ; -2) và có vtcp là u = (2; −1) Vì ñường thẳng ∆ ñi qua M (1 ;-2) và có vtcp là ñường thẳng là : u = (2; −1) nên phương trình tham số x = + 2t y = −2 − t b) ði qua hai ñiểm A(1 ; 2) và B(3 ; 4) Vì ∆ ñi qua hai ñiểm A(1 ; 2) và B(3 ; 4) nên Phương trình tham số ∆ là: ∆ có vec tơ phương AB = (2 ; 2) x = + 2t y = + 2t c) ði qua M (3 ;2) và x = + 2t // d : y = − t ðường thẳng d có vec tơ phương là : ud = (2 ; − 1) Vì ∆ song song với d nên ∆ nhận vec tơ ud = (2 ; − 1) làm vec tơ phương Hay u∆ = (2 ; − 1) , ∆ ñi qua M(3 ; 2) vì ∆ có phương trình ñường thẳng là: x = + 2t y = − t d) §i qua M (2; −3) vµ ⊥ d : x − y + = ðường thẳng d : 2x – 5y + = d có vec tơ pháp tuyến là nd = (2 ; − 5) Vì ∆ vuông góc với ñường thẳng d nên ∆ nhân vec tơ pháp tuyến d là vec tơ phương Vì vtcp ∆ là u∆ = (2 ; − 5) ∆ ñi qua M(2 ; -3) nên phương trình ñường thẳng ∆ là : x = + 2t y = −3 − t Dạng : ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ∆ ®i qua M ( x0 ; y0 ) vµ cã mét vtpt n = (a; b) ViÕt ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®−êng th¼ng ∆ c¸c tr−êng hîp sau : a §i qua M (1; 2) vµ cã mét vtpt n = (2; −3) b §i qua A(3; 2) vµ // d : x − y − = c §i qua B (4; −3) vµ x = + 2t ⊥ d : (t ∈ ℝ R) y = −t Giải a) ði qua M(1;2) và có vtpt là n = (2; −3) TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10 (10) TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ðÀ NẴNG và có vtpt là n = (2; −3) nên phương trình tham số Vì ñường thẳng ∆ ñi qua M (1 ;2) ñường thẳng là : 2(x – 1) – 3(y – 2) = 2x – 3y + = b) ði qua A(3 ; 2) và // d : 2x – y – = ñường thẳng d : 2x – y – = có vtpt là nd = (2;−1) Dường thẳng ∆ song song với ñường thẳng d nên ∆ nhận nd = (2;−1) làm vec tơ pháp tuyến Vì ∆ ñi qua A(3; 2) và có vtpt là n∆ = (2;−1) nên ∆ có phương trình là: 2(x – 3) – (y – 2) = 2x – y – = c) ði qua B(4 ;-3) và ðường thẳng d có vtcp là ud = (2 ;−1) Vì ∆ vuông góc với d nên ∆ nhận vtcp d làm vtpt n∆ = (2 ;−1) ðường thẳng ∆ ñi qua B(4 ;-3) và có vtpt n∆ = (2 ;−1) nên ∆ có phương trình tổng quát là: 2(x – 4) – (y + 3) = 2x – y – 11 = Dạng : ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ∆ ®i qua M ( x0 ; y0 ) vµ cã hÖ sè gãc k cho tr−íc - Nếu ñường thẳng ∆ có hệ số góc k thì vec tơ phương ∆ là u = (1; k ) - Kết hợp giả thiết ∆ ñi qua M(x0 ; y0) Bài tập ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ∆ c¸c tr−êng hîp sau : a §i qua M (−1; 2) vµ cã hÖ sè gãc k = b §i qua A(3; 2) vµ t¹o víi chiÒu d−¬ng trôc Ox gãc 450 Giải a) §i qua M (−1; 2) vµ cã hÖ sè gãc k = ∆ có hệ số góc k = nên ∆ có vtcp là: u∆ = (1; 3) ∆ ñi qua M(-1 ; 2) và có vtcp là u∆ = (1; 3) nên có phương trình là: x = − + t y = + 3t b) ði qua A(3 ;2) và tạo với chiều dương trục ox góc 450 Giả sử ñường thẳng ∆ có hệ số góc k, k ñược cho công thức k = tan α với α = 450 k = tan 450 k = ðường thẳng ∆ hệ số góc k = thì vtcp ∆ là u∆ = (1;1) , ∆ ñi qua A(3;2) nên ∆ có phương trình là : x = + t y = + t Bài tập 2: Cho tam giác ABC, với A(1; 4); B(3; - 1); C(6; 2) TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10 10 (11) TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ðÀ NẴNG Hãy viết phương trình tổng quát đường cao AH, và trung tuyến AM cuûa tam giaùc ABC Giải + Ta coù: AH ⊥ BC nên AH nhận vec tơ BC = (3; 3) laø vecto phaùp tuyeán cuûa AH ẠH ñi qua A(1 ; 4) và nhận BC = (3; 3) làm vtpt nên Phöông trình toång quaùt cuûa (AH) laø: 3(x - 1) + 3(y - 4) = ⇔ 3x + 3y - 15 = + Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC, ta coù: x B + xC + x = = = M 2 + − + y y C yM = B = = 2 Vậy M ; AM = ; − 2 2 2 2 là vec tơ phương ñường thẳng AM ðường thẳng AM ñi qua A(1 ; 4) và vtcp 7 7 AM = ; − 2 2 nên AM có phương trình: x = + t y = − t CHUYÊN ðỀ 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ðỐI GIỮA HAI ðƯỜNG THẲNG Bài tập 1: Xét vị trí t−ơng đối các cặp đ−ờng thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm tr−ờng hîp c¾t nhau: a) ∆1 : x + y − = 0; ∆2 : 2x + y − = b) ∆1 : x + y − 10 = c) ∆1 : x + 10 y − 12 = Giải a) ∆1 : x + y − = 0; số giao ñiểm x = − 4t ∆2 : y = + 2t x = −6 − 5t ∆2 : y = − 4t ∆2 : 2x + y − = ∆1 và ∆ chính là x+ y−2=0 2 x + y − = số nghiệm hệ phương trình: Giải hệ này chúng ta có cặp nghiệm (x , y) = (1 ; 1) Vậy hai ñường thẳng này cắt ñiểm, tọa ñộ giao ñiểm là (x , y) = (1 ; 1) b) x = − 4t ∆2 : y = + 2t ñường thẳng ∆ ta ∆1 : x + y − 10 = Từ phương trình ñược có x = (1 – 4t) và y = (2 + 2t) thay vào TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10 ∆1 