c Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.. Bài 3 4điểm: Giải phương trình:..[r]
(1)đề thi chọn học sinh giỏi n¨m häc 2012-2013 M«n To¸n líp Thêi gian lµm bµi 120 phót PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA Đề số đề chính thức C©u Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( với hệ số là các số nguyên): x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10 b) A a 1 a 3 a a 15 C©u 6 x x 3x 1 x 3 2 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: b) T×m x; y biÕt: x2 - y2 + 2x - 4y-10 =0 víi x,y nguyªn d¬ng C©u 3: Cho abc = Rút gọn biểu thức: a b 2c A= + + ab+a+2 bc +b+1 ac+2 c+ C©u 4: a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 M =x + y − xy − x+ y+1 b) Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 2010 Hãy tính x2 + y2 C©u 5: Cho tam giác ABC cân A Trên BC lấy M bất kì cho BM CM Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB E và song song với AB cắt AC F Gọi N là điểm đối xứng M qua E F a) Tính chu vi tứ giác AEMF Biết : AB =7cm b) Chứng minh : AFEN là hình thang cân c) Tính : ANB + ACB = ? d) M vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện ABC AEMF là hình vuông PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA Đề số đề chính thức đề thi chọn học sinh giỏi n¨m häc 2012-2013 M«n To¸n líp Thêi gian lµm bµi 120 phót (2) C©u Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 b) x5 + x +1 c) x4 + d) x √ x - 3x + √ x -2 với x C©u Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: x −17 x −21 x+ + + =4 1990 1986 1004 a) b) 4x – 12.2x + 32 = b 1 c) a b x = a + + x C©u 3: (x là ẩn số) a) T×m sè d phÐp chia cña biÓu thøc x x x x 8 2008 cho ®a thøc x 10 x 21 b) Tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x 3x ax b chia hết cho đa thøc B( x) x x C©u 4: a b c x y z x2 y z 0 1 1 a)Cho a b c và x y z Chứng minh : a b c b) Tìm các giá trị x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó C©u 5: Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm đường chéo AC và BD Gọi I là trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng đề thi chọn học sinh giỏi n¨m häc 2012-2013 M«n To¸n líp Thêi gian lµm bµi 120 phót PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA Đề số đề chính thức Bµi 1: (3 ®iÓm) x2 : + 2 x − x 27 −3 x x +3 Cho biÓu thøc A= + ( a) Rót gän A b) Tìm x để A < -1 )( ) (3) c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A nhËn gi¸ trÞ nguyªn Bµi 2: (4 ®iÓm) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3y 2+ x −3 x : ( x2 27 − x ) b)Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A= ( x+ 16)(x+ 9) x Bµi 3: (3 ®iÓm) Một xe đạp, xe máy và ô tô cùng từ A đến B Khởi hành lần lợt lóc giê, giê, giê vµ vËn tèc theo thø tù lµ 15 km/h; 35 km/h vµ 55 km/h Hái lúc ô tô cách xe đạp và xe máy Bµi 4: (4 ®iÓm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: ab( a −b) −ac (a+ c)+ bc(2 a − b+c) b) tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x 3x ax b chia hết cho đa thức B( x) x 3x Bài 5: (6®iÓm) 1) Cho ®o¹n th¼ng AB, M lµ ®iÓm n»m gi÷a A vµ B Trªn cïng nöa mÆt ph¼ng bê AB kÎ c¸c h×nh vu«ng ACDM