Một số tính chất của v vành yếu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VĂN BẰNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA V - VÀNH YẾU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An, 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VĂN BẰNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA V - VÀNH YẾU Chuyên ngành: ĐẠI SỐ - LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS ĐINH ĐỨC TÀI Nghệ An, 2012 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Bảng kí hiệu Kiến thức sở 1.1 Các khái niệm 1.2 Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh mở rộng 1.3 Vành Artin, vành Noether 10 V- vành yếu 2.1 V- vành 14 14 2.2 V- vành yếu 18 2.3 Vành với môđun xiclic thỏa mãn điều kiện (℘ ) 21 Kết luận 24 Tài liệu tham khảo 25 MỞ ĐẦU Vào năm đầu thập niên 70, Villamayor công bố nhiều kết nghiên cứu đặc sắc lớp vành mà mơđun đơn mơđun nội xạ (xem [7]) Để vinh danh ông, nhà toán học lĩnh vực lý thuyết vành gọi lớp vành lớp V- vành Khái niệm sau khái quát hóa cho lớp môđun Wisbauer (xem [8]): Môđun MR gọi V-môđun môđun đơn phạm trù σ[M ] M- nội xạ Trong [4], tác giả giới thiệu lớp vành tổng quát lớp Vvành gọi lớp V- vành yếu (weakly V- ring): Vành R gọi V- vành yếu phải môđun đơn nội xạ lẫn với mơđun xiclic thực sự, hay nói cách khác, môđun xiclic thực V- môđun Như vậy, hiển nhiên V- vành V- vành yếu, nhiên điều ngược lại khơng hồn tồn đúng, chẳng hạn như: với R = Z4 V- vành yếu khơng V- vành Có thể nói V- vành yếu lớp vành hấp dẫn nhà nghiên cứu lý thuyết vành thời gian gần Trên lý để chúng tơi lựa chọn đề tài nghiên cứu: Một số tính chất V- vành yếu Trên sở tài liệu tham khảo [5], mục đích đề tài nhằm tìm hiểu chứng minh chi tiết số kết lớp V - vành, V-vành yếu mối liên hệ chúng Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày chương: Chương Kiến thức sở Nội dung chương chủ yếu dành để trình bày khái niệm, tính chất nhằm phục vụ nội dung Chương Chương V- vành yếu Nơi dung Chương trình bày phần: 2.1 V- vành Nội dung phần trình bày định nghĩa, ví dụ tính chất lớp V-vành 2.2 V - vành yếu Định nghĩa, ví dụ tính chất lớp V-vành yếu tập trung giới thiệu phần Ngoài ra, kết làm rõ mối liên hệ lớp V-vành, V-vành yếu, V- vành yếu ngặt giới thiệu tiết 2.3 Vành với môđun xiclic thỏa mãn điều kiện (℘ ) Trong [2], tác giả đưa điều kiện (℘ ): "Một môđun C gọi thỏa mãn điều kiên (℘ ) C tổng trực tiếp môđun xạ ảnh mơđun Q, Q CS-mơđun Q mơđun có chiều Goldie hữu hạn" thiết lập điều kiện để GV - vành vành Noether Trong tiết này, với điều kiện (℘ ) xác định trên, chúng tơi trình bày kết khác lớp V - vành yếu phải Luận văn thực Trường Đại học Vinh từ tháng năm 2012 hướng dẫn TS Đinh Đức Tài Tác giả xin gửi tới Thầy lòng biết ơn chân thành tận tình hướng dẫn Thầy suốt thời gian qua Xin chân thành gửi lời cảm ơn tới: Các Thầy giáo, Cơ giáo Bộ mơn Đại số, Khoa Tốn, Trường Đại học Vinh; Phòng Đào tạo Sau đại học; bạn bè gia đình giúp đỡ, động viên tinh thần lẫn vật chất, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành khóa học Nghệ An, tháng năm 2012 Tác giả BẢNG KÍ HIỆU A ⊆⊕ B : A hạng tử trực tiếp