MN đi qua điểm cố định khi M di chuyển trên cung KB Gọi Q là giao điểm của MN và AB; OJ cắt MN tại L Ta chứng minh được MJ là tiếp tuyến của O suy ra MN vuông góc OJ do đó tam giác.. OLQ[r]
(1)ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT Năm học: 2015 – 2016 MÔN THI: TOÁN Hải Phòng Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) I Phần 1: Trắc nghiệm (2,0 điểm) Hãy chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng Điều kiện xác định biểu thức A = 2 2x là 1 A x B x C x 2 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc ? A y x 4 B y 2x 3 C y 2 1 x D x D y x 2 ax y 1 Hệ phương trình x by nhận cặp số (-2; 3) là nghiệm khi: A a = 4; b = B a = 0; b = C a = 2; b = Một nghiệm phương trình 2x2 – 3x – = là D a = -2; b = -2 5 A B C D Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết cạnh AC = 8, BC = 10 (Trong hình 1) Độ dài đoạn thẳng CH bằng: A 2,4 B 3,6 C 4,8 D 6,4 Cho đường tròn (O) đường kính AC, hai tiếp tuyến MA và MB đường tròn (Trong hình 2) Biết ACB 70 Số đo góc AMB A 400 B 500 C 600 D 700 Cung AB đường tròn (O; R) có số đo 120 Vậy độ dài cung AB là: R A 2 R B A 900 Cho tam giác vuông ABC ( 3 R C 5 R D ); AB = cm, AC = cm Quay tam giác vuông ABC vòng xung quanh cạnh AB cố định Hình nón tạo thành có thể tích là: A 12 cm3 B 15 cm3 II Phần 2: Tự luận (8,0 điểm) Bài (2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức C 16 cm3 D 30 cm3 (2) a) M 15 1 5 b) N 3.( 48 75 3) Cho hai hàm số y = 2x – + 2m (d) và y = - x – 2m (d’) (với m là tham số) a/ Khi m = 1, tìm tọa độ giao điểm (d) và (d’) b/ Tìm m để đồ thị (d) và (d’) hai hàm số cắt điểm có hoành độ dương Bài (2,0 điểm) Cho phương trình x2 – (m – 3)x – m + = (1) (với m là tham số) a) Giải phương trình (1) m = b) Tìm các giá trị m để phương trình (1) có ít nghiệm không âm Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B ngược dòng từ bến B bến A 15 phút Tính vận tốc ca nô nước yên lặng, biết quãng sông AB dài 60 km và vận tốc dòng nước là km/h Bài (3,0 điểm) Cho ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có đường cao AH Gọi I và K là hình chiếu A lên các tiếp tuyến B và C đường tròn (O) a) CMR các tứ giác AHBI và AHCK nội tiếp đường tròn b) CMR AHI và AKH đồng dạng c) Gọi M, N là trung điểm AI và AK ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để AH = AM + AN ? Bài (1,0 điểm) Cho hai số dương x và y có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức B (1 1 )(1 ) x y HẢI PHÒNG ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT Năm học 2015 – 2016 MÔN THI: TOÁN Phần Trắc nghiệm (2,0 điểm) Mỗi câu đúng 0,25 điểm Câu Đáp án C B A D D A B A Phần Tự luận (8,0 điểm) Bài Bài 1 (2 1đ điểm) Đáp án 15 4(3 5) 8(1 5) 15 15 1 5 = 9 1 5 a/ = 3 2 3 = N 3.( 48 75 3) b/ = 3.(3 3) = 3.3 9 M Điểm 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ (3) a/ Khi m = tọa độ giao điểm (d) và (d’) là nghiệm hệ y 2 x y x phương trình y 2 x 1 x x x y Vậy điểm M(-1; -1) tọa độ giao điểm (d) và (d’) b/ Xét phương trình hoành độ giao điểm 1đ 4m 2x – + 2m = -x – 2m 3x = – 4m x = 0,25đ 0,25đ 0,25đ Đồ thị (d) và (d’) hai hàm số cắt điểm có hoành độ 4m dương x = > – 4m > m < 0,25đ a/ Khi m = phương trình (1) có dạng: x2 + 3x + = Ta có: a – b + c = – + = 1đ Phương trình (1) có hai nghiệm x1 1; x2 b/ Phương trình (1) có dạng: a – b + c = + m – – m + = Do đó phương trình (1) có nghiệm x1 1; x2 m 0,25đ 0,25đ 0,25đ Vì x1 nên phương trình (1) có ít nghiệm không âm m – m Gọi vận tốc thực ca nô là x (km / h) Điều kiện x Bài x1 20 thỏa mãn điều kiện ẩn, (2 x2 3 loại Vậy vận tốc thực ca nô là 20km/h điểm) 0,25đ 0,25đ Vận tốc ca nô xuôi dòng là x ( km / h) , ngược dòng là x (km / h) 60 60 ( h) ( h) Thời gian ca nô xuôi dòng là x , ngược dòng là x 1đ Tổng thời gian ca nô chạy xuôi và ngược dòng là 6h15 phút 25 h 60 60 25 Nên ta lập phương trình x x 4 ' ' x 96 x 80 0 Có ( 48) 5.80 2702 0; 52 Phương trình có nghiệm phân biệt x1 Bài 0,25đ 0,25đ 0,25đ 48 52 48 52 20; x2 5 Hình vẽ 0,5đ Ta có AH BC (gt) AHB AHC 90 0,25đ (3 điểm) a 0,25đ (4) AI BI; AK CK (T/c hình chiếu) AIB 90 ; AKC 90 + Xét tứ giác AHBI có: AHB AIB 180 Suy tứ giác AHBI nội tiếp (Dấu hiệu nhận biết) 0,25đ 0,25đ + Tương tự tứ giác AHCK nội tiếp Tứ giác AHBI nội tiếp (cmt) ABI AHI (cùng chắn AI ) Tứ giác AHCK nội tiếp(cmt) AKH ACH (cùng chắn AH ) b 0,25đ Mà ABI ACB ( cùng chắn AB ) hay ABI ACH 0,25đ Do đó AHI AKH (1) 0,25đ Chứng minh tương tự AIH AHK (2) Từ (1) và (2) suy AHI AKH (g.g) AI AB I H 900 ; ABI ACH AH AC AIB AHC ( ) AK AC H 900 ; ACK ABH K AH AB AKC AHB ( ) c AI AK AB AC AI AK AB AC AH AH AC AB AH AC AB 2( AM AN ) AC AB AH AB AC Do AM+AN =AH (gt) 0,25đ AC AB AC AB AC AB 2 2 2 AB AC AB AC Ta có AB AC AC AB 2 Mà AB AC Dấu “=” xảy AB = AC 0,25đ 0,25đ Vậy tam giác ABC cân A Thì AH = AM + AN Bài (1 điểm) x 1 y Có x + y = y 1 x 1 x y ( x 1)( x 1)( y 1)( y 1) (1 )(1 ) x y x y x2 y B= ( y )( x 1)( x)( y 1) ( x 1)( y 1) xy x y 1 2 x y xy xy xy = 2 xy Mà = x + y và x + y Do đó 12 = (x + y)2 4xy (x + y) 0,25đ 0,25đ 4xy 1 8 2 xy ( x y ) xy ( x y ) xy B 9 0,25đ (5) 0,25đ Vậy B = x = y = SỞ GIÁO DỤC &ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học: 2015 – 2016 Môn thi : TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài : (1 điểm) Tính: A x x x với x x2 y Bài 2: (1,5 điểm) 1) Vẽ đồ thị (P) hàm số 2) Xác định a, b để đường thẳng y ax b qua gốc tọa độ và cắt (P) điểm A có hoành độ –3 x y 10 1 x y 1 Bài :(2,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình: 2) Giải phương trình: x x 0 x Bài 4:(2,0 điểm) Cho phương trình 2(m 1) x 2m 0 (m là tham số) 1) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với m 2) Tìm các giá trị m để phương trình có hai nghiệm cùng dương 3) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Bài 5: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, M là trung điểm cạnh AC Đường tròn đường kính MC cắt BC N Đường thẳng BM cắt đường tròn đường kính MC D 1) Chứng minh tứ giác BADC nội tiếp Xác định tâm O đường tròn đó 2) Chứng minh DB là phân giác góc ADN 3) Chứng minh OM là tiếp tuyến đường tròn đường kính MC 4) BA và CD kéo dài cắt P Chứng minh ba điểm P M, N thẳng hàng Sở giáo dục và đào tạo Hng yªn kú thi tuyÓn sinh vµo líp 10 thpt N¨m häc 2015 – 2016 M«n thi: To¸n Thêi gian lµm bµi: 120 phót Câu 1: ( điểm ) x y 3 3x y 1 P ( 2) ( 2) 1) Rút gọn ; 2) Giải hệ phương trình Câu 2: ( 1,5 điểm ) 1) Xác định tọa độ các điểm A và B thuộc đồ thị hàm số y 2 x - , biết điểm A có hoành độ băng và điểm B có tung độ 2) Tìm m để đồ thị hàm số y mx qua điểm P (1; 2) (6) Câu 3: ( 1,5 điểm ) Cho phương trình x 2(m 1) x 2m 0 (m là tham số) 1) Giải phương trình với m 1 x x2 2) Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thỏa mãn Câu 4: ( 1,5 điểm ) 1) Cho tam giác ABC vuông A, AB 3cm, BC 6cm Tính góc C? 2) Một tàu hỏa từ A đến B với quãng đường 40km Khi đến B, tàu dừng lại 20 phút tiếp 30km để đến C với vận tốc vận tốc từ A là 5km/h Tính vận tốc tàu hỏa trên quãng đường AB, biết thời gian kể từ tàu hỏa xuất phát từ A đến tới C hết tất Câu 5: ( 2,5 điểm ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O và AB<AC Vẽ đường kính AD đường tròn (O) Kẻ BE và CF vuông góc với AD (E; F thuộc AD) Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC) 1) Chứng minh bốn điểm A, B, H, E cùng nằm trên đường tròn 2) Chứng minh HE//CD 3) Gọi M là trung điểm BC Chứng minh ME MF Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số lớn Chứng minh: a2 b2 c2 12 b c a Gợi ý: Câu 5c) Tứ giác MBEO và tứ giác MFCO nội tiếp nên MBO MEO ; MCO MFO Tam giác BOC cân O nên MBO MCO Suy MFO MEO hay tam giác FEM cân M Câu a2 4(b 1) 4a Ta có b (Côsi) Tương tự: a2 b2 c2 4( a b c) 4(b c a 1) 12 b c a Vậy §Ò (7) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH LONG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Bài (1.0 điểm) B 62 a) Tính: A 2 45 500 ; b) Rút gọn biểu thức Bài (2.5 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau: 2x y 5 x y 1 a) x 9x 20 0 b) x 4x 0 c) P : y x Bài (1.5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol và đường thẳng d : y 2 m 1 x 2m (m là tham số) a) Vẽ đồ thị parabol (P) b) Biết đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) hai điểm phân biệt Gọi hoành độ 2 giao điểm đường thẳng (d) và parabol (P) là x , x Tìm m để x1 x 6 (8) Bài (1.0 điểm) Một đội xe cần chở 36 hàng Trước làm việc, đội bổ sung thêm nên xe chở ít hàng so với dự định Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe, biết khối lượng hàng chở trên xe Bài (1.