Câu 4: 6 điểm Cho đường tròn O,R và một điểm A ở ngoài đường tròn, từ một điểm M di động trên đường thẳng d OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB,MC với đường tròn B,C là tiếp điểm.. Dây BC cắt[r]
(1) PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNGTHCSTÂN ƯỚC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2014 - 2015 Môn thi: Toán Thời gian làm bài :150 phút( Không kể thời gian giao đề) Câu ( điểm) Bài ( điểm) Cho biểu thức P = ( x √x +2x −1 + x +√√ xx +1 + 1−1√ x ) : √ x2−1 với x > 0, x a, Rút gọn P b, Tìm x để P = c, So sánh P2 với 2P Bài ( điểm) Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn : ( x2 - 3) ( xy + 3) Câu ( điểm) Bài ( điểm) Giải phương trình + + + 3012 = (x + y + z) Bài ( điểm) Cho a + b + c = và a2 + b2 + c2 = 14 Tính giá trị biểu thức: B = a + b4 + c4 Câu 3:( điểm) Bài (1,5 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình x2+ 2y2 + 2xy + 3y- = Bài 2.(1,5 điểm) Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn a b c 1 ab bc ca Chứng minh c a b Câu 4: (6 điểm) Cho đường tròn (O,R) và điểm A ngoài đường tròn, từ điểm M di động trên đường thẳng d OA A, vẽ các tiếp tuyến MB,MC với đường tròn (B,C là tiếp điểm) Dây BC cắt OM và OA H và K a) Chứng minh OA.OK không đổi từ đó suy BC luôn qua điểm cố định b) Chứng minh H di động trên đường tròn cố định c) Cho biết OA= 2R Hãy xác định vị trí M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ Tính giá trị nhỏ đó Câu :( 1điểm) Tìm ba số nguyên dương cho tổng chúng tích chúng (2) HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Câu ( điểm) Bài 1.(4đ) x +2 x x−1 + √ − :√ ( x − 1)( x + √ x+1) x + √ x+1 √ x −1 = = x + √ x+ 2 ⇔ = ⇔ x + √ x −6=0 b, P = x+ √ x +1 ⇔ (√ x −2)( √ x+3)=0 ⇔ √ x − 2=0 ( vì √ x+3> ⇔ x=4 a, P = c, P = P= (√ > vì x > x + √ x+ < vì x+ √ x +1>1 x + √ x+1 Ta có P > và P < nên P ( P - ) < ⇒ P2 - 2P < ⇒ P2 < 2P ) (0.5đ) (1.5 đ) (1đ) với x > 0) (0.5 đ) ( 0.5 đ) Bài 2.(2đ) ( x2 - 3) ( xy + 3) (1) x2y - 3y xy + x(xy + ) - 3( x+ y) ( xy + ) 3( x+ y) ( xy + ) 3( x+ y) = k ( xy + ) ( k N * ) (0,5đ) (2) - Nếu k thì 3( x+ y) = k ( xy + 3) 3( xy + 3) x + y xy + ( x - 1)( y - 1) + 2 ( vô lí vì x, y nguyên dương ) -Nếu k = thì từ ( 2) (x - )(y -3 ) = x = và y = x = và y = (0,5đ) - k = thì từ (2) ta có: 3(x + y) = 2( xy + 3) xy (*) Mà 3(x + y ) = 2(xy +3) y( x -3) + x( y- 3) +6 = x > và y > ( vô lí) ( **) (0,5đ) Từ (*) (**) suy (x; y) = ( 1; 3) , (3; 1) Thử lại vào (1) ta : ( x; y) = (3; 1) (0,25đ) Vậy ( x; y) = (6; 5) , (9; 4) , (3; 1) ( 0,25đ) Câu 2: (4đ) Bài 1(2đ).ĐKXĐ: x 2008 ; y 2009 ; z 2010 (0,25đ) ( - 1)2 + ( - 1)2 + ( - 1)2 = (1đ) Tìm : x = 2009 ; y = 2010 ; z = 2011 (0,5đ) Vậy nghiệm phương trình là: ( x , y , z) = (2009; 2010; 2011) (0,25đ) (3) Bài 2: (2đ) Ta có : a2 + b2 + c2 = 14 (a2 + b2 + c2)2 = 142 a4 + b4 c4 = 196 - (a2b2 + b2c2 + a2c2) (1) (0,75đ) Vì : a + b + c = ( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) = ab + bc + ac = - a2b2 + b2c2 + a2c2 = 49 (2) (0,75đ) Từ (1) và (2) B = a4 + b4 c4 = 196 - 49 = 98 (0,5đ) Câu 3: Bài 1:(1,5 ®) Biến đổi phơng trình x2+ 2y2 +2xy + 3y- = ⇔ (x2+ 2xy + y2) + y2 +3y - 4= ⇔ (y+4)(y-1) = - (x+y)2 (0,5đ) ⇒ -4 y v× y thuéc Z nªn y { − ; −3 ; −2 ; −1 ; ; } (0,5đ) Vậy các cÆp (x;y) tháa m·n ph¬ng tr×nh lµ : (x ; y) = (4;- 4), (1;- 1),(5;-3), (1;3),(2;0), (-2;0) (0,5đ) Bài Học sinh phát biểu và CM bất đẳng thức phụ sau: - 1 1 Với x; y là các số thực dương ta có: x y x y (1) Đẳng thức xảy và x = y (0,5đ) Thật vậy: Vì x; y là các số thực dương theo BĐT Côsi ta có 1 1 1 1 2 xy 4 xy x y 4 x y x y x y - Áp dụng BĐT (1) ta có: ab ab ab 1 c 1 c a c b c a c b (1’) (0,5đ) bc bc 1 ca ca 1 ’ Tương tự a 1 a b a c (2 ) ; b b a b c (3’) Cộng vế với vế ba đẳng thức trên ta được: ab bc ca ab ca ab cb cb ca a b c c 1 a 1 b 1 b c ca a b 4 Đẳng thức xẩy và a b c (0,5đ) (4) Câu 4: (6đ) d - Vẽ hình đúng : (0,5đ) M a) B Δ HOK ∞ Δ AOM →OA OK=OH OM Δ vBOM có OB2 = OH OM → .→ OK= H đổi) O K A R2 (Không OA → K là điểm cố định (3đ) C b H nằm trên đường tròn đường kính OK cố định (1đ) c S OBMC =2 SOBM =OM BH= OM BC Smin ↔ OM nhỏ nhất, BC nhỏ ↔ S = R √ (1,5đ) M ≡ A , BC⊥ OK ↔ H ≡ K ↔ M ≡ A Câu : Gọi các số nguyên dương phải tìm là : x; y; z Theo đề bài ta có : x + y + z = xyz (1) Vì các ẩn x , y , z có vai trò bình đẳng phương trình nên có thể xếp thứ tự giá trị các ẩn chẳng hạn : x y z xyz = x + y + z 3z Chia hai vế bất đẳng thức : xyz 3z cho z ta có : xy xy 1; 2; Với xy = x = ; y = Thay vào (1) + z = z (loại) Với xy = x = ; y = Thay vào (1) z = (Thỏa mãn) Với xy = x = ; y = Thay vào (1) z = ( Loại vì y z) Vậy ba số phải tìm là : 1; ; Người đề duyệt Xác nhận tổ chuyên môn Ban giám hiệu (5) TRẦN THỊ HUYỀN (6)