B A →e B : A môđun cốt yếu B A∼ = B : A đẳng cấu với B A ⊕ B : Tổng trực tiếp môđun A môđun B ACC (DCC) : Điều kiện xích tăng (giảm) E(M ) : Bao nội xạ môđun M Soc(M ) : Đế môđun M End(M ) :Vành tự đồng cấu môđun M u-dim(M ) : Chiều Goldie môđun M Ker(f ), Im(f ) : Hạt nhân, ảnh đồng cấu f (tương ứng) M (I) : ⊕i∈I M (tổng trực tiếp I M ) MR (R M ) : M R-môđun phải (trái) Mn (S) : Vành ma trận vuông cấp n với hệ tử S M od-R: Phạm trù R-môđun phải Rad(M ) : Căn môđun M J(R) : Căn Jacobson vành R Z(M ) : Môđun suy biến môđun M CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong suốt luận văn này, khơng nói thêm, vành R ln hiểu vành kết hợp, có đơn vị = R-môđun xét môđun unita phải trái 1.1 Các khái niệm Trước hết, chúng tơi trình bày số khái niệm, tính chất Lý thuyết Vành mà không chứng minh lại Các khái niệm tính chất giới thiệu nhiều tài liệu khác nhau, chủ yếu tham khảo tài liệu [3], [8] Một môđun NR MR gọi cốt yếu hay môđun lớn (essential or large) MR , kí hiệu N →e M , NR ∩ K = với môđun K = M Môđun NR MR gọi mơđun bé (small or superfluous) MR , kí hiệu N M , với môđun K ⊆ M cho K + N = M K = M Mơđun K gọi đóng M K khơng có mở rộng cốt yếu thực M Với X ⊆ M , M R-mơđun Linh hóa tử phải X R tập hợp: rR (X) = {r ∈ R |xr = 0; ∀x ∈ X } Với A ⊆ R, linh hóa tử phải A M tập hợp: rM (A) = {m ∈ M |am = 0; ∀a ∈ A} Định nghĩa hồn tồn tương tự cho linh hóa tử trái Chúng ta ln kí hiệu lM (x) = {m ∈ M |mx = 0} , rM (x) = {m ∈ M |xm = 0} để linh hóa tử trái phải phần tử x M Cho M R-môđun phải Một phần tử m ∈ M gọi phần tử suy biến phải M iđêan phải rR (m) →e RR Tập hợp phần tử suy biến M gọi mơđun suy biến M kí hiệu Z(MR ) Như có Z(MR ) = {m ∈ M |mI = 0, với I iđêan phải cốt yếu R } hay nói cách khác Z(MR ) = {m ∈ M |rR (m) →e RR } Chúng ta kí hiệu Zr (R) Zl (R) iđêan phải, trái suy biến R Môđun M môđun suy biến Z(M ) = M Nếu Z(M ) = 0, ta gọi M môđun không suy biến Chúng ta lưu ý rằng, môđun M -suy biến M ∼ = A/B , B môđun cốt yếu A Phần tử x vành R gọi lũy linh (nilpotent) tồn số tự nhiên n > (chỉ số nilpotent) cho xn = Tập A vành R gọi lũy linh tồn số tự nhiên n > cho với dãy x1 , x2 , , xn ∈ A ta có x1 x2 xn = Tập A vành R gọi iđêan lũy linh phần tử phần tử lũy linh Iđêan phía A vành R gọi T-lũy linh (T-nilpotent) trái (phải) tồn số tự nhiên n cho với dãy a1 , a2 , , an ∈ A ta có a1 a2 an = (t.ư an a1 = 0) Như T-lũy linh iđêan lũy linh điều ngược lại khơng hồn tồn Phần tử x ∈ R gọi phần tử lũy đẳng x2 = x Giả sử I iđêan vành R g + I phần tử lũy đẳng R/I Ta nói phần tử lũy đẳng nâng tới e modulo I hay lũy đẳng nâng modulo I tồn lũy đẳng e ∈ R cho g + I = e + I Đặc biệt, I iđêan lũy linh, nghĩa phần tử I lũy linh (xn = 0, ∀n ∈ I ), phần tử lũy đẳng R/I lũy đẳng nâng Cặp phần tử lũy đẳng e1 , e2 vành R gọi trực giao (orthogonal) e1 e2 = e2 e1 = Một phần tử lũy đẳng e ∈ R gọi lũy đẳng nguyên thủy (primitive idempotent) e = với cặp lũy đẳng trực giao e1 , e2 thỏa mãn e = e1 + e2 e1 = e2 = Một iđêan phải (trái) vành R gọi iđêan nguyên thủy có dạng eR (t.