ta 11 (12) TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ðÀ NẴNG 2(1 – 4t) + 4(2 + 2t) = ⇔ 10 – 8t + 8t = 10 = (vô lí) hai ñường thẳng này không có ñiểm chung Vậy hai ñường thẳng ∆1 và ∆ song song với c) ∆1 : x + 10 y − 12 = x = −6 + 5t ∆2 : y = − 4t vtcp là u = (5;−4) ðường thẳng ∆ có nên ∆ có vtpt là n = (4;5) ∆ ñi qua ñiểm có tọa ñộ (-6 ; 6) nên ∆ có pt tổng quát là : 4(x + 6) + 5(y – 6) = 4x + 5y – = Số giao ñiểm ∆1 và ∆ chính là số nghiệm hệ phương trình: 8 x + 10 y − 12 = 4 x + y − = Hệ này có vố số nghiệm nên ∆1 và ∆ trùng (Chú ý: bài toán này yêu cầu phải tìm tọa ñộ giao ñiểm nên ta dùng cách Nếu bài toán yêu cầu tìm vị trí tương ñối hai ñường thẳng thì ta nên dùng cách 1) Bài tập 2: Xác định góc hai đ−ờng thẳng a) ∆1 : x − y + = 0; ∆2 : x − y + = b) x = − 4t ∆2 : y = + 2t ∆1 : x + y − 10 = c) d1: x – 2y + = Giải a) ∆1 : x − y + = 0; ta có: cos ( ∆1 , ∆ ) = d2: 3x – y = ∆2 : x − y + = a1a2 + b1b2 a12 + b12 a22 + b22 với a1 = ; b1 = -2 ; a2 = ; b2 = -3 Vậy Cos (∆1 ; ∆ ) = | 4.1 + (−2).(−3) | + (−2) + (−3) 2 2 | 10 | = 20 10 = 10 10 = = 20 10 20 ⇒ (∆1 ; ∆ ) = 450 b) x = − 4t ∆2 : y = + 2t ∆ có vtcp là u ∆ = (−4 ; 2) ∆1 có vtpt là n∆1 = (2 ; 4) ∆1 : x + y − 10 = ðường thẳng ðường thẳng Vậy | 2.2 + 4.4 | Cos (∆1 ; ∆ ) = ⇒ (∆1 ; ∆ ) = c) d1: x – 2y + = Ta có: vì vtpt + (4) + (4) 2 2 = ∆2 là n∆ = ( ; 4) | 20 | 20 = =1 20 20 20 d2: 3x – y = TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10 12 (13) TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ðÀ NẴNG 3+ a1a + b1b2 Cos d1 ; d = = = = 2 2 + + 2 a1 + b1 a + b2 Vậy góc d1 và d2 = 45o Bài tập 3: Chứng minh hai ñường thẳng sau vuông góc với nhau: a) ∆1 : x − y − 10 = b) ∆1 : y = x + x = − 2t ∆2 : y = + 2t ∆ : y + 6x − = Giải a) x = − 2t ∆2 : y = + 2t ∆ có vtcp là u ∆ = (−2 ; 2) ∆1 có vtpt là n∆1 = (2 ; − 2) ∆1 : x − y − 10 = ðường thẳng ðường thẳng Vì Cos (∆1 ; ∆ ) = ⇒ (∆1 ; ∆ ) = vì vtpt | 2.2 + (−2).2 | + (−2) + (2) 2 2 = ∆2 là n ∆ = ( ; 2) |0| =0 8 Vậy hai ñường thẳng trên vuông góc với b) ∆1 : y = 3x + ∆ : y + 6x − = ðường thẳng ∆ : 2y +6x – = y = -3x + ∆ có hệ số góc k2 = -3 ðường thẳng ∆1 có hệ số góc k1 = k1.k2 = 3.(-3)= ∆1 và ∆ vuông góc với CHUYÊN ðỀ 4: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ðIỂM ðẾN ðƯỜNG THẲNG Bài tập 1: Tính khoảng cách từ ñiểm ñến dường thẳng ñược cho tương ứng sau: a) A(3 ; 5) và ∆ : 4x + 3y + = b) B(1 ; 2) và ∆' : 3x – 4y + = Giải: a) Ta có: d ( A, ∆) = b) d ( A, ∆' ) = 4.(3) + 3.(5) + 16 + 3.(1) − 4.(2) + + 16 = 28 = Bài tập 2: Tính khoảng cách từ ñiểm ñến ñường thẳng ñược cho tương ứng sau: TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10 13 (14) a) A(4 ; -2) và ñường thẳng b) B(-7 ; 3) và ñường thẳng TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ðÀ NẴNG x = − 2t d: y = + 2t x =1− t d’: y = 3t Giải a) A(4 ; -2) và ñường thẳng d: x = − 2t y = + 2t ðường thẳng d ñi qua ñiểm có tọa ñộ (1 ; 2) và có vtcp là ud = (−2 ; 2) vì vtpt d là nd = (2 ; 2) Phương trình tổng quát ñường thẳng d là: 2(x – 1) +2(y – 2) = 2x +2y - = Ta có: d ( A, d ) = 2.(4) + 2.(−2) − 4+4 b) B(-7 ; 3) và ñường thẳng d’: = 2 = = 2 x = − t y = 3t ðường thẳng d ñi qua ñiểm có tọa ñộ (1 ; 0) và có vtcp là ud = (−1; 3) vì vtpt d là nd = (3;1) Phương trình tổng quát ñường thẳng d là: -1(x – 1) +3(y – 0) = -x + 3y +1 =0 Ta có: d ( A, d ) = − 1.(−7) + 3.(3) + 1+ = 17 10 CHUYÊN ðỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH ðƯỜNG TRÒN Dạng 1: Nhận dạng phương trình bậc hai là phương trình ñường tròn Tìm tâm và bán kính ñường tròn Phương pháp: Cách 1: ðưa phương trình dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by +c = (1) 2 - Xét dấu biểu thức m = a + b – c Nếu m > thì (1) là phương trình ñường tròn tâm I(a , b) bán kính R = a2 + b2 − c Cách 2: - ðưa phương trình dạng: (x – a)2 + (y – b)2 = m (2) - m > thì (2) là phương trình ñường tròn tâm I(a ; b) bán kính R = m 2.Bài tập Bài tập 1:Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn ñường tròn Hãy tìm tâm và bán kính có: TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10 14 (15) TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ðÀ NẴNG a) x + y – 6x + 8y + 100 = b) x2 + y2 + 4x - 6y - 12 = c) 2x2 + 2y2 - 4x + 8y - = Giải a) x2 + y2 – 6x + 8y + 100 = (1) 2 (1) có dạng x + y - 2ax - 2by +c = ñó a = ; b = -4 , c = 100 Xét biểu thức m = a2 + b2 – c = 32 + (-4)2 – 100 = + 16 – 100 = 75 < Vậy phương trình (1) không phải là phương trình ñường tròn b) x2 + y2 + 4x - 6y - 12 = (2) 2 (2) có dạng x + y - 2ax - 2by +c = ñó a = -2 ; b = , c = -12 Xét biểu thức m = a2 + b2 – c = (-2)2 + (3)2 +12 = + 9+12 = 25 > 0 phương trình (2) là phương trình ñường tròn tâm I(-2 ; 3) và có bán kính R = a + b − c = ( −2) + + 12 = 25 = 2 c) 2x + 2y - 4x + 8y - = (3) Ta có: 2x + 2y - 4x + 8y - = x2 + y2 – 2x + 4y - = Phương trình này có dạng x2 + y2 - 2ax - 2by +c ñó a = ; b = -2 Xét biểu thức m= a2 + b2 – c = 12 + (-2)2 +1 = > Phương trình này là phương trình ñường tròn tâm I(1 ; -2) và có bán kính 2 R = a + b − c = (1) + ( −2) + = Bài tập Cho phương trình x2 + y2 – 2mx +4my + 6m -1 = (1) Với giá trị nào m thì phương trình trên là ñường tròn? Giải Phương trình (1) có dạng x2 + y2 - 2ax - 2by +c = với a = m ; b = -2m ; c = 6m – (1) là phương trình ñường tròn và m = a2 + b2 – c > Với a2 + b2 – c > m2 +(-2m)2 – 6m + 1> 5m2 – 6m + > m < m > Dạng 2: Lập phương trình ñường tròn Phương pháp Cách 1: - Tìm tọa ñộ tâm I(a ; b) ñường tròn (C) - Tìm bán kính R (C) - Viết phương trình ñường tròn theo dạng (x – a)2 + (y – b)2 = R2 * Chú ý TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10 15 (16) 2 TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ðÀ NẴNG - (C) ñi qua A , B IA = IB = R - (C) ñi qua A và tiếp xúc với ñường thẳng m A IA = d(I ; m) - (C) tiếp xúc với hai ñường thẳng m1 và m2 d(I ; m1) = d(I ; m2) = R Cách - Gọi phương trình ñường tròn là x2 + y2 - 2ax - 2by +c = (2) - Từ ñiều kiện ñề bài ñưa ñến hệ phương trình với ẩn số là a, b, c - Giải hệ phương trình tìm a, b, c vào (2) ta ñược phương trình ñường tròn Bài tập Bài tập Lập phương trình ñường tròn (C) các trường hợp sau : a (C) có tâm I(-1 ; 2) và tiếp xúc với ñường thẳng m : x – 2y + = b (C) có ñường kính là AB với A( ; 1) , B(7 ; 5) Giải a) Ta có : R = d ( I ; m) = − − 2.2 + 1+ = ðường tròn (C) có tâm I(-1 ; 2) có bán kính R = tròn là: nên phương trình ñường (x + 1)2 + (y – 2)2 = b) Tâm I ñường tròn (C) là trung ñiểm AB ta có: x A + xB + = =4 x I = 2 y = y A + yB = + = I 2 ⇒ I (4; 3) Vì R = IA = (1 − 4) + (1 − 3) = 13 Vậy phương trình ñường tròn là: (x – 4)2 + (y – 3)2 = 13 Bài tập Viết phương trình ñường tròn ñi qua ba ñiểm A(1 ;2) ; B(5 ; 2) ; C(1 ;-3) Giải Xét ñường tròn (C) có dạng x2 + y2 - 2ax - 2by +c = (C) ñi qua A ,B, C và A, B, C thỏa mãn phương trình ñường tròn, tức là : a = 1 + − 2a − 4b + c = 2a + 4b − c = 25 + − 10a − 4b + c = ⇔ 10a + 4b − c = 29 ⇔ b = − 1 + − 2a + 6b + c = 2a − 6b − c = 10 c = −1 Vậy phương trình ñường tròn ñi qua ba ñiểm A , B, C là: x2 + y2 - 6x + y – = Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10 16 (17) TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ðÀ NẴNG Phương pháp * Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến M(x0 ; y0) thuộc ñường tròn (C) - tìm tọa ñộ tâm I(a ; b) (C) - Phương trình tiếp tuyến với (C) M(x0 ; y0) có dạng (x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0) = *Loại 2: Lập phương trình tiếp tuyến d (C) chưa biết tọa ñộ tiếp ñiểm: - dùng ñiều kiện tiếp xác ñể xác ñịnh d: d tiếp xúc với ñường tròn (C) tâm I, bán kính R d(I,d) =R Bài tập Bài tập Viết phương trình tiếp tuyến với ñường tròn (C) : (x – 1)2 + (y + 2)2 = 25 Tại ñiểm M(4 ; 2) thuộc ñường tròn (C) Giải ðường tròn (C) có tâm là I (1 ; -2) Vậy phương trình tiếp tuyến với ñường tròn M(4 ; 2) có dạng: (x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0) = (4 – 1)(x – 4) + (2 + 2)(y – 2) = 3x + 4y – 20 = Bài tập Lập phương trình tiếp tuyến với ñường tròn (C) : x2 + y2 – 4x – 2y = Biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm A(3 ;-2) Giải Phương trình ñường thẳng d ñi qua A(3 ;-2) có dạng y + = k(x – 3) kx – y – -3k = ðường tròn (C) có tâm I(2 ; 1) và có bán kính R = a + b − c = d tiếp xúc với (C) d(I, d) = 2k − − − 3k k +1 +1− = k = = ⇔ (3 + k ) = 5(k + 1) ⇔ 4k − 6k − = ⇔ k = − 2 Vậy có hai tiếp tuyến với (C) ñược kẻ từ A là: d1: 2x – y – = d2: x + 2y + = CHUYÊN ðỀ 6: ELIP Dạng 1: Lập phương trình chính tắc (E) biết các thành phần ñủ ñể xác ñịnh Elip ñó Phương pháp TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10 17 (18) TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ðÀ NẴNG - Từ các thành phần ñã biết, áp dụng công thức liên quan ta tìm ñược phương trình chính tắc E ñó - Lập PTCT theo công thức: (E) : x2 y2 + = (a = b + c ) a2 b2 - Ta có các hệ thức: * < b < a * c2 = a2 – b2 * Tiêu cự: F1F2 = 2c * ðộ dài trục lớn: A1A2 = 2a * ðộ dài trục bé: B1B2 = 2b * M ∈ ( E ) ⇔ F1M + F2 M = 2a * Hai