Nội dung Chuyên đề Phép chia hết, phép chia có dư gồm lý thuyết và các dạng bài tập. Mời các em tham khảo tài liệu để có thêm những phương pháp giải bài tập hay, khoa học. Hy vọng tài liệu sẽ là tài liệu hữu ích giúp quá trình học tập của các em được tốt hơn!
Sưu tầm CHUYÊN ĐỀ PHÉP CHIA HẾT, PHÉP CHIA CĨ DƯ Thanh Hóa, tháng năm 2019 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH THỪA SỐ ĐỂ CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN CHIA HẾT A LÝ THUYẾT Phép chia hết Với a, b số TN b khác Ta nói a chia hết b tồn số TN q cho a = b.q Tính chất chung a ⋮ b b ⋮ c a ⋮ c a ⋮ a với a khác 0 ⋮ b với b khác Bất số chia hết cho Tính chất chia hết tổng , hiệu - Nếu a, b chia hết cho m a + b chia hết cho m a - b chia hết cho m - Tổng số chia hết cho m số chia hết cho m số cịn lại chia hết cho m - Nếu số a, b chia hết cho m số không chia hết cho m tổng , hiệu chúng khơng chia hết cho m Tính chất chia hết tích - Nếu thừa số tích chia hết cho m tích chia hết cho m - Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n a.b chia hết cho m.n - Nếu a chia hết cho b thì: an ⋮ bn *) Chú ý +) a b (a b)n n +) a b (a b)n chẵn n n n B BÀI TẬP Bài 1: Chứng minh b B = abcabc(a 0) 7,11,13 a A= 2727 + 377 chia hết cho 82 Lời giải: a A= (3 ) (3 1) 82.3 27 77 81 77 77 77 82 b abcabc abc000 abc 1000.abc abc 1001.abc 7.11.13.abc(dpcm) Bài 2: Chứng minh a b 10 59 d 10 10 10 555va222 Sưu tầm n2 e 2n2 3n 2n 10 c 81 27 9 f 16 15 13 45 33 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Lời giải: a (5 1) 21 3 b 10 (2.5) (2 5) 59.5 59 c 81 27 3 (3 1) 5.3 13 28 27 26 26 26 6 5.32 d 109 108 107 107 (102 10 1) 111.107 111.(2.5)7 222.26.57 222( 555.27.56 555) n2 n2 n n n n n n e (3 1) (2 1) 10.3 5.2 10 f 16 (2 1) 33.2 15 20 15 15 15 Bài 3: Cho A = 2 99 10 33 = 2100 – Chứng minh rằng: A chia hết cho 3, 15, 31 Lời giải: A có 100 số hạng a A= (1 2) (22 23 ) (298 299 ) 22 (1 2) 298 (1 2) 3.(1 22 24 298 ) b A = (1 ) (2 ) (2 ) 15(1 ) 15 Bài 4: Cho M 3 118 96 99 96 3119.CMR : M 13 Lời giải: Ta có: M (1 32 ) (33 34 35 ) (3117 3118 3119 ) (1 32 ) 33 (1 32 ) 3117 (1 32 ) 13 33.13 13.3117 13.(1 33 3117 ) 13 Bài 5: a Chứng minh rằng: Tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho tổng số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho b Tổng số chẵn liên tiếp chia hết cho 10 , tổng số lẻ liên tiếp chia 10 dư Lời giải: n n n (3n 3) 3n N 4n / 4n N a b 2k 2k 2k 2k 2k 10k 20 10k N Bài : Cho S = Sưu tầm 998 31000 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a Tính S b Chứng minh : S chia cho dư Lời giải: a S= 998 31000 (100sohang ) 32.S 34 36 3998 31000 31002 (32 1).S 31002 32 S 31002 32 32 b Nhóm hạng tử với dư hạng tử S= (3 ) (3 ) (3 90 du 10 96 98 100 ) c A = (1 ) (2 22 ) 31(1 ) 31 95 Bài 7: Cho B = 3 100 99 95 ( có 100 số hạng ) a Chứng minh B chia hết cho 120 b Tìm số dư chi B cho 82 Lời giải: a B = (3 ) (3 3 97 120 98 99 100 ) 120 b Nhận xét: 30 + 34 = 82 Tổng hai lũy thừa cách số hạng chia hết cho 82 Ta nhóm số hạng nhóm dư số hạng Lời Giải: B = (3 ) (3 ) (3 ) k 1 Ta chứng minh: k 12 93 100 3k 7 82 Thật vậy: (3k 3k 4 ) (3k 1 3k 5 ) (3k 3 3k 27 ) (3k 3k 1 3k 2 3k 3 )(1 34 ) 82(dung ) Vậy số dưu chia B cho 82 số dư hạng tử lại là: cho 82 Kết