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, có AB = 15cm và AC = 20cm Tính độ dài đường cao AH và trung tuyến AM tam giác ABC Bài (2.0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, hai đường cao BD và CE cắt H (D thuộc AC; E thuộc AB) a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn b) Gọi M, I là trung điểm AH và BC Chứng minh MI vuông góc ED Bài (1.0 điểm) Biết phương trình bậc hai (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = (x là ẩn số) có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó …HẾT… HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT 2015 – 2016 VĨNH LONG Bài a) A 2 45 500 2 3.3 10 b) B 62 1 1 5 4 Bài a) Phương trình x 9x 20 0 có tập nghiệm S = {4; 5} (hs tự giải) S 5; b) Phương trình x 4x 0 có tập nghiệm (hs tự giải) 2x y 5 x 2 x y 1 y 1 c) Nghiệm hệ là (hs tự giải) Bài a) Vẽ đồ thị Bảng giá trị: x y = x2 —2 —1 0 1 b) Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d): -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y y = x2 x O1 Theo định lý Vi-ét: b x1 x a 2m x x c 2m a Theo đề bài, ta có: x2 = 2(m – 1)x + – 2m⇔ x2 – 2(m – 1)x + 2m – = (9) x12 x 22 6 x1 x 2x1 x 6 ⇔ 4m2 – 12m + = ⇔ m = 1; m = Vậy: m = m = Bài Gọi x (chiếc) là số xe ban đầu đội (ĐK: x nguyên dương) Số xe lúc sau: x + (chiếc) 36 Số hàng chở trên xe lúc đầu: x (tấn) 36 Số hàng chở trên xe lúc sau: x (tấn) A 36 36 1 Theo đề bài ta có phương trình: x x Phương trình trên tương đương với: x2 + 3x – 108 = ⇔ x = (nhận); x = - 12(loại) Vậy: lúc đầu đội có xe Bài áp dụng định lý Pitago vào tam giác ABC vuông A, ta có: BC 625 25 cm BC2 = AB2 + AC2 = 152 + 202 = 625; Áp dụng đẳng thức: AH.BC = AB.AC B H M AB.AC AH 12 cm A BC Suy ra: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh D BC AM 12,5 cmM huyền nửa cạnh huyền nên: Bài E a) Tứ giác ADHE có:AD ⊥ DH (BD ⊥ AC – gt) H AE ⊥ EH (CE ⊥ AB – gt)Nên AEH ADH 90 Do đó: AEH ADH 180 Vậy tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn b) Tứ giác BEDC có: B I BEC BDC 900 (gt) nên cùng nội tiếp nửa đường tròn tâm I đường kính BC (1) Tương tự, tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn tâm M đường kính AH và E, D là giao điểm hai đường tròn tâm M và tâm I Do đó đường nối tâm IM là đường trung trực dây chung ED Suy ra: MI ⊥ AD (đpcm) Bài Theo đề: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = ⇔ x2 – ax – bx + ab + x2 – bx – cx + bc + x2 – cx – ax + ca = ⇔ 3x2 – 2(a + b + c)x + ab + bc + ca = 2 / b / ac a b c ab bc ca a b c 2ab 2bc 2ca 3ab 3bc 3ca a b c ab bc ca 1 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca a 2ab b b 2bc c c 2ca a 2 1 2 a b b c c a 0 với a, b, c C C (10) a b 0 0 b c 0 a b c c a 0 / Vì phương trình trên có nghiệm kép nên: b/ a b c x1 x a b c a Nghiệm kép: SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn : TOÁN Câu 1: (2 điểm) a) Thực phép tính 25 ; b) Tìm x để x 2 C 3 1 c) Rút gọn Câu 2: (2,0điểm) a) Giải phương trình x x 0 x y 5 b) Giải hệ phương trình x y 1 Câu 3: (2,0 điểm) a) Vẽ đồ thị hàm số y = x2 và y x trên cùng mặt phẳng tọa độ b) Tìm m để phương trình x 2(m 1) x (m 1) 0 có nghiệp kép dương Câu 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, Biết AB = 3cm; AC = cm a) Tính BC và chu vi tam giác ABC b) Gọi H là chân đường cao từ A ( H thuộc BC) Tính AH c) Tính diện tích tam giác AHC Câu 5: (2 điểm) Cho đường tròn (O; R) có đường kính BC Trên (O) lấy A cho ˆ cung AB lớn cung AC; đường phân giác BAC cắt (O) D (D khác A) ˆ a) Tính BAC ; BCˆ D b) Kẽ DK AC (K thuộc AC) Chứng minh ODKC nội tiếp c) Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp ODKC theo R SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPTNăm học: 2015 – 2016 Môn thi : TOÁN Ngày thi: 06/6/2015 Câu a) Giải phương trình : x+2015=2016 b) Trong các hình sau : Hình vuông, Hình chữ nhật, Hình thang cân, Hình thang vuông Hình nào nội tiếp đường tròn ? Câu Cho hệ phương trình ¿ (m− 2) x − y=−5 x + my=3 ¿{ ¿ (I) ( với m là tham số) a) Giải hệ (I) với m=1 b) CMR hệ (I) luôn có nghiệm với m Tìm nghiệm đó theo m Câu : Cho Parabol (P) : y=x2 và đường thẳng (d) có pt : y=2(m+1)x-3m+2 a) Tìm tọa độ giao điểm (P) và (d) với m=3 b) CMR (P) và (d) luôn cắt điểm phân biệt A; B với m (11) Gọi x1 ; x2 là hoành độ A;B Tìm m để x12 + x22 =20 Câu Cho (O;R) và dây DE< 2R Trên tia đối tia DE lấy A, qua A kẻ tiếp tuyến AB, AC với (O), (B,C là tiếp điểm) Gọi H là trung điểm DE K là giao điểm BC và DE a) CMR tứ giác ABOC nội tiếp b) Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp ABOC CMR: H thuộc (I) và HA là phân giác 1 góc BHC CMR : AK =AD + AE Câu Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn Tìm GTLN P = HD: Câu a) x=1 ( a1 + b1 + c1 )=6( ab1 + bc1 + ca1 )+2015 2 1 + + 2 2 √3(2a + b ) √3 (2b + c ) √ 3(2 c +a2 ) ; b) HV, HCN, HTC Câu a) với m=1 (I) ¿ − x − y=−5 x+ y =3 ¿{ ¿ ¿ x=2 y=1 ¿{ ¿ ¿ x=3 b) Với m=0 thì hệ có nghiệm là y=− 1/3 ¿{ ¿ m −1 ¿ +2 ¿ ¿ Với m Xét biểu thức Với m m −2 m − 2m +3 + = =¿ m m m−2 −3 => ≠ m Vậy hệ (I) luôn có nghiệm với m ¿ −5 m ¿ x= (m− 2) x − y=−5 m − m+3 x + my=3 Ta có y= m−1 ¿{ m2 − 2m+3 ¿ ¿{ ¿ Câu : a) với m=3 thì (d) là : y=8x-7 (12) Tọa độ giao điểm (P) và (d) là nghiệm hệ ¿ y=x y=8 x −7 ¿{ ¿ ¿ x=1 y=1 ¿ ¿ ¿ x=7 ¿ y=49 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ b) Giao điểm (P) và (d) phụ thuộc và số nghiệm pt : x2 = 2(m+1)x-3m+2 11 x2 - 2(m+1)x+3m- 2=0 (1) Có Δ❑ = m2 –m +3 =(m- )2 + > với m pt (1) luôn có nghiệm phân biệt, nên (P) và (d) luôn cắt điểm phân biệt A;B c) Vì x1 ; x2 là hoành độ A;B nên x1 ; x2 là nghiệm pt (1) Theo Vi _ét ta có: x1 + x2 = 2(m+1) : x1 x2 = 3m-2 x12 + x22 =20 (x1 + x2 )2 - x1 x2 =20 4(m+1)2 – 2(3m-2) =20 B 2m2 + m – =0 m=3/2 m=-2 E H Vậy với m=3/2 m=-2 thì x12 + x22 =20 K D Câu a) Vì AB, AC là tiếp tuyến với (O) O => góc ABO= góc ACO = 900 M A góc ABO+ góc ACO = 180 nªn ABOC nội tiếp b) Vì H là trung điểm DE nên OH vuông góc DE => góc AHO = 900 Lại có góc ABO= góc ACO = 900 mµ H thuộc (I) C Góc AHB = góc AOB ( cùng chắn cung AB (I) ) (1) Và góc AHC = góc AOC ( cùng chắn cung AC (I) ) (2) Mà OA là phân giác góc BOC ( tính chất tiếp tuyến cắt điểm bên ngoài đường tròn) nªn góc AOB = góc AOC (3) Từ (1) (2) (3) => góc AHB = góc AHC, hay HA là phân giác góc BHC c) Gọi M là gioa điểm AO và BC => BC vuông góc AO M góc KMO = góc KHO =900 => KHOM nội tiếp Δ AKO ∞ Δ AMH (g-g) => AH.AK= AM.AO = AB Lại có Δ ADB ∞ Δ ABE (g-g) => AD.AE = AB2 nªn AD.AE=AH.AK VËy AD.AE = 2AH.AK= AK 2AH = AK.