HD:+Chứng minh tứ giác nội tiếp với trường hợp đặc biệt, + Đọc lại tính chất: Hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại 1 điểm + Đọc lại tính chất: Góc nội tiếp chắn nữa đường tròn là g[r]
(1)Phan Thanh ThuËn-§µ N½ng TỰ HỌC HÈ TOÁN PHẦN I: KIẾN THỨC CƠ BẢN Hè 2015 PTT (2) Phan Thanh ThuËn-§µ N½ng I ĐẠI SỐ CĂN BẬC HAI LŨY THỪA + Nhân hai lũy thừa cùng số ta giữ nguyên soá vaø coäng hai soá muõ am an = a.a.a a a.a.a a = a m + n VÍ DỤ 22 23 = 22 + = 25 53 = 51 + = 54 m thừa số a n thừa số a + Chia hai lũy thừa cùng số ta giữ nguyên số, lấy số mũ lũy thừa bị chia trừ cho số mũ lũy thừa chia 57 : 55 = 57 – = 52 m a a a a a = =am − n (m n) n a a a a a ( tử có m thừa số a, mẫu có n thừa số a) + Lũy thừa tích tích các lũy thừa (2.3)2 = 22 32 = = 36 ; 32 52 = (3 5)2 n n n (x y) = x y + Tính lũy thừa lũy thừa ta giữ nguyên soá nhaân hai soá muõ (32)3 = 32 ; 210 = (22)5 = (25)2 (xn)m = xn m + Lũy thừa thương thương các lũy thừa 32 33 3 = = ; x n xn 52 153 15 = n ( y 0) y y () CĂN BẬC HAI () ( ) VÍ DỤ Soá coù hai caên baäc hai laø + Caên baäc hai cuûa moät soá a khoâng aâm laø moät soá √ 4=2 vaø − √ 4=− , vì 22 = vaø (– 2)2 = x, cho x2 = a, kí hieäu caên baäc hai laø “ √ ❑ ” Soá coù hai caên baäc hai laø √ vaø − √ + Số a không âm, số √ a gọi là bậc Căn bậc hai số học 16 là hai soá hoïc cuûa soá a Caên baäc hai soá hoïc cuûa 19 laø √ 19 < √ vì = √ maø √ 4< √ , vì < Định lý: Với hai số a và b không âm, ta có: √ 11 >3 vì = √ maø √ 11 > √ a<b ⇔ √a < √b hay x √ x coù nghĩa 3x √ 5− x xaùc ñònh – 2x + Điều kiện để √ A xác định (hay có nghĩa) là −5 ⇔ 2x ⇔ x 5 ⇔ x A −2 Nhaéc laïi Nhắc lại + Quy taéc chuyeån veá: + Các đẳng thức đáng nhớ: Khi chuyển hạng tử từ vế này sang vế (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 bất đẳng thức ta đổi dấu hạng tử (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (cộng thành trừ, trừ thành cộng), chiều bất a2 – b2 = (a – b)(a + b) đẳng thức không đổi (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + Quy taéc nhaân: (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 - Neáu nhaân hay chia caû hai veá cuûa baát ñaúng a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) thức cho cùng số lớn thì chiều a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) bất đẳng không đổi (3) Phan Thanh ThuËn-§µ N½ng a) √ 32=|3|=3 b) − √ 25= √5 2=|5|=5 c) √ ( −5 ) =|−5|=−(−5)=5 d) ( 2− √ ) =|2 − √ 5| ¿ − ( − √ ) , vì 2− √ 5<0 ¿ √5 − 2 e) ( √2 −1 ) =|√ 2− 1| ¿ √ 2−1 vì √ 2− 1> ¿ a, a ≥ Ñònh lí: -a, a < ¿ √ a =|a|={ ¿ √ √ a) - Định lí: Với số a và b không âm, ta có: √ a b=√ a √ b - Định lí: Với số a không âm và số dương b, ta coù: a √a = b √b √ - Đưa thừa số ngoài dấu căn: Với hai biểu thức A, B mà B ¿ A √ B , A ≥0, B ≥ − A √ B , A < ¿ √ A B=|A| √ B={ ¿ - Đưa thừa số vào dấu căn: Với hai biểu thức A, B mà B ¿ √ A B , A ≥ − √ AB, A <0 ¿ A √ B={ ¿ 0, ta coù: √ 9=√ √ 9=2 3=6 ; b) √ 810 40=√ 81 10 10 ¿ √ 81 √ √ 100=9 10=180 c) √ √ 20= √ 20=√ 100= √ 102=10 25 25 52 = √ = √ 2= a) 121 √ 121 √ 11 11 √ 25 25 : = : = : = ⋅ = 16 36 16 36 10 √999 = 999 = 9=3 c) √ √ 111 111 √ 52 = 52 = = d) √ 117 117 a) √ 28 a4 b2 với b 2 a ¿ b ¿ = 7.4¿ √¿ b) √ 72a b với a < √ √ √ √ √ √ √ √ ¿ 36 a2 ( b2 ) = a2 ( b2 ) 2=6 (−a) b √ 2 −6 ab √ 0, ta coù: a) √ 5=√ 32 5= √ 5= √ 45 ; b) ab4 √ a với a = a2 ( b4 ) a=√ a3 b c) – 2ab2 √ với a < = 22 a2 ( b2 ) 5=√ 20 a2 b4 √ √ a) + Trục thức mẫu: - Với B > 0, ta có: A A √ B A √ B = = √B √B √B B b) b) 4 √20 = = 5 5 3 3.5 15 √ 15 = = = = 125 25 25 25 25 25 √ √ √ √ √ √2 5 = √ = √ = √ √ √ √ √ 16 12 2 b b b = √ = √2 = √ d) với b > b √b √ b √ b √ b c) √ = (4) Phan Thanh ThuËn-§µ N½ng √ ¿2 52 −¿ a) 5(5+2 √ 3) = ¿ − 2√ 25+10 √ 25+10 √ ¿ = 25 −12 13 - Với A 0, B vaø A B, ta coù: C (√ A −√ B ) C (√ A − √ B) C = = A −B √ A+ √ B ( √ A + √ B ) ( √ A − √ B ) C ( √ A+ √ B ) C ( √ A+ √ B ) C = = A −B √ A − √ B ( √ A+ √ B ) ( √ A+ √ B ) (Nhân tử và mẫu biểu thức liên hợp) - Với A 0, A B2, ta coù: C ( √ A − B) C ( √ A − B) C = = √ A+ B ( √ A + B ) ( √ A − B ) A − B2 C ( √ A +B ) C ( √ A+ B ) C = = √ A − B ( √ A − B ) ( √ A+ B ) A − B2 (Nhân tử và mẫu biểu thức liên hợp) √7+ √ ( √ − √5 ) ( √7 − √5 ) ¿ = ( √7+ √5 )( √7 − √ ) √ − √52 ( √ − √ ) ( √7 − √5 ) ¿ = 7−5 c) 6a √ a − √b a ( √ a+ √ b ) a ( √ a+ √ b ) ¿ = ( √ a − √ b )( √ a+ √ b ) ( √ a )2 − √ b2 a ( √ a+ √ b ) ,(a > b > 0) a −b d) a2 – b2 = (a – b)(a + b) Lưu ý: a(1− √ a) 2a a −2 a √ a = = 1− a 1+ √ a (1+ √ a)(1− √ a) (a 0, a 1) b) Baøi taäp tự luyện Bài 1: Tìm x để thức sau có nghĩa: x a) √ d) x e) Bài 2: Tính: a) √ ( −6 ) d) √ √ 165 −124 164 −1+ x g) √ 1+ x c) −7 √ ( −7 ) e) 196 √ 16 √ 25+ √ √ 49 √ 15 √ 735 h) f) √6 √ 1 + √ 20+ √5 i) √23 b) √ x − √8 x +7 √ 18 x c) 18 ( √ − √ ) 2+ √2 √ 33 +5 1 e) f) √ 48 −2 √75 − 1+ √2 √11 √ √ 36 − √ 169 √2 18 Bài 3: Rút gọn biểu thức: a) √3 x − √3 x − √3 x d) √ c) x √ −5 x b) − √ ( −13 ) 289 225 g) b) (5) Phan Thanh ThuËn-§µ N½ng √3 −√6 g) √ −2 1 + i) 2+ √ 2− √ h) ( √ 6+ √ ) − √ 120 Bài 4: Tìm x, bieát: a) √ x − √50=0 d) g) √ x=5 b) e) h) √ ( x+3 ) =3 √ x =7 ⇔|x|=7 ⇔ x=7 ¿ x=−7 +Lời giải bài f) Ta có: ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ √ x − √ 12=0 √ 2− x=1 √ ( x −2 ) =41 x2 − √ 20=0 √5 f) √ x2=7 i) √ ( 1−5 x ) =2 c) Vậy phương trình có nghiệm x = và x = Bài 5: Rút gọn các biểu thức: 2 a) ( √ a −1 ) + ( √ a −3 ) b) ( √ m− )( √ m+5 ) ( √ a− a −1 ) ( √ a+ √ 2+1 ) d) ( √ m− ) e) ( √ x −2 ) ( x +2 √ x + ) ( 5+ √ x )( 25 − √ x + x ) (HD: Dùng các đẳng thức đáng nhớ) Bài 5: Chứng minh các đẳng thức 2 a) a −2 √ a+1= ( √ a −1 ) b) x+4 √ x+4=( 2+ √ x ) 2 c) b −2 b √ 5+5=( b − √ ) d) − √ 3=( √ −1 ) 2 e) 3+2 √ 2=( √ 2+1 ) f) 16 −6 √ 7=( √ − ) 2 g) −2 √ 5=( − √ ) h) 7+ √ 3=( √3+2 ) i) 19 −8 √ 3=( − √ ) HD: + Sử dụng đẳng thức đáng nhớ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 + Biến đổi vế phải thành vế trái Bài 6: Tính a) √ − √ b) √ 3+ √ √ 16− √ d) √ 19− √ e) √ 7+4 √3 √ −2 √5 ¿ a, a ≥ HD: +Vận dụng bài tập và -a, a < ¿ √ a2=|a|={ ¿ +Lời giải bài 6a √ − √ 3= ( √3 −1 ) =|√ 3− 1| ¿ √ 3− , vì √ c) f) c) f) √ 3− > (6) Phan Thanh ThuËn-§µ N½ng HÀM SỐ BẬC NHẤT y = ax + b KIẾN THỨC *Ñònh nghóa: Hàm số bậc là hàm số có dạng (được cho công thức) y = ax + b, đó a, b là các số cho trước (a 0) VÍ DỤ y = ax + b y y y = ax x O x O a) Hsố y = 3x + 1,đồng biến trên R, vì a= > b) Hsoá y =–2x + 5, nghòch bieán treân R,vì –2 < c) Với giá trị nào m thì hàm số y = (m – 1)x + đồng biến Giaûi H số y = (m – 1)x + đồng biến m – > m > d) Với giá trị nào k thì hàm số y = (5 – k)x + nghòch bieán Giaûi Hsoá y = (5 – k)x + nghòch bieán – k < k> e) Cho haøm soá y = ax + Xaùc ñònh heä soá goùc *Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) là đường a, biết đồ thị hàm số qua điểm A(2; 6) thaúng: Giaûi - Cắt trục tung điểm có tung độ b Đồ thị h số y = ax + qua điểm A(2; 6), ta coù: - Song song với đường thẳng y = ax, b 0; Trùng với đường thẳng y = ax, b = = a.2 + ⇔ 2a = – ⇔ a = = (Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) còn gọi là đường thẳng y = ax + b; b là tung độ gốc 1,5 Vậy hàm số đã cho là y = 1,5x + đường thẳng; a là hệ số gốc) *Tính chaát: Hàm số y = ax + b xác định với giá trị x thuoäc R vaø coù tính chaát nhö sau: + Nếu a > thì hàm số đồng biến trên R (Hàm số có đồ thị là đường thẳng, x tăng thì y tăng.) + Neáu a < thì haøm soá nghòch bieán treân R (Haøm số có đồ thị là đường thẳng, x tăng thì y giaûm) f) Xác định hàm số y = ax + b, biết a = và đồ thò haøm soá ñi qua ñieåm A = (2; 2) Giaûi Với a = 3, hàm số có dạng y = 3x + b, vì đồ thò ñi qua ñieåm A(2; 2), Ta coù: = 3.2 + b ⇔ b = – = – Vậy hàm số đã cho: y = 3x – * Cách vẽ đồ thị: - Khi b = thì y = ax có đồ thị qua gốc tọa độ Vẽ đồ thị hàm số y = 2x + O(0; 0) vaø ñieåm A (1; a) Giaûi - Khi b thì y = ax + b có đồ thị là đường Cho x = thì y = 1, điểm P(0; 1) thuộc đồ thị thaúng ñi qua hai ñieåm Ta seõ tìm hai ñieåm thuoäc Cho y = thì 2x + 1= ⇔ 2x = –1 ⇔ x = −1 đồ thị để vẽ đường thẳng sau: , Cho x = 0, ta y = b, ta có điểm P(0; b) nằm treân truïc Oy (7) Phan Thanh ThuËn-§µ N½ng Cho y = 0, thì ax + b = ⇔ x= −b , ta coù a −b ; 0) thuoäc truïc Ox a Vẽ đường thẳng qua hai điểm P và Q ta đồ thị hàm số y = ax + b ñieåm Q ( −1 ; 0) thuộc đồ thị Đồ thị hàm số y = 2x + là đường thẳng PQ ñieåm Q( ^ y y = 2x + -2 O -1 > x -1 * Nhận biết điểm thuộc hay không thuộc đồ thị Điểm A(–1 ; –1) thuộc đồ thị h số y = 2x + 1, vì với x = –1 ta có: y = 2.( –1) + = –1 haøm soá + Điểm M(xM; yM) là điểm thuộc đồ thị hàm Điểm B(2; 3) không thuộc đ thị hsố y = 2x + 1, số y = ax + b, với x = xM thì y = yM vì với x = ta có y = 2.2 + + Điểm M(xM; yM) là điểm không thuộc đồ thị hàm số y = ax + b, với x = xM thì y yM a)Tìm giá trị a để hai đường thẳng * Nhận biết hai đường thẳng y = ax + b (a 0) y = (a – 1)x + (a 1) vaø y = a’x + b’(a’ 0) caét hay song song y = (3 – a)x + (a 3) song song với hay truøng qua caùc heä soá Giaûi + Caét vaø chæ khi: a a’ Hai đường thẳng song song với + Song song vaø chæ khi: a = a’; b b’ a – = – a ⇔ 2a = ⇔ a = + Truøng vaø chæ khi: a = a’; b = b’ * Tìm giao điểm hai đường thẳng cắt nhau: + Nếu hai đường thẳng cắt có cùng tung độ goác thì giao ñieåm laø ñieåm naèm treân truïc tung coù tung độ là tung độ gốc + Nếu hai đường thẳng khác tung độ gốc, ta lập phương trình hoành độ giao điểm hai đường thẳng Giải phương trình tìm hoành độ, thay vào hai hàm số để tìm tung độ giao ñieåm b) Xác định k và m để hai đường thẳng y = kx + (m – 2) (k 0) y = (5 – k)x + (4 – m ) (k 5) truøng Giaûi Hai đường thẳng trùng ta có: ¿ k=5− k m− 2=4 −m ⇔ ¿ 2k =5 m=6 ⇔ ¿k= m=3 ¿{ ¿ VD: Cho hai haøm soá y = 2x – vaø y = 4x + Tìm tọa độ giao điểm hai đ thẳng trên Giaûi ^y Ta có phương trình hoành độ giao điểm: 2x – = 4x + ⇔ 4x – 2x = – – 32 ⇔ 2x = – ⇔ xC =2 −3 -1 -2 1/2 −3 -1/2 O B Thay x = vào y = 2x – 1, taDđượ c: -1 A -2 > x (8) Phan Thanh ThuËn-§µ N½ng −3 ) – = - – = - −3 Vậy giao điểm cần tìm có tọa độ ( ; - 4) y = 2.( Baøi taäp tự luyện: Làm lại các ví dụ trên (9) Phan Thanh ThuËn-§µ N½ng ¿ ax+ by=c HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN số x, y a'x+ b'y=c' ¿{ ¿ Ví dụ giaûi hệ phương trình baèng phöông phaùp theá Giải các hệ phương trình ¿ x −3 y=2(1) a) −2 x+ y =1(2) ¿{ ¿ Giaûi ⇔ Ta coù: (1) x = 3y + (*) Thay x = 3y + vaøo (2), ta – 2.(3y + 2) + 5y = ⇔ – 6y – + 5y = ⇔ – y = + ⇔ y = – Thay y = – vào (*), ta x = 3.