Trên nửa mặt phẳng đối diện dựng tia OD D không cùng nằm trong nửa mặt phẳng với B,C qua bờ là AM sao cho góc AOD = 450.. Thí sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi.[r]
(1)ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP CỤM NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: Tính nhanh: a) A = b) B = 2 2 3 3 + + + .+ 4 7 10 97 100 (-528) + (-12) + (-211) + 540 + 2225 c) C = 34.35 +35.86 + 65.75 + 65.45 Bài 2: Cho S = – + 32 – 33 + + 398 – 399 a) Chứng minh S là bội -20 b) Tính S, từ đó suy 3100 chia cho dư Bài 3: a) Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 504 và ƯCLN chúng 42 b) Tìm a N để a + là bội a – c) Cho K = 1028 + Chứng minh K chia hết cho 72 Bài 4: Trên đường thẳng AM lấy điểm O (O nằm A và M) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AM vẽ các tia OB, OC cho: góc MOC = 1150; góc BOC = 700 Trên nửa mặt phẳng đối diện dựng tia OD (D không cùng nằm nửa mặt phẳng với B,C qua bờ là AM) cho góc AOD = 450 a) Tia OB nằm hai tia OM, OC không? vì sao? b) Tính góc MOB và góc AOC ? c) Chứng tỏ điểm D, O, B thẳng hàng a b c Bài 5: Cho M = a b b c c a với a, b,c là các số nguyên dương bất kì Chứng minh M không thể là số nguyên Họ và tên thí sinh: Số báo danh: (Thí sinh không sử dụng máy tính bỏ túi) (2) BIỂU ĐIỂM VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN Năm học 2013 - 2014 Bài (6,0 điểm) 2 6đ 2 3 3 + + + .+ = 4 7 10 97 100 A= ( 3 3 + + + .+ ) 4 7 10 97 100 1 1 1 ( − + − + − + − )=¿ 4 7 97 100 = b) B = ( 2đ 1 99 297 − =3 = 100 100 100 ) (-528) + (-12) +(-211)+ 540+2225 B = (-528+(-12)+540)+(-211+211)+2014 Vậy B = 2014 2.0đ c) C = 34.35 +35.86 + 65.75 + 65.45 = 35(34+ 86) + 65(75 + 45) =35.120 + 65.120 = 120(35 +65) = 12000 2.0 đ Bài Tổng S có 100 số hạng chia thành 25 nhóm , nhóm có số hạng : S= – + 32 – 33 + + 398 – 399 = (1 – + 32 – 33) + (34 – 35 + 36 – 37) + +(396 – 397 + 398 – 399) = ( - 20 ) + 34( - 20 ) + + 396( - 20 ) -20 b) S= – + 32 – 33 + + 398 – 399 3S = – 32 + 33 – 34 + +399 – 3100 ⋮ -20 điểm 1đ Vậy S ⋮ đ) 0.5 đ Cộng vế đẳng thức ta : 3S + S = ( 3+1 ) S = 4S = ⋮ −3 100 0.5đ S là số nguyên nên – 100 hay 3100 – ⋮ ⇒ 3100 chia cho dư Bài 5đ * a) gọi a,b là hai số cần tìm a, b N ,a>b, a = 42a’, b =42b’ đó a’, b’ 0.5đ N* [a’,b’]=1 vì a>b nên a’>b’ a+b=504 suy a’+b’ = 12 có các cặp a’,b’ thỏa mãn là (11;1);(7;5) 0.5đ suy các cặp số thảo man bài toán là (462;42); (294;210) n 1 n 1 1 n b) Để a +1 là bội a -1 nên thì n là số nguyên n a -1 = {-1,1,2} nên a ={0,2,3} c) Lập luận K chia hết cho vì tổng các chữ số là và chia hết cho vì ba chữ số tận cùng là 008 Vậy K chia hết cho 72 2đ 2đ (3) Bài a) Nếu OB nằm tia OA, OC thì ta có : 1.0đ B C MOC COB MOB điểm MOB = 1850 > 1800 (vô lý) Vậy OB nằm tia OM, OC A O M D b) Do tia OB nằm tia OM, OC nên : 0.5đ MOB BOC MOC MOB MOC BOC = 1150 - 700 = 450 0.5đ Hai góc AOC , COM là góc kề bù nên : 0.5đ AOC COM = 1800 AOC 1800 COM 1800 1150 650 c) Hai góc AOB và BOM là góc kề bù AOB BOM 180 0.5đ AOB =1800- 450 = 1350 Hai góc DOA và AOB là góc có cạnh chung OA Còn cạnh OD, 0.5đ OB nằm nửa mặt phẳng đối bờ AM nên : DOA AOB = 450 + 1350 = 1800 OD, OB là tia đối D, O, B thẳng hàng Bài Chứng minh a b c a b c a c ba c b a b c b c a c a b a b b c c a a b c b c a c a b 0.5đ điểm (4)