* Trong một đường tròn số đo của góc nội tiếp và số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung thì bằng nhau.. xAB ACB Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cun[r]
(1)HÌNH HỌC CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A 1) Hệ thức cạnh và đường cao tam giác vuông: *AB2 = BH BC ; AC2 = HC BC * AH = BH HC * AB AC = AH BC H B 1 AB AC2 * AH C * ΔABC vuông A AB2 + AC = BC2 ( Định lý Pythagore thuận , đảo) 2)Tỷ số lưọng giác góc nhọn : B Sin A C Tg AB BC Cos AB AC Cotg AC BC AC AB *Với góc nhọn ; ta có Sin α Sinβ (hoặc Cos = Cosβ ; tg = tgβ ; cotg = cotgβ ) thì = * Nếu α + β = 90 thì ta có : Sin = Cosβ ; Cosα = Sinβ ; Tg α = Cotgβ ; Cotgα = Tgβ *Tỷ số lượng giác số góc đặc biệt Tỷ số lượng giác 450 300 Sin Cos 2 2 3 3 Tg Cotg 3)Giải tam giác vuông : 600 2 1 3 a, b, c là độ dài cạnh tam giác ABC vuông A * b = a.sinB = a.CosC ; c = a sinC = a cosB B * b = c.tgB = c.cotgC ; c = b.tgC = b.cotgB a c *ΔABC vuông A BC = A b C AB = BC2 AC2 ; AC = AB2 AC BC2 AB2 (2) BC C ΔABC vuông A có = 300 AB = BC B ΔABC vuông A có = 600 AC = CHƯƠNG II ĐƯỜNG TRÒN 1)Định nghĩa và xác định đường tròn: a) Định nghĩa : Tập hợp các điểm cách điểm O cố định khoảng không đổi R là đường tròn tâm O, bán kính R Kí hiệu : đường tròn ( O; R ) hay đường tròn ( O ) b) Vị trí điểm đường tròn : * Điểm M nằm trên đường tròn ( O ; R ) OM = R * Điểm M nằm ngoài đường tròn ( O ; R ) OM > R * Điểm M nằm đường tròn ( O ; R ) OM < R c) So sánh độ dài dây và đường kính : * Định lý : Đường kính là dây cung lớn đường tròn d) Sự xác định đường tròn: Định lí : * Đường tròn qua ba đỉnh A, B, C tam giác ABC gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( Tam giác ABC gọi là tam giác nội tiếp đường tròn ) * Tâm đường tròn ngoại tiếp t/g là giao điểm các đường trung trực các c ạnh tam giác 2) Tính chất đối xứng đường tròn : M A a) Liên hệ đường kính và dây cung: *Định lí : Đường kính vuông góc với dây thì qua trung điểm dây đó B I (Đường tròn ( O ) có OM ⊥ AB I I là trung điểm AB ) O *Định lí đảo : đường kính qua trung điểm dây (dây không là đường kính ) thì vuông góc với dây đó (Đường tròn ( O ) có OM cắt AB I và I là trung điểm dây AB OM ⊥ AB I ) N B b) Liên hệ dây và khoảng cách đến tâm : * Định lí : Trong đường tròn : + Hai dây thì cách tâm (Đường tròn ( O )có AB = CD, OI ⊥AB tạiI, OK ⊥CD K OI = OK ) I + Hai dây cách tâm thì A O C K D (3) 2)Vị trí tương đối đường thẳng và đường tròn : Ghi chú : d = OH là khoảng cách từ tâm đ tròn ( O, R ) đến đ thẳng a O *Đường thẳng và đường tròn không giao : d Số điểm chung : ; - Hệ thức : d > R *Đường thẳng và đường tròn cắt : - a - Số điểm chung : ;- Hệ thức : d < R O d H a H +Trường hợp này đường thẳng a gọi là cát tuyến đ ường tròn ( O, R ) * Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc : O - Số điểm chung : ; d a - Hệ thức : d = R + Trường hợp này đường thẳng a gọi là tiếp tuyến đường tròn ( O ; R ) H và H gọi là tiếp ểm * Định lí 1:( t/c tiếp tuyến ) Nếu đ.thẳng là tiếp tuyến đ tròn thì nó vuông góc với b.kính qua t điểm (Nếu a là tiếp tuyến đ tròn tâm O và H là tiếp điểm thì a ⊥OH hay a ⊥d ) * Định lí ( dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến ) Nếu đường thẳng qua điểm đưòng tròn và vuông góc với bán kính qua điểm đó thì đường thẳng là tiếp tuyến