tiêu ñiểm: F1(-c ; 0) ; F2(c ; 0) * Hai ñỉnh trên trục lớn: A1 (-a ; ) ; A2 (a ; ) * Hai ñỉnh trên trục nhỏ: B1 (0; -b ) ; B2 (0 ; b ) Bài tập Bài tập 1: Lập PTCT Elip trường hợp sau: a) ðộ dài trục lớn 10 và tiêu cự b) Một tiêu ñiểm (− ;0 ) và ñiểm 3 1; nằm trên Elip c) Một ñỉnh trên trục lớn là ñiểm (3 ; 0) và mọt tiêu ñiểm là (-2 ; 0) d) Elip ñi qua hai ñiểm M(0 ; 1) và N 1 ; 3 Giải a) ðộ dài trục lớn 10 và tiêu cự Ta có ñộ dài trục lớn 10 nên 2a = 10 a = ; Tiêu cự nên 2c = c = Với b2 = a2 – c2 = 25 – = 16 Từ ñây ta có phương trình chính tắc elip là: x2 y2 + =1 25 16 (− ) và ñiểm 3 1; nằm trên 2 Phương trình chính tắc (E) có dạng x + y = a b Vì (E) có tiêu ñiểm F1 − ; nên c = b) Một tiêu ñiểm ;0 ( ðiểm 3 1; nằm trên (E) nên Elip ) + =1 a 4b (1) Với a2 = b2 + c2 = b2 +3 vào (1) ta có: + = ⇔ 4b + 3(b + 3) = 4b (b + 3) ⇔ 4b + 5b − = ⇔ b = ⇒ a = + = b + 4b TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10 18 (19) TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ðÀ NẴNG Vậy phương trình chính tắc là x y + =1 c) Một ñỉnh trên trục lớn là ñiểm (3 ; 0) và tiêu ñiểm là (-2 ; 0) Một ñỉnh trên trục lớn là ñiểm (3 ; 0) nên ta có a = Một tiêu ñiểm là (-2 ; 0) nên c = Suy b2 = a2 – c2 = 32 – 22 = – = x2 y2 + =1 d) Elip ñi qua hai ñiểm M(0 ; 1) và N 1 ; x2 y Phương trình chính tắc (E) có dạng + = a b Vì E ñi qua hai ñiểm M(0 ; 1) và N 1 ; nên 1 b = b = vào phương trình E ta ñược: ⇔ + = a = a 4b 2 Vậy phương trình chính tắc là x + y = Vậy phương trình chính tắc là thay tọa ñộ hai ñiểm M và N Dạng 2: Xác ñịnh thành phần Elip biết PTCT E ñó Phương pháp Các thành phần E : x2 y + =1 a2 b2 là: * Tiêu cự: F1F2 = 2c * ðộ dài trục lớn: A1A2 = 2a * ðộ dài trục bé: B1B2 = 2b * M ∈ ( E ) ⇔ F1M + F2 M = 2a - Ta có tọa ñộ các ñiểm ñặc biệt E * Hai tiêu ñiểm: F1(-c ; 0) ; F2(c ; 0) * Hai ñỉnh trên trục lớn: A1 (-a ; ) ; A2 (a ; ) * Hai ñỉnh trên trục nhỏ: B1 (0; -b ) ; B2 (0 ; b ) * Tỉ số: c < a * Phương trình ñường thẳng chứa cạnh hình chữ nhật sở là: Bài tập Cho E có phương trình: x = ± a ; y= ± b x2 y2 + =1 25 Xác ñịnh ñộ dài các trục, tọa ñộ tiêu ñiểm, tọa ñộ các ñỉnh Giải TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10 19 (20) Phương trình chính tắc (E) có TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ðÀ NẴNG 2 a = 25 a = dạng x + y = vì ta có: ⇒ a b b = b = ⇒ c = a2 − b2 = Vậy (E) có: - Trục lớn A1A2 = 2a = 10 - Trục nhỏ: B1B2 = 2b = - Hai tiêu ñiểm: F1(-4 ; 0) ; F2(4 ; 0) - Bốn ñỉnh: A1 (-5 ; ) ; A2 (5 ; ) B1 (0; -3 ) ; B2 (0 ; ) D BÀI TẬP TỰ LUYỆN I Phần ðại số Bất phương trình và hệ bất phương trình Bài 1: Tìm ñiều kiện các phương trình sau ñây: a) x+2 < x+2 ( x − 3)2 b) x+2 + x3 ≥ x − 3x + Bài 2: Giải bất phương trình sau: a) − x + x − ≥ −10 d) 3x + − ≤ x + + x b) ( x − 2) x − <2 x −1 c) x + − x + > x + e) ( − x + 3)(2 − x − 5) > − x − f) ( x − 4) ( x + 1) > Bài 3: Giải các hệ phương trình: 5x + ≥ − x a) − x < 3x + 13 x −1 ≤ 2x − c) 3x < x + − 3x ≤ x −3 b) 4x − < x + 3x + > x − 3(2 x − 7) − x + > d) 5(3 x − 1) x − < 2 Bài 4: Giải các bpt sau: a (4x – 1)(4 – x2)>0 b c d (2x − 3)(x − x + 1) <0 4x − 12x + + < x −1 x − x − x +1 x −1 +2> x −1 x TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10 20 (21) e TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ðÀ NẴNG 10 − x ≥ + x2 Bài 5: Giải các hệ bpt sau: a 5x − 10 > x − x − 12 < d 4x − − x < x − 2x − ≥ b e 3x − 20x − < 2x − 13x + 18 > x 3x − x + − < − 5x − − 3x − 13 < 5x + 10 c 3x − 4x > x +1 − x x − 6x − 16 < d 3x + 8x − ≤ 2 +x>0 x Dấu nhị thức bậc Bài 1: Giải các bất phương trình a) x(x – 1)(x + 2) < b) (x + 3)(3x – 2)(5x + 8)2 < d) g) −4 x + ≤ −3 3x + x − > 2x − e) h) x + 3x − > −x 2− x x − x−3 =8 c) f) 2x − < k) x +1 ≤ x − x + >1 3− x Phương trình và hệ bất phương trình bậc hai ẩn Bài 1: Biểu diễn hình học tập nghiệm các bất phương trình sau: a) 2x + 3y + 1>0 b) x – 5y < c) 4(x – 1) + 5(y – 3) > 2x – d) 3x + y > Bài 2: Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình: a) 3 x + y − ≥ x − y + ≥ b) 3 − x < 2 x − y + > c) x − 3y < x + y > −3 y + x < Dấu tam thức bậc hai Bài 1: Xét dấu các tam thức bậc hai: b) – x2 – 4x +5 a) 3x2 – 2x +1 Bài 2:Xét dấu các biểu thức sau: a) A = c) C = 1 7 x − 2x − − 2x − 2 2 11x + − x + 5x − e) y − x <1 y + x < y > x c) 2x2 +2 b) B = 3x − x − − x2 d) D = x2 − 3x − − x2 + x − 2x +1 Bài 3: Tìm các giá trị tham số m ñể phương trình sau có nghiệm: a) 2x2 + 2(m+2)x + + 4m + m2 = b) (m–1)x2 – 2(m+3)x – m + = Bài 4: Tìm các giá trị m ñể