vµ MNPB Gäi K lµ giao ®iÓm cña CP vµ NB CMR: a) KC = KP b) A, D, K th¼ng hµng c) Khi M di chuyển A và B thì khoảng cách từ K đến AB không đổi 2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đờng cao AA”, BB’, CC’ đồng quy H CMR: HA ' + HB' + HC ' b»ng mét h»ng sè AA ' BB ' CC ' PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA Đề số đề chính thức đề thi chọn học sinh giỏi n¨m häc 2012-2013 M«n To¸n líp Thêi gian lµm bµi 120 phót Bài 1: (4đ) x2 y x y 3( ) y x a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = y x (víi x, y kh¸c 0) b) Tìm giá trị nguyên x để A B biết A = 10x2 – 7x – và B = 2x – c) Cho x + y = và x y 0 Chứng minh 2 x y x y 2 0 y x x y 3 x x 1 x2 d) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = (4) Bài 2: (2đ) Giải các phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 1 1 8( x ) 4( x ) 4( x )( x ) ( x 4) x x x x b) Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm đường chéo AC và BD Gọi I là trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC cho BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E cho: a/ DE có độ dài nhỏ b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA Đề số đề chính thức đề thi chọn học sinh giỏi n¨m häc 2012-2013 M«n To¸n líp Thêi gian lµm bµi 120 phót 4a 2b a2 A : 2a b a 2a b 2a a b a b ab Bài Cho biÓu thøc: a Rót gän A b TÝnh gi¸ trÞ cña A biÕt 4a2 + b2 = 5ab vµ a > b > Bài a) Cho a + b = TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: M = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2) b) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = c) Cho a , b , c lµ c¹nh cña mét tam gi¸c Chøng minh r»ng : A= Bài a b c + + ≥3 b+c − a a+c −b a+b − c (5) Cho tam giác ABC, ba đường phân giác AN, BM, CP cắt O Ba cạnh AB, BC, CA tỉ lệ với 4,7,5 a) Tính NC biết BC = 18 cm b) Tính AC biết MC - MA = 3cm AP BN CM c) Chứng minh PB NC MA =1 Câu ( 3,5 điểm): Cho hình vuông ABCD Qua A kẻ hai đường thẳng vuông góc với cắt BC tai P và R, cắt CD Q và S 1, Chứng minh Δ AQR và Δ APS là các tam giác cân 2, QR cắt PS H; M, N là trung điểm QR và PS Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật 3, Chứng minh P là trực tâm Δ SQR 4, MN là trung trực AC 5, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA Đề số đề chính thức đề thi chọn học sinh giỏi n¨m häc 2012-2013 M«n To¸n líp Thêi gian lµm bµi 120 phót Bài 1: ( điểm ) a) Chứng minh đẳng thức: x2+y2+1 x.y + x + y b)Tìm giá trị lớn biểu thức sau: A = ( với x ;y) x−2 x − x − x −2 Bài (8đ) Cho hình vuông ABCD Gọi E là điểm trên cạnh BC Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI G Chứng minh : a) AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi b) Δ AEF ~ Δ CAF và AF2 = FK.FC c) Khi E thay đổi trên BC chứng minh : EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không đổi (6) Bài (3điểm): Tìm dư phép chia đa thức x99+ x55+x11+x+ cho x2-1 Bài 4( 3điểm) Trong hai số sau đây số nào lớn hơn: a = √ 1969+ √ 1971 ; b = √ 1970 đề thi chọn học sinh giỏi n¨m häc 2012-2013 M«n To¸n líp Thêi gian lµm bµi 120 phót PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA Đề số đề