( AH+AH)= AK( AH+AD+HD) =AK( AD+ AH+HE) < Vì HD=HE> AD+ AE 1 2AD.AE= AK(AD+AE) Nªn AK =AD AE = AD + AE Câu Áp dung Bunhia cho số (1;1;1) và (a;b;c) ta có 3(a2+b2+c2) 3(2a2 +b2 ) (2a+b)2 ;3(2b2 +c2 ) (2b+c)2 ; 3(2c2 +a2 ) P 1 + + a+ b b+ c 2c +a (a+b+c)2 (2c+a)2 (13) 1 Ta có (x+y+z)( x + y + z ) 1 1 + + ) ( x y z x+ y+z 1 1 1 1 + + + + + + + + a a b b b c c c a => 1 1 + + a+ b b+c 2c +a 3 1 1 + + + + P = (I) a b c a b c 1 1 1 1 + + = + + +6 + + +2015 = Ta có 10 ab bc ca a b c a b c 1 + + +2015 (II) a b c 1 Áp dụng Bunhia cho số (1;1;1) và ( a ; b ; c ) 2 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + Ta 2 => 2 a b c a b c a b c a b c 1 1 1 + + 10 + + 10 (III) a b c a b c 1 1 1 + + +2015 + + Từ (II) và (III) => 10 a b c a b c 1 1 1 + + + + -3 2015 10 a b c a b c 1 1 1 + + + + 3.2015 => √ 2015 (IV) a b c a b c 1 1 + + Từ (I) và (IV) => P √ 2015 = 2015 a b c 3 1 1 1 Vậy GTLN P = 2015 a=b=c và + + =6 ab + bc + ca +2015 a b c 3 a=b=c= 2015 [( P ( ) ( ( ) ( )( )( )] ) ) ( ( ) ) ( ( ) ( ) ( ( ( ( ( ) ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ) ) √ ) √ ( ) ( ) √ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Môn: TOÁN Ngày thi: 06/06/2015 2 Bài 1: (2 điểm) a) Rút gọn biểu thức P = 2 x y 3 x y 6 b) Giải hệ phương trình: mx m 1 x 3m 0 Bài 2: (2 điểm) Cho phương trình (1) (m là tham số) a) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có nghiệm với m b) Trong trường hợp m 0 Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm phương trình (1), tìm 2 giá trị nhỏ biểu thức A x1 x2 (14) Bài 3: (2 điểm) Trong phòng có 80 người họp, xếp ngồi trên các dãy ghế có chỗ ngồi Nếu ta bớt dãy ghế thì dãy ghế còn lại phải xếp thêm người thì vừa đủ chỗ Hỏi lúc đầu có dãy ghế và dãy ghế xếp bao nhiêu chỗ ngồi Bài 4: (2 điểm) Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O) Vẽ các tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm) và cát tuyến MCD không qua O (C nằm M và D) với đường tròn (O) Đoạn thẳng MO cắt AB và (O) theo thứ tự H và I Chứng minh rằng: a) Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn b) MC.MD = MA2 ; c) OH.OM + MC.MD = MO2 3x y z yz 1 Bài 5: (2 điểm) Cho x, y, z là các số thự thỏa mãn điều kiện: Tìm giá trị nhỏ và giá trị lớn biểu thức B x y z SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2015 – 2016 Môn: TOÁN (chung) Câu (2,0 điểm) 1) Với giá trị nào x thì biểu thức x x xác định 2) Tính giá trị biểu thức A x x x 2 3) Tìm tọa độ các điểm có tung độ và nằm trên đồ thị hàm số y 2 x 4) Cho tam giác ABC vuông A, AB 3, BC 5 Tính cos ACB x x 1 x Q x x x 1 x x Câu (1,5 điểm) Cho biểu thức (với x 0; x 1 ) 1) Rút gọn biểu thức Q ; 2) Tìm các giá trị x để Q x m 1 x m 0 Câu (2,5 điểm) 1) Cho phương trình (1) (với m là tham số) a) Giải phương trình với m 3 2 b) Với giá trị nào m thì phương trình (1) có các nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 16 x x y 3 y x x 3 x y x 16 2) Giải hệ phương trình A AB AC , Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông đường cao AH Đường tròn tâm I đường kính AH cắt các cạnh AB, AC M , N Gọi O là trung điểm đoạn BC , D là giao điểm MN và OA 1) Chứng minh rằng: a) AM AB AN AC ; b) Tứ giác BMNC là tứ giác nội tiếp 1 2) Chứng minh rằng: a) ADI ∽ AHO ; b) AD HB HC (15) 3) Gọi P là giao điểm BC và MN , K là giao điểm thứ hai AP và đường tròn đường kính AH Chứng minh BKC 90 3x x 3 x 19 x 1) Giải phương trình 2) Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc 1 Tìm giá trị lớn biểu thức a b c T 4 b c a a c b a b4 c Câu (1,0 điểm) x ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI Câu (2,0 điểm) Đáp án 1) x x xác định x và x đồng thời xác định x xác định x 0 x , x xác định x 0 x 3 x x là x 3 Vậy điều kiện xác định biểu thức A 2 3 2) Với x 2 ta có 1 1 3 2 2 1 21 2 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 3) Hoành độ điểm cần tìm là nghiệm phương trình x 8 x 2 Vậy có hai điểm thỏa mãn là: (2;8) và ( 2;8) 0,25 2 2 4) Vì tam giác ABC vuông A nên AC BC AB 4 AC cos ACB BC Do đó Câu (2,0 điểm) Đáp án x x , ta có 1) (1,0 điểm) Với điều kiện và 0,25 Q x 1 x1 x 1 x 1 x x x 1 x 1 x x 2) (0,5 điểm) x 1 x x x 1 x 1 1 x 1 x x 0,25 Điểm 0,5 0,25 x1 x Với x và x 1 , ta có x 0,25 0,25 Q x x 0,25 (16) x1 x Q Do đó x 1 x x x 1 x (thỏa mãn điều kiện) Vậy với thì Q 0,25 Câu (2,5 điểm) Đáp án 1) (1,5 điểm) a) (0,75 điểm) Với m 3 , ta có phương trình (1) trở thành x x 0 Ta có a b c 1 0 nên phương trình có nghiệm phân biệt x1 1; x2 3 Vậy với m 3 , phương trình đã cho có nghiệm phân biệt x1 1; x2 3 b) (0,75 điểm) 2 x m 1 x m 0 Điểm 0,25 0,25 0.25 (1) Phương trình (1) là phương trình bậc ẩn x có ' m 1 m 7 2m x1 , x2 ' 0 2m 0 m Phương trình (1) có các nghiệm x x 2 m 1 ; x1 x2 m Khi đó theo định lý Viét ta có 2 Do đó 0,25 (*) 0,25 x12 x22 x1 x2 x1x2 4 m 1 m 2m 8m 16 m 0 x12 x22 16 2m 8m 16 16 m 4 Vậy 0,25 Kết hợp điều kiện (*) ta có m 0 là giá trị thỏa mãn x x y 3 y 1 x x 3 x y 5 x 16 2) (1,0 điểm) Điều kiện: Với x 2, y 0 , phương trình (1) x2 x2 x2 x x y 2 x y 0 y x y 0 y x x y 1 0 y 0 y x x x y 0, x 2, y 0 x2 x y 0 0,25 Thay y x vào phương trình (2) ta phương trình x 0 y 0 x x 3 x x x 16 x x 3 x 16 0,25 0,25 (17) x 1 x x 0 x x y +) Với TM Ko TM x; y 1;3 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm 0,25 Câu (3,0 điểm) Đáp án 1) (1,0 điểm) P I a) (0,5 điểm) Xét đường tròn có AMH ANH 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên HM , HN tương ứng là đường B H M K O I D A N C cao các tam giác vuông ABH , ACH +) ABH vuông H , có đường cao HM nên suy AM AB AH +) ACH vuông H , có đường cao HN nên suy AN AC AH Do đó AM AB AN AC AM AN AM AB AN AC AC AB b) (0,5 điểm) Theo câu a) ta có AM AN A AMN ∽ ACB cgc Xét AMN và ACB có chung, AC AB nên suy Do đó AMN ACB BCN BMN ACB BMN AMN BMN 180 Mà các góc BCN , BMN vị trí đối diện nên suy tứ giác BMNC nội tiếp 2) (1,0 điểm) a) (0,5 điểm) Ta có tam giác ABC vuông A và O là trung điểm cạnh BC nên OA OB OC OAC cân O OAC OCA OAC BCN Mà AMN ACB BCN nên AMN OAC AMN DAN 0 Vì AMN vuông A nên AMN ANM 90 DAN ANM 90 ADN 90 I Mà MAN 90 MN là đường kính đường tròn I là trung điểm MN nên ADI 90 Xét AID và AOH có ADI AHO 90 và A chung đó ∽ADI()HOg AD AI AO ADI ∽ AHO AH AO AD AH AI b) (0,5 điểm) Vì Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (18) 1 BC AO BC , AI AH 2 AD AH Mà Mặt khác , vì tam giác ABC vuông A và AH là đường cao nên AH HB.HC HB HC 1 HB.HC HB HC Suy AD 3) (1,0 điểm) Vì tứ giác BMNC nội tiếp PBM MNC PBM ANM MNC ANM 180 (1) Vì tứ giác ANMK nội tiếp PKM ANM (2) Từ (1) và (2) suy PBM PKM 180 , đó tứ giác PKMB nội tiếp PKB PMB AMN ACB AKB ACB AKB PKB 1800 Do đó tứ giác BKAC nội tiếp BKC BAC 90 Câu (1,0 điểm) 3 x x 0 x 1 x 1) (0,5 điểm) Điều kiện xác định 0,25 0,5 0,5 Với x 1 , phương trình đã cho tương đương với: 3x x 3 x x x 19 x 3x x x x x 3x x (do 3x x 0 x 3x x x 3x x x 3x x x 3x 5x x x x 0, x 1 1 2 x 0,25 ) +) x x 0 x (thỏa mãn đk) +) x x 3x x x (không thỏa mãn đk) 3x x x 2 x 3x x x x x x x * Vì x 1 nên x x x x đó (*) vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có nghiệm x a b ab a b a; b 2) (0,5 điểm) Ta có: a b ab a b a b a 3b ab3 Thật a b a3 b3 0 a b a ab b 0 (luôn đúng a, b ) a b c ab a b c a b c ab a b abc Do đó (vì a; b; c và abc 1 ) 0,25 0,25 (19) c c a b c ab a b abc c c a b c ab a b c (vì c ) c c c c2 a b4 c abc a b c a b c a b c 1 b b2 a a2 2 4 2 b4 c a a b2 c Tương tự a c b a b c Cộng theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có: 3 a b c a2 b2 c2 1 4 2 2 b c a a c b a b c a b c a b c a b2 c T 1 a; b; c thỏa mãn abc 1 Với a b c 1 thì T 1 Vậy GTLN T là ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN QUẢNG NAM NĂM HỌC: 2015 – 2016 Thời gian: 150 phút Ngày thi: 4/6/ 2015 x x 1 x x x (với x 1; x 0 ) Rút gọn A, Câu (2 điểm) a) Cho biểu thức A = sau đó tính giá trị A – x = 2016 2015 b) Cho A = Chứng minh A chia hết cho n(n + 1) 12015 22015 n 2015 với n là số nguyên dương 0 Câu (2 điểm) a) Giải phương trình sau: x x 11 x x 12 x x x y 6 x x y b) Giải hệ phương trình: Câu (1 điểm) Cho parabol (P): y = ax2 và đường thẳng (d): y = bx + c với