luận: số dư 38 Bài : Chứng minh : a Nếu ab cd eg chia hết cho 11 abc deg chia hết cho 11, điều ngược lại có khơng? b Nếu abc deg abc deg chia hết cho Lời giải: Ta có: abc deg 10000.ab 100.cd eg 9999.ab 99.cd ab cd eg abc deg 11 11 Sưu tầm 11 11 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Điều ngược lại b abc deg 1000abc deg 1001abc abc deg 1001abc (abc deg) abc deg 7 Điều ngược lại Bài 9: Cho n STN khác 0, CMR: n (n 1) (n 2) 3 Lời giải: A 3n(n 1)(n 1) 9n 18n (dpcm) 9 Bài 10 : Tìm số nguyên dương n nhỏ cho viết tiếp số vào 2015 ta số chia hết cho 113 Lời giải: Giả sử n có k chữ số Theo ta có : 2015n 113 Có : 2015n 2015 10 n (17.13 94).10k n 2015n 13 94.10k n 113(1) k kchuso +) Nếu k = (1) 94.10 n 113 8.113 36 n 113 36 n 113 Mà < n ≤ 36 n /113(loai) +) Nếu k = (1) 94.10 n 113 8.113 21 n 113 21 n 113 Mà 10 ≤ n ≤ 99 21 n 113 n 92 Vậy n = 92 Bài 11: Cho C = , CMR : 11 a C chia hết cho 13 b C chia hết cho 40 Lời giải: a C (1 ) (3 ) (3 ) 13(1 ) 13 10 11 b Nhóm số hạng = 40 ( + 34 + 38 ) chia hết cho 40 ( đpcm) Bài 12: Chứng minh rằng, nếu: abc 37 bca; cab chia hết cho 37 Lời giải: A= abc (a.102 b.10 c) 37 10 A (a.103 b.102 10.c) 37 10 A 1000a 102 b 10.c Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 10 A 102 b 10c a 999a bca 999a 37.27.a bca 10 A 37 bca 37 Tương tự: 10bca 37;999b 37 cab 37 Bài 13: a Chứng tỏ rằng: 2 100 b Tìm số dư chia tổng c S= 3 1997 100 cho 31998 26 Lời giải: a 21 22 23 2100 (21 22 ) (299 2100 ) 21 (1 2) 299 (1 2) 3(21 23 2999 ) b (2 ) (2 ) (2 2 98 99 100 ) 7.(22 25 298 ) chia dư c Ta có: 26 = 13 , ta chứng minh S chia hết cho 13 Ta có : S có 1998 số hạng, chia làm 666 nhóm S= S (3 ) (3 1996 31997 31998 ) 13.(31 34 31996 ) S 13.2 26 666 sohanglachan Bài 14: Chứng minh : A = 10n + 72n -1 chia hết cho 81 Lời giải: A 10n 72n (10 1)(10n1 10n2 10 1) 9(10n1 10n2 10 1) 9n 81n 9(10n1 10 n) 81n 9[(10n1 1) (10n2 1) (1 1)]+81n Ta có: 10k (10 1)(10k 1 10 1) 9[(10n1 1) (10n2 1) (1 1)] 81 9[(10n1 1) (10n2 1) (1 1)]+81n 81 A 81 Bài 15: Chứng minh A 100 chia hết cho B 100 3 3 Lời giải: Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + + (50 + 51) = 101 50 Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 101 A (13 1003 ) (23 993 ) (503 513 ) (1 100)(12 100 1002 ) (2 99)(22 2.99 992 ) (50 51)(502 50.51 512 ) 101(12 100 1002 22 2.99 992 502 50.51 512 ) 101(1) Sưu tầm TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Lại có: A (1 99 ) (2 98 ) (50 100 ) A 50(2) 3 50 3 50 50 Từ (1) (2) suy A chia hết cho 50 101 = B BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Chứng minh tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Hướng dẫn Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + Tổng ba số tự nhiên liên tiếp a + a + + a + = (a + a + a) + (1 + 2) = (3a + 3) chia hết cho (Tính chất chia hết tổng) Bài 2: Tổng số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho hay khơng ? Hướng dẫn Gọi số tự nhiên liên tiếp a, a + 1, a + 2, a + Tổng số tự nhiên liên tiếp là: a + a + + a + + a + = (a + a + a + a) + (1 + + 3) = (4a + 6) Do chia hết 4a chia hết cho mà không chia hết (4a + 6) không chia hết cho Tổng số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho Kết luận: Vậy lúc tổng