ư, Re) với lũy đẳng nguyên thủy e ∈ R (xem 7.4 [3]) Vành R gọi vành nguyên tố (prime ring) R thỏa mãn điều kiện tương đương sau: (a) Mọi iđêan phải (trái) khác không I iđêan trung thành, nghĩa r(I) = (t.ư l(I) = 0); (b) Với cặp iđêan I1 , I2 = ta có I1 I2 = 0; (c) Với x, y ∈ R thỏa mãn xRy = ta có x = y = Iđêan P vành R gọi iđêan nguyên tố R/P vành nguyên tố Hay nói cách khác, P nguyên tố với x, y ∈ R thỏa mãn xRy ⊆ P x ∈ P y ∈ P Giao tất iđêan nguyên tố vành R gọi nguyên tố (prime radical /lower nil radical) vành R, kí hiệu N (R) Vành R gọi nửa nguyên tố (semiprime) N (R) = Môđun NR gọi sinh MR (MR - sinh) tồn toàn cấu (Λ) f : MR → NR , với tập số Λ Nếu tập số Λ hữu hạn ta nói NR hữu hạn sinh MR (hữu hạn MR - sinh) Môđun NR gọi hữu hạn R- sinh tồn hữu hạn phần tử x1 , x2 , , xk cho NR = x1 R + x2 R + + xk R Môđun thương MR gọi môđun M - xiclic Môđun M - xiclic không đẳng cấu với M gọi môđun M - xiclic thực (proper M-xiclic) Môđun NR gọi Λsinh, Λ tập số bất kỳ, tồn toàn cấu f : R(Λ) → NR Kí hiệu σ[M ] phạm trù đầy đủ Mod-R, vật tập tất R-môđun môđun MR - sinh Đế phải MR , kí hiệu Soc(MR ), tổng mơđun đơn MR , giao tất môđun cốt yếu M Nếu MR không chứa mơđun đơn Soc(MR ) = Căn MR , kí hiệu Rad(MR ), giao tất môđun tối đại MR , tổng tất môđun bé MR Nếu MR không chứa môđun tối đại ta định nghĩa Rad(MR ) = M Đặc biệt, biết Rad(RR ) = Rad(R R) = J(R) Do khơng sợ nhầm lẫn, ta ln kí hiệu J(R) để Jacobson vành R Radical RR Nếu MR mơđun hữu hạn sinh Rad(MR ) MR Một môđun MR = gọi (uniform) môđun khác không MR cốt yếu MR Hay nói cách khác, MR với môđun khác không U V M , ta ln có U ∩ V = Chúng ta nói M có chiều Goldie hữu hạn (chiều hữu hạn) khơng chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác khơng Nếu M có chiều Goldie hữu hạn ta có tồn số hữu hạn bé n cho M không chứa tổng trực tiếp có nhiều n mơđun khác khơng Khi đó, số n gọi chiều Goldie M Kí hiệu u-dim(M ) = n Mơđun M có u-dim(M ) = n tồn tổng trực tiếp n môđun cốt yếu trong M Như ta có, chiều Goldie mở rộng cốt yếu M chiều Goldie môđun M 1.2 Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh mở rộng 1.2.1 Định nghĩa R-môđun N gọi M -nội xạ với môđun X M , đồng cấu ϕ : X → N mở rộng thành đồng cấu ψ : M → N Môđun N gọi tựa nội xạ N N nội xạ Môđun N gọi môđun nội xạ N A-nội xạ với A Mod-R Như vậy, môđun N nội xạ N RR -nội xạ Chúng 12 Chúng ta lưu ý R-môđun phải hữu hạn sinh có bao xạ ảnh R-mơđun trái hữu hạn sinh có bao xạ ảnh Do khái niệm trái phải vành nửa hoàn chỉnh đối xứng Nếu vành R nửa hồn chỉnh ta có R/J(R) nửa đơn lũy đẳng nâng modulo J(R) Từ kết 15.16, 15.19 27.1 [3] chứng tỏ vành trái (phải) Artin vành nửa hoàn chỉnh Như vậy, vành địa phương, vành Artin phải (hoặc trái) ví dụ vành nửa hồn chỉnh 1.3.4 Định nghĩa Vành R gọi hoàn chỉnh phải (trái) R-mơđun phải (t.