đường tròn ( Đường tròn ( O , R ) có OH = R và OH ⊥ a thì a là tiếp tuyến đường tròn ( O ) ) * Định lí 3: ( tính chất hai tiếp tuyến cắt ) Nếu MA và MB là hai tiếp tuyến đường tròn (O) ( A và B là hai tiếp điểm ) thì : A O I + MA = MB M + OM là phân giác góc AOB * Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác ABC gọi là đường tròn nội tiếp tam giác ABC ( Tam giác ABC gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn ) B A + Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm các đường phân giác c tam giác O B 4) Vị trí tương đối hai đ ường tròn : C Ghi chú : d là khoảng cách hai tâm hai đ ường tròn ( O; R) và ( I ; r ), d = OI, gi ả sử R > r > * Hai đường tròn không giao : (4) - S ố ểm chung : ;-Hệ th ức gi ữa d , R , r : R O r E F I I O O Ở ngoài : d > R + r r Đựng : d < R – Đặc biệt : đồng tâm ( d = ) * Hai đường tròn cắt : - Số điểm chung : A - Hệ thức d, R, r là: R – r < d < R + r O I + Tính chất đường nối tâm : Nếu hai đường tròn cắt thì đường nối tâm vuông góc với dây chung và qua trung điểm dây chung B ( Nếu đường tròn (O) và đường tròn (I) cắt hai điểm A và B thì OI ⊥ AB H và HA = HB ) * Hai đường tròn tiếp xúc : - Số điểm chung : - Hệ thức d, R, r : O A Tiếp xúc ngoài : d = R + r A I I O Ti ếp xúc : d = R – r + Tính chất đường nối tâm : Nếu hai đ tròn tiếp xúc thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm CHƯƠNG III GÓC VÀ ĐƯỜNG TRÒN 1) Góc tâm :Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn A x m n ( Góc tâm AOB chắn cung AB ) * Số đo cung : O B y + AOB sđ AB + Số đo cung nửa đường tròn là 1800 (5) *So sánh hai cung : + sđ AB = sđ CD AB CD A + sđ AB sđ CD AB CD B C O Đối với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn + AB = CD AB CD D 2) Góc nội tiếp : * Định nghĩa : Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh cắt đường tròn đó * Tính chất : - Định lí : Số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn - Hệ : Trong đường tròn : + Các góc nội tiếp cùng chắn cung các cung thì + Mọi góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông + Mọi góc nội tiếp (nhỏ hay 900 )có số đo nửa số đo góc tâm cùng chắn cung B E F O O M A N C C P D ( Đường tròn ( O ; OA) có : (Đường tròn ( O ) đường kính MN có : 1 ABC ABC AOC sđ AC ; sđ ) MPN 90 ; CFD CED ) B 3) Tứ giác nội tiếp A Tứ giác ABCD có ABD ACD = ( tứ giác ABCD có ABD và ACD cùng cạnh AD (6) C 4) Góc tạo tiếp tuyến và dây cung : *Số đo góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung (đi từ tiếp điểm ) nửa số đo cung bị chắn xAB sđ AB Sđ A x C * Trong đường tròn số đo góc nội tiếp và số đo góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung thì O B xAB ACB ( Góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung ;góc nội tiếp cùng chắn cung AB ) 5) Góc có đỉnh bên đường tròn C I bị Số đo góc có đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung D chắn (một cung nằm hai cạnh góc và cung nằm các tia đối C AEC ( sđ AC + sđ DB hai cạnh đó ) ) A E D O bên ngoài 6) Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn : Số đo góc có đỉnh đường tròn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn hai cạnh góc Ta có : A O B AIB (sđ AB sđ - sđ CD ) B 7) Tứ giác nội tiếp : 8) Độ dài đường tròn ( còn gọi là chu vi hình tròn ), độ dài cung tròn : * Định nghĩa : tứ giác có bốn đỉnh nằm trên D đường tròn gọi là tứ giác nội tiêp đương tròn O C * Định lí ( Tính chất ) : Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 1800 * Định lí đảo ( cách nhận biết ) : Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 180 thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn A B * Độ dài đường tròn ( còn gọi là chu vi hình tròn ) : C = R ( R là bán kính đường tròn ; 3,14 * Độ dài cung tròn : L AB Rn 180 ( R là bán kính đường tròn ; (7) O A n B 9) Diện tích hình tròn , diện tích hình quạt tròn : * Diện tích hình tròn : S = R2 * Diện tích hình quạt tròn : O L R R 2n hay S = AB ( R là bán kính hình tròn ; n0 là số đo độ hình quạt ; S = 360 L AB 3,14 A B là độ dài cung AB ; ) CHƯƠNG IV : HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN – HÌNH CẦU 1) HÌNH TRỤ : Quay hình chữ nhật ABCD vòng quanh cạnh CD cố định, hình phát sinh là hình trụ A D * Đáy là hai hình tròn ( D ; AD ) và ( C ; CB ) thu ộc hai mặt ph ẳng h song song R B * Đường thẳng CD là trục hình trụ C * AB là đường sinh ( AB quét nên mặt xung quanh hình trụ ) a) Diện tích xung quanh hình trụ : Sxq = 2πR h ( R là bán kính hình tròn đáy ) ; h là chiều cao hình trụ b) Diện tích toàn phần : Stp = Sxq + 2Sđáy c) Thể tích hình trụ : V = π R2.h 2) HÌNH NÓN : Quay hình tam giác ABC vuông A vòng quanh cạnh AB phát sinh là HÌNH NÓN B * Đáy là hình tròn ( A ; AC ) ; Đỉnh là B l h * BC là đường sinh ( BC quét nên m ặt xung quanh hình nón ) c ố định, hình (8) * Độ dài AB là chiều cao hình nón ; Đ ường th ẳng AB là tr ục hình nón a) Diện tích xung quanh hình nón : Sxq = πRl ( R là bán kính hình tròn đáy ; l là độ dài đường sinh ) b) Diện tích toàn phần : Stp = Sxq + Sđ áy c) Thể tích hình nón : V = πR2.h ( h là chiều cao hình nón ) 3) Hình cầu : Quay nửa hình tròn tâm O, bán kính R vòng quanh đường kính AB cố định thì hình phát sinh là hình c ầu tâm O , bán kính R A a) Diện tích mặt cầu : S = 4π R2 ( R là bán kính hình cầu ) R C O B b) Thể tích hình cầu : V = πR3 CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý VÀ HỌC THUỘC ĐỂ ÁP DỤNG LÀM TOÁN 1) Tg = Sin Cos Cos ; Cotg Sin ; Tg Cotgα = ; Sin2 Cos = 2) Nếu Sin β < Sin < Sin thì β < < * Nếu Tg β < Tg < Tg thì β < < * Nếu Cos β < Cos < Cos thì β > > * Nếu Cotg β < Cotg < Cotg thì β > > 3) Vị trí điểm đường tròn : a) Điểm M nằm trên đường tròn ( O; R ) OM = R b) Điểm M nằm ngoài đường tròn ( O; R ) OM > R c) Điểm M nằm đường tròn ( O; R ) OM < R M 4) a) Nếu điểm M thuộc đường tròn đường kính AB thì AMB 1v = 90 (9) O b)Nếu ΔAMB vuông M thì tâm đường tròn ngoại ti ếp ΔAMB là B A trung điểm O c c ạnh huyền AB và OA = OB = OM = AB 5) Nếu tam giác ABC vuông cân A có cạnh góc vuông AB = AC = a thì bán kính đường tròn ( O ; R ) ngoại ti ếp ΔABC là OB = OA = OC = R = AB a 2 6) a) Khi đường thẳng a và đường tròn ( O ; R ) có hai điểm chung A và B ta nói đường thẳng a và đường tròn ( O ) cắt Đường thẳng a còn gọi là cát tuyến đường tròn ( O ; R ) R b) OH ⊥a H Đuờng thẳng a và đường tròn ( O ; R ) cắt và OH < R O a A B H 7) a) Khi đường thẳng a và đường tròn ( O; R ) có điểm chung C ,ta nói đường thẳng a và đường tròn ( O ) tiếp xúc Ta còn nói đường thẳng a là tiếp tuyến đường tròn ( O; R ) Điểm C gọi là tiếp điểm O b) OH ⊥a H, đường thẳng a và đường tròn ( O; R ) tiếp xúc OH = R R a CH 8) Đường thẳng a là tiếp tuyến ( O ) ; C là tiếp điểm thì a ⊥ OC 9) Nếu A là điểm chính cung NM thì NA AM 10) Đường tròn ( O ) nội tiếp tam giác ABC ( Tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( O ) ) thì O chính là giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC A N M 11) Đường tròn ( O ) ngoại tiếp tam giác ABC ( Tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) ) thì O chính là giao điểm ba đường trung trực tam giác ABC 12) Đường tròn ( O ) có AB // DC (AB và CD là dây ) AD BC P B A O D M N I O C Q 13) Đường tròn ( O ) có PQ là đường kính ; MN là dây có PM PQ NM = I PN và I là trung điểm dây NM (10) ** Trong đường tròn đường kính qua trung điểm dây không qua tâm thì qua điểm chính cung căng dây 14) Đường tròn ( O ) có PQ là đường kính ; MN là dây cung ; MI = IN và PQ NM = I P là điểm chính cung NM PN PM 15) Trong đường tròn đường kính qua điểm chính cung thì vuông góc với dây căng cung và ngược lại E a) Đường tròn ( O ) có E là điểm chính cung CD OE ⊥ CD b) Đường tròn ( O ) có OE ⊥ CD ( E thuộc cung CD ) E là điểm chính cung CE ED CD CD hay sđ = sđ = sđ D C O 16) Hình thang ABCD nội tiếp đường tròn ABCD là hình thang cân 17) Với đa giác nội tiếp đường tròn ( O; R ) : a) Nếu lục giác có cạnh là a thì a = R b) Nếu hình vuông có cạnh là b thì b = R c) Nếu tam giác có cạnh là c thì c = R 18) Đường tròn ( O; R ) có AB 60 thì AB là cạnh lục giác nội tiếp AB = R 19) Đường tròn ( O; R ) có CD 90 thì CD là cạnh hình vuông nội tiếp CD = R 20)Đường tròn ( O; R ) có EF 120 thì EF là cạnh tam giác nội tiếp EF = R a2 a 21) Tam giác có cạnh là a thì S = và đường cao h = 22) Nếu tứ giác ABCD có DAC DBC thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn B 23)Ox’ là tia phân giác góc xOt ; t x' A Oy’ là tia phân giác góc tOy y' và góc xOt kề bù với góc tOy suy Ox’ ⊥ Oy’ D C x O y x'Oy' = 900 24) Nếu CA và CB là hai tiếp tuyến đường tròn ( O ) ( A và B là hai tiếp điểm ) thì : + CA = CB ; OA ⊥ CA ; OB ⊥ CB + OC ⊥ AB ; OC là đường trung trực AB + OC là tia phân giác góc AOB ; CO là tia phân giác góc ACB (11) A O C B 25) Đường tròn ( O; R ) có OB = R và OB ⊥ AC B AC là tiếp tuyến O A B đ ường tròn ( O ) C 26) a) Đường tròn ( O) có AB là đường kính và B là điểm chính cung MN ( tức là NB MB NM sđ sđ sđ ) AB ⊥ NM I N H A b)Đường tròn ( O) có AB là đường kính và AB ⊥NM I B là điểm chính cung O B I NB MB NM MN ( tức là sđ sđ sđ ) M c) H thuộc cung AN sđ AN = sđ AH + sđ HN d) sđ NB sđ MB và B MN thì B là điểm chính cung MN ĐẠI SỐ CHƯƠNG I CĂN BẬC HAI , CĂN BẬC BA 1) Căn bậc hai a là số x mà x2 = a * Căn bậc hai số học số thực a , kí hiệu * a > , có hai bậc hai là hai số đối a và - a Ta có * Căn bậc hai là ;* Với a > ; b > ta có : a > b * a a a b A A xác định ( có nghĩa ) A * B có nghĩa ( xác định ) B > A * B có nghĩa ( xác định ) B 0 và A ;* A nÕu A 0 A A - A nÕu A < =a (12) * * A.B A B A A ; B B ; A B A.B A A B ( với A 0 ; B 0 ) ; B * A A.B ( B B D C.( A B ) D.