1 điểm Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng SBC vuông góc với mặt đáy.. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và k[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ———————————— ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối: D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu (2 điểm) Cho hàm số y = x − 3x − (1) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C ) cho tiếp tuyến (C ) M có hệ số góc ¡ ¢ Câu (1 điểm) Cho số phức thỏa điều kiện 3z − z (1 + i ) − 5z = 8i − Tính môđun z Câu (1 điểm) Tính tích phân I = Z π (x + 1) sin 2x d x Câu (1 điểm) a) Giải phương trình log2 (x − 1) − 2log4 (3x − 2) + = b) Cho đa thức n đỉnh n ∈ N và n ≥ Tìm n biết đa giác đã cho có 27 đường chéo Câu (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Ox y z , cho mặt phẳng (P ) : 6x + 3y − 2z − = và mặt cầu (S) : x + y + z − 6x − 4y − 2z − 11 = Chứng minh mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C ) Tìm tọa độ tâm (C ) Câu (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân A , mặt bên SBC là tam giác cạnh a và mặt phẳng (SBC ) vuông góc với mặt đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách hai đường thẳng S A, BC Câu (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho tam giác ABC có chân đường phân giác góc A là điểm D(1; −1) Đường thẳng AB có phương trình 3x + 2y − = 0, tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x + 2y − = Viết phương trình đường thẳng BC p p Câu (1 điểm) Giải bất phương trình (x + 1) x + (x + 6) x + ≥ x + 7x + 12 Câu (1 điểm) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện ≤ x ≤ 2; ≤ y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + 2y x + 3y + + y + 2x y + 3x + ¢ + ¡ x + y +1 ———————————————–Hết————————————————— (2) LỜI GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC 2014 Môn: TOÁN; Khối: D Câu Cho hàm số y = x − 3x − (1) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C ) cho tiếp tuyến (C ) M có hệ số góc a) Lời giải (1) Hàm số y = x − 3x − 2, Tập xác định D = R Đạo hàm y = 3x ·− 3; Do đó y = ⇐⇒ lim y = −∞; x→−∞ Đồ thị x = −1 =⇒ y = x =1 =⇒ y = −4 lim y = +∞; −2 x→+∞ −1 Bảng biến thiên x −∞ y0 + +∞ −1 − −2 + +∞ y −∞ −4 −4 Hàm số nghịch biến trên (−1; 1) ; Hàm số đồng biến trên (−∞; −1); (1; +∞) Điểm cực đại (−1; 0) Điểm cực tiểu (1; −4) b) Lời giải (1) Ta có hệ số góc y (x ) ⇐⇒ 3x 02 − = ⇐⇒ x = ±2 Với x = ta điểm M (2; 0) Với x = −2 ta điểm M (−2; −4) Câu ¡ ¢ Cho số phức thỏa điều kiện 3z − z (1 + i ) − 5z = 8i − Tính môđun z Lời giải (1) Số phức z = a + bi , a, b ∈ R Theo đề bài ( [3(a + bi ) − (a − bi()] (1 + i ) − 5(a + bi ) = 8i − p p 3a + 4b = a =3 ⇐⇒ −3a − 4b + (2a − b)i = −1 + 8i ⇐⇒ ⇐⇒ Vậy |z| = + = 13 2a − b = b = −2 Câu Tính tích phân I = Lời ( giải (1) Đặt u = x +1 ⇒ Z π (x + 1) sin 2x d x ( du = dx v = − 12 cos 2x ¯π ¯π Z π ¯4 ¯4 1 1 Vậy I = − (x + 1) cos 2x ¯¯ + cos 2xd x = + sin 2x¯¯ = + = 2 4 0 d v = sin 2xd x Câu a) Giải phương trình log2 (x − 1) − 2log4 (3x − 2) + = b) Cho đa thức n đỉnh n ∈ N và n ≥ Tìm n biết đa giác đã cho có 27 đường chéo a) Lời giải (1) Đk: x > Phương trình đã cho tương đương vói: log2 (x − 1) − log2 (3x − 2) = −2 http://www.k2pi.net (3) µ ⇐⇒ log2 ¶ µ ¶ x −1 x −1 = −2 ⇐⇒ = ⇐⇒ x = 3x − 3x − Vậy x = là nghiệm hệ b) Lời giải (1) Số đường chéo đa giác n cạnh là : C n − n = 27 ⇔ n − 3n − 54 = ⇒ n = Vậy đa giác đó có cạnh Câu Trong không gian với hệ tọa độ Ox y z , cho mặt phẳng (P ) : 6x + 3y − 2z − = và mặt cầu (S) : x + y + z − 6x − 4y − 2z − 11 = Chứng minh mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C ) Tìm tọa độ tâm (C ) Lời giải (1) p Ta có: mặt cầu (S) có tâm I (3; 2; 1) và bán kính R = 32 + 22 + 12 + 11 = − Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến → n = (6; 3; −2) |6.3 + 3.2 − 2.1 − 1| Khoẳng cách từ I đến mặt phẳng (P ): d (I , (P )) = p 62 + 32 + (−2)2 =3 Vì d (I , (P )) < R nên mặt cầu (S) cắt (P ) theo giao tuyến là đường tròn (C ) Gọi H là tâm đường tròn (C ), ta có H là