ư, trái) có bao xạ ảnh Vành hoàn chỉnh trái (hoặc phải) nửa hồn chỉnh Tuy nhiên, vành hồn chỉnh trái khơng thiết vành hoàn chỉnh phải 1.3.5 Nhận xét Chúng ta đặc biệt lưu ý đến điều kiên DCC cho iđêan trái phải định lý Nếu R thỏa mãn điều kiện DCC cho iđêan trái R vành hồn chỉnh phải ngược lại Trên thực tế nói chung vành hồn chỉnh trái khơng thiết vành hồn chỉnh phải 1.3.6 Định nghĩa Một vành R gọi nửa nguyên sơ (semiprimary) R vành nửa hoàn chỉnh J(R) lũy linh Vành R gọi vành nguyên sơ (primary) R/J(R) artin đơn J(R) lũy linh 1.3.7 Định nghĩa Một R- môđun phải M gọi có chiều Goldie (ký hiệu udim) hữu hạn M không chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun Môđun M gọi qfd mơđun (quotient finite dimensional) M/K có chiều (chiều Goldie) hữu hạn với môđun K M 1.3.8 Bổ đề Mơđun M có chiều hữu hạn M chứa tổng trực tiếp hữu hạn môđun khác không 13 1.3.9 Định nghĩa R- môđun phải gọi V - môđun môđun phạm trù σ[M ] M - nội xạ 1.3.10 Bổ đề Cho R- môđun phải M Các điều kiện sau tương đương: (i) M V - môđun; (ii) Mỗi môđun M giao môđun tối đại M ; (iii) J(N ) = với N ∈ σ[M ] 1.3.11 Bổ đề Các miền nội xạ đóng mơđun con, ảnh đồng cấu tổng trực tiếp 14 CHƯƠNG V- VÀNH YẾU 2.1 V- vành Trước hết có định nghĩa V- vành: 2.1.1 Định nghĩa Vành R gọi V -vành phải (trái) Rmôđun phải (tư trái) đơn nội xạ Chúng ta gọi đối sinh vành R R- môđun C cho với R-môđun M ∀0 = x ∈ M , tồn đồng cấu f : M → C thỏa mãn f (x) = Ta có số tính chất lớp V - vành này: 2.1.2 Định lý (1) Với vành R bất kỳ, điều kiện sau tương đương: (i) R V - vành phải; (ii) Tích tất R- môđun phải đơn đối sinh; (iii) Với R- môđun phải, giao tất môđun tối đại (2) Mọi V - vành vành nửa nguyên thủy (3) Mọi iđêan phải V - vành phải lũy đẳng Chứng minh (1) Trước hết ta chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử C tích tất R- môđun phải đơn Do R V - vành phải nên ta có C mơđun nội xạ Ta phải chứng minh C môđun đối sinh Thật vậy, lấy = x ∈ M , đặt N0 môđun tối đại không chứa x đặt N1 môđun sinh N x Khi ta có N1 /N0 mơđun đơn 15 mơđun nội xạ Từ tính chất nội xạ N1 /N0 , đồng cấu tự nhiên từ N1 → N1 /N0 mở rộng thành đồng cấu từ M → N1 /N0 Do có đồng cấu từ M → C khơng chứa linh hóa tử x, điều kiện (ii) thỏa mãn (ii) ⇒ (iii): Từ giả thiết (ii), với = x ∈ M , tồn đồng cấu f : M → C (C mơđun đơn) khơng chứa linh hóa tử x Hay nói cách khác, Ker(f ) mơđun tối đại M khơng chứa x Do giao tất môđun tối đại M phải 0, có điều kiện (iii) (iii) ⇒ (i): Xét M R- môđun phải đơn E(M ) bao nội xạ Khi đó, hiển nhiên có E(M ) mở rộng cốt yếu M , từ tính chất đơn M suy môđun khác khơng E(M ) có chứa M Do đó, E(M ) = M giao tất môđun tối đại phải chứa M Điều mâu thuẫn với giả thiết điều kiện (iii) Vậy M mơđun nội xạ theo định nghĩa R V - vành, có (i) (2) Từ giả thiết R V - vành J(R) giao tất iđêan tối đại Theo điều kiện (1) ta có J(R) = R vành nửa nguyên thủy (3) Giả sử I iđêan phải V - vành phải R Thay việc chứng minh trực tiếp điều kiện (3) chứng minh: iđêan phải tối đại có chứa I chứa I Thật vậy, với I iđêan tối đại ta có: I= {I |I ⊇ I} = {I |I ⊇ I } = I Điều phải chứng minh Một tính chất khác V - vành 2.1.3 Bổ đề Giả sử R V - vành phải Khi đó, với phần tử a ∈ R tồn phần tử x ∈ RaR cho a = ax Chứng minh Với phần tử a ∈ R, giả sử ngược lại không tồn phần tử x ∈ RaR thỏa mãn a = ax, a ∈ / aRaR Theo 16 Villamayor ([6], trang 130), tồn iđêan phải tối đại M R có chứa aRaR không chứa a Từ R = aR + M ta có = as + m, với s thuộc R m thuộc M Suy a = asa + ma phần tử M Điều mâu thuẫn với