n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n Bài 3: Chứng minh (495a + 1035b) chia hết cho 45 với a , b số tự nhiên Hướng dẫn Vì 495 chia hết 1980.a chia hết cho với a Vì 1035 chia hết 1035.b chia hết cho với b Nên: (495a + 1035b) chia hết cho Chứng minh tương tự ta có: (1980a + 1995b) chia hết cho với a, b Mà (9, 5) = (495a + 1035b) chia hết cho 45 Bài 4: Chứng minh tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho Hướng dẫn Gọi hai số chẵn liên tiếp 2n, 2n + Tích hai số chẵn liên tiếp là: 2n.(2n + 2) = 4n.(n + 1) Vì n, n + khơng tính chẵn lẻ nên n.(n + 1) chia hết cho Mà chia hết 4n.(n + 1) chia hết cho (4.2) Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 4n.(n + 1) chia hết cho 2n.(2n + 2) chia hết cho Bài 5: Chứng minh rằng: a) Tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho b) Tích bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Hướng dẫn a Gọi ba số tự nhiên liên tiếp n, n +1, n + Tích ba số tự nhiên liên tiếp là: n.(n + 1).(n + 2) Một số tự nhiên chia cho nhận số dư 0; 1; - Nếu r = n chia hết cho n.(n +1).(n +2) chia hết cho - Nếu r = n = 3k + (k số tự nhiên) n + = 3k + + = (3k + 3) chia hết cho n.(n + 1).(n + 2) chia hết cho - Nếu r = n = 3k + (k số tự nhiên) n + = 3k + + = (3k +3) chia hết cho n.(n +1).(n +2) chia hết cho Tóm lại: n.(n +1).(n +2) chia hết cho với n số tự nhiên b Chứng minh tương tự ta có n.(n +1).(n +2).(n +3) chia hết cho với n số tự nhiên Kết luận: Tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n Bài 6: Chứng minh a) ab ba chia hết cho 11 b) ab ba chia hết cho với a > b Hướng dẫn a) ab ba (10a b) (10b a) 11a 11b , chia hết cho 11 b) ab ba (10a b) (10b a) 9a 9b , chia hết cho Bài 7: Chứng minh ab cd 11 abcd 11 Hướng dẫn abcd 100.ab cd 99.ab (ab cd ) 11 Bài 8: Biết abc 27 chứng minh bca 27 Hướng dẫn abc 27 => abc0 27 => 1000a bc0 27 => 999a a bc0 27 => 27.37a bca 27 Sưu tầm TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vì 27.37a 27 nên bca 27 Bài 9: Cho chữ số 0, a, b Hãy viết tất số có ba chữ số tạo ba số Chứng minh tổng tất số chia hết cho 211 Hướng dẫn Tất số có ba chữ số tạo ba chữ 0, a, b là: a0b ; ab0 ; ba0 ; b0a Tổng số là: a0b ab0 ba0 b0a = 100a + b + 100a + 10b + 100b + 10a + 100b + a = 211a + 211b = 211(a + b) chia hết cho 211 Bài 10: Tìm số tự nhiên n để (3n + 14) chia hết cho (n + 2) Hướng dẫn Ta có 5n + 14 = 5.(n + 2) + Mà 5.(n +2) chia hết cho (n +2) Do (5n + 14) chia hết cho (n +2) chia hết cho (n + 2) (n + 2) ước (n +2) 1 ; ; 4 n 0 ; 2 Vậy với n 0; 2 (5n + 14) chia hết cho (n +2) Bài 11: Chứng minh 21132000 – 20112000 chia hết cho Hướng dẫn Để số vừa chia hết cho số phải có chữ số tận => Cần chứng minh số bị trừ số trừ có chữ số tận Chú ý: Số tự nhiên a có chữ số tận an có chữ số tận 21132000 = (21134)500 = 500 => 21132000 có chữ số tận 20112000 ln có chữ số tận => 21132000 – 20112000 có chữ số tận => 21132000 – 20112000 chia hết cho Bài 12 a) Chứng minh viết thêm vào đằng sau số TN có chữ số gồm chữ số viết theo thứ tự ngược lại số chia hết cho 11 b) chứng minh số TN có chữ số Hướng dẫn a) Gọi số TN có chữ số abc viết thêm ta số abccba Ta có abccba =100000a+10000b+1000c+100c+10b+a =100001.a+10010.b+1100c chia hết cho 11 (Phần b chữ số làm tương tự ) Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài 13: Chứng minh ab 2cd abcd 67 Hướng dẫn abcd 100ab cd 100.