Hỏi có thể lấy được bao số tự nhiên từ tập A mà số đó chỉ có mặt ba chữ số khác nhau.. Hãy viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và cắt d1 , d 2 lần lượt tại M, N sao cho AM [r]
(1)TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM 2014 Môn: TOÁN ; Khối A, A1, B và D Thời gian : 180 phút, không kể thời gian phát đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (8 điểm) Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y x x a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho b) Tìm trên đường thẳng y x điểm mà qua đó kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) hàm số Câu (2,0 điểm) sin x 1 cos x 4cos x.sin x a) Giải phương trình: 2sin x 1 b) Giải phương trình: log2 x log 1 x log 2 x x 2 x x2 y y Câu (1,5 điểm) Giải hệ phương trình: 3 12 y 10 y x Câu (1,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, BD a Trên cạnh AB lấy điểm M cho BM AM Biết hai mặt phẳng (SAC) và (SDM) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và mặt bên (SAB) tạo với mặt đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và cosin góc tạo hai đường thẳng OM và SA Câu (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: a b c Tìm giá trị 1 1 nhỏ biểu thức: P 3( a b c ) a b c II PHẦN RIÊNG (2,0 điểm) A Dành cho thí sinh thi khối A, A1 n 1 Câu 6a (1,0 điểm) Cho P( x) ( x x ) Xác định số hạng không phụ thuộc vào x x khai triển P( x) biết n là số nguyên dương thỏa mãn Cn3 2n An21 Câu 7a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(1;5) Tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác là I 2;2 và 5 K ;3 Tìm tọa độ các đỉnh B và C tam giác 2 A Dành cho thí sinh thi khối B, D Câu 6b (1,0 điểm) Cho tập hợp A tất các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số khác Hỏi có thể lấy bao số tự nhiên từ tập A mà số đó có mặt ba chữ số khác 4 Câu 7b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(0;2), B 0; và hai đường thẳng d1 : x y 0, d : x y Hãy viết phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ và cắt d1 , d M, N cho AM song song với BN http://megabook.vn/ - HẾT - (2) TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM TỔ TOÁN – TIN ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ I NĂM 2014 Môn: TOÁN Câu Câu (2,0 điểm) Đáp án Điểm a) Học sinh tự giải 1,0 b) Gọi M (m; 9m – 7) là điểm bất kì nằm trên đường thẳng y = 9x – Vì đường thẳng có dạng x = m không là tiếp tuyến đồ thị (C) nên ta xét d là đường thẳng qua M và có dạng: y = k(x – m) + 9m – Đường thẳng d là tiếp tuyến (C) và hệ sau có nghiệm: x x k ( x m) 9m 3 x x k 0,5 x x (3 x x)( x m) 9m 3 x x k Qua M kẻ ba tiếp tuyến đến (C) hệ trên có ba nghiệm phân biệt hay phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: x3 x 3mx mx 9m x 1 x (5 3m) x m Do đó điều kiện m là: m 3m 8(5 9m) 9m 42m 15 m m 2.1 (5 3m).1 9m m Vậy các điểm M cần tìm có tọa độ (m; 9m – 7) với m < –5 Câu (2,0 điểm) 0,5 m a) Điều kiện: sin x Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương: sin x 1 cos x 4cos x.sin x sin x sin x.cos x 2cos x 1 cos x sin x cos x sin x cos x 2 sin x cos x 3sin 2 x sin x.cos x cos 2 x 0,5 sin x cos x sin x cos x 2(*) cos2 x sin x cos2 x 2 (*) sin x cos x sin(2 x ) x k Vậy nghiệm phương trình là: x k , k Mà sin x 0,5 http://megabook.vn/ (3) b) Điều kiện x Phương trình đã cho tương đương với: x2 2x x 1 1 x 0,5 x2 4x x * 16 1 x Chia hai vế (*) cho x ta được: (4 x)2 4x 2 (1 x ) x 4x t t t x 1 1 x Vậy nghiệm phương trình đã cho là: x Phương trình đầu tiên hệ tương đương với: 0,5 Đặt t Câu (1,5 điểm) x x (2 y) (2 y ) f x f 2 y với y f (t ) t t t t2 t t t 0,75 0, t f t là hàm số đồng t2 t2 t2 biến trên R Từ đó f x f 2 y x 2 y Ta có f '(t ) Thế x 2 y vào phương trình sau hệ phương trình đã cho ta được: x x x3 ( x 1)3 2( x 1) x3 1 x3 g x 1 g x với y g (t ) t 2t Ta có g '(t ) 3t 0, t g t là hàm số đồng biến trên R Từ đó: g x 1 g x3 0,75 x x3 3x 3x x 1 y x y Vậy nghiệm hệ phương trình đã cho là: 1; , 0; Câu (1,5 điểm) Gọi H AC DM vì SAC ABCD , SDM ABCD SH ABCD 60o là góc hai mặt phẳng SAB Từ H kẻ HK AB SK AB SKH và ABCD HA AM 1 AO AH AC HC CD Mà ABD , AO là đường cao a a a AH HK AH sin HAK 4 3a SH HK tan 60o Do AM // CD 0,75 http://megabook.vn/ (4) 1 3a a a 3 Vậy VS ABCD SH S ABCD 3 16 OM SA Ta có cos OM ; SA OM SA Mà OM SA OA AM SH HA AO AH AM AH AO AM AH cos 30o 0,75 a a a 3 a2 2 4 Câu (1,0 điểm) a2 12 Vậy cos OM , SA a 13 a 21 273 2 a Ta chứng minh 3a với a 2 a a 6a 9a a 1 a (đúng) 0,5 b2 c2 ; 3c b 2 c 2 27 1 1 Vậy a b c a b c 15 a b c Dấu " " xảy a b c n N , n Ta có Cn n An 1 n n 1 n n 8 n n 1 n Ta có Tương tự 3b Câu 6a (1,0 điểm) 0,5 0,5 1 1 f x x 1 x C80 C81 1 x C82 1 x C88 x 1 x x x x x Số hạng không phụ thuộc vào x có hai biểu thức C83 1 x và x 4 C8 1 x Trong đó có hai số hạng không phụ thuộc x là C8 C3 và C84 C40 0,5 Vậy C83C32 C84 C40 98 Câu 7a (1,0 điểm) 5 Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC tâm K ;3 bán kính R AK : 2 5 25 x y 3 2 x 1 y Phân giác AI có phương trình 3x y 1 3 x y Gọi D AI K tọa độ D là nghiệm hệ 5 25 x y 3 2 0,5 http://megabook.vn/ (5) x x D ; Giải ta hai nghiệm và 2 2 y y ICB BCD C A ICA IAC CID ICD cân Lại có ICD 2 D DC DI mà DC DB B, C là nghiệm hệ 2 5 1 x y DI 2 2 x 1 y 1 x 5 25 x y 3 Vậy B, C có tọa độ là 1;1 , 4;1 Câu 6b (1,0 điểm) Câu 7b (1,0 điểm) 0,5 Số cách chọn chữ số phân biệt a, b, c từ chữ số thập phân khác là C39 Chọn chữ số còn lại từ chữ số đó, có trường hợp sau đây: Trường hợp Cả chữ số còn lại cùng chữ số a, b, c: có cách; hoán vị từ 5! hoán vị chữ số (chẳng hạn) a, a, a, b, c tạo số tự nhiên n; 3! hoán vị các vị trí mà a, a, a chiếm chỗ thì tạo cùng 5! số n, nên trường hợp này có thảy 60 số tự nhiên 3! Trường hợp Một chữ số còn lại chữ số a, b, c và chữ số chữ số khác chữ số đó: có cách; hoán vị từ 5! hoán vị chữ số (chẳng hạn) a, a, b, b, c tạo số tự nhiên n; 2! hoán vị các vị trí mà a, a chiếm chỗ và 2! hoán vị các vị trí mà b, b chiếm chỗ thì 5! tạo cùng số n, nên trường hợp này có thảy 90 số tự nhiên 2!2! 9! Vậy: (60 90)C39 150 150 12600 số thỏa mãn điều kiện đề bài 3!6! Giả sử M d1 M t; 1 t , N d N s; 2 s Nếu t M (0; 1) AM Oy (loại) Do O, M, N thẳng hàng và AM // BN nên: s 2 s t 1 t t OM kON 3st s 2t t s Vậy 15st 15s 6t s 2s s AM l BN 3 t t 2 M 2;1 , N ; 5 0,5 0,5 1,0 Chú ý Nếu học sinh có cách giải khác mà kết đúng tính điểm tối đa http://megabook.vn/ (6)