giả sử Vậy V -vành R, với phần tử a ∈ R tồn phần tử x ∈ RaR cho a = ax Phần tử a vành R gọi phần tử tâm với b ∈ R ta có ab − ba = Hai phần tử lũy đẳng e, f ∈ R gọi trực giao ef = f e = Phần tử lũy đẳng R gọi lũy đẳng nguyên thủy (primitive idempotent) khơng thể biểu diễn thành tổng hai lũy đẳng trực giao khác không Ta nói mơđun K mơđun M bất biến đầy đủ (fully invariant) M f (K) ⊆ K với f ∈ End(M ) Tiếp theo xét lớp vành mở rộng lớp V - vành lớp GV - vành 2.1.4 Định nghĩa Vành R gọi GV - vành phải (generalized right V-ring) môđun phải đơn môđun nội xạ môđun xạ ảnh Từ định nghĩa dễ thấy, V - vành phải GV - vành phải điều ngược lại khơng hồn tồn xác Tuy nhiên, trường hợp GV - vành có đế khơng V - vành Định lý sau cho mối liên hệ hai lớp vành 2.1.5 Định lý Nếu R GV - vành phải thỏa mãn điều kiện lũy đẳng nguyên thủy lũy đẳng tâm R V - vành phải Chứng minh Lấy M R- môđun phải đơn, xạ ảnh cho M ∼ = eR, e phần tử lũy đẳng R Đặt I iđêan phải R, f : I → eR toàn cấu khác khơng với Ker(f ) = K Khi I = K ⊕ T , T ∼ = eR 17 Từ giả thiết e phần tử lũy đẳng tâm nên eR môđun bất biến đầy đủ R- môđun phải R eR = T Mặt khác, hiển nhiên có K ⊂ (1 − e)R cấu xạ g xác định sau g|(1−e)R = 0, g|eR = f mở rộng f Vậy ta có M mơđun nội xạ Một mơđun N M gọi hạng tử tuyệt đối (absolute summand) với môđun T M thỏa mãn T môđun tối đại N ∩ T = 0, M = N ⊕ T Chúng ta có kết khác lớp V - vành, điều kiện cần đủ để GV - vành V - vành 2.1.6 Bổ đề Vành R V - vành phải R GV - vành phải iđêan phải đơn R hạng tử trực tiếp tuyệt đối R Chứng minh Trước hết chứng minh điều kiện cần Giả sử R V - vành, S iđêan phải đơn R Đặt T iđêan phải tối đại R thỏa mãn điều kiện S ∩ T = Nếu X = S ⊕ T p : X → S phép chiếu từ tính chất nội xạ S , p mở rộng thành toàn cấu f : R → S Hiển nhiên có Ker(f ) ∩ S = Ker(f ) ⊃ T Do Ker(f ) = T Vì Ker(f ) iđêan phải tối đại R nên R = S ⊕ T Ngược lại, giả sử R GV - vành phải iđêan phải đơn R hạng tử trực tiếp tuyệt đối R Nếu X R- môđun phải đơn, xạ ảnh f : I → X đồng cấu khác khơng, đặt Ker(f ) = K Khi K hạng tử trực tiếp I ta biểu diễn I = K ⊕ L, L iđêan phải R Vì L ∼ = X , L iđêan đơn đó, T iđêan phải tối đại R chứa K thỏa mãn T ∩ L = L ⊕ T = R Từ đẳng cấu từ L → X , phép chiếu R → L mở rộng f : I → R Vậy ta có X nội xạ 18 2.2 V- vành yếu Trên sở tài liệu tham khảo ([5]), nội dung chương chúng tơi chủ yếu trình bày chi tiết tính chất lớp V - vành yếu Trước hết có số định nghĩa 2.2.1 Định nghĩa Vành R gọi V- vành yếu phải (right WV- ring) môđun đơn nội xạ lẫn với môđun xiclic thực Hay nói cách khác, mơđun xiclic thực V- môđun 2.2.2 Nhận xét Từ định nghĩa lớp V - vành yếu hiển nhiên có V- vành V- vành yếu, nhiên điều ngược lại khơng hồn tồn đúng, chẳng hạn như: với R = Z4 V- vành yếu khơng V- vành Thật vậy, Ta có J(R) = đó, sử dụng Bổ đề 1.3.10 ta có R khơng V - vành Tuy nhiên, mơđun xiclic 0, J(R) R Trong J(R) mơđun nửa đơn đẳng cấu với R Vậy R V - mơđun R V - vành yếu Tiếp theo có số tính chất lớp V - vành yếu 2.2.3 Bổ đề Cho R V - vành yếu phải Giả sử A, B iđêan phải R cho R/A R/B môđun xiclic thực thỏa mãn A ∩ B = Khi R V - vành phải Chứng minh Giả sử