(2cd ) cd 201.cd Vì 201 ⋮ 67 => abcd 67 Bài 14: Chứng minh n5 – n 30 Hướng dẫn Bài tốn ln với n = n =1 Xét n 2: Đặt A = n5 – n = n (n2 +1)(n+1)(n-1) Ta có A A 10 ( Vì n5 n có chữ số tận giống nhau) (Vì A có tích số tự nhiên liên tiếp (n-1)n(n+1) ) => A chia hết cho 10 Mà ƯCLN(3, 10) = nên A chia hết cho 3.10 Vậy A 30 Bài 15: Chứng minh abcabc chia hết cho 7, 11, 13 Hướng dẫn Xét số abcabc abc000 abc 1000.abc abc 1001abc = 7.11.13 abc => abcabc 7, 11 13 Bài 16: Cho số có chữ số có dạng abc Chứng minh rằng: abc bca cab a b c Hướng dẫn abc + bca cab = 100a + 100b + 100c + 10a + 10b + 10c + a + b + c = 111a + 111b + 111c = 111(a + b + c) => ( abc + bca cab ) (a + b + c) Bài 17: Chứng minh abc deg chia hết cho 23 29, biết abc 2.deg Hướng dẫn abcdeg 1000abc deg mà abc 2deg => abcdeg 2001deg 23.29.3.deg => abc deg chia hết cho 23 29 Bài 18: Chứng minh ab cd eg chia hết cho 11 abc deg chia hết cho 11 Hướng dẫn abcdeg 10000ab 100cd eg 9999ab 99cd ab cd eg Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 12 Website:tailieumontoan.com c n1 có tận suy chia hết cho 10 Vì 92 n1 tận 2n + 1lẻ Bài 3: Cho n N , chứng minh rằng: * a n n không chia hết cho 4, không chia hết cho b A 26n 111 nchuso1 Lời giải: a Ta có: n n n(n 1) số lẻ nên không chia hết cho láochan Lại có : n ( n + ) khơng có chữ số tận suy n n / b A 26n 111 27n (11.1 n) nchuso1 nchuso1 Có : 111 có số dư với n chia cho (111 1) B 9(dpcm) nchuso1 nchuso1 Bài 4: Chứng minh a A (2 1) 10 11 b B 39 1001 25 211000 10 Lời giải a A (2 1) 1025 10 11 11 25 1001 211001 ) 10 b B (39 t / c9 t / c1 Bài 5: Giả sử S(a) tổng chữ số số tự nhiên a Chứng minh a a S (a) b Nếu S(a) = S(2a) a chia hết cho 9, điều ngược lại có khơng? Lời giải a Đặt a an an1 a1a0 an 10 a1 10 a0 S (a) an an1 an a1 a0 n a S (a) an (10n 1) an1.(10n1 1) 9a1 a S (a) (10 1) (10 1) b S (a) S (2a) a 2a S (2a) a S (a) a 9 Ví dụ: a 18 S (a) a S (a) 9;2a 36 S (2a) Bài 6: Số tự nhiên a có 26 chữ số, người ta đổi chỗ chữ số A để số B lớn gấp lần số A Chứng minh rằng: B 27 Lời giải Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 13 Website:tailieumontoan.com Nhận xét: Ta dựa vào dấu hiệu chia hết cho B A B S ( A) S ( A) A Mà B A B S ( B) S ( A) A A3 Mà B A B 27 dpcm A9 Bài 7: Viết số tự nhiên liên tiếp từ 10 đến 99 ta số A Số A có chia hết cho 99 khơng? Lời giải Ta có 90 số thảo mãn toán: 10,11, ;99 Tổng chữ số hàng đơn vị là: (0 9).9 45.9 405 Tổng chữ số hàng chục là: 9).10 45.10 450 Tổng chữ số A là: 405 450 855 / A / Bài 8: Chứng minh với n STN lẻ số A n2 4n / Lời giải Vì n lẻ, ta đặt n 2k 1(k N ) A (2k 1)2 4(2k 1) 4k (k 1) 8(k 1) - Ta có k k + hai số TN liên tiếp có số chẵn nên 4k (k 1) Lại có 8(k 1) 8;2 / A chia dư Bài 9: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho 9, biết tổng hai số thỏa mãn điều kiện sau a Là số có ba chữ số b Là số chia hết cho c Tổng chư x số hàng trăm chữ số hàng đơn vị số chia hết cho d Tổng chữ số hàng trăm chữ số hàng chữ số hàng chục số chia hết cho Lời giải Tổng hai số tự nhiên chia hết tận Mà tổng chữ số hàng trăm hàng đơn vị nên chữ số hàng trăm phải Vậy tổng hai số tự nhiên có dạng: 4a5 Mà a 4 a 