( – 5) + = – 15 + = – 13 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x = – 13, y = –5 ¿ x − y=5(1) b) −3 x + y=−5 (2) ¿{ ¿ Giaûi ⇔ Ta coù: (2) y = 3x – (*) Thay y = 3x – vaøo (1), ta 4x –3(3x – 5) = ⇔ 4x – 9x + 15 = ⇔ – 5x = – 10 ⇔ x = Thay x = vào (*), ta y = 3.2 – = Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x = 2, y = –5 Baøi taäp tự luyện: Giải các hệ phương trình ¿ x −5 y=3 a) x − y=16 ¿{ ¿ ¿ x +2 y=9 x −3 y=4 ¿{ ¿ ¿ x − y =1(1) b) x + y=2(2) ¿{ ¿ c) (10) 10 ¿ x + y=3 e) x − y =7 ¿{ ¿ Phan Thanh ThuËn-§µ N½ng ¿ x+2 y=7 d) x +3 y=3 ¿{ ¿ ¿ x +3 y=6 x+ y =4 ¿{ ¿ ¿ x +5 y=2 x + y=1 g) ¿{ ¿ ) y Lưu ý: Dùng máy tính cầm tay để dò lại đáp số f) ¿ 1 − =1 x y h) + =5 x y ¿{ ¿ (HD:Ñaët a = x ; b= HÀM SỐ y = ax2 (a 0) + Đồ thị hàm số y = ax (a 0) là đường cong qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng Đường cong đó gọi là Parabol với đỉnh O + Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) - Tìm số điểm thuộc đồ thị cách cho x số giá trị để tìm các giá trị y tương ứng (cho x = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …) - Vẽ hệ trục tọa độ Oxy, biểu diễn các điểm thuộc đồ thị tìm trên - Nối các điểm đó để đường cong Parabol (11) 11 Phan Thanh ThuËn-§µ N½ng Ví dụ Bài 1: Vẽ đồ thị haøm soá y = 2x2 Ta cĩ tọa độ điểm thuộc đồ thị x –2 y = 2x Đồ thị hàm số y = 2x là đường cong Parabol Bài 2: Cho haøm soá y = – x2 a) Vẽ đồ thị hàm số đó b) Tìm caùc giaù trò f(– 8), f(–13) Giaûi –1 0 2 Giaûi a) Ta cĩ tọa độ điểm thuộc đồ thị x –2 –1 2 y = –x –4 –1 –1 –4 Đồ thị hàm số y = x là đường cong Parabol b)f(–8) = (–8)2 =- 64; f(–13) = (–13)2 = –169 Bài 3: Cho hàm số y = ax2, điểm M(2; 1) thuộc đồ thị hàm số a) Tìm heä soá a b) Điểm A(4; 4) có thuộc đồ thị không? c) Tìm tung độ điểm thuộc Parabol có hoành độ x = –3 d) Tìm các điểm thuộc Parabol có tung độ y = Giaûi a) Điểm M(2; 1) thuộc đồ thị, ta thay hồnh độ và tung độ M vào biểu thức hàm số, ta có: 1 = a 22 ⇔ 4a = ⇔ a = Hàm số đã cho là y = x 4 1 b) Với x = 4, ta có y = 42 = 16 = Vậy điểm A(4; 4) thuộc đồ thị hàm số y = 4 x 1 c) Với x = –3, ta có y = (–3)2 = = 2,25 4 Vậy: y = 2,25 là tung độ điểm cần tìm d) Với y = 8, ta có: = x ⇔ x2 = 32 ⇔ x = √2 x = − √ Vaäy: caùc ñieåm ( √2 ; 8) vaø ( − √ ; 8) thuoäc Parabol y = x x vaø y = – x + a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị đó (nếu có) Giaûi a) + Haøm soá y = x Ta cĩ tọa độ điểm thuộc đồ thị x –3 –1 y = –x 1/3 Đồ thị hàm số y = x laø Parabol + Haøm soá y = - x + Bài 4: Cho hai haøm soá y = 1/3 3 (12) 12 Phan Thanh ThuËn-§µ N½ng Các điểm thuộc đồ thị x y = –x + 6 Đồ thị hàm số y = – x + là đường thẳng a) Phương trình hoành độ giao điểm x =− x +6 ⇔ x + x − 6=0 ⇔ x 2+3 x − 18=0 3 x = - x = ⇒ Điểm (– 6; 12) là giao điểm thứ Với x = – 6, ta có: y = – (– 6) + = 12 ⇒ Điểm (3; 3) là giao điểm thứ hai Với x = 3, ta có: y = – + = Baøi taäp tự luyện: Làm lại các ví dụ trên PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN ax2 + bx + c = (a khác 0) KIẾN THỨC * Phöông trình baäc hai moät aån phöông trình coù daïng ax2 + bx + c = (1), đó x là ẩn, a Giaûi phöông trình baäc hai moät aån 1) Neáu b vaø c = (1) ⇔ ax2 + bx = ⇔ x(ax + b) = x=0 ¿ b ax+ b=0 ⇔ x=− a ⇔ ¿ ¿ ¿ ¿ Vaäy phöông trình coù nghieäm laø b x1 = vaø x2 = − a 2) Neáu b = vaø c (1) ⇔ ax2 + c = VÍ DỤ laø x + 5x + 50 = –2x2 + 5x = ( c = ) x2 – = (b=0) –3x = (b=c=0) 2x = (b=0) laø caùc phöông trình baäc hai moät aån a) 2x2 + 5x = ⇔ x(2x + 5) = ⇔ x=0 ¿ x +5=0 ⇔ x=− ¿ ¿ ¿ ¿ Vaäy phöông trình coù hai nghieäm: x1 = 0; x2 = − b) 2x2 + 10x = ⇔ 2x(x + 5) = ⇔ x=0 ¿ x+5=0 ¿ x=0 ¿ x=− ¿ ¿ ¿ ⇔¿ ¿ ¿ ¿ Vaäy phöông trình coù hai nghieäm laø x1 = 0; x2 = – a) x2 – = ⇔ x2 = ⇔ x = √ x = −√ Vaäy ph trình coù hai nghieäm: x1 = √ ; x2 = − √ (13) 13 Phan Thanh ThuËn-§µ N½ng ⇔ ax2 = - c ⇔ x2 = − c a b) 2x2 + = ⇔ 2x2 = – ⇔ x2 = – Vì – < , nên ph trình đã cho vô nghiệm c < thì ph trình voâ nghieäm; a c Neáu − > thì ph trình coù c) 5x2 – 20 = ⇔ 5x2 = 20 ⇔ x2 = a ⇔ x = x = – nghieäm: Vaäy ph trình coù hai nghieäm: x1 = ; x2 = – c c − − − x1 = ; x2 = a a Neáu − √ √ (14) Phan Thanh ThuËn-§µ N½ng 14 a) 2x2 + 5x + = Giaûi 3) Neáu b vaø c Ta coù: = b2 – 4ac * > 0, ph trình coù nghieäm phaân bieät − b+ √ Δ − b −√ Δ x1 = ; x2 = 2a 2a * = 0, ph trình coù nghieäm keùp −b x1 = x2 = 2a * < 0, ph trình voâ nghieäm + Ñònh lyù Vi-et Neáu x1, x2 laø2 nghieäm cuûa ph trình ax2 + bx + c = (a 0) thì: ¿ −b x 1+ x 2= a c x x2 = a ¿{ ¿ * Ứng dụng hệ thức Vi-et tính nhẩm nghiệm phöông trình baäc hai - Neáu a + b + c = => ph trình coù c nghieäm x1 = vaø x2 = a - Neáu a – b + c = => ph trình coù −c nghieäm x1=–1 vaø x2= a Ta coù: a = 2, b = 5, c = = b2 – 4ac = 52 – 2 = 25 – 16 = > Ph trình coù hai nghieäm phaân bieät: − b+ √ Δ − 5+ √ −5+3 = =− x1 = = 2a 2 − b −√ Δ − − √ −5 −3 = =− x2 = = 2a 2 b) x2 – 2x + = Giaûi Ta coù: a = 1, b = – 2, c = = b2 – 4ac = (- 2)2 – 4.1.1 = – = Ph trình coù nghieäm keùp x1 = x2 = −b = 2a −(− 2) =1 c) x2 – x + = Giaûi Ta coù: a = 1, b = – 1, c = = b2 – 4ac = (–1)2 – 4.3 = – 12 = – 11 < Ph trình vô nghieäm 1) Biết các phương trình bậc hai sau có nghiệm, tính tổng và tích hai nghiệm đó: a) x2 – 4x – = b) 3x2 + x – = c) mx2 – 7mx + = Giaûi a) x1 + x2 = 4; x1.x2 = – b) x1 + x2 = –1/3, x1.x2 = – c) x1 + x2 = 7; x1.x2 = 5/m 2) Biết các phương trình x – 5x + m có nghiệm, tính các biểu thức sau theo m 1 a) x + x b) x12 + x22 Hướng dẫn x + x 1 + = = a) x1 x2 x1 x2 b) x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = Giải các phương trình bậc hai: a) 2x2 + x – = Ta coù: a = 2, b = 1, c = – a + b + c = + + (– 3) = c −3 = => Ph trình coù nghieäm laø x1 = vaø x2 = a b) x2 – 7x + = Giaûi Ta coù: a = 1, b = – 7, c = (15) Phan Thanh ThuËn-§µ N½ng 15 a + b + c = + (–7) + = => Ph trình coù nghieäm laø c = =6 x1 = vaø x2 = a c) x2 – 4x – = Giaûi Ta coù: a = 1, b = – 4, c = – a – b + c = – (– 4) + (– 5) = => Ph trình coù nghieäm c −(−5) =5 x1 = –1, x2 = − = a d) 3x2 + 7x + = Giaûi Ta coù: a = 3, b = 7, c = a – b + c = –7 + = => Ph trình coù nghieäm laø c −4 x1 = – vaø x2 = − = a Tìm hai soá bieát toång cuûa chuùng baèng 10 vaø tích cuûa * Ứng dụng hệ thức Vi-et tìm hai số chuùng baèng 21 bieát toång vaø tích cuûa chuùng Giaûi + Neáu hai soá coù toång baèng S vaø coù tích Hai soá caàn tìm laø nghieäm cuûa ph trình x2 – 10x + 21 = Phương trình thì hai số đó là hai nghieäm cuûa phöông trình baäc hai coù Ta coù: a = 1, b = –10, c = 21 daïng = b2 – 4ac = (–10)2 – 4.1.21 = 100 – 84 = 16 > x – Sx + P = Phöông trình coù hai nghieäm: + Điều kiện để có số đó là S –4P −(− 10)+ √16 10+ − b+ √ Δ = =7 x1 = = 2a 2.1 −(− 10) − √ 16 10 − − b −√ Δ = =3 x2 = = 2a 2 Vaäy hai soá caàn tìm laø vaø Giải các phương trình trùng phương * Caùc phöông trình quy veà phöông a) 4x4 + x2 – = trình baäc hai: Giaûi + Phöông trình truøng phöông Ñaët t = x ( t 0) ax + bx + c = Ta coù phöông trình: 4t2 + t – = Caùch giaûi: a = 4, b = 1, c = – - Ñaët t = x2 ( t 0) a + b + c = + + (– 5) = - Chuyển phương trình đã cho theo