chính thức Bài 1: ( điểm ) a, Chứng minh b, Cho 3 3 x + y + z = ( x + y ) −3 xy ( x + y ) + z yz xz xy 1 A= + + + + =0 Tính x y z x y z Bài : (8đ) Gọi H là hình chiếu đỉnh B trên đờng chéo AC hình ch÷ nhËt ABCD; M, K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AH vµ CD a) Gäi I vµ O theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AB vµ IC Chøng minh: MO IC b) TÝnh sè ®o gãc BMK? c) Gọi P và Q lần lợt là điểm thuộc đoạn BM và BC Hãy xác định vị trí P và Q để chu vi tam giác PHQ có giá trị nhỏ nhất? Bài (3điểm): (7) Tìm giá trị lớn biẻu thức: M 2x 1 x2 Bài 4( 3điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau: PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA Đề số đề chính thức yx2 +yx +y =1 đề thi chọn học sinh giỏi n¨m häc 2012-2013 M«n To¸n líp Thêi gian lµm bµi 120 phót Bài 1: ( điểm ) a)Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức A = 27 −12 x x +9 1 2 2 2 b) Cho B = b c - a c a - b a b - c Rút gọn biểu thức B, biết a + b + c = Bài : (6 điểm) Cho Tam giác ABC vuông cân A Điểm M trên cạnh BC Từ M kẻ ME vuông góc với AB, kẻ MF vuông góc với AC ( E AB ; F AC ) a Chứng minh: FC BA + CA B E = AB và chu vi tứ giác MEAF không phụ thuộc vào vị trí M b Tìm vị trí M để diện tích tứ giác MEAF lớn c Chứng tỏ đường thẳng qua M vuông góc với EF luôn qua điểm cố định Bài (5 điểm): a) Cho a 4; ab 12 Chứng minh C = a + b b) Chứng minh số: (8) 1 1 , n Z+ 1.2 2.3 3.4 n.(n+1) a= không phải là số nguyên Bài 4( 3điểm) Cho hai bất phương trình: 3mx-2m > x+1 (1) m-2x < (2) Tìm m để hai bất phương trình trên có cùng tập nghiệm PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA Đề số đề chính thức đề thi chọn học sinh giỏi n¨m häc 2012-2013 M«n To¸n líp Thêi gian lµm bµi 120 phót Bài 1: ( điểm ) a) Cho a, b > và a+b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 M = (1+ a )2 + (1+ b )2 b) Cho các số a; b; c thoả mãn : a + b + c = Chứng minh : a2 + b2 + c2 Bài : (8đ) Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm P , gọi M là điểm đối xứng C qua P Gọi O là giao điểm AC và BD a) Tứ giác AMDB là hình gi? b) Gọi E, F là hình chiếu điểm M trên AD, AB Chứng minh: EF // AC và ba điểm E,F,P thẳng hàng c) Chứng minh tỉ số các cạnh hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí điểm P PD d) Gi¶ sö CP BD vµ CP = 2,4 cm, PB 16 TÝnh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt ABCD Bài (4điểm): Giải phương trình: (9) 1) (x+1)4 + (x+3)4 = 16 x 1001 x 1003 x 1005 x 1007 4 1006 1004 1002 1000 2) Bài 4( điểm) a Phân tích đa thức thành nhân tử: A = x4– 14x3 + 71x2 – 154x +120 b Chứng tỏ đa thức A chia hết cho 24 PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA Đề số 10 đề chính thức đề thi chọn học sinh giỏi n¨m häc 2012-2013 M«n To¸n líp Thêi gian lµm bµi 120 phót Bài 1: ( điểm ) Chứng minh rằng: a) 85 + 211 chia hết cho 17 b) 1919 + 6919 chia hết cho 44 Bài : (6 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh a Gọi E; F là trung điểm các cạnh AB, BC M là giao điểm CE và DF 1.Chứng minh CE vuông góc với DF 2.Chứng minh MAD cân 3.Tính diện tích MDC theo a Bài (5 điểm): x2 x