a Chứng minh rằng 4 điểm A, B, C,O cùng nằm trên một đường tròn ,tính độ dài đoạn thẳng BC theo a.. b Tìm điểm cố định mà đường tròn đường kính BC đi qua.[r]
(1)PHÒNG GD& ĐT ĐÀO TẠO LÂM THAO KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN LỚP DỰ THI CÂP TỈNH NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ THI MÔN TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Ngày thi tháng năm 2012 Câu ( điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình : 2(x+y)+xy=x2 +y2 b)Chứng minh số a, a + k , a + 2k là các số nguyên tố lớn thì k ⋮ Câu ( điểm) a) Cho a=xy + √ ( 1+ x )( 1+ y ) ; b=x √ 1+ y 2+ y √ 1+ x Chứng minh b=√ a2 − b) Cho x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện : x y z xyz 4 Tính giá trị biểu thức A x(4 y)(4 z ) y (4 z )(4 x) z (4 x)(4 y ) Câu ( điểm) a) Giải phương trình xyz x + √ x2 +2012=2012 xy xy x 16 y y x b) Giải hệ phương trình: Câu ( điểm) Cho đoạn OA=2a cố định hai tia Ox và Oy tạo với góc 45 và tự quay xung quanh đỉnh O Qua điểm A hạ đường vuông góc AB xuống Ox và AC xuống Oy (B∈ Ox ; C ∈Oy) a) Chứng minh điểm A, B, C,O cùng nằm trên đường tròn ,tính độ dài đoạn thẳng BC theo a b) Tìm điểm cố định mà đường tròn đường kính BC qua c) Gọi D và E là giao AB và AC với Oy và Ox Tam giác ACD là tam giác gì? Chứng minh DE có độ dài không đổi Câu ( điểm) Cho a;b;c dương thỏa mãn a+b+c=1.Tìm trị lớn biểu thức B= √ ab bc ac + + c+ ab a+ bc b+ac √ √ Ghi chú : thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay (2) PHÒNG GD& ĐT ĐÀO TẠO LÂM THAO KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN LỚP DỰ THI CÂP TỈNH NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN Câu Hướng dẫn chấm 2 a) 2(x+y)+xy=x +y ⇔ x –(y+2)x+y2-2y=0(1) PT (1) có nghiệm Điểm 0,5 y − 2¿ ≤ 16 ; y − ¿2 ≥ ⇔0 ≤ ¿ Δ=16 −3 ¿ Δ chính phương giải tìm ( x ; y ) ∈ { ( 0; ) ; ( ; ) ; ( ; ) ; ( ; ) ; ( ; ) ; ( ; ) } 1,0 b)/ Chứng minh số a, a + k , a + 2k là các số nguyên tố lớn thì k ⋮ Vì a và a + k cùng lẻ nên a + k - a = k ⋮ (1) 0,5 Do a, a + k , a + 2k là các số nguyên tố lớn nên chúng là số lẻ và không chia hết cho 3, ít có số có cùng số dư chia cho - Nếu a và a + k có cùng số dư chia cho thì a + k -a = k ⋮ - Nếu a + k và a + 2k có cùng số dư chia cho thì a + 2k - a - k = k ⋮ - Nếu a và a + 2k có cùng số dư chia cho 1,0 thì (a + 2k - a = 2k ⋮ suy k ⋮ Ta có k chia hết cho , k chia hết cho nên k chia hết cho a)Ta có a2 =x2 y 2+ xy √( 1+ x ) ( 1+ y )+ ( 1+ x 2) ( 1+ y ) ⇔ a2=x y +2 xy √( 1+ x ) ( 1+ y ) +1+ y + x 2+ x y 2 2 2 2 b =x ( 1+ y ) + xy √ ( 1+ x )( 1+ y ) + y ( 1+ x ) ⇔ b 2=x 2+ x y 2+ xy √ ( 1+ x )( 1+ y2 ) + y 2+ x y ta có a2 −b 2=1 suy b=√ a2 − x y z xyz 4 4( x y z ) xyz 16 1,0 b) Ta có 1,0 Khi đó ta có : x(4 y)(4 z) x(16 y z yz) x ( yz xyz x ) x ( yz x )2 xyz x Tương tự y (4 z )(4 x) xyz y z (4 x)(4 y ) xyz z (1) (2) 1,0 (3) Từ (1), (2), (3) suy A 2( x y z xyz ) 2.4 8 (3) 1,0 ( x + √ x2 +2012=2012⇔ x + x + 1 − x +2012− √ x +2012+ =0 4 )( ) a) ⇔ x 2+ − √ x +2012 − =0 ⇔ ( x2 − √ x 2+ 2012+1 )( x2 + √ x 2+ 2012) =0 đặt ( 2) ( ) 2 ⇔ x − √ x +2012+1=0 ⇔ x +2012 − √ x2 +2012 −2011=0(∗) (∗)⇔ t − t −2011=0 √ x2 +2012=t(t >0) Δ=8045>0 PT có nghiệm phân biệt 1+ 8045 t1 = √ >0(T /m) x= 1,0 − √ 8045 <0(loai) ; t1 = √ 8045 −1 √ √√ ¿ 8045 −1 x =− ¿ ¿ ¿ ¿ 1+ √ 8045 8046+2 √ 8045 t 1= ⇒ x +2012= ¿ ¿ 8046+ 8045 −8048 8045− √ √ ⇔x = = ⇔ PT có nghiệm phân biệt x 1= √ 8045 −1 ; x 2=− √ 8045 −1 √ xy xy b) x 16 x 16 xy y y y y x 5 x x y √ 1,0 (1) (2) ĐK: x, y 0 2 Giải (2) 6y 6x 5xy (2x 3y)(3x 2y) 0 * Nếu 2x 3y 0 x thay vào (1) (1) ta 3y y 3y 16 2 3y 23 (PT vô nghiệm) * Nếu 3x 2y 0 x 1,0 2y Thay vào (1) ta y 9 y 3 - Với y 3 x 2 (T/m đk) (4) 1,0 - Với y x (T/m đk) Vậy PT có nghiệm (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3) a) Ta có điểm O, B, A, C nằm trên đường tròn tâm I đường kính OA ta có ∠ BIC=2 ∠ BOC= 900 nên Δ BIC vuông I suy có cạnh góc vuông a nên BC=a √ 2,5 b)Đường tròn đường kính BC luôn qua điểm I cố định 2,0 c) Δ ACD ∠CAD=∠ xOy=45 nên Δ ACD vuông cân A Ta có điểm E, B, C, D cùng nằm trên đường tròn đường kính DE gọi H là tâm đường tròn này ta có nên Δ BHC vuông cân H có cạnh huyền ∠ BHC=2 ∠ CDB=90 BC=a √ nên BE=2a 2,5 x E B H K O I j A C y D (5) A ab bc ac c ab a bc b ac 1,0 ab bc ac (1 a)(1 b) (1 b)(1 c) (1 a)(1 c) 1 a b b c a c b a c b c a a c b c a b b b a a c c Dấu xảy a= b = c = 1/ Cách khác Từ a + b + c = => ac + bc + c2 = c ( Do c > 0) Vì vậy: c + ab = ac + ab + bc + c2 = (b+c)(c+a) Do đó a b ab ab a c b c c ab (b c)(c a) ( Cô – si) c a b c ca bc c a a b b c c a 2 Tương tự: a bc ; b ca a+c b+ c a+b + + Vậy A ≤ a+c b+ c a+b = 2 Vậy Max ( A)= a=b=c= Ghi chú : điểm toàn bài làm tròn đến 0,5 (6)