phương trình: a) x2 + 2(m + 1)x + 9m – = có hai nghiệm âm phân biệt b) x2 – 6m x + – 2m + 9m2 = có hai nghiệm dương phân biệt c) (m2 + m + 1)x2 + (2m – 3)x + m – = có hai nghiệm dương phân biệt Bài 5:Xác ñịnh m ñể tam thức sau luôn dương với x: TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10 21 (22) TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ðÀ NẴNG a) x +(m+1)x + 2m +7 b) x2 + 4x + m –5 c) (3m+1)x2 – (3m+1)x + m +4 d) mx2 –12x – Bài 6: Xác ñịnh m ñể tam thức sau luôn âm với x: a) mx2 – mx – b) (2 – m)x2 + 2(m – 3)x + 1– m c) (m + 2)x2 + 4(m + 1)x + 1– m2 d) (m – 4)x2 +(m + 1)x +2m–1 Bài 7: Xác ñịnh m ñể hàm số f(x)= mx − x + m + ñược xác ñịnh với x Bài 8: Tìm giá trị tham số ñể bpt sau nghiệm ñúng với x b) mx2 –10x –5 < a) 5x2 – x + m > c) m(m + 2)x2 + 2mx + >0 d) (m + 1)x2 –2(m – 1)x +3m – ≥ < Bài 9: Tìm giá trị tham số ñể bpt sau vô nghiệm: a) 5x2 – x + m ≤ b) mx2 –10x –5 ≥ Bài 10: Cho phương trình : −3x − (m − 6) x + m − = với giá nào m thì : a Phương trình vô nghiệm b Phương trình có nghiệm c Phương trình có nghiệm trái dấu d Phương trình có hai nghiệm phân biệt f Có nghiệm kép và tìm nghiệm kép ñó g Có hai nghiệm dương phân biệt Bài 11: Với giá trị nào m thì hệ sau có nghiệm { x − x + 20 ≤ a) x − 2m > { x − 5x + > b) m − 2x ≥ Bài 12: Với giá trị nào m thì hệ sau vô nghiệm { a) x − x + > x − 3m < { b) x − ≥ 4x − m − < Phương trình bậc hai & bất phương trình bậc hai Bài Giải các phương trình sau a) x + 3x + = x + 3x − c) | x + 1| + | x + |= x + b) x − x = x − d ) x − x − 15 = x − Bài Giải các bất phương trình sau (2 x − 5)(3 − x) (2 x − 1)(3 − x) a) ≤ b) >0 x+2 x − 5x + x2 − x + 2x −1 c) > d) < 1− x e) < x − 4x + 2x − 5x + x − − 2x |1 − x | f) ≤ g ) x + 24 x + 22 ≥ x + h) | x − x + |> x + x + x − x−2 Bài Giải các hệ bất phương trình TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10 22 (23) TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ðÀ NẴNG ( x − 5)( x + 1) ≤0 x b) x − 4x < x − Bài 4: Giải các bất phương trình sau: a) (x–1)(x2 – 4)(x2+1) ≤ b) (–x2 +3x –2)( x2 –5x +6) ≥ c) x3 –13x2 +42x –36 >0 d) (3x2 –7x +4)(x2 +x +4) >0 Bài 6: Giải các bất phương trình sau: − x2 + 3x + ≥ a) ( x − 1)( x − 2) < −2 a) 10 − x2 > 5+ x d) x − 10 x + ≥0 x2 + x + b) − x > 2x − e) 1 − 2x + < x +1 x + x + c) x2 + x + <0 x2 − x − f) 2x − < x − 6x − x − 2) Giải các hệ bpt sau x + < 4x + a) 8x + < x + 15 x − > x + b) 3x + x − 10 ≥ x − x + 12 < c) (9 − x )( x − 1) ≥ Thống kê Bài 1: Cho bảng thống kê: Năng suất lúa hè thu (tạ/ha) năm 1998 31 tỉnh từ Nghệ An trở vào là: 30 30 25 25 35 45 40 40 35 45 35 25 45 30 30 30 40 30 25 45 45 35 35 30 40 40 40 35 35 35 35 a) Dấu hiệu ñiều tra là gì? ðơn vị ñiều tra? b) Hãy lập: o Bảng phân bố tần số o Bảng phân bố tần suất c) Dựa vào kết câu b) Hãy nhận xét xu hướng tập trung các số liệu thống kê Bài 2: ðo khối lượng 45 táo (khối lượng tính gram), người ta thu ñược mẫu số liệu sau: 86 86 86 86 87 87 88 88 88 89 89 89 89 90 90 90 90 90 90 91 92 92 92 92 92 92 93 93 93 93 93 93 93 93 93 94 94 94 94 95 96 96 96 97 97 a) Dấu hiệu ñiều tra là gì? ðơn vị ñiều tra? Hãy viết các giá trị khác mẫu số liệu trên b) Lập bảng phân bố số và tần suất ghép lớp gồm lớp với ñộ dài khoảng là 2: Lớp khoảng [86;88] lớp khoảng [89;91] Bài 3: Cho mẫu số liệu có bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp sau: TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10 23 (24) TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ðÀ NẴNG Nhóm Khoảng Tần số(ni) Tần suất (fi) [86;88] 20% [89;91] 11 24.44% [92;94] 19 42.22% [95;97] 13.34% Tổng N = 45 100% a) Vẽ biểu ñồ hình cột tần số b) Vẽ biểu ñồ hình cột tần suất c) Vẽ biểu ñồ ñường gấp khúc tần số d) Vẽ biểu ñồ hình quạt Bài 4: ðo ñộ dài chi tiết máy (ñơn vị ñộ dài là cm) ta thu ñược mẫu số liệu sau: 40.4 40.3 42.0 44.5 49.8 50.6 51.2 53.4 55.5 56.0 56.4 57.2 57.4 58.0 58.7 58.8 58.9 59.1 59.3 59.4 60.0 60.3 60.5 62.8 a) Tính số trung bình, số trung vị và mốt b) Lập bảng số ghép lớp gồm lớp với ñộ dài khoảng là 4: nhóm ñầu tiên là [40;44) nhóm thứ hai là [44;48); Bài 5: Khối lượng 85 lợn (của ñàn lợn I) ñược xuất chuồng (ở trại nuôi lợn N) Lớp khối 1) Lập bảng phân bố tần suất ghép lớp, với các lớp lượng bảng bên [45;55) 2) Vẽ biểu ñồ tần số hình cột thể bảng bên [55;65) 3) Tính giá trị trung bình [65;75) [75;85) [85;95) Cộng Tần số 10 20 35 15 85 Bài 6: Thống kê ñiểm toán lớp 10D1 ñược kết sau: ðiểm 10 Tần 3 13 số Tìm mốt ?Tính số ñiểm trung bình, tìm