0;4;8 Tổng hai số là: 405 202 203;445 222 333;485 242 243 Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 14 Website:tailieumontoan.com BÀI 3: DÙNG CÁC TÍNH CHẤT QUAN TRỌNG ĐỂ CHỨNG MINH BÀI TỐN CHIA HẾT A Các tính chất a b; b c a c : a(a 0) a a; a a m; b m pa qb m Nếu a : (m.n) a m; a n a m; b n ab mn HQ : a m a k mk a m; a n;(m, n) a mn ab m;(b, m) a m ab p ( p số nguyên tố ) a chia hết p b chia hết cho p B Các tính chất suy luận - Trong hai số tự nhiên liên tiếp có số chẵn số lẻ - Tổng hai số tự nhiên số lẻ - Tích hai số tự nhiên số chẵn - Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho - Tổng hai số tự nhiên số lẻ có số tự nhiên số chẵn C Bài tập Bài 1: Chứng minh a A 1028 72 b B 817 279 913 45 Lời giải a Cách 1: 1028 228.828 23.225.528 8 A Lại có 1028 có tổng chữ số nên chia hết cho Vậy A chia hết cho 72 Cách 2: 1028 có ba chữ số tận 008 nên chia hết cho 1028 1028 A A 72 9 b Cách 1: 817 có tận 1; 279 có tận 7; 913 có tận nên B có tận nên chia hết cho 5, (5;9) B 45 Bài 2: Chứng minh với số tự nhiên n chẵn A 20n 16n 3n 1 323 Lời giải Ta có: 323 17.19;20n 3n 17;16n 1n 17(do.n.chan) B 17 Lại có: B 19 B 17.19 323 16 19(n.chan) 20n 19 n n Bài 3: Chứng minh với số tự nhiên n a A n(2n 1)(7n 1) Sưu tầm b C n(n2 1)(n2 4) c B n3 13n TÀI LIỆU TOÁN HỌC 15 Website:tailieumontoan.com Lời giải n : chan a Ta có: n 7n 8n 1: le 7n 1: chan - Đặt n 3k n(2n 1)(7n 1) 3; n 3k n(2n 1)(7n 1) 3(do : 2n 3); n 3k 3(do : 7n 3) b Nhận xét: Số phương chia cho có số dư là: 0, 1, Nếu n chia dư n2 Nếu n chia dư n2 n(n2 1)(n2 4) 5n Hoặc đặt n 5k 1; n 5k 2; n 5k 3; n 5k c B n3 13n n3 n 12n n(n 1)(n 1) 12n 6 Bài 4: Chứng minh với số tự nhiên x, y a x y 17 x y 17 b x y 29 x y 29 c x y 13 x y 13 d x y 19 13x 14 y 19 e 20 x y 31 x y 31 Lời giải Gợi ý: A C B C; pA qB C p, q ? a Tìm p, q cho 2 p 9q 17 p(2 x y) q(9 x y) 17x, y (2 p 9q) x (3 p 5q) y 17x, y 3 p 5q 17 Chọn p 4; q 4(2 x y) (9 x y) 17x, y - Nếu x y 17 x y 17 - Nếu x y 17 4(2 x y) 17;(4,17) x y 17 b Chọn p, q cho 7 p 9q 17 p(7 x y) q(9 x y) 29x, y (7 p 9q) x (4 p q) y 29x, y chon p 4; q 3 p 5q 17 7 p q 13 chon p 1; q c 9 p 5q 13 p d q 13 p e q Bài 5: Cho a, b hai số phương lẻ liên tiếp Chứng minh rằng: (a 1)(b 1) 192 Lời giải Ta có: 192 3.8.8;(3,8) Nhận xét: Nếu n lẻ n 1 8( phải chứng minh ) Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 16 Website:tailieumontoan.com Thật vậy: n 1 (n 1)(n 1) mà n + n – hai số chẵn liên tiếp nên (n 1)(n 1) Từ a 8; b 1 (a 1)(b 1) 8.8 64(1) +) a, b số phương nên a, b chia dư a / a (a 1)(b 1) 3(2) Vì a, b số phương lẻ liên tiếp b / b Mà (3,64) (a 1)(b 1) 4.3 192 dpcm Bài 6: Cho ba số tự nhiên a, b, c thỏa mãn: a2 b2 c2 CMR : a Trong hai số a, b có số chia hết cho b Trong hai số a, b có số chia hết cho c Trong hai số a, b có số chia hết cho Lời giải a Giả sử a lẻ, b lẻ a b2 chia dư c chia dư ( mâu thuẫn) có số chẵn b Giả sử a VT chia.3.du.2 loai có số chia hết cho b VP.chia.3.du.1 c - Nếu b lẻ c lẻ Đặt b 2b1 1; c 2c1 1; a2 b2 c2 (2a1 )2 (2b1 1)2 (2c1 1)2 a12 b12 b1 c12 c1 a12 c12 b 21 c1 b1 2c1 số lẻ nên hai số số chẵn a12 a1 a - Nếu b chẵn c chẵn Đặt b 2b1; c 2c1 a12 b12 c12 a1 Theo câu a a1 chẵn b1 chẵn b1 Bài 7: Cho số tự nhiên ab lần tích chữ số Chứng minh rằng: a b