a) Rút gọn biểu thức: x x 18 x yz xz xy 1 2 0( x, y, z 0) x y z x y z b) Cho Tính Bài (5 điểm) a) Cho hai số x, y thoã mãn điều kiện 3x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 3x2 + y2 b) Cho các số dương a, b, c có tích Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8 (10) Một số đáp án Ta có: C = a + b = ( a+b ¿+ a ≥2 ab + a ≥ 3⋅12 + ⋅4=7 √ 4 √ 4 (ĐPCM) 19702 – < 19702 Ta có: 1969.1971 ⇔ < 1970 ⇔ (*) Cộng 2.1970 vào hai vế (*) ta có: 1970+2 √1969 1971< 1970 2 √ 1970 ¿ ⇔ √ 1969+ √1971 ¿2 <¿ (0.25đ) ⇔ (0.25đ) √1969 1971<2 1970 (0.25đ) (0.25đ) ¿ √ 1969+ √1971<2 √ 1970 Vậy: √ 1969+ √ 1971<2 √ 1970 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức A 27 12 x x2 2 x2 27 12 x x 12 x 36 x A x 9 x2 x 9 A đạt giá trị nhỏ là -1 x 6 x 36 x 12 x x 3 27 12 x 4 4 x2 x2 x2 x 3 0 x 0 hay x = A đạt A = Do a, b, c là các số dương nên ta có; GTLN là (11) 2 0a a 2 a a a a 4a (a – 1) (1) …………0,25đ Tương tự (b + 1) 4b (2)………………0,25đ (c + 1)2 4c (3) …………0,25đ Nhân vế (1), (2), (3) ta có: (b + 1)2(a + 1)2(c + 1)2 64abc (vì abc = 1) ((b + 1)(a + 1)(c + 1))2 64 (b + 1)(a + 1)(c + 1) 8… 0,25đ Bài IV: y x2 + y x + y = (1) Nếu phương trình có nghiệm thì x ,y > (1) y(x2 + x +1) = ⇒ ⇒ y = ,x= y= x2 + x +1 =1 Vậy nghiệm phương trình trên là (x,y) = (0 ,1) (1đ) Bài 1:(2 điểm) Ta có: a + b + c = b + c = - a Bình phương hai vế ta có : (b + c)2 = a2 b2 + 2bc + c2 = a2 b2 + c2 - a2 = -2bc Tương tự, ta có: c2 + a2 - b2 = -2ca a2 + b2 - c2 = -2ab 1 -(a+b+c) = =0 A = 2bc 2ca 2ab 2abc (vì a + b + c = 0) Vậy A= 1) Đặt y = x + ta phương trình: (y – 1)4 + (y +1)4 = 16 2y4 + 12y2 + = 16 y4 + 6y2 -7 = Đặt z = y2 ta phương trình: z2 + 6z – = có hai nghiệm là z1 = và z2 = -7 y2 = có nghiệm y1 = ; y2 = -1 ứng với x1 = -1 ; x2 = -3 y2 = -7 không có nghiệm x 1001 x 1003 x 1005 x 1007 4 1006 1004 1002 1000 2) x 1001 x 1003 x 1005 x 1007 1 1 1 0 1006 1004 1002 1000 (12) x 2007 x 2007 x 2007 x 2007 0 1006 1004 1002 1000 1 ( x 2007) 0 1006 1004 1002 1000 ( x 2007) = 1 0 1006 1004 1002 1000 x 2007 Vì Bài 3:(1,5 điểm) Ta có: 1 1 1 1 n n+1 a = 2 3 4 1 n = 1 n+1 n+1 ; = Mặt khác a > Do đó a không nguyên Bài 1: a A = x4 – 14x3+ 71x2- 154 x + 120 Kết phân tích A = ( x –3) (x-5) (x-2) (x-4) b A = (x-3) (x-5) (x-2) (x-4) => A= (x-5) (x-4) (x-3) (x-2) L à tích số nguyên liên tiêp nên A ⋮ 24 Bài 4: Giải a chứng minh F C BA + CA BE = AB2 (0,5 điểm ) + Chứng minh chu vi tứ giác MEAF = AB ( không phụ vào vị trí M ) ( 0,5 điểm ) b Chứng tỏ M là trung điểm BC Thì diện tích tứ giác MEAF lớn (1 điểm ) c Chứng tỏ đường thẳng MH EF luôn qua điểm N cố định ( điểm ) a) (1,5đ) Ta có: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1)=211.17 Rõ ràng kết trên chia hết cho 17 b) (1,5đ) áp dụng đẳng thức: an + bn = (a+b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - …- abn-2 + bn-1) với n lẽ Ta có: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 +…+ 6918) = 88(1918 – 1917.69 + …+ 6918) chia hết cho 44 (13) 1 1 1 1 0 x y z z x y 1 1 1 1 1 1 z z x y x y y x y x 1 1 1 1 1 1 3 x y z x y x y x y z xyz xyz xyz xyz yz zx xy 1 3 3 3 3 y x y z x y z x z Do đó : xyz( + + )= (14)