( A A-B A B ( Với B ) Với AB 0 ; B 0 ) 1 A B ( A A-B A B A B A A B B ( Với B > ) ; * B C A B A B A B ( với A 0 ; B 0 ) ; B) B) ( Với A 0 ; B 0 ; A ≠ B ) 2 * A A ( A ) ; ( A ) A A 1 ( Với A ) B ) ( Với A 0 ; B 0 ) * A2 - 2AB + B2 = ( A – B )2 ; A – AB + B = ( ( A * A2 – B2 = ( A – B )( A + B ) ; A – B = ( A * A3 - B3 = ( A – B )( A2 + AB + B2 ) ; * ( A – B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 ; ( B)( A B) A3 B3 ( A B)(A - AB + B ) A +B )2 = A + 2B A + B2 ( Với A ) * x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 – 2x1x2 ; x13 + x32 = ( x1 + x2 )3 – 3x1x2(x1 + x2 ) *( x1 - x2 )2 = x12 + x22 - 2x1x2 x1 x x 21 x 2 2x1x * A + A A( A 1) ( A 0 ) ; A – = * * A B B - A * n n +1 A B A B n +1 A1 A 1 A - 2B A B2 A B A B ( A B) ( A A-B A B A B * B) ( Với A 0 ; B 0 ; A ≠ B ) n ( Với số tự nhiên n ) A B ( A B) ( A A-B A B * Bảy đẳng thức đáng nhớ : B) (Với A 0 ; B 0 ; A ≠ B ) (13) 1) Bình phương tổng : ( A + B )2 = A2 + 2AB + B2 2) Bình phương hiệu : ( A - B )2 = A2 - 2AB + B2 3) Hiệu các bình phương : A2 – B2 = ( A – B )( A + B ) 4)Lập phương tổng : ( A + B )3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 4)Lập phương tổng : ( A + B )3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 5)Lập phương hiệu : ( A - B )3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 6) Tổng các lập phưong : A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2 ) 7) Hiệu các lập phưong : A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2 ) CHƯƠNG II HÀM SỐ BẬC NHẤT 1) Hàm số bậc : a) Hàm số bậc là hàm số cho công thức y = ax + b ( a ≠0 )trong đó a , b là các số thực xác định ( b = ta có hàm số dạng y = ax ) b) ) Hàm số bậc y = ax + b xác định với số thực x , đồng biến trên R a > và nghịch biến trên R a<0 2) Hệ số góc đường thẳng - Đường thẳng song song và đường thẳng cắt a) Đường thẳng y = ax + b ( a ≠ ) ( d ) có a là hệ số góc và b là tung độ góc b) Cho hai đường thẳng ( d1 ) : y = a1x + b1 ( a ≠0 ) và ( d2 ) : y = a2x + b2 ( a ≠ ) * ( d1 ) // ( d2 ) a1 = a2 và b1 ≠ b2 * ( d1 ) cắt ( d2 ) a1 ≠ a2 * ( d1 ) ( d2 ) a1 = a2 và b1 = b2 * ( d1 ) ⊥ ( d2 ) a1.a2 = - 3) Hệ phương trình bậc hai ẩn : * Hệ hai phương trình bậc hai ẩn có dạng : ax + by = c (1) a'x + b'y = c' (2) ( đó ax + by = c và a’x + b’y = c’ là các phương trình bậc hai ẩn ) I *Nếu các phương trình (1) và (2) có nghiệm chung thì nghiệm chung đó gọi là nghiệm hệ ( I ) (14) Nếu các phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung, ta nói hệ (I) vô nghiệm vô nghiệm * Giải hệ phương trình (I) minh hoạ hình học.Ta vẽ các đường thẳng thẳng ( d 1) : ax +by = c Và (d2) : a’x + b’y = c’ trên cùng mặt phẳng toạ độ Oxy + ( d1 ) và ( d2 ) cắt : Hệ ( I ) có nghiệm + ( d1 ) // ( d2 ) + ( d1 ) ( d2 ) : Hệ ( I ) có vô nghiệm : Hệ ( I ) có vô số nghiệm 4) Hệ phương trình tương đương : * Hai hệ phương trình tương đương gọi là tương đương với chúng có cùng tập nghiệm 5) Hệ hai phương trình bậc hai ẩn : y a1x + b1y = c1 (d1 ) a x + b y = c (d ) y a1 c1 b1 b1 a c2 b2 b2 *(d1) cắt (d2) Hệ (I ) có nghiệm I *(d1) song song với (d2) Hệ ( I ) vô nghiệm *(d1) trùng với (d2) Hệ ( I ) vô số nghiệm 6)Giải hệ phương trình phương pháp và phương pháp cộng đại số a)Quy tắc :Quy tắc dùng để biến đổi hệ P/ t thành hệ PTTĐ Q/ t gồm hai bước sau * Bước :Từ phương trinh hệ đã cho ( coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn ẩn theo ẩn r ồi vào phương trình thứ hai để phương trình ( còn ẩn ) * Bước 2: Dùng phương trình để thay cho phương trình thứ hai hệ( phương trình thứ thường thay bởi hệ thức biểu diễn ẩn theo ẩn có bước ) b) Quy tắc cộng đại số : dùng để biến đổi hệ PT thành