a b Đặt b ka.CMR :10 k c Tìm số tự nhiên ab Lời giải a ab 3ab 10a b 3ab 10a b a b a b b ka 10a ka 3a.ka( k 10) 10 k 3ak 10 k k 10 k k 1;2;5 +) k 11 3a(loai) +) k a b 24 2.3.4 Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com +) k a b 15 15 3.1.5 Bài 8: Chứng minh với số nguyên dương n a S (n 1)(n 2) 2n 2n ( tích 2n số nguyên dương đầu ) b P (n 1)(n 2) 3n 3n ( tích 3n số nguyên dương đầu ) Lời giải a Có 1.2 n.S 1.2.3 n(n 1)(n 2) (2n) 2.4.6 (2n).1.3.5 (2n 1) 2n (1.2.3 n).1.3.5.7 (2n 1) S n.1.3.5 (2n 1) 2n dpcm le b 1.2.3 n p 1.2.3 n(n 1)(n 2) (3n) 3.6 (3n).1.2.4.5 (3n 1) Q 3.1.3.2.3.3 3.n P 3n.Q 3n dpcm 3n.(1.2.3 n ) Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 18 Website:tailieumontoan.com BÀI 4: TÌM CHỮ SỐ CHƯA BIẾT ĐỂ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN ĐỂ CHIA HẾT Vận dụng tính chất chia hết tổng (hiệu) dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; để xét Với tốn điền chữ số vào * (tìm chữa số số cho) để thỏa mãn chia hết: + Thì ta phân tích số theo tổng chữ số để lập luận chia hết cho + Dùng chữ số tận để lập luận chia hết cho Bài 1: Cho 1số có chữ số: *26* Điền chữ số thích hợp vào dấu (*) để số có chữ số khác chia hết cho tất số : 2; ; ; Lời giải Số đảm bảo chia hết số số chẳn Số chia hết số phải có chữ số tận số Số vừa chia hết cho nên số phải có tổng chữ số chia hết cho Vậy: Chữ số tận số *260 Chữ số đầu số Do số cho 1260 Bài 2: Thay (*) số thích hợp để: a) 510* ; 61*16 chia hết cho b) 261* chia hết cho chia dư Lời giải a) Để 510* ; 61*16 chia hết cho thì: + + + * chia hết cho 3; từ tìm * = 0; 3; 6; b) Để 261* chia hết cho chia dư thì: * chẵn + + + * chia dư 1; từ tìm * = Bài 3: Tìm chữ số a,b, cho b) a – b = 4a7 1b5 a) a – b = 7a5b1 Lời giải a) số 7a5b1 nên 7+a+5+b 13+a+b nên a+b chia cho dư (1) 4 a 0 b Ta có a-b =4 nên Suy a b 14 (2) Mặt khác a-b số chẵn nên a+b số chẵn (3) Từ 1,2,3 suy a+b = 14 Với a+b=8, a-b=4 ta a=6,b=2 Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 19 Website:tailieumontoan.com Với a+b=14,a-b=4 tađược a=9,b=5 b) 4a7 1b5 nên 512 +10(a+b) 504 +8+9(a+b)+a+b nên a+b chia dư a b a b =6 nên a+b=10 Từ ta tìm a = 8, b = Bài 4: Tìm tất số x, y để có số 34 x5 y chia hết cho 36 Lời giải Vì (4, 9) = nên 34 x5 y chia hết cho 36 34 x5 y chia hết cho 34 x5 y chia hết cho Ta có: 34 x5 y chia hết cho 5y chia hết cho y 2 ; 6 34 x5 y chia hết cho (3 + + x + + y) chia hết cho (9 + 13 + x + y) chia hết cho (3 + x + y) chia hết cho Vì x, y N x; y Nên x + y thuộc 6 ; 15 Nếu y = x = x = 13 ( > - Loại ) Nếu y = x = x = Vậy số phải tìm là: 34452; 34056; 34956 Bài 5: Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số để số chia hết cho 5; 7; Lời giải Giả sử ba số viết thêm abc Ta có: 579abc ; ; 579abc chia hết cho 5.7.9 = 315 Mặt khác: 579abc = 579000 + abc = (315.1838 + 30 + abc ) chia hết cho 315 Mà 315.1838 chia hết cho 315 (30 + abc ) chia hết cho 315 30 + abc (315) Do 100 abc 999 130 30 + abc 1029 30 + abc 315; 630; 945 abc 285 ; 600 ; 915 Vậy ba số viết thêm vào 285; 600; 915 Bài 6: Cho số aaaaaaa48 Tìm a để số cho chia hết cho 24 Lời giải Để A 24 A Vì 48 => a phải lấy giá trị chẵn Mặt khác + = 12 nên 7a => a phải lấy giá trị chẵn chia hết cho Vì a < 10 => a = => 666666648 Sưu