giả thiết thỏa mãn, đặt SR môđun đơn Do R V - vành yếu phải, R/A R/B môđun xiclic thực ta có SR R/A- nội xạ R/B - nội xạ Sử dụng kết Bổ đề 1.3.11 suy SR (R/A × R/B)- nội xạ Ta định nghĩa phép tương ứng f : RR → (R/A × R/B)R xác định f (r) = (r + A, r + B) Chúng ta dễ kiểm tra f R- đồng cấu Nếu r ∈ Ker(f ) (r + A, r + B) = 0, r ∈ A ∩ B = 0, suy Ker(f ) = Ta có RR ∼ = Im(f ) mơđun (R/A × R/B)R Theo Bổ đề 1.3.11, SR RR - nội xạ, suy SR mơđun nội xạ Hay nói cách khác, R V - vành phải 19 2.2.4 Định nghĩa Vành R gọi V - vành yếu ngặt phải (right strictly weakly V- ring) V - vành yếu khơng V - vành Về lớp vành có tính chất sau: 2.2.5 Định lý Nếu R V - vành yếu ngặt phải udim(RR ) = Chứng minh Giả sử R V - vành yếu phải Chúng ta chứng minh udim(RR ) > R V - vành, mâu thuẫn với giả thiết R V vành yếu ngặt Từ suy udim(RR ) = Trường hợp 1: Giả sử RR có chiều vơ hạn Sử dụng Bổ đề 1.3.8, tồn tổng vô hạn iđêan phải khác không ⊕i∈I Ai ⊆ R Tách tập số I thành hai tập vô hạn J K Khi đó, R chứa tổng trực tiếp A ⊕ B , A = ⊕i∈J Ai B = ⊕i∈K Ai Chúng ta chứng minh R/A môđun xiclic thực Giả sử ngược lại, R/A ∼ = R, R/A mơđun xạ ảnh tồn iđêan phải C R cho R = C ⊕ A Bây ta có R/C mơđun xiclic R/C ∼ = A, suy A môđun xiclic Mâu thuẫn với giả sử (A tổng trực tiếp vô hạn Ai ) Vậy R/A môđun xiclic thực Tương tự chứng minh R/B môđun xiclic thực theo Bổ đề 2.2.3 ta có R V - vành phải Trường hợp 2: Xét trường hợp RR có chiều hữu hạn Chúng ta giả sử udim(RR ) = n > 1, tồn các iđêan phải Ui cho ⊕ni=1 Ui →e R Khơng tính tổng qt giả sử U1 U2 đóng R Ta có udim(U1 ) + udim(R/U1 ) = udim(R) + udim(U1c /U1 ) (U1c bao đóng U1 ) Suy + udim(R/U1 ) = n + udim(0) ⇒ udim(R/U1 ) = n − Tương tự ta chứng minh udim(R/U2 ) = n − Do R/U1 R/U2 môđun xiclic thực Sử dụng Bổ đề 2.2.3 ta có R V - vành phải Tương tự kết lớp V - vành (Định lý 2.1.2) có kết 20 lớp V - vành yếu 2.2.6 Định lý Cho vành R cho R/I R- môđun xiclic thực với iđêan phải khác không I Các điều kiện sau tương đương: (i) R V - vành yếu phải; (ii) J(R/I) = với iđêan phải khác không I R; (iii) Mọi iđêan phải I = R giao iđêan phải tối đại Chứng minh (i) ⇒ (ii) : Giả sử R V - vành yếu phải Xét I = iđêan phải Trong trường hợp I = R ta có kết hiển nhiên đúng, ta giả sử I = R Khi lấy = x ∈ R/I Chọn môđun tối đại N xR, ta có xR/N mơđun đơn Từ giả thiết R V - vành yếu phải ta có xR/N R/I - nội xạ Do đồng cấu tắc f : xR → xR/N mở rộng thành g : R/I → xR/N Chúng ta lưu ý rằng, R/I Ker(g) ∼ = Im(g) ⊆ xR/N g(x) = nên Im(g) = Im(g) = xR/N Do kết luận Ker(g) ⊆ R/I Mặt khác, x ∈ Ker(g) x ∈ / J(R/I) Từ suy J(R/I) = (ii) ⇒ (iii) : Giả sử I iđêan khác không khác R Khi đó, = J(R/I) = ∩{M | ⊆ R/I} = ∩{M /I|M ⊆ R, M ⊃ I} Do I = ∩{M |M ⊆ R} (iii) ⇒ (i) : Lấy I = R iđêan khác không SR môđun đơn Chúng ta chứng minh SR R/I - nội xạ Thật vậy, lấy = f : B/I → S , B iđêan phải cho I ⊆ B ⊆ R Chúng ta chứng minh f mở rộng tới R/I Lấy x ∈ B cho x + I ∈ / Ker(f ) Chọn A cho A/I = Ker(f ) Từ điều kiện (ii), tồn M ⊆ RR cho A ⊆ M x ∈ / M Khi R = B + M suy B/A + M/A = R/A Ta lại có Ker(f ) ⊆ B/I B/I mơđun đơn Từ ta có B/A ∩ M/A ⊆ B/A, suy nên B/A ∼ = A/I