a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác vuông đó a là độ dài cạnh huyền Chứng minh (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt A, B có hoành độ là x1 và x2 thỏa mãn x12 x22 Câu (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt H Các tia phân giác các góc EHB, DHC cắt AB, AC I và K Qua I và K vẽ các đường vuông góc với AB, AC chúng cắt M a) Chứng minh AI = AK b) Giả sử tam giác nhọn ABC có hai đỉnh B, C cố định, đỉnh A di động Chứng minh đường thẳng HM luôn qua điểm cố định Câu (2 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB Qua A và B vẽ các tiếp tuyến d1 và d2 với (O) Từ điểm M bất kì trên (O) vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt d1 C và cắt d2 D Đường tròn đường kính CD cắt đường tròn (O) E và F (E thuộc cung AM), gọi I là giao điểm AD và BC 0,25 (20) a) Chứng minh AB là tiếp tuyến đường tròn đường kính CD b) Chứng minh MI vuông góc với AB và ba điểm E, I, F thẳng hàng 2 Câu (1 điểm) Cho ba số thực x; y; z thỏa mãn: x y z 9 Tìm giá trị lớn biểu thức P = x + y + z – (xy + yz + zx) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPNĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi : TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Câu I (2,0 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau: x 3 2y 2x ; 2) y 2x ; 3) x 8x 0 1) 1) Rút gọn biểu thức A a 2 a a 9a với a 0 Câu II(2,0điểm) 2) Khoảng cách hai tỉnh A và B là 60km Hai người xe đạp cùng khởi hành lúc từ A đến B với vận tốc Sau thì xe người thứ bị hỏng nên phải dừng lại sửa xe 20 phút, còn người thứ hai tiếp tục với vận tốc ban đầu Sau xe sửa xong, người thứ với vận tốc nhanh trước 4km/h nên đã đến B cùng lúc với người thứ hai Tính vận tốc hai người lúc đầu x2 m 1 x m 0 Câu III (2,0 điểm) 1) Tìm các giá trị m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó 2) Cho hai hàm số y 3m x với m và y x có đồ thị cắt A x;y điểm Tìm các giá trị m để biểu thức P y 2x đạt giá trị nhỏ Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định và đường kính CD thay đổi không trùng với AB Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt các đường thẳng BC và BD E và F Gọi P và Q là trung điểm các đoạn thẳng AE và AF 1) Chứng minh ACBD là hình chữ nhật; 2) Gọi H là trực tâm tam giác BPQ Chứng minh H là trung điểm OA; 3) Xác định vị trí đường kính CD để tam giác BPQ có diện tích nhỏ Câu V (1,0 điểm) Cho 2015 số nguyên dương a1;a2 ;a3 ; ;a2015 thỏa mãn điều kiện : a1 a2 a3 a2015 89 Chứng minh 2015 số nguyên dương đó, luôn tồn ít số (21) -Hết Câu 3.2)Tọa độ giao điểm A(x;y) là nghiệm hệ pt: y (3m 2) x y x 2 x m (m 1) m y 4 m 1 Có P = y2 + 2x – = m Vậy Min P = -6 m = Câu b) Chứng minh H là trung điểm OA H thuộc OA; OP là đường trung bình tam giác ABE → OP //BE mà BE BF → PO BF →O là trực tâm tam giác BPF →FO BP Mặt khác có QH BP (H là trực tâm tam giác BPQ) →QH//FO mà AQ = QF (gt) → H là trung điểm OA c) Xác định vị trí đường kính CD để tam giác BPQ có diện tích nhỏ PB = PA ; OA = OC ; OP Chung · · Suy APO CPO(c.c.c) suy PCO PAO 90 Chứng minh PC CD, ; Chứng minh tương tự QD CD Tứ giác PCDQ là hình thang vuông → PQ ≥ CD S BPQ AB.PQ S Diện tích tam giác , Diện tích BPQ nhỏ PQ nhỏ Min S BPQ AB CD AB O CD=AB ; Câu Giả sử không tồn hai số mà a1, a2, …, a2015 nguyên dương Không làm tính tổng quát giả sử a1 > a2 > … > a2015 Nên a1 ≥1; a2 ≥ 2; … ; a2015 ≥ 2015 Suy 1 1 1 a1 a2 a2015 2015 (1) 1 2 1 2015 1 2014 2015 (2) Có 2 1 2 2015 89 2014 2015 Mà (3) 1 89 a1 a2 a2015 Từ (1), (2), (3) suy Trái với đk bài Vậy 2015 số nguyên dương đó tồn ít số (22) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP.ĐÀ NẴNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học: 2015 – 2016 Khóa ngày : 9, 10 – 06 – 2015 MÔN: TOÁN Bài 1: (1,5 điểm) 1) Đưa thừ số ngoài dấu biểu thức 2) Tính giá trị biểu thức : 28a 21 - 10 - + ): 3- 2- 7- A =( 3 x y 6 y Bài 2: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình x Bài 3: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) 1) Vẽ đồ thị (P) 2) Cho các hàm số y = x + và y = - x + m ( với m là tham số) có đồ thị là (d) và (dm) Tìm tất các giá trị m để trên mặt phẳng tọa độ các đồ thị (P) , (d) và (dm) cùng qua điểm Bài 4: (2,0 điểm) Cho phương trình x2 - 2(m – 1)x – 2m = 0, với m là tham số 1) Giải phương trình m = 2) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với m Gọi x1 và x2 là hai nghiệm phương trình, tìm tất các giá trị m cho x12 + x1 – x2 = – 2m Bài 5: (3,5 điểm) Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) 1) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp 2) Cho bán kính đường tròn (O) 3cm, độ dài đoạn thẳng OA 5cm Tính độ dài đoạn thẳng BC 3) Gọi (K) là đường tròn qua A và tiếp xúc với đường thẳng BC C Đường tròn (K) và đường tròn (O) cắt điểm thứ hai là M Chứng minh đường thẳng BM qua trung điểm đoạn thẳng AC Bài giải sơ lược : Bài :1) 2) 28a = 4.7.(a )2 = a = 7a é ( - 1) A=ê + ê 3- ë A = ( + 5).( - Bài : - ĐK : x ≠ Ta có : ìï ïï ï í ïï ïï ïî 5( - 1) ù ú ( 2- ú û 5) = - - y =6 2x Û + 2y =- x (Vì a2 ≥ với a) 7- 5) = - = Vậy A = ìïï - 2xy = 12x ìï 8x = Û ïí í ïîï + 2xy =- 4x îïï + 2xy =- 4x (23) ìï ïï x = ¹ 0(TMDK) ï í ïï 1 ïï + y = - 2 ïî ì ï ï x = ï í ï ï ï 1+ y =- î Bài : 1) Lập bảng giá trị và vẽ ìï ïï x = í ïï ïî y =- Vậy hệ có nghiệm ìï ïï x = í ïï ïî y = - 2) Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d) : x2 = x + x2 - x - = 0(*) ïìï x1 =- ïí ïï x = - c = a Phương trình (*) có dạng : a – b + c = nên có nghiệm : ïî Ta có (d) cắt (P) hai điểm A(-1; 1) và B (2; 4) Để (P), (d) và (dm) cùng qua điểm thì A (dm) B (dm) + Với A(-1; 1) (dm) , ta có : = -(-1) + m m = + Với B(2; 4) (dm), ta có : = -2 + m m = Vậy m = m = thì (P), (d) và (dm) cùng qua điểm Bài : 1) Thay m = phương trình : x2 – = x2 = x = ± Vậy m = 1, phương trình có hai nghiệm x = và x = - 2) Có ∆ = b2 – 4ac = 4m2 + với m nên phương trình đã cho luôn có nghiệm phân biệt với m Theo Vi-et ta có : - b ïìï ïï x + x = a = 2m - 2(1) í ïï c = - 2m(2) ïï x 1.x = a ïî ïìï x1 + x = 2m - í ta có hệ (I) : ïïî x1 + x1 – x = – 2m Theo bài ta có x12 + x1 – x2 = – 2m (3).; Từ (1) và (3) Từ hệ (I) có PT : x12 + 2x1 – = x1 = và x1 = -3 - + Với x = x1 = 1, từ đề bài ta có m = ; + Với x = x1 = -3, từ đề bài ta có m = Vậy m = ± thì PT có nghiệm x1, x2 thỏa : x12 + x1 – x2 = – 2m Bài : Hình vẽ a) Có AB OB (t/c tiếp tuyến) ABO = 900 Có AC OC (t/c tiếp tuyến) ACO = 900 Xét tứ giác ABOC có ABO + ACO = 900 + 900 = 1800 nên nội tiếp đường tròn b) AB và AC là hai tiếp tuyến đường tròn (O) nên AO là đường trung trực BC Gọi H là giao điểm AO và BC, ta có BC = 2BH OB2 ∆ABO vuông B có BH là đường cao nên OB2 = OH.AO OH = AO = cm 12 24 ∆OBH vuông H BH2 = OB2 – OH2 BH = cm ; Vậy BC = 2BH = cm c) Gọi E là giao điểm BM và AC ∆EMC và ∆ECB có MEC = CEB và MCE = EBC (Góc nt và góc tạo tia tiếp tuyến CA cùng chắn cung MC đường tròn (O)) ∆EMC ഗ ∆ECB (g-g) EC2 = EM.EB (*) (24) ∆EMA và ∆EAB có MEA = AEB (a) và : Có MAE = MCB (3) (Góc nt và góc tạo tia tiếp tuyến CB cùng chắn cung MC đường tròn (K)) Có MCB = ABE (4) (Góc nt và góc tạo tia tiếp tuyến BA cùng chắn cung MB đường tròn (O)) + Từ (3) và (4) MAE = ABE (b) - Từ (a) và (b) ∆EMA ഗ ∆EAB (g-g) EA2 = EM.EB (**) Từ (*) và (**) EC2 = EA2 EC = EA Vậy BM qua trung điểm E AC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN Câu (2,5 điểm) KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi : Toán Thi ngày 10 / / 2015 Cho biểu thức P x x 4 a)Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P;b)Tính giá trị biểu thức P Câu (1,5 điểm) Số tiền mua dừa và long là 25 nghìn đồng Số tiền mua dừa và long là 120 nghìn đồng Hỏi giá dừa và giá long là bao nhiêu ? Biết dừa có giá và long có giá x m 1 