hình chiếu I trên (P ) Đường thẳng I H qua I (3; 2; 1) − và vuông góc (P ) nên nhận → n = (6; 3; −2) làm vectơ phương x −3 y −2 z −1 = = −2 6x + 3y − 2z − = x = x −3 y −2 = Tọa độ H là nghiệm hệ phương trình: ⇔ y= y −2 = z −1 13 z = −2 ¡ 13 ¢ Vậy tâm đường tròn (C) cần tìm là : H ; ; Phương trình chính tắc I H là: Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân A , mặt bên SBC là tam giác cạnh a và mặt phẳng (SBC ) vuông góc với mặt đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách hai đường thẳng S A, BC Lời giải (1) Xét tam giác ABC vuông cân tạip A , ta có AC + AB = BC ⇒ AB = AC = a 2 Gọi I là trung điểm BC Ta có (SBC )⊥(ABC ), (ABC ) = BC , SI ⊥BC ⇒ SI ⊥(ABC ) q p p Xét tam giác SIB SI = SB − I B = a − a4 = a S p p p Thể tích hình chóp VS.ABC = 13 S ABC SI = 31 12 a 2 a 2 a = a 24 Xét mp(SI A) có BC ⊥SI , BC ⊥I A, BC ⊥(SI A) ⇒ (SBC )⊥(SI A) Dựng I H ⊥S A ⇒ I H ⊥BC Vậy I H làq khoảng cách giứa S A, BC H C p (SBC ) ∩ IA= I p AB − B I = a2 2 − a4 = Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác SI A A B 1 = + ⇐⇒ IH IS IA p a Vậy d (BC , S A) = 4 a2 16 + 3a4 = 3a ⇐⇒ I H = a p a Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho tam giác ABC có chân đường phân giác góc A là điểm D(1; −1) Đường thẳng AB có phương trình 3x +2y −9 = 0, tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x + 2y − = Viết phương trình đường thẳng BC http://www.k2pi.net (4) Lời giải (1) Tọa độ A là nghiệm hệ x + 2y = A M I x + 2y = D = (1, −1) ( ⇔ x =1 y =3 ⇒ A(1; 3) Phương trình đường thẳng AD là: x − = Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , và điểm H là giao điểm AD với đường tròn (I ) với H 6= A Đường thẳng AI qua A và vuông góc với đường x + 2y − = Nên phương trình AI là:2(x − 1) − (y − 3) = ⇔ 2x − y + = Do I ∈ AI , gọi I (t ; 2t + 1) , (với t 6= vì I 6= A ) AI = (t −1)2 +(2t −2)2 = 5(t −1)2 Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính IA là: (x − t )2 + (y − 2t − 1)2 = 5(t − 1)2 Tọa độ ( H là nghiệm hệ: " (x − t )2 + (y − 2t − 1)2 = 5(t − 1)2 B x = ⇒ y = 3(l oai ) ⇔ x = ⇒ y = 4t − −→ Do đó H (1; 4t −1) nên I H = (1−t ; 2t −2) Suy véctơ pháp tuyến → = (1; −2) nên phương trình BC là: BC là − n 1(x − 1) − 2(y + 1) = ⇔ x − 2y − = x −1 = 3x + 2y = C ( 3x + 2y = H Lời giải (2) Tọa ( độ A là nghiệm(của hệ 3x + 2y = x + 2y = x + 2y = ⇐⇒ x =1 y =3 =⇒ A(1; 3) Gọi M là giao điểm BC và tiếp tuyến x + 2y − = = DC A + C Ta có ADB AD = B AM + D AB = D AM =⇒ AM = D M Khi ( đó tọa độ M là nghiệm hệ ( A x + 2y = M I B D = (1, −1) 3x + 2y = C (x − 1) + (y − 3) = (x − 1) + (y + 1) ( x =5 ⇐⇒ =⇒ M (5; 1) y =1 ⇐⇒ x + 2y = y =1 Đường thẳng BC chính là đường thẳng M D nên có phương trình H Câu (1 + 1)(x − 1) − (5 − 1)(y + 1) = ⇐⇒ x − 2y − = p p Giải bất phương trình (x + 1) x + (x + 6) x + ≥ x + 7x + 12 Lời giải (1) Điều kiện: x ≥ −2 Khi đó bất phương trình tương đương với ¡p ¢ đã cho¡p ¢ x + − + (x + 6) x + − ≥ x + 2x − x −2 x −2 ⇐⇒ (x + 1) p + (x + 6) p ≥ (x − 2)(x + 4) x +7+3 µx + + ¶ x +1 x +6 ⇐⇒ (x − 2) p +p − x − ≥ (∗) x +2+2 x +7+3 (x + 1) Vì x ≥ −2 nên p x +1 x +2+2 +p x +6 x +7+3 −x −4 ≤ p x +2 x +2+2 +p x +6 x +7+3 −x −4 < x +2 x +6 x +6 + −x −4 = − <0 Do đó (∗) ⇐⇒ x ≤ Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm S = [−2; 2] Câu Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện ≤ x ≤ 2; ≤ y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + 2y x + 3y + + y + 2x y + 3x + ¢ + ¡ x + y +1 http://www.k2pi.net (5) Lời giải (1) ¡ ¢¡ ¢ Từ điều kiện, ta có: (x − 1) (x − 2) ≤ ⇐⇒ x ≤ 3x − , và y − y − ≤ ⇐⇒ y ≤ 3y − x + 2y 2x + y x+y + + ≥ + 3x + 3y + 3x + 3y + 4(x + y − 1) x + y + 4(x + y − 1) t Đặt t = x + y , ta có : t ∈ [2; 4] Xét hàm số f (t ) = + với t ∈ [2; 4] t + 4(t − 1) · 3t − 10t + t = ∈ [2; 4] Đạo hàm: f (t ) = ¡ ¢2 , f (t ) = ⇐⇒ t = ∉ 4] t2 −1 [2; Do đó : P ≥ Ta có : f (2) = 11 , f (3) = 87 , f (4) = 53 Vậy, GTNN P là 78 đạt (1; 2) (2; 1) 12 60 Lời giải thực các thành viên diễn đàn Toán THPT http://www.k2pi.net http://www.k2pi.net (6)