ẩn t −5 - Giaûi phöông trình theo t, tìm giaù trò => t1 = ; t2 = < ( loại) cuûa t Với t = 1, ta có: x2 = ⇔ x = x = – -Giải tìm x theo giá trị t tìm Vậy ph trình đã cho có nghiệm x1 = 1; x2 = – treân b) 4x4 + 3x2 – = Giaûi Ñaët t = x ( t 0) Ta coù phöông trình: 4t2 + 3t –1 = a = 4, b = 3, c = –1 a – b + c = –3 –(– 1) = => t1 = – 1(loại) (16) 16 Phan Thanh ThuËn-§µ N½ng và t2 = => 1 x 2= ⇒ x=± Vậy ph trình đã cho có nghiệm x=± Giải các phương trình dạng tích a)(x + 1)(x2 + 2x – 3) = Giaûi ⇔ x +1=0 ¿ x 2+2 x − 3=0 (x + 1)(x + 2x – 3) = ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ *x+1=0 x = –1 * x2 + 2x – = ⇔ x = x = – Vaäy ph trình coù ba nghieäm: x1 = –1; x2 = 1; x3 = – + Phöông trình tích: Ta coù tính chaát: Nếu a b = thì a = b = b) x3 + 3x2 + 2x = Giaûi Ta phân tích vế trái thành nhân tử, đưa ph trình tích x3 + 3x2 + 2x = ⇔ x(x2 + 3x + 2) = ⇔ x =0 ¿ x +3 x +2=0 ¿ ¿ ¿ ¿ * x + 3x + = Ta coù: a = 1, b = 2, c = a–b+c=1–3+2=0 => ph trình coù nghieäm: x1 = – 1; x2 = – Vaäy ph trình coù ba nghieäm: x1 = 0; x2 = – 1; x3 = – Baøi taäp tự luyện: Bài 1: Giải các phương trình a) 2x2 = c) 3x2 = b) 9x2 = d) 25x2 = Bài 2: Giải các phương trình a) x2 5x = c) 7x2 = 4x Bài 2: Giải các phương trình a) 2x2 5x – = d) x2 + x + 42 = HD: + Xác định a, b, c + Tính = b2 – 4ac b) 2x2 84 = d) 6x2 = 12x b) 3x2 + 2x + 16 = e) 5x2 + 4x + 64 = c) 4x2 x 105 = f) x2 – 11x + 24 = (17) 17 Phan Thanh ThuËn-§µ N½ng + Tìm nghiệm: * > 0, ph trình coù nghieäm phaân bieät x1 = − b −√ Δ 2a * = 0, ph trình coù nghieäm keùp x1 = x2 = − b+ √ Δ ; 2a x2 = −b 2a * < 0, ph trình voâ nghieäm Bài 3: Giải các phương trình a) 3x2 5x + = d) x2 + x + = HD: b) 3x2 + 2x + = c) 4x2 x = e) 5x2 + 4x = f) x2 – 11x + 10 = + Xác định a, b, c +Tính nhẩm nghiệm c a −c - Neáu a – b + c = => ph trình coù nghieäm x1 = – vaø x2 = a - Neáu a + b + c = => ph trình coù nghieäm x1 = vaø x2 = II HÌNH HỌC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG KIẾN THỨC Một số hệ thức cạnh và đường cao tam giaùc vuoâng a2 = b2 + c2 b2 = a b’ c2 = a c’ h2 = b’ c’ bc = ah 1 = 2+ 2 h b c AH = h là đường cao ứng với cạnh huyền HB = c’ laø hình chieáu cuûa caïnh AB treân caïnh huyeàn BC HC = b’laø hình chieáu cuûa caïnh AC treân caïnh huyeàn BC VÍ DỤ Cho tam gíac ABC vuông A a) Tính c’ vaø b’, bieát: c = 6; b = b) Tính c’ vaø b’, bieát: c = 12; a = 20 c) Tính c vaø b, bieát: c’ = 1; b’ = d) Tính h vaø a, bieát: c = 5; b = e) Tính b vaø b’, bieát: h = 2; c’ = (18) 18 Phan Thanh ThuËn-§µ N½ng Tỉ số lượng giác góc nhọn tam giác vuông Tam giác ABC vuông A Ta có tỉ số lượng giác góc nhoïn B: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A a) Tính tỉ số lượng giác góc B, bieát AB = a; AC = a √ ; BC = 2a b) Viết các tỉ số lượng giác góc C, bieát AB = AC = a; BC = a √ AC BC AB cos B= BC AC tgB= AB AB cot gB= AC sin B= sin Đi Học cos Không Hư ĐƯỜNG TRÒN 1) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm caïnh huyeàn Nếu tam giác có cạnh là đường kính đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông 2) Trong các dây đường tròn dây lớn là đường kính 3) Trong đường tròn: a) Đường kính vuông góc với dây thì qua trung điểm cuûa daây aáy b) Đường kính qua trung điểm dây không qua tâm thì vuông góc với dây 4) Nếu đường thẳng là tiếp tuyến đường tròn thì vuông góc với bán kính qua tiếp điểm Ngược lại, đường thẳng vuông góc với bán kính đường tròn tiếp điểm thì đường thẳng đó là tiếp tuyến đường tròn (19) 19 Phan Thanh