B/A ⊕ M/A = R/A Hơn nữa, từ f ta xây dựng f : B/A → S xác định f (b + A) = f (b + I) Ta định nghĩa π phép chiếu từ R/A vào 21 B/A ρ đồng cấu tắc từ R/I tới R/A Đặt g = f πρ Khi ta có g(b + I) = f π(b + A) = f (b + A) = f (b + A) Vậy g mở rộng f SR R/I - nội xạ Từ kết Định lý 2.2.6 có hệ sau: 2.2.7 Hệ Nếu R V - vành yếu phải R/J(R) V - vành Chứng minh Trong trường hợp R V - vành phải hiển nhiên ta có R/J(R) V - vành phải Giả sử ngược lại, R không V - vành phải Sử dụng Định lý 2.2.5 ta có udim(RR ) = Kết hợp Định lý 2.2.6, iđêan phải khác không giao iđêan phải tối đại Hơn nữa, theo Bổ đề 1.3.10 ta có J(R) = Do R/J(R) tất iđêan phải giao iđêan tối đại R/J(R) V - vành phải 2.3 Vành với môđun xiclic thỏa mãn điều kiện (℘ ) Trong [2], tác giả đưa điều kiện (℘ ): "Một môđun C gọi thỏa mãn điều kiên (℘ ) C tổng trực tiếp môđun xạ ảnh môđun Q, Q CS-mơđun Q mơđun có chiều Goldie hữu hạn" chứng minh được: Trên GV - vành phải R Nếu R-môđun phải xiclic thực thỏa mãn điều kiện (℘ ), R vành Noether phải Chúng ta lưu ý vành R thỏa mãn điều kiện (℘ ) không vành Noether 2.3.1 Ví dụ Xét vành ma trận R = { a b a |a ∈ Z, b ∈ C(p∞ )} Khi đó, R vành giao hốn thỏa mãn điều kiện (℘ ) khơng vành Noether Xét R vành tất chuỗi Σ{ai xi |ai ∈ F, i ∈ I , F trường Khi R- môđun xiclic thỏa mãn điều kiện (℘ ), R không vành Noether 22 Tương tự Định lý 4.2.4 ([2]), cần thiết lập thêm điều kiện để lớp vành mơđun xiclic thỏa mãn điều kiện (℘ ) vành Noether Chúng ta lưu ý rằng, môđun xiclic phạm trù σ[M ] mơđun xiclic thương M Xin nhắc lại rằng, môđun M gọi qfd mơđun (quotient finite dimensional) M/K có chiều (chiều Goldie) hữu hạn với môđun K M 2.3.2 Định lý Giả sử M R- môđun phải hữu hạn sinh Nếu môđun xiclic phạm trù σ[M ] thỏa mãn điều kiện (℘ ) M qfdmơđun Chứng minh Từ giả thiết M hữu hạn sinh ta đặt M = x1 R + + xn R Nếu xi R có chiều hữu hạn hiển nhiên M có chiều hữu hạn Do đó, khơng tính tổng quát, giả sử M Rmôđun phải xiclic Đặt E →e M , M/E không chứa môđun xạ ảnh khác không Từ σ[M/E] ⊆ σ[M ] kết hợp điều kiện (℘ ) có: mơđun xiclic phạm trù σ[M/E] CS có chiều hữu hạn Do ta có M/E có chiều hữu hạn, suy M/Soc(M ) có chiều hữu hạn Bây ta giả sử ngược lại Soc(M ) khơng có chiều hữu hạn Khi ta biểu diễn Soc(M ) = S1 ⊕S2 , S1 , S2 tổng trực tiếp vô hạn môđun đơn Theo điều kiện (℘ ) ta có: M/S1 = P ⊕ Q, PR xạ ảnh σ[M ] QR CS có chiều hữu hạn Chú ý rằng, σ[QR ] ⊆ σ[M ] Bằng cách chứng minh tương tự ta có Q/Soc(Q) có chiều hữu hạn Nếu Q CS Soc(Q) có chiều hữu hạn (mâu thuẫn giả sử trên), Q có chiều hữu hạn Nhưng S2 nhúng M/S1 nên Soc(PR ) vô hạn sinh Gọi M1 nghịch ảnh Q M Do M/M1 ∼ = P nên ta có M = M1 ⊕ M2 , S1 ⊆ M1 M2 ∼ = P , suy Soc(M1 ), Soc(M2 ) vô hạn sinh Từ M/Soc(M ) ∼ = M1 /Soc(M1 ) ⊕ M2 /Soc(M2 ) ta có udim(M/Soc(M )) ≥ Hồn tồn tương tự, xét cho M1 , M2 ta có udim(M/Soc(M )) ≥ 23 Tiếp tục cách làm thấy M/Soc(M ) có chiều vơ hạn, điều mâu thuẫn Do M có chiều hữu hạn Cuối cùng, lấy N ⊆ M ta có σ[M/N ] ⊆ σ[M ] mơđun xiclic phạm trù σ[M/N ] thỏa mãn điều kiện (℘ ) Điều chứng tỏ M/N có chiều hữu hạn hay M qfd-môđun Từ kết định lý có số hệ sau: 2.3.3 Hệ Cho R V - vành