tầm TÀI LIỆU TỐN HỌC 20 Website:tailieumontoan.com Bài 7: Tìm tất số B = 62xy427, biết số B chia hết cho 99 Lời giải * B chia hết cho => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia hết cho => (x+y+3) chia hết cho 9=> x+y=6 x+y =15 * B chia hết cho 11=> (7+4+x+6-2-2-y) chia hết cho11=> (13+x-y)chia hết cho 11 x – y = (loại) y – x = + Với y – x = x+y=6 => y=4; x=2 + Với y – x = x+y=15 (loại) B = 6224427 Bài 8: Tìm chữ số x ,y cho: C = x1995 y chia hết cho 55 Lời giải Ta có 55 =5.11 mà (5 ;1) = Do C = x1995 y C 55 C 11 (1) (2) (1) => y = y = +) y = => x+ 9+5 – ( 1+9 +0) 11 => x = +) y = = > x+9 +5 – (1+9+5 ) 11 => x = Bài 9: Cho số 2539x với x chữ số hàng đơn vị Tìm x để 2539x chia hết cho Lời giải Ta có: x =0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; - Vì 2539x chia hết x = ; ; 4; ; - Vì 2539x chia hết (2 + + + + x) : Hay (19 + x) : Suy ra: x = ; ; Do để 2539x chia hết cho x = x = Bài 10: Tìm cặp số (a,b) cho : 4a5b 45 Lời giải - b = => 9+a => a = a = - b = => 14+a => a = Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 21 Website:tailieumontoan.com Bài 5: TÌM SỐ TỰ NHIÊN n ĐỂ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHIA HẾT (SỐ ĐÃ CHO LÀ SỐ TỰ NHIÊN, SỐ NGUYÊN) Bài 1: Tìm số tự nhiên n để (3n + 14) chia hết cho (n + 2) Lời giải Ta có 5n + 14 = 5.(n + 2) + Mà 5.(n +2) chia hết cho (n +2) Do (5n + 14) chia hết cho (n +2) chia hết cho (n + 2) (n + 2) ước (n +2) 1 ; ; 4 n 0 ; 2 Vậy với n 0; 2 (5n + 14) chia hết cho (n +2) Bài 2: Tìm số tự nhiên n để n 15 số tự nhiên n3 Lời giải Để n 15 số tự nhiên (n + 15) chia hết cho (n + 3) n3 [(n + 15) - (n + 3)] chia hết cho (n + 3) 12 chia hết cho (n +3) (n + 3) Ư(12) = 1; 2; 3; 4; 6; 12 n 0; 1; 3; 9 Vậy với n 0; 1; 3; 9thì n 15 số tự nhiên n3 Bài 3: Tìm số tự nhiên n để 3n + chia hết cho n – Lời giải Để 3n n n n 1 1.(3n 4) 3.(n 1) n n n n hay n – Ư(7) Vậy với n = n = 3n + n–1 Bài 4: Tìm số tự nhiên cho 4n - chia hết cho 2n - Lời giải Ta có 4n - = 2( 2n-1) - Để 4n - chia hết cho 2n-1 chia hết cho2n-1 Với 2n - 1=1 => n=1 Với 2n - 1=3 => n=2 Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 22 Website:tailieumontoan.com n = 1;2 Bài 5: Tìm số tự nhiên n để n2 + 3n + n + Lời giải n2 + 3n + n + n (n + 3) + n + n + => n + Ư(6) = {1; 2; 3; 6} => n = 0; n = Bài 6: Tìm a N để a + bội a – Lời giải a 1 a 1 1 a 1 Để a +1 bội a -1 nên a số nguyên a => a – ∈ Ư(2) = {-1,1,2} => a ={0,2,3} (thỏa mãn a ∈ N) Bài 7: Tìm số nguyên n để: n2 2n chia hết cho n Lời giải Ta có n2 2n = + n(n – 2) => n2 2n ⋮ (n – 2) ⋮ (n – 2) => n – ∈ Ư(5) = {-5, -1, 1, 5} => n ∈ {- 3, 1, 3, 7} n 1 Bài 8: Tìm tất số nguyên n để phân số n có giá trị số nguyên Lời giải n 1 n số nguyên (n 1) n Ta có : n (n 2) 3 Vậy (n 1) n n n U (3) 1; 3 n 1;1;3;5 Bài 9: Cho A = n 1 Tìm n nguyên để A số nguyên n4 Lời giải A= n 1 n 5 = 1 n4 n4 n4 Với n nguyên, A nhận giá trị nguyên n + hay n + Ư(5) Lập luận tìm n = -9, -5, -3, Bài 10: Tìm số nguyên n để phân số Sưu tầm 4n có giá trị số nguyên 2n TÀI LIỆU TOÁN HỌC 23 Website:tailieumontoan.com Lời giải Ta có: 4n 4n n(2n 1) 7 = n 2n 2n 2n 2n Vì n nguyên nên để 4n nguyên nguyên 2n 2n => 2n – Ư(7) = {–7; –1; 1; 7} 2n {– 6; 0; 2; 8} n {– 3; 0; 1; 4} Vậy với n {– 3; 0; 1; 4} 4n có