ThuËn-§µ N½ng 5) Nếu hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm thì: a) Điểm đó cách hai tiếp điểm b) Tia kẻ từ điểm đó qua tâm là tia phân giác góc tạo hai tia tiếp tuyến c) Tia kẻ từ tâm qua điểm đó là tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm 6) Nếu hai đường tròn cắt thì đường nối tâm là đường trung trực dây chung GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN 1) Góc tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn Góc tâm chia đường tròn thành hai phần: phần nằm góc (cung bị chắn) gọi là cung nhỏ; phần còn lại gọi là cung lớn Số đo cung nhỏ số đo góc tâm Số đo cung lớn 3600 – sđ cung nhỏ 2) đĐN: + Góc nội tiếp đường tròn là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, hai cạnh chứa hai dây cung đường tròn đó + Cung naèm beân goùc goïi laø cung bò chaén + Số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn + Góc nội tiếp (nhỏ 900) có số đo nửa số đo góc tâm cùng chắn cung + Caùc goùc noäi tieáp baèng chaén caùc cung baèng + Các góc nội tiếp cùng chắn cung chắn các cung baèng thì baèng + Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông (20) Phan Thanh ThuËn-§µ N½ng 20 3) + Góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung với góc nội tiếp cuøng chaén moät cung thì baèng + Số đo góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung nửa soá ño cuûa cung bò chaén 4)+ Số đo góc có đỉnh đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn + Số đo góc có đỉnh bên ngoài đường tròn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn (cung lớn trừ cung nhỏ) (21) Phan Thanh ThuËn-§µ N½ng 21 5) + ĐN: Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn TC: Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối dieän baèng 1800 + Cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 180 thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn Trường hợp đặc biệt Cách Ta có: Trong tam giác vuông, trung tuyến cạnh huyền + Tam giác ABC vuông B, BO là trung tuyến => OB = OA = OC + Tam giác ADC vuông D, DO là trung tuyến => OD = OA = OC => OA= OB = OC= OD => Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC Cách Ta có: + góc CBD = góc CAD (cùng chắn cung CD) + góc CAD + góc ACD = 900 (vì góc CDA= 900) + góc ABC = 900 => góc ABD + góc ACD = 1800 (Tổng hai góc đối tứ giác ABCD = 1800) => Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC Bài tập tự luyện Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A Trên AC lấy điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC Kẻ BM cắt đường tròn D Đường thẳng DA cắt đường tròn S a) Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp (HD: Đọc lại: Cách chứng minh tứ giác nội tiếp: Trường hợp đặc biệt) b) Chứng minh CA là tia phân giác góc SCB (HD: Đọc lại tính chất: Các góc nội tiếp cùng chắn cung chắn các cung thì nhau) Bài 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên tia đối tia BA lấy điểm C (C không trùng với B) Kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn (O) (D là tiếp điểm), tiếp tuyến A (O) cắt đường thẳng CD E Gọi H là giao điểm AD và OE, K là giao điểm BE với (O) (K không trùng với B) a) Chứng minh AE2 = EK.EB (HD: Giải thích tam giác AEB vuông A, AK là đường cao và dùng hệ thức lượng trong giác vuông b2 = a b’) (22) Phan Thanh ThuËn-§µ N½ng 22 b) Chứng minh tứ giác AHKE nội tiếp (HD:+Chứng minh tứ giác nội tiếp với trường hợp đặc biệt, + Đọc lại tính chất: Hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm + Đọc lại tính chất: Góc nội tiếp chắn đường tròn là góc vuông c) Chứng minh các góc EHK và EBA (HD: tứ giác AHKE nội tiếp => góc EHK = góc ? = góc EBA) Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), B và C cố định, góc A nhọn, tia phân giác A cắt BC E và cắt (O) M a) Chứng minh tam giác BMC cân (HD: Đọc lại tính chất Caùc goùc noäi tieáp baèng chaén caùc cung baèng nhau) b) Tiếp tuyến với (O) A cắt BC K và cắt tia đối OM F Chứng minh các góc AKC và AMF (HD: Đọc lại tính chất: Số đo góc nội tiếp có đỉnh và ngoài đường tròn), Bài 4: Cho đường tròn (O, R) đường kính PQ , trên (O) lấy hai điểm khác A, B và khác P, Q AQ cắt BP H AP cắt BQ S a) Chứng minh tứ giác ABQP nội tiếp b) Chứng minh H là trực tâm tam giác SPQ (HD: Ghi nhớ Trực tâm tam giác là giao điểm đường cao tam giác) Bài 5: Cho đường tròn (O) có bán kính R và điểm C nằm ngoài đường tròn Đường thẳng CO cắt đường tròn hai điểm A, B (A nằm C và O) Kẻ tiếp tuyến CM đến đường tròn (M là tiếp điểm) Tiếp tuyến đường tròn (O) A cắt CM E a) Chứng minh OE song song BM (HD: Chứng minh OE và BM cùng vuông góc AM) b) Chứng minh các góc AOE và góc OMB (HD: Sử dụng tính chất hai góc so le thì và đọc lại tính chất hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm) Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Một điểm C thuộc đoạn thẳng AO (C khác A và C khác O) Đường thẳng qua C và vuông góc với AO cắt đường tròn (O) D và K Trên cung BD lấy điểm M (M B, D) Tiếp tuyến nửa đường tròn đã cho M cắt đường thẳng CD E Gọi F là giao điểm AM và CD a) Chứng minh hai cung AD và AK (HD: Đọc lại tính chất: Đường kính vuông góc với dây thì qua trung điểm dây ấy) b) Chứng minh hai góc EMF và EFM (HD: Đọc lại hai tính chất: + Số đo góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung nửa số đo cung bị chắn + Số đo góc có đỉnh đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn (23) 23 Phan Thanh ThuËn-§µ N½ng Bài 7: Cho tam giác ABC vuông A và nội tiếp đường tròn tâm O Điểm M thay đổi trên cung BC (không chứa A) H và K là hình chiếu vuông góc M trên AB và BC a) Chứng minh hai tứ giác BKMH nội tiếp b) Chứng minh hai tam giác AHM và CKM đồng dạng (HD: Ghi nhớ Nếu góc nhọn tam giác vuông này này góc nhọn tam giác vuông thì hai tam giác vuông đó đồng dạng ) Bài Cho đường tròn tâm O, I là điểm nằm ngoài đường tròn IT là tiếp tuyến với đường tròn (T là tiếp điểm) M là điểm thay đổi trên (O)., IM cắt (O) điểm thứ hai là N a) Chứng minh hai tam giác ITM và INT đồng dạng (HD: + Ghi nhớ: Nếu hai góc tam giác này hai góc tam giác thì hai tam giác đồng dạng + Sử dụng tính chất: Góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung với góc nội tiếp cùng chaén moät cung thì baèng nhau) b) Biết góc NTO = 400, tính số đo góc IMT (HD: + Ghi nhớ tổng các góc tam giác 1800, tam giác ONT cân + Sử dụng tính chất: Góc nội tiếp (nhỏ 900) có số đo nửa số đo góc tâm cùng chắn cung) Bài 9: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By với (O) M là điểm tùy ý trên cung AB Tiếp tuyến với (O) M cắt Ax, By hai điểm C và D a) Chứng minh AC + BD = CD (HD: Đọc lại tính chất: Hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm a) Điểm đó cách hai tiếp điểm b) Chứng minh góc COD vuông (HD: + Đọc lại tính chất: Hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm, c) Tia kẻ từ tâm qua điểm đó là tia phân giác góc tạo hai baùn kính ñi qua tieáp ñieåm + Lưu ý: góc AOB 1800.) -HẾT- (24)