Đáp án HSG Toán học lớp 9 cấp huyện Năm Căn, Cà Mau 2014-2015 - Học Toàn Tập

[r]

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN NĂM CĂN HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015

MƠN: TỐN

Nội dung Điểm

Câu (4 điểm)

2

4

4

)

2 4

2

( 1) ( 1)

2(2 1) 2(2 ( 1)) a A                 2

( 1) ( 1)

2 3( 1) 3( 1)

3

1           

b) Cho biểu thức 2 2 2

2 2

x x

B

xy y x x xy y



 

    với x 1;x2y

- Rút gọn

2

2 2( 1)

2 2 ( ) ( )( 1)

2

( ) ( )

x x x x

B

xy y x x xy y y x y x y x

x x y

y x y x y y x y y

                    

- Tính giá trị biểu thức B y 4 12

1 1

2

4 12

B y          0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0

Câu (5 điểm)

a Cho đa thức: f x 2x3 3ax2 2xb Xác định a, b để f(x) chia hết cho x-1 x+2

Khi f(x) chia hết cho x-1 nên ta có f(1) = 0

4

0

3

2      

 a b a b (I) Khi f(x) chia hết cho x+2 nên ta có f(-2) =

20

12  

 a b (II)

Từ (I) (II) ta tính ; 12

8 



 b

a

b) Chứng minh : n46n311n26nM24 với nZ Ta có:

4 3

3 2

2

6 11 ( 11 6)

( ) (5 ) (6 6)

( 1) ( 1) 6( 1)

( 1)( 6)

( 1)( 2)( 3)

n n n n n n n n n n n n n n

n n n n n n n n n n

n n n n

      

 

       

 

       

   

   

Mà 24 = 23.3

Vậy tích số nguyên liên tiếp chia hết cho chia hết tích n(n+1)(n+2)(n+3) chia hết cho 24

Vậy n46n311n26nM24 với nZ

1,0

1,5 0,5

Câu (2 điểm)

CMR: Nếu x2 3 x4y2  y2 3 x2y4 a 3 x2 + 3 y2 = 3 a2

Đặt x2 = b; 3 y2 = c (b, c0) Khi x2 = b3 y2 = c3

Thay vào (1) ta được:

b3 3 b6c3  c3 3 b3c6 a

 b3 b2c  c3 bc2  a b bc c cb  a  (bc)( bc) (bc)3 a

 bc 3 a2  x2 3 y2 3 a2

0,5

1,5

Câu (3 điểm)

Gọi x thời gian máy thứ bơm minh đầy ao (x>0) Gọi y thời gian máy thứ hai bơm đầy ao (y>0) Ta có phương trình

8 1 1

4 1

10,5 1 1

3 1

x x y

x x y

  

  

  

  



 

   

 

  



1,0

Giải xy 1812      Câu (2 điểm)

Cho tam giác ABC cân A, hai đường cao AH, BK Chứng minh rằng: 12 12 2

4

BK  BC  AH HS vẽ hình chấm điểm làm

A

B C

D

K

H

Dựng đường thẳng vng góc với BC B cắt AC D AH//BD, HB = HC (gt) AD = AC

 AH đường trung bình tam giác BDC

2

AH BD

 

Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông BDC B ta có:

2 2 2

1 1 1

4

BK  BC BD  BC  AH

0,5

1,0 0,5 Câu (4 điểm) HS vẽ hình chấm điểm làm

a

A

B C

D

K

H

Do DHAC AH = 2AC

Kẻ AKBC Vì AKC vng K ·ACK 300nên AK =1

2AC = AH Mà ·BAK DAH· 500 nên AKB = AHD (g-c-g)

Vậy AB = AD, hayABD cân (đpcm)

0,5

0,5

0,5 b Vẽ hình chấm điểm làm

O E

C B

A D

H

Xét ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn (O;R)

Sắp xếp µ µ µA B C  Ta có µ µA B 450 (Vì giả sử Bµ450 µA<900 dẫn đến

µ 450

C trái với xếp Kẻ đường kính COD cắt AB E Kẻ AHCD ADH vng H có

µ · 450

B ADH   AH > DH AE > AH cịn AC > HC Từ AE + AC > DH + HC = DC = 2R

Tương tự BE + BC > 2R Vậy AB + BC + CA > 4R

0,5

1,0 0.5

Lưu ý: Nếu học sinh có cách giải khác cho điểm tối đa.