yếu phải Nếu C R- môđun phải xiclic cho môđun xiclic phạm trù σ[C] thỏa mãn điều kiện (℘ ), C mơđun Noether Đặc biệt, R V - vành phải Soc(C) →e C C mơđun nửa đơn Chứng minh Lấy R V - vành yếu ngặt phải, theo Định lý 2.3.2, C qfd- môđun Nếu C khơng đẳng cấu với RR C V - mơđun mơđun Noether Giả sử ngược lại C ∼ = RR , sử dụng Định lý 2.3.2 ta có C/Soc(C) qfd- mơđun V - mơđun, C/Soc(C) môđun Noether Mặt khác, Soc(C) môđun đơn C mơđun Noether Trong trường hợp R V - vành Soc(C) nội xạ Soc(C) ⊆⊕ C Vì vậy, Soc(C) →e C Soc(C) = C , hay C nửa đơn Một phần tử a ∈ R gọi quy tồn b ∈ R cho aba = a Vành R gọi vành quy theo nghĩa von Neumann (VNR) phần tử R quy 2.3.4 Hệ Nếu R vành quy von Neumann cho Rmơđun phải xiclic thỏa mãn điều kiện (℘ ) R vành nửa đơn Artin Chứng minh Như biết, vành quy theo nghĩa von Neumann có khả sau xảy ra: vành có chiều vơ hạn, vành nửa đơn Artin Theo giả thiết, sử dụng Định lý 2.3.2 ta có RR có chiều hữu hạn Vậy R phải vành nửa đơn Artin 24 KẾT LUẬN Trên sở tài liệu tham khảo ([5]), luận văn tập trung tìm hiểu chứng minh chi tiết kết sau: • Một số tính chất lớp V - vành; mối liên hệ lớp V - vành lớp GV - vành • Một số tính chất lớp V - vành yếu, V - vành yếu ngặt mối liên hệ chúng • Tiết 2.3 giới thiệu số tính chất lớp vành mà môđun xiclic thỏa mãn điều kiện (℘ ) Từ có kết lớp V - yếu phải vành quy von Neumann 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tiếng Việt [1] Nguyễn Tiến Quang- Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun vành, NXB Giáo dục [2] Đinh Đức Tài (2010), Đặc trưng số lớp vành Artin vành Noether, Luận án Tiến sĩ Toán học, chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, Trường Đại học Vinh B Tiếng Anh [3] F.W Anderson and K.R Fuller (1974), Rings and Categories of Modules, Springer - Verlag, NewYork - Heidelberg - Berlin [4] C J Holston, S K Jain, A Leroy (2010), Rings Over Which Cyclics are Direct Sums of Projective and CS or Noetherian, Glasgow Math J 52A, 103-110 [5] Chritopher J Holston (2011), Rings Characterized by Their Modules, PhD Thesis, College of Arts and Sciences, Ohio University, August [6] C Faith (1967), Lectures on injective modules and quotient rings [Lecture notes in Mathematics 49], Springer - Verlag, Berlin - Heidelberg -New York [7] G O Michler, O E Villamayor (1973), On Rings Whose Simple Modules are Injective, J Algebra 25, 185-211 26 [8] R Wisbauer (1991), Foundation of Module and Ring Theory, Gordon and Breach Science Publisher ... R V - v? ?nh phải 19 2.2.4 Định nghĩa V? ?nh R gọi V - v? ?nh yếu ngặt phải (right strictly weakly V- ring) V - v? ?nh yếu không V - v? ?nh V? ?? lớp v? ?nh có tính chất sau: 2.2.5 Định lý Nếu R V - v? ?nh yếu. .. v? ??i R = Z4 V- v? ?nh yếu khơng V- v? ?nh Có thể nói V- v? ?nh yếu lớp v? ?nh hấp dẫn nhà nghiên cứu lý thuyết v? ?nh thời gian gần Trên lý để chúng tơi lựa chọn đề tài nghiên cứu: Một số tính chất V- v? ?nh... lớp GV - v? ?nh • Một số tính chất lớp V - v? ?nh yếu, V - v? ?nh yếu ngặt mối liên hệ chúng • Tiết 2.3 giới thiệu số tính chất lớp v? ?nh mà môđun xiclic thỏa mãn điều kiện (℘ ) Từ có kết lớp V - yếu