x m2 0 Câu (1,5 điểm) Cho phương trình : (1) (m là tham số) x a) Giải phương trình (1) với m = 2 b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 cho x1 x 4 Câu (3 điểm) Cho đường tròn (O) có dây BC cố định không qua tâm O Điểm A chuyển động trên đường tròn (O) cho tam giác ABC có góc nhọn Kẻ các đường cao BE và CF tam giác ABC (E thuộc AC, F thuộc AB) Chứng minh : a) BCEF là tứ giác nội tiếp ; b) EF.AB = AE.BC c) Độ dài đoạn thẳng EF không đổi A chuyển động Câu (1,5 điểm) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x y 3 Chứng minh rằng: xy 2x y Đẳng thức xảy nào ? ……………… Hết ……………… ĐÁP ÁN THAM KHẢO Câu a) ĐKXĐ : x 0 , x (0,5 đ) P Rút gọn : x x x 2 x x 2 x x x 2 x (1 điểm) 1 1 1 2 (1 điểm) Câu Gọi x, y (nghìn) là giá dừa và long Điều kiện : < x ; y < 25 x ĐKXĐ Thay vào P, ta : b) P (25) x y 25 5x 4y 120 Theo bài ta có hệ phương trình Giải ta : x = 20, y = (thỏa mãn điều kiện bài toán) Vậy : Giá dừa 20 nghìn Giá long nghìn Câu (1,5 điểm) 2 a) Với m = 2, phương trình (1) trở thành : x 6x 0 Ta có : ' 3 8 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x1 b) ' m 1 m 3 2m ; Phương trình có nghiệm 2m 0 m x1 x m 1 x1x m Theo Vi – ét ta có : 2 2 m 1 m 4 x x x x 2x x 2 Theo bài ta có : m 1 m 4m 0 m m không thỏa mãn điều m Vậy m = Câu Hình vẽ (0,5 điểm) a) BCEF là tứ giác nội tiếp (1 điểm) Ta có : BFC 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) o BEC 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy tứ giác BCEF nội tiếp đpcm b) EF.AB = AE.BC (1 điểm) BCEF nội tiếp (chứng minh trên) Suy AFE ACB (cùng bù với góc BFE) Do đó AEF ABC (g.g) EF AE EF.AB BC.AE BC AB đpcm Suy c) EF không đổi A chuyển động (0,5 điểm) Cách Ta có EF.AB BC.AF EF BC AE BC.cos BAC AB Mà BC không đổi (gt), ABC nhọn A chạy trên cung lớn BC không đổi BAC không đổi cos BAC không đổi Vậy EF BC.cos BAC không đổi đpcm Cách Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCEF có: Tâm I là trung điểm BC cố định R BC không đổi (vì dây BC cố định) Bán kính Đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCEF là đường tròn cố định Vì Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn (I) nên ta có: (26) FBE ECF Sd EF (góc nội tiếp) (1) FBE ECF 90 BAC Lại có: .Mà dây BC cố định BAC Sd BnC Sd BnC không đổi có số đo không đổi FBE ECF 90 BAC có số đo không đổi (2) EF Từ (1) và (2) có số đo không đổi Dây EF có độ dài không đổi (đpcm) Câu Cách Ta có : Với x, y > và x y 3 Ta có : 1 1 4 xy x y x y 6 2x y x y 2 1 x y x y 6 2 x y = Đẳng thức xảy x x 0 x 1 y 0 y 2 y Cách Với x, y > và x y 3 Ta có : xy 1 1 1 x y x y 2x y 2 x y 2 x 2 x y y x x 1 x y 2 y y Đẳng thức xảy (vì x, y > 0) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015-2016 Môn thi: TOÁN Câu 1: Rút gọn các biểu thức a) P 1 5 2 x 1 Q x x b) với x > 0, x 2 Câu 2: Cho phương trình bậc hai x 2(m 1)x m m 1 0 (m là tham số) Tìm tất các giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn x12 x 22 3x1x Câu 3: Một đội xe nhận vận chuyển 72 hàng khởi hành thì có xe bị hỏng, đó xe phải chở nhiều so với dự định Hỏi lúc đầu đọi xe có bao nhiêu chiếc, biết khối lượng hàng xe phải chở là Câu 4: Cho tam giác nhọn ABC, đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC M, N Gọi H là giao điểm BN và CM a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn b) Gọi K là giao điểm đường thẳng BC với đường thẳng AH Chứng minh ∆BHK ∆ACK (27) c) Chứng minh: KM + KN ≤ BC Dấu “ =” xảy nào? Câu 5: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: F = ab + bc + 2ca -Mã HẾTđề 02 Câu 1: Rút gọn các biểu thức a) P 2 2 x 2 Q x x b) với x > 0, x 2 Câu 2: Cho phương trình bậc hai x 2(m 1)x m m 1 0 (m là tham số) Tìm tất các giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn x12 x 22 4x1x Câu 3: Một đội xe nhận vận chuyển 60 hàng khởi hành thì có xe bị hỏng, đó xe phải chở nhiều so với dự định Hỏi lúc đầu đọi xe có bao nhiêu chiếc, biết khối lượng hàng xe phải chở là Câu 4: Cho tam giác nhọn ABC, đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC D, E Gọi H là giao điểm BE và CD a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn b) Gọi K là giao điểm đường thẳng BC với đường thẳng AH Chứng minh ∆BHK ∆ACK c) Chứng minh: KD + KE ≤ BC Dấu “ =” xảy nào? Câu 5: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: F = xy + 2yz + zx - HẾT- THANG ĐIỂM - HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI – MÔN: TOÁN 2015-2016 Bài Ý I 1) Nội dung P Khi x = thì 2) 3) 93 12 9 Q x x 1,0 ĐKXĐ: x 0; x 4 Rút gọn Q= P x 3 x x 3 : x Q x 2 x 2 x x Ta có: P 2 Q Áp dung bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm Ta Dấu xảy x = Vây GTNN P/Q = x= II Điểm 0,5 Gọi vân tóc thức ca nô là x ( x>2, km/h) Vận tốc ca nô xuôi dòng x+2 (km/h) Vận tốc ca nô ngược dòng x – (km/h) 0,5 0,25 (28) III 1) 2) IV 48 Thời gian ca nô xuôi dòng x (h) 60 Thời gian ca nô ngược dòng x (h) 60 48 1 Theo đề ra, ta có phương trình x x Giải phương trình tìm x = 22(t/mđk); x = -10 (loại) Kết luận x 3 (t / m ) y x ĐK: Giải hệ phương trình tìm (m 5) 4(3m 6) m 2m m 1 0m a) Ta có b) gọi nghiệm pt là x1; x2 Khi đó x1; x2 tạo thành hai cạnh tam giác vuông với cạnh huyền Theo định lí Pytago ta có: x12 + x22= x1 x2 m x x 3m Theo định lí Vi ét ta có: Theo trên x12 + x22= m = -6 và m = (t/m) 1) Tứ giác ACMD nội tiếp 1.0 0.5 0.25 0,75 0,5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.75 C/m: góc ACD = góc AMD = 900 2) CA.CB = CH.CD 1.0 C/m: tứ giác ANHC nội tiếp suy góc DAC = góc CHB(cùng bù góc NHC) suy tam giác CAD đồng dạng với tam giác CHB 3) Ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến N qua trung điểm DH * tứ giác ACMD nội tiếp suy góc ADC = góc AMC, tứ giác CHMB nội tiếp suy góc AMC = góc HBC = góc NMA suy góc ADC = góc NMA nên tứ giác DNHM nội tiếp đó góc DNH = 900 góc ANB = 900 suy điều phải chứng minh 0.5 * Vì NJ là tiếp tuyến (O) suy góc JND = góc ONB = góc OBN = góc NDH suy tam giác NJD cân J suy JN = JD mà tam giác NDH vuông N suy góc JNH + góc JND = góc JDN + góc JHN = 900 đó góc JNH = góc JHN suy tam giác INH cân 0.5 J suy JN = JH JH = JD nên J là trung điểm DH 4) MN qua điểm cố định M di chuyển trên cung KB Gọi Q là giao điểm MN và AB; OJ cắt MN L Ta chứng minh MJ là tiếp tuyến (O) suy MN vuông góc OJ đó tam giác OL OQ OC OJ suy OL.OJ = OQ.OC OLQ đồng dạng với tam giác OCJ (g – g) suy Theo hệ thức lượng tam giác vuông OMJ ta có OL.OJ = OM2 = R2 (R là bán kính 0.5 (29) R2 OQ OC O, C cố định R không đổi suy OQ (O)) suy OQ.OC = R suy không đổi suy Q cố định MN qua Q V 2 Với hai số thực dương không âm a, b thỏa a b 4 ta có: a b Suy a 2ab b2 a b 2ab 4 2ab a b 2ab a b 2ab a b 2ab (do 2ab 0; a, b Hay M Khi đó, biểu thức M viết lại thành: Mặc khác: 2ab M Từ (1) và (2) ta có: ab ab a b 2 2ab (1) 2ab 2 2ab 2ab 2ab ab 2ab 2ab 2ab (2) 0.25 a b2 ab 2 2 Áp dụng BĐT Cô-si cho số không âm a, b ta được: 2ab 2.2 2 M 2 2 a b 0 a b 2 a b Dấu “=” xảy và khi: Vậy GTLN biểu thức M là SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH 0.25 a b KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2015 – 2016 Ngày thi : 11 tháng năm 2015Môn thi : TOÁN (Không chuyên) Câu 1: (1điểm) Thực các phép tính a) (0,5 điểm) A 2 12 b) (0,5 điểm) B= 12 27 Câu 2: (1 điểm) Giải phương trình x x 0 x y 3 Câu 3: (1 điểm) Giải hệ phương trình x y 3 Câu 4: (1 điểm) Tìm m, n biết đường thẳng d1 : y 2mx 4n qua điểm A(2; 0) và song song với đường thẳng d : y 4 x (30) Câu 5: (1 điểm) Vẽ đồ thị hàm số y x Câu 6: (1 điểm) Cho phương trình bậc hai x m 1 x m 0 Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phận biệt x1 , x2 Tìm hệ thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc vào m Câu 7: (1 điểm) Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 30 hàng Khi khởi hành thì bổ sung thêm xe nên xe chở ít 0,5 hàng Hỏi lúc đầu đoàn xe có bao nhiêu xe? Câu 8: (2 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính MN và A là điểm trên đường tròn (O), (A khác M và A khác N) Lấy điểm I trên đoạn thẳng ON (I khác O và I khác N) Qua I kẻ đường thẳng (d) vuông góc với MN Gọi P, Q là giao điểm AM, AN với đường thẳng (d) a) (1 điểm) Gọi K là điểm đối xứng N qua điểm I Chứng minh tứ giác MPQK nội tiếp đường tròn b) (1 điểm) Chứng minh rằng: IM.IN = IP.IQ Câu 9: (1 điểm) Cho góc vuông xOy Một đường tròn tiếp xúc với tia Ox A và cắt tia Oy 1 2 hai điểm B, C Biết OA = , hãy tính AB AC BÀI GIẢI Câu : (1điểm) Thực các phép tính B = 12 27 36 81 6 15 a) A 2 12 2 ; b) Câu : (1 điểm) Giải phương trình x x 0 5 4.3. 