số trung vị ? Bài Cho bảng số liệu sau: Số tiền lãi thu ñược tháng (Tính triệu ñồng) 22 tháng kinh doanh kể từ ngày bố cáo thành lập công ty cho ñến công ty 12 13 12,5 14 15 16,5 17 12 13.5 14,5 19 12,5 16,5 17 14,5 13 13,5 15,5 18,5 17,5 19,5 20 a)Lập bảng phân bố tần số ,tần suất ghép lớp theo các lớp [12;14),[14;16),[16;18),[18;20] b)Vẽ biểu ñồ ñường gấp khúc tần số TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10 24 (25) TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ðÀ NẴNG Bài Chọn 23 học sinh và ghi cỡ giầy các em ta ñược mẫu số liệu sau: 39 41 40 43 41 40 44 42 41 43 38 39 41 42 39 40 42 43 41 41 42 39 41 a Lập bảng phân bố tần số, tần suất b Tính số trung vị và số mốt mẫu số liệu(lấy gần ñúng chữ số thập phân) Bài 9: Chiều cao 30 học sinh lớp 10 ñược liệt kê bảng sau (ñơn vị cm): 145 158 161 152 152 167 150 160 165 155 155 164 147 170 173 159 162 156 148 148 158 155 149 152 152 150 160 150 163 171 a) Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp với các lớp là: 145; 155); [155; 165); [165; 175] b) Vẽ biểu ñồ tần số, tần suất hình cột, ñường gấp khúc tần suất Lượng giác Bài 1: ðổi các số ño góc sau ñộ: 2π 3π 3π 2π 3π ; ; 1; ; ; ; 10 16 Bài 2: ðối các số ño góc sau rañian: 350; 12030’; 100; 150; 22030’; 2250 Bài 3: Một cung tròn có bán kính 15cm Tìm ñộ dài các cung trên ñường tròn ñó có số ño: a) π b) 250 c) 400 d) 16 Bài 4: Trên ñường tròn lượng giác, xác ñịnh các ñiểm M khác biết cung ⌢ AM có các số ño: a) k π b) k π c) k 2π (k ∈ Z ) d) π + k π (k ∈ Z ) Bài 5: Tính giá trị các hàm số lượng giác các cung có số ño: a) -6900 b) 4950 c) − 17π Bài 6: a) Cho cosx = −3 và 1800 < x < 2700 tính sinx, tanx, cotx b) Cho tan α = và π <α < 3π 2 d) 15π Tính cot α , sin α , cos α Bài 7: Rút gọn các biểu thức a) A= cos − sin x + cos x Bài 8: Tính giá trị biểu thức: a) A = cot α + tan α biết sin α = cot α − tan α b) B = sin x(1 + cot x) + cos (1 + tan x) và < TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10 α < π 25 (26) b) Cho tan α = TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ðÀ NẴNG 2sin α + 3cos α ; 3sin3 α − cos 3α 4sin α − cos α 5sin α + cos α Tính Bài 9: Chứng minh các ñẳng thức sau: a) sin x + + cos x = b) sin4x + + cos x sin x sin x cos x − = tan x c) cos x + sin x 6 2 d) sin x + cos x = – 3sin x.cos x f) e) cos4x = – 2sin2x.cos2x cos x − sin x = sin x.cos x 2 cot x − tan x + sin x = + tan x − sin x Bài 10: Tính giá trị lượng giác các cung: b) 5π c) 7π a) π 12 Bài 11: 12 12 a) Biến ñổi thành tổng biểu thức: A = cos x cos 3x 5π 7π b Tính giá trị biểu thức: B = cos sin Bài 12: Biến ñổi thành tích biểu thức: Bài 13: Chứng minh rằng: a) − tan x = tan π − x + tan x 4 12 12 A = sin x + sin 2x + sin 3x b) + tan x π = tan + x − tan x 4 Bài 14: Tính giá trị các biểu thức a) A = sin π cos π cos π cos π c) C = ( cos150 − sin150 ) ( cos150 + sin150 ) 24 24 B = cos 75 − 12 b) Bài 15: Rút gon biểu thức: a) A= sin 2α + sin α + cos 2α + cos α b) B= 4sin α − cos α c) + cos α − sin α − cos α − sin α Bài 16: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào α , β b) (tan α − tan β ) cot(α − β ) − tan α tan β a) sin 6α cot 3α − cos 6α c) α α 2α cot − tan tan 3 Bài 17: Tính giá trị lượng giác góc a) sin α = − và π<α< b) cos α = 0.8 và 3π < α < 2π c) tan α = d) cot α = − 13 và 19 0<α< và α nếu: 3π π π <α<π Bài 18: Chứng minh các ñẳng thức sau a sin α + cos2 α − = sin α cot α TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10 26 (27) TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ðÀ NẴNG sin α + cos α = − sin α cos α sin α + cos α sin α − cos2 α tan α − = + sin αc os α tan α + sin α − tan α = tan α 2 cos α − cot α sin α + cos4 α − sin α − cos6 α = sin α cos2 α b c d e II Phần Hình học Hệ thức lượng tam giác Bài 1: Cho ∆ ABC có c = 35, b = 20, A = 600 Tính ha; R; r Bài 2: Cho ∆ ABC có AB =10, AC = và A = 600 Tính chu vi ∆ ABC , tính tanC Bài 3: Cho ∆ ABC có A = 600, cạnh CA = 8cm, cạnh AB = 5cm a) Tính BC b) Tính diện tích ∆ ABC c) Xét xem góc B tù hay nhọn? b) Tính ñộ dài ñường cao AH e) Tính R Bài 4: Trong ∆ ABC, biết a – b = 1, A = 30 , hc = Tính Sin B Bài 5: Cho ∆ ABC có a = 13cm, b = 14cm, c = 15cm a) Tính diện tích ∆ ABC b) Góc B tù hay nhọn? Tính B c) Tính bánh kính R, r d) Tính ñộ dài ñường trung tuyến mb Bài 6: Cho ∆ ABC có cạnh 9; 5; và Tính các góc tam giác ? Tính khoảng cách từ A ñến BC Bài 7: Cho ∆ ABC a)Chứng minh SinB = Sin(A+C) b) Cho A = 600, B = 750, AB = 2, tính các cạnh còn lại ∆ ABC Phương trình ñường thẳng Bài 1: Lập phương trình tham số và tổng quát ñường thẳng ( ∆ ) biết: a) ( ∆ ) qua M (–2;3) và có VTPT n = (5; 1) b) ( ∆ ) qua M (2; 4) và có VTCP u = (3; 4) Bài 2: Lập phương trình ñường thẳng ( ∆ ) biết: ( ∆ ) qua M (2; 4) và có hệ số góc k =2 Bài 3: Cho ñiểm A(–4; 1), B(0; 2), C(3; –1) a) Viết pt các ñường thẳng AB, BC, CA b) Gọi M là trung ñiểm BC Viết pt tham số ñường thẳng AM c) Viết phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm A và tâm ñường tròn ngoại tiếp ∆ Bài 4: Viết phương trình tham số ñường thẳng: 2x – 3y – 12 = Bài 5: Viết phương trình tổng quát, tham số, chính tắc (nếu có) các trục tọa ñộ Bài 6: Viết phương trình tham số các ñường thẳng y + = và x – = Bài 7: LậpPTðT ( ∆ ) biết: ( ∆ ) qua A (1; 2) và song song với ñường thẳng x + 3y – 1=0 TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10 27 (28) TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ðÀ NẴNG Bài 8: Cho biết trung ñiểm ba cạnh tam giác là M1(2; 1); M2 (5; 3); M3 (3; –4) Lập phương trình ba cạnh tam giác ñó Bài 9: Trong mặt phẳng tọa ñộ cho tam giác với M (–1; 1) là trung ñiểm cạnh, hai cạnh có phương trình là: x + y –2 = 0, 2x + 6y +3 = Xác ñịnh tọa ñộ các ñỉnh tam giác Bài 10: Cho tam giác ABC có ñỉnh A (2; 2) a) Lập phương trình các cạnh tam giác biết các ñường cao kẻ từ B và C có phương trình: 9x –3y – = và x + y –2 = b) Lập phương trình ñường thẳng qua A và vuông góc AC Bài 11: Cho ñường thẳng d : x = + 2t , y = −1 − t t là tham số Hãy viết phương trình tổng quát d Bài 12: Xét vị trí tương ñối cặp ñường thẳng sau: a) d1: 2x – 5y +6 = và d2: – x + y – = b) d1: – 3x + 2y – = và d2: 6x – 4y – = c) d1: x = −1 − 5t y = + 4t và d2: d) d1: 8x + 10y – 12 = x = −6 + 5t y = − 4t x = −6 + 5t và d2: y = − 4t Bài 13: Tính góc hai ñường thẳng a) d1: 2x – 5y +6 = và d2: – x + y – = b) b) d1: 8x + 10y – 12 = và d2: x = −6 + 5t y = − 4t c)d1: x + 2y + = và d2: 2x – y + = Bài 14: Cho ñiểm M(2; 5) và N(5; 1) Viết phương trình ñường thẳng d ñi qua M và cách ñiểm N khoảng Bài 15: Viết phương trình ñường thẳng d ñi qua gốc tọa ñộ và cách ñiểm M(1; 2) khoảng Bài 16: Cho ñường thẳng ∆ : 2x – y – = và ñiểm M(1; 2) a) Viết phương trình ñường thẳng ( ∆ ’) ñi qua M và vuông góc với ∆ b) Tìm tọa ñộ hình chiếu H M trên ∆ c) Tìm ñiểm M’ ñối xứng với M qua ∆ Bài 17: Viết phương trình tham số, phương trình tổng quát đường thẳng (d) các trường hợp sau: a) d qua A(2; -3) vaø coù vectô chæ phöông u = (2; −1) b) d qua B(4;-2) vaø coù vectô phaùp tuyeán n = (−2; −1) c) d qua hai ñieåm D(3;-2) vaø E(-1; 3) d) d qua M(2; -4) và vuông góc với đường thẳng d’: x – 2y – = e) d qua N(-2; 4) và song song với đường thẳng d’: x – y – = Bài 18: Cho ñường thẳng ∆ có ptts x = + 2t y = + t TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10 28 (29) TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ðÀ NẴNG a Tìm ñiểm M nằm trên ∆ và cách ñiểm A(0 ;1) khoảng b Tìm tọa ñộ giao ñiểm ñường thẳng ∆ với ñường thẳng x + y + = c Tìm ñiểm M trên ∆ cho AM là ngắn Bài 19: Lập phương trình ba ñường trung trực tam giác có trung ñiểm các cạnh là M(-1; 0) ; N(4 ; 1); P(2 ;4) Bài 20: Với giá trị nào tham số m thì hai ñường thẳng sau vuông góc: ∆1 : mx + y + q = ∆ : x –y + m = Bài 21: Cho tam giác ABC có: A(3;-5), B(1;-3), C(2;-2).Viết phương trình ñường thẳng a) ñường thẳng AB, AC, BC b) ðường thẳng qua A và song song với BC c) Trung tuyến AM và ñường cao AH tam giác ABC d) ðường trung trực BC a) Tìm tọa ñộ ñiểm A’ là chân ñường cao kẻ từ A tam giaùc ABC b) Tính khoảng cách từ ñiểm C ñến ñường thẳng AB Tính diện tích tam giác ABC Bài 22: Cho ñường thẳng d : x − y + = và ñiểm A(4;1) a) Tìm tọa ñộ ñiểm H là hình chiếu A xuống d b) Tìm tọa ñộ ñiểm A’ ñối xứng với A qua d c) Viết pt tham số ñường thẳng d d) Tìm giao ñiểm d và ñường thẳng d’ x = + 2t y = 3+t e) Viết phương trình tổng quát ñường thẳng d’ ðường tròn Bài 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn ñường tròn? Tìm tâm và bán kính có: a) x2 + 3y2 – 6x + 8y +100 = b) 2x2 + 2y2 – 4x + 8y – =0 d) x2 + y2 + 4x + 10y +15 c) (x – 5)2 + (y + 7)2 = 15 =0 Bài 2: Cho phương trình x2 + y2 – 2mx – 2(m– 1)y + = (1), m là tham số a) Với giá trị nào m thì (1) là phương trình ñường tròn? b) Nếu (1) là ñường tròn hãy tìm tọa ñộ tâm và bán kính ñường tròn theo m Bài 3: Viết phương trình ñường tròn các trường hợp sau: a) Tâm I(2; 3) có bán kính b) Tâm I(2; 3) ñi qua gốc tọa ñộ c) ðường kính là AB với A(1; 1) và B( 