giá trị số nguyên 2n Bài 11: Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau số tự nhiên: B = 2n 5n 17 3n n2 n2 n2 Lời giải B= 2n 5n 17 3n 2n 5n 17 3n 4n 19 n2 n2 n2 n2 n2 B= 4n 19 4(n 2) 11 11 4 n2 n2 n2 Để B số tự nhiên 11 số tự nhiên n2 11 (n+2) n + Ư(11) = 1; 11 Do n + > nên n + = 11 n = Vậy n = B N Sưu tầm TÀI LIỆU TỐN HỌC 24 Website:tailieumontoan.com BÀI 6: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP ĐỂ CHỨNG MINH BÀI TỐN CHIA HẾT Bài tốn: Cần chứng minh khẳng định A(n) với n N , n a (*) Cách 1: - Bước 1: Chứng minh (*) với n = a - Bước 2: Giả sử (*) với ( đến ) n = k, tức : A(k) ( giả thiết quy nạp ) - Bước 3: Ta chứng minh (*) với n = k + 1, tức chứng minh A(k+1) - Bước 4: Theo nguyên lý quy nạp (*) chứng minh Cách 2: - Bước 1: Kiểm tra với n = a - Bước 2: Giả sử (*) với ( đến ) n tức A(n) - Bước 3: Ta chứng minh (*) với n + tức A(n+1) - Bước 4: Kết luận Bài 1: Chứng minh với n N (a,b N,a b) thì: a b a b(1) * n n Lời giải Áp dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh mệnh đề (1) - Bước 1: Với n a b a b a b n n * - Bước 2: Với k N giả sử (1) với n k : a b a b(2) k k Ta chứng minh (1) với n k Ta có: a k 1 bk 1 a k 1 a k b a k b bk 1 a k (a b) b (a k bk ) a k 1 bk a b a b ab Vậy a b a bn N n n * Bài 2: Chứng minh với n N thì: 15n 9(1) * n Hướng dẫn - n 18 dung - n k 15k 9(2) k - n k 1 k 1 15(k 1) 4(4k 15k 1) 45k 18 9 Bài 3: Chứng minh với n N thì: 10 18n 27(1) * n Hướng dẫn - n k 10 18k 27(2) k Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 25 Website:tailieumontoan.com - n k 10(10 18k 1) 162k 27 k 27 27 * Bài 4: Chứng minh với n N n 3n 5n 3 Hướng dẫn Ta có: n 3n 5n (n n) 3(n 2n 1) n(n 1)(n 1) 3(n 2n 1) 3 2 Ta chứng minh với n N * n3 n - n k k k 3 - n k (k 1) (k 1) (k k ) 3k 3k 3 3 Bài 5: Chứng minh với n,a,b Z (a b) a n 1 b2n1 a b Hướng dẫn - n dung - nk a k 1 - n k 1 a b2 k 1 (a b) k 3 b2 k 3 a k 3 a k 1.b2 a k 1.b2 a k 1 (a b2 ) b2 (a k 1 b k 1 ) a b a b Bài 6: Chứng minh với n Z 16 15n 225 n Hướng dẫn - n k 16 15k 225 k - n k 16 k 1 15(k 1) 16(16k 15k 1) 225k 225 225 Bài 7: Chứng minh phương pháp quy nạp a n n(n 1) b n n(n 1)(2n 1) 2 Hướng dẫn a n k k k (k 1) - n k (k 1) k (k 1) (k 1)(k 2) k 1 2 b n k k Sưu tầm 2 k (k 1)(2k 1) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 26 Website:tailieumontoan.com - n k (k 1) 2 k (k 1)(k 2) (k 1)(k 2)(2k 3) (k 1) 6 Bài 8: Chứng minh với n 5, ta có n (1) n Hướng dẫn - n dung - n k k (k 5) k - n k 1, co : n k 1 2.2k 2.k k k (2) Dễ thấy k 5, co : k (k 1).k k 2k 2k k k k 2k (k 1) (3) Từ (1)(2)(3) Sưu tầm k 1 2 2 (k 1)2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CĨ DƯ BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH THỪA SỐ ĐỂ CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN CHIA HẾT A LÝ THUYẾT Phép chia hết Với a, b số TN b khác Ta nói a chia hết... hai số a, b có số chia hết cho b Trong hai số a, b có số chia hết cho c Trong hai số a, b có số chia hết cho Lời giải a Giả sử a lẻ, b lẻ a b2 chia dư c chia dư ( mâu thuẫn) có số chẵn... 61*16 chia hết cho b) 261* chia hết cho chia dư Lời giải a) Để 510* ; 61*16 chia hết cho thì: + + + * chia hết cho 3; từ tìm * = 0; 3; 6; b) Để 261* chia hết cho chia dư thì: * chẵn + + + * chia dư