49 x1 12 5 S = 2; 2 x2 6 ; 6 Vậy 1 3 , 7 Câu : (1 điểm) Giải hệ phương trình x y 3 x 6 x 2 x 2 x y 3 x y 3 2 y 3 y 1 x;y 2; Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu : (1 điểm) d1 : y 2mx 4n qua điểm A(2; 0) và song song với đường thẳng d : y 4 x m = 2m = n d1 d 4n 3 ; m = , d1 : y 2mx 4n qua điểm A(2; 0) 2.2.2 4n 4n n (nhận) Vậy m = , n y x 2 Câu : (1 điểm) Vẽ đồ thị hàm số BGT (31) x y x 2 6 1 1,5 1,5 x m 1 x m 0 Câu : (1 điểm) Phương trình 2 ' m 1 m m 2m m m 3m Phương trình có 2 3 9 3 ' m 3m m m 0,m 2 4 2 Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m Khi đó, theo Vi-ét : x1 x2 2m ; x1.x2 m x1.x2 m x1.x2 2m A x1 x2 x1 x2 2 (không phụ thuộc vào m) Vậy hệ thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc vào m có thể là A x1 x2 x1 x2 x Z Câu 7: (1 điểm) Gọi số xe đoàn xe lúc đầu là x (chiếc) Số xe đoàn xe bổ sung thêm là x (chiếc) 30 Lúc đầu, lượng hàng xe phải chở là x (tấn) 30 Lúc thêm xe, lượng hàng xe phải chở là x (tấn) 0,5 hàng nên ta có phương trình : Do bổ sung thêm xe thì xe chở ít 30 30 x 0,xnguyên 60 x 60 x x x x x 120 0 x x2 ' 12 120 121 ' 121 11 , x1 11 10 (nhận) ; x2 11 12 (loại) Vậy lúc đầu đoàn xe có 10 Câu : (2 điểm) a) Chứng minh tứ giác MPQK nội tiếp Ta có d là trục đối xứng đoạn KN (do d MN I và IN = IK ) P P (hai góc đối xứng qua trục) (1) MAN 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 900 M MAQ MIQ AMIQ nội tiếp A (cùng chắn IQ ) 900 NAP NIP AINP nội tiếp A1 P (cùng chắn IN ) P M (cùng A1 ) (2) Từ (1), (2) P1 M1 Tứ giác MPQK nội tiếp b) Chứng minh IM.IN=IP.IQ (32) Ta có IKQ IPM (cùng bù với MKQ , tứ giác MPQK nội tiếp) IKQ ∽ IPM (có MIP chung, IKQ IPM (cmt)) IK IQ IP IM IM.IK = IP.IQ IM.IN = IP.IQ (do IK = IN ) 1 2 Câu : (1 điểm) Tính AB AC Lấy C’ đối xứng với C qua Ox AC = AC' A A (hai góc đối xứng qua trục) sñ AC B 1 A (cùng ) A B1 BAO 900 BAC' BAO A B ABC ' vuông A, có đường cao AO 1 1 1 2 2 2 AB AC AB AC' AO - HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP.HCM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học: 2015 – 2016 MÔN: TOÁN Bài 1: (2 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau: 2 a) x x 15 0 ; b) x Bài 2: (1,5 điểm) 2 x y x 0 ; c) x x 0 ; d) x y 4 a) Vẽ đồ thị (P)của hàm số y x và đường thẳng (D): y x trên cùng hệ trục toạ độ b) Tìm toạ độ các giao điểm (P) và (D) câu trên phép tính Bài 3: (1,5 điểm) Thu gọn các biểu thức sau: A x x1 x 10 ( x 0, x 4) x x x 2 B (13 3)(7 3) 20 43 24 Bài 4: (1,5 điểm) Cho phương trình x mx m 0 (1) (x là ẩn số) a) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm phân biệt với giá trị m x12 x22 4 b) Định m để hai nghiệm x1 , x2 (1) thỏa mãn x1 x2 Bài 5: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC (AB<AC) có ba góc nhọn Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AC, AB E, F Gọi H là giao điểm BE và CF D là giao điểm AH và BC a) Chứng minh : AD BC và AH.AD=AE.AC b) Chứng minh EFDO là tứ giác nội tiếp (33) c) Trên tia đối tia DE lấy điểm L cho DL = DF Tính số đo góc BLC d) Gọi R, S là hình chiếu B,C lên EF Chứng minh DE + DF = RS ĐÁP ÁN CHI TIẾT - MÔN TOÁN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT -TPHCM Bài 1: (2 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau: 2 a) x x 15 0 ( ' 4 15 1) x 4 5 hay x 4 3 b) x x 0 (2) 2 4(2)( 2) 1 ;(2) x 3 2 hay x 4 2 c) x x 0 Đặt u = x2 0 pt thành : u 5u 0 u (loại) hay u = Do đó pt x 6 x 2 x y 17 x 17 x y 4 x y 4 d) x 1 y 1;1 , 2; Bài 2: a) Đồ thị: Lưu ý: (P) qua O(0;0), 1;1 , 2; (D) qua b) PT hoành độ giao điểm (P) và (D) là x x x x 0 x hay x 2 (a-b+c=0) 1;1 , 2; y(-1) = 1, y(2) = Vậy toạ độ giao điểm (P) và (D) là Bài 3:Thu gọn các biểu thức sau x x1 x 10 ( x 0, x 4) x x x 2 Với ( x 0, x 4) ta có : x ( x 2) ( x 1)( x 2) x 10 x A 2 x x A 2 B (13 3)(7 3) 20 43 24 (2 1) (2 3) 20 (4 3) (3 4) 20 2(4 3) (3 4) (3 1) 43 24 8(3 1) = 35 Câu 4: Cho phương trình x mx m 0 (1) (x là ẩn số) a) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm phân biệt với giá trị m m 4(m 2) m 4m (m 2) 0, m Vậy phương trình có nghiệm phân biệt với m x12 x22 4 b) Định m để hai nghiệm x1 , x2 (1) thỏa mãn x1 x2 Vì a + b + c = m m 0, m nên phương trình (1) có nghiệm x1 , x2 1, m Từ (1) suy : x mx m x12 x22 mx1 m mx2 m m ( x1 1)( x2 1) 4 4 4 m 4 m 2 x1 x2 x1 x2 ( x1 1)( x2 1) Câu a)Do FC AB, BE AC H trực tâm AH BC Ta có tứ giác HDCE nội tiếp (34) Xet tam giac đồng dạng EAH và DAC (2 tam giac vuông co góc A chung) AH AE AC AD AH AD AE AC (ñccm) FDE 2 FBE 2 FCE FOE FDE A E S b) Do AD là phân giác nên F H Vậy tứ giác EFDO nội tiếp (cùng chắn cung EF ) R N FDE FDL c) Vì AD là phân giác DB là phân giác B D O F, L đối xứng qua BC L đường tròn tâm O Vậy BLC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O BLC 90 L d) Gọi Q là giao điểm CS với đường tròn O Vì cung BF, BL và EQ (do kết trên) Tứ giác BEQL là hình thang cân nên hai đường chéo BQ và LE Mà BQ = RS, LE = DL + DE = DF + DE suy điều phải chứng minh SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG NAI Q C THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015-2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Câu (1,5 điểm) 1) Giải phương trình 5x2 – 16x + = ¿ x −2 y=5 2) Giải hệ phương trình x +3 y=7 ; 3) Giải phương trình x4 + 9x2 = ¿{ ¿ + √ 18 Câu (2,5 điểm) 1) Tinh: √ 2+2 2) Tìm m để đồ thị hàm số y = 4x + m qua điểm (1;6) x2 3) Vẽ đồ thị (P) hàm số y= Tìm tọa độ giao điểm (P)và đường thẳng y = 2 Câu (1,25 điểm) Hai công nhân cùng làm chung công việc thì xong Nếu người thứ làm 20 phút và người thứ hai làm 10 thì xong công việc Tính thời gian công nhân làm riêng xong công việc Câu (1,25 điểm) 1) Chứng minh phương trình x2 – 2x – = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Tính T = 2x1 + x2.(2 – 3x1) 2) Chứng minh x2 – 3x + > 0, với số thực x Câu (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) tâm O đường kính AB Lấy hai điểm phân biệt C và D thuộc đường tròn (O); biết C và D nằm khác phía đường thẳng AB Gọi E, F tương ứng là trung điểm hai dây AC, AD 1) Chứng minh AC2 + CB2 = AD2 + DB2 (35) 2) Chứng minh tứ giác AEOF nội tiếp đường tròn Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEOF 3) Đường thẳng EF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE điểm K khác E Chứng minh đường thẳng DK là tiếp tuyến đường tròn (O) Tìm điều kiện tam giác ACD đề tứ giác AEDK là hình chữ nhật SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TIỀN GIANG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 11/6/2015 A 3 Bài I: (2,5 điểm) a) Rút gọn biểu thức sau: b) Giải hệ phương trình và các phương trình sau: x y 5 x y 1 a/ b/ x 2x 0 c/ x 3x 0 x m 1 x m 3m 0 Bài II: (1,0 điểm) Cho phương trình (x là ẩn số, m là tham số) x , x Định m để phương trình có hai nghiệm 2 tìm giá trị nhỏ biểu thức B x1 x d : y x P : y x Bài III: (2,0 điểm) Cho parabol và đường thẳng Vẽ đồ thị (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ Bằng phép tính, xác định tọa độ các giao điểm A, B (P) và (d) Tìm tọa độ điểm M trên cung AB đồ thị (P) cho tam giác AMB có diện tích lớn Bài IV: (1,5 điểm) Khoảng cách hai bến sông A và B là 30 km Một canô xuôi dòng từ A đến B, rối ngược dòng trở A Thời gian kể từ lúc lúc là 20 phút Tính vận tốc dòng nước, biết vận tốc thực canô là 12 km/h Bài V (2,0 điểm) Cho đường tròn tâm O Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là hai tiếp điểm) Vẽ cát tuyến MCD không qua tâm O, C nằm M và D Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn Chứng minh: MA2 = MC.MD Gọi trung điểm dây CD là H, tia BH cắt O điểm F Chứng minh: AF // CD Bài (1,0 điểm) Cho hình nón có bán kính đáy cm, đường sinh 13 cm Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón đã cho -HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 A 3 Bài I x 3 y 2 a/ 3 b/ S = {—2; 4} 3 3 c/ S = {—2; 2} (hs tự giải) (36) Bài II Phương trình x m 1 x m 3m 0 (x là ẩn số, m là tham số) b ac m 1 m 3m m 2m m 3m m / / 2 Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và ∆/ > ⇔ m + > ⇔ m >-1 b x1 x a 2 m 1 x x c m 3m a Theo Vi-ét: 2 B x12 x 22 x1 x 2x1 x m 1 m 3m 11 1 21 4m 8m 2m 6m 2m 2m 11 2 m m 2 m 2 2 21 21 21 2 m m 2 2 nên Bmin = Dấu “=” xảy Vì 2 Bài III Vẽ đồ thị (P) và (d) hình vẽ Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d): x2 = –x + ⇔ x2 + x – = ⇔ x = x = —2 Nếu x = —2 thì y = ⇒ A(—2; 4) Nếu x = thì y = ⇒ B(1; 1) 3.Gọi M(xM; yM) là điểm thuộc parabol (P), cung AB cho diện tích tam giác AMB lớn Gọi D, C, H là hình chiếu vuông góc A, B và M xuống trục Ox AD BC DC 1 15 15 SABCD SAMB SABCD SAMHD SBMHC SAMHD SBMHC 2 nên Khi đó: Do đó: SAMB lớn SAMHD + SBMHC bé yM OD OH yM OB OH yM x M y M x M SAMHD SBMHC 2 2 3x M 3y M 4x M 2y M y M x M x M y M x M y M 2 Vì M(x ; y ) thuộc (P) nên y M x M M Do đó: M SAMHD SBMHC 2 3 xM xM x 2x 3x M 3x M M M 2 2 5 15 15 xM xM 2 4 15 xM Vậy SAMHD + SBMHC đạt giá trị bé là (37) 1 yM y x vào phương trình M M ta Thay 1 1 M ; Vậy: điểm thuộc parabol (P): y x thì tam giác AMB có diện tích lớn Bài IV Gọi x (km/h) là vận tốc dòng nước (ĐK: < x < 12) 30 30 16 Theo đề bài, ta có phương trình: 12 x 12 x ⇔ x2 = Giải phương trình trên được: x = —3 (loại) x = nhận Vậy vận tốc dòng nước là (km/h) F A Bài V D a) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp Tứ giác MAOB có: H MAO 900 (gt); MBO 900 (gt); MAO; MBO đối nhau;C MAO MBO 1800 Vậy tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn đường kính AO b) Chứng minh: MA2 = MC.MD M chung; MAC MDA Hai tam giác DMA và AMC có: M (góc nội tiếp và gócOtạo tiếp tuyến và dây cùng chắn cung AC) nên: ∆DMA ∽ ∆AMC (g-g) MA MD MC MA ⇒ MA2 = MC.MD Suy ra: c) Chứng minh: AF // CD xM Ta có: H là trung điểm dây CD nên OH ⊥ CD (Định lý quan hệ đường B kính và dây) Suy MHO MBO 90 nên tứ giác MHOB nội tiếp đường tròn ⇒ MHB MOB (1) (góc nội tiếp cùng chắn cung MB) 1 MOB AOB OM là tia phân giác góc AOB (MA,MB là hai tiếp tuyến (O) cắt M)⇒ 1 AFB AOB Mà (góc nội tiếp và góc tâm cùng chắn cung AB) ⇒ AFB MOB (2) MHB Từ (1) và (2) suy ra: AFB Mà AFB và MHB là hai góc vị trí đồng vị nên suy AF // CD Sxq rl 5.13 65 cm Bài VI + Diện tích xung quanh hình nón: 2 h l2 r 132 55 12 cm V 3 r h 3 12 100 cm + Thể tích hình nón: ; SGD – ĐT TP CẦN THƠ ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT Năm học : 2015 - 2016 MÔN TOÁN – thời gian 120 phút Câu 1: (2,5 điểm) 1)Giải các phương trình và hệ phương trình trên tập số thực: (38) a ) x x 27 0 b) x x 3 x y 21 c) 72 0 x y 1 x y P y x với x 2)Tính GTBT ;y 2 1 x Câu 2: (1,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho (P): y = a) Vẽ đồ thị (P) b) Gọi A(x1, y1) và B(x2;y2) là hoành độ giao điểm (P) và (d): y = x – Chứng minh: y1 y2 5( x1 x2 ) 0 2 Câu 3: (1,5 điểm) Cho phương trình x ax b 0 a)GPT a = b = b) Tính 2a3 + 3b4 biết phương trình nhận x1 = 3, x2= -9 làm nghiệm Câu 4: (1,5 điểm) Nhân ngày quốc tế thiếu nhi, 13 HS ( nam và nữ) tham gia gói 80 phần quà cho các em thiếu nhi Biết tổng số quà mà HS nam gói tổng số quà mà HS nữ gói Số quà bạn nam gói nhiều số quà mà bạn nữ gói là phần Tính số HS nam và nữ Câu 5: (3 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB =2R Đường thẳng qua O và vuông góc AB cắt cung AB C Gọi E là trung điểm BC AE cắt nửa đường tròn O F Đường thẳng qua C và vuông góc AF G cắt AB H a) Cm: tứ giác CGOA nội tiếp đường tròn Tính OGH b) Chứng minh: OG là tia phân giác COF c) Chứng minh CGO CFB d) Tính diện tích FAB theo R GIẢI a ) x x 27 0; ( 3) 4.2.( 27) 9 116 225; PT co nghiem : x1 ; x2 Câu1:1) 3 x y 21 x 2 c ) co nghiem : b) x x 72 0; PT nghiem : x 3 2 x y 1 y P x y x y y x xy 2) Ta có: Câu 2: a) vẽ, độc giả tự giải 2 ( 2 )( 2 2 3) 2 2 4 (39) 1 x 2 b) Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d): = x – x x 0 Giải phương trình ta được: x = ; x = -4; Tọa độ giao điểm là: (2; -2) và (-4; -8) Khi đó: y1 y2 5( x1 x2 ) ( 8) 5(2 4) 0 2 Câu 3: x ax b 0 a) Khi a = b = ta có phương trình: x2 – 3x – = vì a – b + c = – (-3) – = nên phương trình có nghiệm: x = -1; x = b) Vì phương trình nhận x = 3; x = -9 là nghiệm nên ta có hệ phương trình 2 12a 72 a 9 3a b 0 3a b 14 2 2 b 14 3a b 32 81 9a b 0 9a b 86 A 2a 3b 2.( 6)3 3.32 432 3072 2640 Câu 4: Gọi x (HS) là số HS nam.ĐK: 0<x<13, x nguyên Số HS nữ là: 13 – x ( HS) 40 Số phần quà mà HS Nam gói được: x ( phần) 40 Số phần quà mà HS nữ gói được: 13 x (phần) 40 40 3 40(13 x) 40 x 3 x(13 x) Theo bài toán ta có phương trình: x 13 x 520 40 x 40 x 39 x 3x 3x 119 x 520 0 Giải phương trình ta x = Vậy số HS nam là 5, số HS nữ là Câu 5: a) Ta có AOC AGC 900 nên O, G cùng nhìn AC góc 900 Do đó tứ giác ACGO nội tiếp đường tròn đường kính AC OGH OAC C 450 Mà OAC vuông cân O Nên OAC 45 Do đó OGH b) Vì tứ giác ACGO nội tiếp Nên CAG COG ( cùng chắn cung CG) 1 CAG C OF Mà ( góc nột tiếp và góc tâm cùng chắn cung CF) 1 COG C OF A Nên OG là tia phân giác COF AF CBF c)Xét CGO và CFB có CGO ( cùng góc C ) OCG FCB ( OAG ) D O E G F H Nên hai tam giác đồng dạng d) Gọi D là giao điểm CO và AE Ta có D là trọng tâm CAB (CO và AE là trung tuyến) OC OD= = R R 10 Do đó theo định lý Pita go ta tính được: AD= Nên Mà AOD AFB (g-g) B (40) S AOD S AFB Nên R 10 AD AB 2R 10 18 R 36 18 S AFB : S ADO R R 18 5 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH Bài 1: (2 điểm) ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 Năm học: 2015 – 2016 Môn thi: TOÁN (không chuyên) x a/ Giải các phương trình b/ Giải hệ phương trình x x x2 x y x y 5 2 3 x y 5 x 2m x m 0 x Bài 2: (1,5 điểm) Cho phương trình (1) a/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 2 b/ Tìm m để x1 x2 x1x2 14m 30m x x 36 x : x x x x x (x > 0, x 9, x 25 Bài 3: (1,5 điểm) a/ Rút gọn Q = b/ Tìm x để Q < Bài 4: (2 điểm) a/ Cho tam giác vuông Nếu ta tăng độ dài cạnh góc vuông thêm 3cm thì diện tích tăng thêm 33cm 2; giảm độ dài cạnh góc vuông 2cm và tăng độ dài cạnh góc còn lại thêm 1cm thì diện tích giảm 2cm Hãy tính độ dài các cạnh tam giác vuông b/ Bạn An dự định khoảng thời gian từ ngày 1/3 đến ngày 30/4 giải ngày bài toán Thực đúng kế hoạch thời gian, vào khoảng cuối tháng (tháng có 31 ngày) thì An bị bệnh, phải nghỉ giải toán nhiều ngày liên tiếp Khi hồi phục, tuần đầu An giải 16 bài; sau đó, An cố gắng giải bài ngày và đến 30/4 thì An hoàn thành kế hoạch đã định Hỏi An phải nghỉ giải toán bao nhiêu ngày? Bài (2 điểm) Hình bình hành ABCD có tam giác ADC nhọn, ADC 60 Đường tròn tâm O tiếp tam giác ADC cắt cạnh AB E ( E A ), AC cắt DE I a/ Chứng minh tam giác BCE và IO DC b/ Gọi K là trung điểm BD, KO cắt DC M Chứng minh A, D, M, I cùng thuộc đường tròn (41) c/ Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tính OJ DE SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN Ngày thi: 12 tháng năm 2015 Câu (1,5 điểm) Cho hai số thực a, b thỏa điều kiện ab = 1, a + b Tính giá trị biểu thức: 1 1 1 1 2 3 a b a b a b a b a b a b P= Câu (2,5 điểm) a/ Giải phương trình: 2x2 + x + = 3x x b/ Chứng minh rằng: abc(a3 - b3)(b3 - c3)(c3 - a3) với số nguyên a, b, c Câu (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD Đường thẳng qua C vuông góc với CD cắt đường thẳng qua A vuông góc với BD F Đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt đường trung trực AC E Hai đường thẳng BC và EF cắt K Tính tỉ KE số KF Câu (1 điểm) Cho hai số dương a, b thỏa mãn điều kiện: a + b a2 a 4a b Chứng minh rằng: Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Gọi M là trung điểm cạnh BC và N là điểm đối xứng M qua O Đường thẳng qua A vuông góc với AN cắt đường thẳng qua B vuông góc với BC D Kẻ đường kính AE Chứng minh rằng: a/ Chứng minh BA BC = 2BD BE b/ CD qua trung điểm đường cao AH tam giác ABC Câu (1 điểm) Mười vận động viên tham gia thi đấu quần vợt Cứ hai người họ chơi với đúng trận Người thứ thắng x1 trận và thua y1 trận, người thứ hai thắng x2 trận và thua y2 trận, , người thứ mười thắng x10 trận và thua y10 trận Biết trận đấu quần vợt không có kết hòa Chứng minh rằng: x12 x2 x10 y12 y2 y10 ĐỀ + ĐA THI TOÁN VÀO LỚP THÁI NGUYÊN 2015 – 16 (42) (43) HD GIẢI & ĐẤP ÁN Câu 1: Áp dụng trường hợp PT bậc có a + b +c =0 x1, x2 = (- và 1) Câu 2: áp dụng HĐT (a+b)(a – b) và trục mẫu ĐA : A = Câu 3: Để có giao điểm đề thì d2 phải là y’ = 2x – 2x – = 2x + – k k = ĐS Câu 4: ĐK : x > 0, áp dụng HĐT (a + b)(a – b) và trục mẫucó Câu 5: – 2x (với y 0) * 2x + y = y = 2x – ( với y < 0)** Thế (*) vào PT2 ta có x = 13/10 ; y = 7/5 (ĐS) Thế (**) vào PT2 ta có x = 11/2 ; y = ( cặp nghiệm này không nhận được) Câu 6: Áp dụng HĐT a3 + b3 và công thức tính x1 + x2 ; x1.x2 C = – 21 (ĐS) Câu 7: Áp dụng công thức Pytagor và tỉ lệ các cạnh tam giác vuông đồng dang, có : AH2 = 12 – 80 = 80 AH = 4 (cm) BC/BA = BA/BH BC = BA 2/BH = 18 (cm) S ABC = ½( 4 x 18 ) = 36 (cm2) Câu 8:Tiếp tuyến AM OM E là trung điểm NP OE NP Tứ giác AMOE có góc đối diện vuông A,M,O,E cùng trên đương tròn Câu 9: Theo đề ta có: DH = ½(DC – AB) = 1,5 cm tang D = AH/DH = AH = (cm) SABCD = ½(10 + 7).6 = 51 (cm2) Câu 10: Gợi ý: Kẻ tiếp tuyền dA (tiếp điểm là A) dA OA Từ các cặp góc suy dA // B’C’ OA B’C’ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂUNĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: TOÁN (44) 2 Câu (7,0 điểm).a) Giải phương trình x 5x x 2 x x 4x 1 x y 2 y x 2 b) Giải hệ phương trình 2x y xy 4xy 2x y 2 Câu (2,0 điểm) Cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn a b ab a b2 A 2ab Tính giá trị biểu thức 3(a b c) (a 1)(b 1)(c 1) Câu (2,0 điểm) Cho a,b,c là các số thực Chứng minh Câu (7,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) có BC là dây cố định (BC 2R) ; E là điểm chính cung nhỏ BC Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC và AB < AC (A khác B) Trên đoạn AC lấy điểm D khác C cho ED = EC Tia BD cắt đường tròn (O;R) điểm thứ hai là F a) Chứng minh D là trực tâm tam giác AEF b) Gọi H là trực tâm tam giác DEC; DH cắt BC N Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN cắt đường tròn (O;R) điểm thứ hai là M Chứng minh đường thẳng DM luôn qua điểm cố định Câu (2,0 điểm) Cho tập hợp A gồm 21 phần tử là các số nguyên khác thỏa mãn tổng 11 phần tử lớn tổng 10 phần tử còn lại Biết các số 101 và 102 thuộc A Tìm tất các phần tử A 2 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨCMôn: TOÁN Câu Nội dung 2 Câu a x 4 x 5x x 2 x x 4x 7,0đ 3,0đ ĐKXĐ: (x 1)(x 4) x x (x 1)(x 5) 0 ⇔ x ⇔ ⇔ x 4 x 1 x 5 x 4 x 4 x 0 x 0 Điểm 0,5 0,5 0,5 x x 5 x 2 0,5 x x x 4 0,5 (45) Câu Nội dung Điểm x 5 (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x 5 0,5 ĐKXĐ: x 0; y 0 0,5 1 (1) x y 2 y x 2 2x y xy 4xy 2x y (2) Phương trình (2) 1 ) (y ) 4 (3) y x a x y b y x Kết hợp với (1) và(3) ta có hệ Đặt a 2a 0 a(4 2a) 2 a 1 b 4,0đ b 4 2a b 2 b 4 2a ⇔ 2x y y x 0,5 2(x 0,5 ab 2 2a b 4 x 1 xy y y a 1 xy 2x y 2 Với b 2 ta có x y 2x y 2x x(2x 2) 2x 2x 4x 0 2 2 x x 2 y y (thỏa mãn) 0,5 0,5 0,5 1,0 2 2 ; 2) ( ; 2) 2 Vậy hệ đã cho có các nghiệm (x;y) là và ( Ký hiệu (x;y) là ước chung lớn hai số nguyên x và y Gọi d = (a;b) => a da1 ; b db1 , với (a1 ; b1 ) 1 Câu 2,0 đ a b d (a12 b12 ) và ab d 2a1b1 d (a12 b12 ) d a1b1 a12 b12 a1b1 a b1 a1 a1 b1 A 2 mà (a1 ; b1 ) 1 a1 b1 Tương tự b1 a1 suy a1 b1 1 d (a b ) 1 2d a1b1 0,5 0,5 0,5 0,5 (46) Câu Nội dung Điểm 2a 2, 2,z yc z)2 4(x y)z Đặt 2(x x y) 2zy2 b3(x Ta cần chứng minh 2 2 (x 2)(y 2)(z 2)2 3(x y z) 3(a b c) (a 1)(b 1)(c 1)(x2 2)(y 2) (x 1)(y 1) x y x y 1 2x 2y Ta có Dấu đẳng (x y) 2 2 (x 2)(y 2) 2xy x y (x y) thức xảy 2 K (x 2)(y 2)(z 2) (x y) z 2(x y) 2z A a b c 0,5 0,5 0,5 0,5 F O o Tứ giác ABEC nội tiếp suy ABE ACE 180 D o Mà EDC ACE và ADE EDC 180 H B ADE DAE nên ABE ADE Kết hợp với BAE => ABE Câu 7,0 đ b 3,0đ Câu 2,0 đ N C M Mặt khác EB = EC = ED nên AE là trung trực đoạn BD a AE BF (1) và AB = AD => ABD ADB 4,0đ => ABD DCF 0,5 0,5 0,5 E 0,5 0,5 Kết hợp với (cùng chắn cung AF) và ADB FDC (đối đỉnh) Suy FDC FCD tam giác FDC cân F => FD = FC Kết hợp với ED = EC => EF là trung trực DC => DC EF (2) Từ (1) và (2) suy D là trực tâm tam giác AEF Kẻ đường kính EK (O;R).Khi đó điểm K cố định Tứ giác BDNM nội tiếp nên BMD BND 0,5 1 90o BAC (3) o BMD 90 BCE Tứ giác ABMK nội tiếp nên BMK 180 BAK 0,5 1 BAK BAE EAK 90o BAC Mà 1 BMK 90o BAC (4) BMK Từ (3) và (4) suy BMD 0,5 Suy ba điểm M, D, K thẳng hàng Do đó MD luôn qua điểm K cố định 0,5 Giả sử A = 3; 21 với 3; 21 và a1 a a a 21 Theo giả thiết ta có a1 a a a11 a12 a13 a 21 0,5 a ;a ;a ;a a ;a ;a ;a Z a1 a12 a a13 a a 21 a11 (1) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (47) Câu Nội dung Mặt khác với x; y Z và x y thì y x a12 a 10, a13 a 10, , a 21 a11 10 (2) Nên từ (1) suy a1 10+10+ +10 = 100 => a1 =101 (vì 101 => 101 a12 a a13 a a 21 a11 100 Điểm 0,5 A) 0,5 a12 a a13 a a 21 a11 100 Kết hợp với (2) a12 a a13 a a 21 a11 10 (3) 10 a12 a (a12 a11 ) (a11 a10 ) (a a ) 10 a12 a11 a11 a10 a a 1 (4) Ta có a1 =101 mà 102 A => a =102 Kết hợp với (3) và (4) suy A = SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI Bài 1: (1,5 điểm) 0,5 101;102;103; ;121 KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPTNĂM HỌC 2015 - 2016 Ngày thi: 11/6/2015 Môn thi: Toán Thực phép tính: 16 Rút gọn biểu thức: M = a+ a a 1 a +1 1 a a Với a ≥ và a ≠ Bài 2: (2,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau: 2x y 1 3x 2y 12 a) x +3x 4= b) 2 Cho phương trình: x – 2x + m + = (với m là tham số) a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = và tìm nghiệm còn lại b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa mãn hệ thức 2 x1 x2 x1 x2 0 Bài 3: (2,0 điểm) Hai đội công nhân cùng làm chung thì xong đường Nếu đội làm riêng để xong đường thì thời gian đội thứ ít đội thứ hai là Hỏi làm riêng thì đội làm xong đường thời gian bao lâu? Bài 4: (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là điểm nằm hai điểm A và B Trên nửa mặt phẳng có bờ AB chứa nửa đường tròn, vẽ hai tia Ax và By tiếp xúc với nửa đường tròn đã cho Trên tia Ax lấy điểm I (với I khác A); đường thẳng vuông góc với CI C cắt tia By K Đường tròn đường kính IC cắt tia IK E Chứng minh tứ giác CEKB nội tiếp đường tròn Chứng minh AI BK = AC.CB Chứng minh điểm E nằm trên nửa đường tròn đường kính AB (48) Cho các điểm A; B; I cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang ABKI lớn Bài 5: (1,0 điểm) Cho x, y là các số dương thỏa mãn (11x + 6y + 2015)(x – y + 3) = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P xy x 2016 (49)