hệ PTTT Quy tắc gồm hai bước sau * Bước Cộng hay trừ vế hai p/t hệ phương trình đã cho để hệ phương trình * Bước 2:Dùng phương pháp thay cho hai p/t hệ (và giữ nguyên phương trình kia) 7) Giải bài toán cách lập hệ phương trình : Các bước giải bài toán cách lập hệ phương trình BƯỚC 1: Lập hệ phương trình : -Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết - Lập phương trình biểu thị mối quan hệ các đại lượng BƯỚC 2: Giải hệ phương trình BƯỚC : Trả lời Kiểm tra xem các nghiệm hệ phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện ẩn, nghiệm nào không thoả mãn, kết luận (15) 8) Hàm số và đồ thị hàm hàm số y = ax2 ( a ≠ ) a) Tính chất hàm số y = ax2 ( a ≠ ): * Nếu a > thì hàm số nghịch biến x < và đồng biến x > * Nếu a < thì hàm số đồng biến x < và nghịch biến x > b)Đồ thị hàm hàm số y = ax2 ( a ≠ ) là đường cong qua gốc toạ độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng Đường cong đó gọi là Parabol với đỉnh O * Nếu a > thì đồ thị nằm phía trên trục hoành , O là điểm thấp đồ thị * Nếu a < thì đồ thị nằm phía trục hoành , O là điểm thấp đồ thị 9)Phương trình bậc hai ẩn ( nói gọn là phương trình bậc hai ) là phương trình có dạng ax2 + bx + c = đó x là ẩn ; a , b , c là số cho trước gọi là các hệ s ố và a ≠ a) Công thức nghiệm phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ ) ; Δ = b2 – 4ac * Nếu Δ > thì phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 -b+ -b ; x2 2a 2a b * Nếu Δ = thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = - 2a * Nếu Δ < thì phương trình vô nghiệm b) Công thức nghiệm thu gọn phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ ) b Δ’ = b’2 – ac ( b’ = hay b = 2b’ ) * Nếu Δ’ > thì phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 - b' + ' - b' ' ; x2 a a b' * Nếu Δ’ = thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = - a * Nếu Δ’ < thì phương trình vô nghiệm c c) Nếu a + b + c = thì phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ ) có nghiệm x1 = và x2 = a c d) Nếu a - b + c = thì phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ ) có nghiệm x1 = - và x2 = - a 10) Hệ thức Viète : (16) b x1 x a x x c a Nếu x1 và x2 là hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ ) thì 11) Nếu hai số x1 và x2 có tổng S = x1 + x2 và tích P = x1 x2 thì x1 và x2 là hai nghiệm phương trình x2 – Sx + P = ( Điều kiện S2 – 4P ) 12) Nếu x1 và x2 là hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ ) và x1 ; x2 là hai nghiệm đối thì b x x 0 a x x c a 13) Nếu x1 và x2 là hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ ) và x1 ; x2 là hai nghiệm nghịch đảo b x1 x a x x c 1 a thì 14) Với n N* , ta có : (n + 1) n - n n + (n + 1) n - n n + 1 2 n(n + 1) (n + 1) n n n + n + 1 n - n (n + 1) n n +1 15) Công thức tính khoảng cách d hai điểm A(x1 ; y1) và B(x2 ; y2) là d = AB = x x1 y y1 16) Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a ≠0 ) có nghiệm x1 , x2 thì điều kiện dể phương trình bậc hai : - Có hai nghiệm dương là : Δ , P > và S > ; - Có hai nghiệm âm là : Δ , P > và S < ; - Có hai nghiệm trái dấu là : Δ > ; P < 17) 18 ) 19) B 0 A B A = B ; * A B A B2 ; A B A=B (A>0;B>0) x 21 x 2 x 31 x 32 1 1 ; x 21 x 2 x x x x x x 2 ( x1 - x2 )3 = x13 - 3x21 x2 +3x1x22 - x32 x13 - x32 = (x1 - x2)3 - 3x1 x2( x1 - x2 ) (17) (18)