5; – 5) d) Tâm I(1; 3) và ñi qua A(3; 1) TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10 29 (30) TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ðÀ NẴNG Bài 4: Viết phương trình ñường tròn ñi qua ñiểm A(2; 0); B(0; – 1) và C(– 3; 1) Bài 5: a) Viết phương trình ñường tròn tâm I(1; 2) và tiếp xúc với ñường thẳng D: x – 2y – = b) Viết phương trình ñường tròn tâm I(3; 1) và tiếp xúc với ñường thẳng D: 3x + 4y + = Bài 8: Viết phương trình ñường tròn ñi qua A(1; 1), B(0; 4) và có tâm ∈ ñường thẳng d: x –y–2=0 Bài 9: Viết phương trình ñường tròn ñi qua A(2; 1), B(–4;1) và có bán kính R=10 Bài 10: Viết phương trình ñường tròn ñi qua A(3; 2), B(1; 4) và tiếp xúc với trục Ox Bài 11: Cho I(2; – 2) Viết phương trình ñường tròn tâm I và tiếp xúc với d: x + y –4=0 Bài 12: Lập phương trình tiếp tuyến với ñường tròn (C) : ( x − 1)2 + ( y + 2)2 = 36 ñiểm Mo(4; 2) thuộc ñường tròn Bài 13: Viết phương trình tiếp tuyến với ñường tròn (C) : x + y + x + y − = và ñi qua ñiểm M(2; 3) Bài 14: Viết phương trình tiếp tuyến ñường tròn (C) : ( x − 4)2 + y = kẻ từ gốc tọa ñộ Bài 15: Cho ñường tròn (C) : x + y − x + y + = và ñường thẳng d: 2x + y – = Viết phương trình tiếp tuyến ∆ biết ∆ // d; Tìm tọa ñộ tiếp ñiểm Bài 16: Cho ñường tròn (C) : ( x − 1)2 + ( y − 2)2 = Viết phương trình tiếp tuyến với (C ), biết tiếp tuyến ñó // d có phương trình: x + y – = Bài 17: Viết phương trình tiếp tuyến với ñường tròn (C ): x + y = , biết tiếp tuyến ñó vuông góc với ñường thẳng x – 2y = Bài 18: Trong mặt phẳng 0xy cho phương trình x + y − x + y − = (I) a)Chứng tỏ phương trình (I) là phương trình ñường tròn ,xác ñịnh tâm và bán kính ñường tròn ñó b)Viết phương trình tiếp tuyến ñường tròn biết tiếp tuyến qua A(0;-1) Bài 19: Cho ñường tròn (C) ñi qua ñiểm A(-1; 2), B(-2; 3) và có tâm trên ñt ∆: 3x – y + 10 = Viết phương trình (C) Bài 20: Lập phương trình ñường tròn ñường kính AB các trường hợp sau: a A(-1; 1), B(5; 3) b A(-1; -2), B(2; 1) Bài 21: Lập phương trình tuyếp tuyến ∆ ñường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 2y = 0, biết ∆ vuông góc với ñường thẳng d: 3x – y + = Bài 22: Lập phương trình ñường tròn (C) các trường hợp sau: a (C) có tâm I(−2;3) và ñi qua ñiểm A(4; 6) TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10 30 (31) TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ðÀ NẴNG xúc với ñường thẳng ∆ : x − 2x + = b (C) có tâm I(−1;2) và tiếp c (C) có ñường kính AB với A(1 ; 1), B(7 ; 5) d (C) ñi qua ba ñiểm A(1 ; 2), B(5 ; 2) và C(1; − 3) e (C) ñi qua hai ñiểm A(2 ; 1),B(4 ; 3) và có tâm nằm trên ñường thẳng d: x – y+5=0 Bài 23 Cho ñường tròn có phương trình: (C)x2 + y2 - 4x + 8y - = a.Viết phương trình tiếp tuyến ñường tròn biết tt qua ñiểm A(-1;0) b Viết PTTT ñường tròn biết tiếp tuyến song song với d: x – 5y + 11 = c Viết PTTT ñường tròn biết tiếp tuyến vuông góc với d’: x – 4y + = Bài 24 Viết pt ñường tròn các trường hợp sau : a (C) có tâm I(3;5) và tiếp xúc với ñường thẳng ∆ : 3x − y − = b (C) có tâm I(3 ;5) và ñi qua B( ;-4) c (C) nhận M(-1 ;3) và N(4 ; 5) làm ñường kính d (C) là ñường tròn ngoại tiếp tam giác M(-1 ;3) ,N(4 ; 5) và P(-3 ;9) Phương trình Elip Bài 1: Tìm ñộ dài các trục, tọa ñộ các tiêu ñiểm, các ñỉnh (E) có các phương trình sau: a) x + 16 y = 112 b) x + y = 16 c) x + y − = d) mx + ny = 1(n > m > 0, m ≠ n) Bài 2: Cho (E) có phương trình x2 y + =1 a) Tìm tọa ñộ tiêu ñiểm, các ñỉnh, ñộ dài trục lớn trục nhỏ (E) b) Tìm trên (E) ñiểm M cho M nhìn ñoạn thẳng nối hai tiêu ñiểm góc vuông Bài 3: Lập phương trình chính tắc elip (E) biết: a) Một ñỉnh trên trục lớn là A(-2; 0) và tiêu ñiểm F(- ; 0) b) Hai ñỉnh trên trục lớn là M( Bài 4: Cho (E) có phương trình 2; x2 y + =1 ), N (−1; ) và ñường thẳng d: y = 2x Tìm ñiểm trên (E) cho khoảng cách từ ñiểm ñó ñến d Bài Viết phương trình chính tắc elip có tiêu ñiểm F2 (5 ; 0) trục nhỏ 2b , tìm tọa ñộ các ñỉnh , tiêu ñiểm elíp Bài : (NC) Tìm toạ ñộ các tiêu ñiểm, các ñỉnh, ñộ dài các trục và vẽ Elip (E) các trường hợp sau : a x2 y2 + =1 25 b 9x + 25y = 225 Bài : (NC) Viết phương trình chính tắc (E) biết : a (E) có ñộ dài trục lớn 26 và tỉ số TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10 c = a 13 31 (32) b (E) có tiêu ñiểm F1 (−6; 0) c (E) ñi qua hai ñiểm d (E) ñi qua hai ñiểm và TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ðÀ NẴNG tỉ số c = a và N 3; 12 5 9 M 4; 5 M ; 5 và tam giác MF1F2 vuông M TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10 32 (33)