Đang tải... (xem toàn văn)
Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình:.. b Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d, bán kính bằng 3 và tiếp xúc với mpP.[r]
(1)SỞ GD & ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG ĐỀ THI THỬ KÌ THI THPT QUỐC GIA LẦN - NĂM 2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1(2,0 điểm) Cho hàm số y=x − x +1 (C) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Tìm các giá trị tham số m để phương trình x −3 x − m=0 có nghiệm phân biệt Câu 2( 1,0 điểm ) a) Giải phương trình: log ( x −1 ) log x=2 log ( x − ) b) Giải phương trình: sin2 x −sin x +cos x −sin x=0 Câu 3(1,0 điểm ) a) 2 |z 1| +|z 2| z , z là hai nghiệm phương trình z −3 z+ 5=0 trên tập số phức Tính b) Một đoàn tàu có toa đỗ sân ga Có hành khách từ sân ga lên tàu, người độc lập với chọn ngẫu nhiên toa Tính xác suất để toa có hành khách, toa có hành khách và hai toa không có hành khách e Câu 4(1,0 điểm ) Tính tích phân: ( I =∫ x 2+ ln x dx x √ ln x +1 ) Câu 5(1,0 điểm ) Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng có phương trình: d: x=1+t y=2 t z =−1 ¿ {{ và mặt phẳng (P): x + y −2 z − 1=0 a) Viết phương trình đường thẳng qua M ( ; 2; ) , song song với (P) và vuông góc với đường thẳng d b) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d, bán kính và tiếp xúc với mp(P) Câu 6( 1,0 điểm ) Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vuông A , AB AC a , I là trung điểm SC , hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng ABC là trung điểm H BC , mặt phẳng SAB tạo với đáy SAB theo a góc 60 Tính thể tích khối chóp S ABC và tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng Câu 7( 1,0 điểm ) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC cân đỉnh A, D là trung điểm cạnh AC K ( 1; ) , E ( 13 ; ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và trọng tâm tam giác ABD P ( −1 ; ) , Q ( −9 ; ) thuộc đường thẳng AC, BD Tìm tọa độ điểm A, B, C biết D có hoành độ dương ¿ Câu 8( 1,0 điểm ) Giải hệ phương trình: x+ √ x ( x −3 x +3 ) =√ y+ 2+ √ y +3+1 √ x −1 − √ x − x+ 6= √3 y +2+1 ¿{ ¿ Câu 9(1,0 điểm ) Cho x, ,y, z là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x xy xyz xyz (2) …………………Hết………………… Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Câu a.(1,0 điểm) Nội dung Điểm 0.25 TXĐ: D R ' y =3 x −6 x , ' y =0 ⇔ x=0 x=2 Hàm số đồng biến trên các khoảng ( − ∞; ) và ( 2; +∞ ) , nghịch biến trên khoảng ( ; ) Hàm số đạt cực đại x=0 , y CĐ =1 , đạt cực tiểu x=2 , y CĐ =−3 lim y =− ∞ , lim y =+ ∞ x →− ∞ x →+∞ * Bảng biến thiên x –∞ +∞ y' + - y 0.25 0,25 + +∞ –∞ -3 Đồ thị 0.25 b.(1,0 điểm) x −3 x − m=0 ⇔ x − x2 +1=2m+1( ) 0.25 Từ (*) suy số nghiệm pt đã cho số giao điểm hai đồ thị hàm số y=x − x +1 và y=2 m+1 Vẽ hai đồ thị hàm số y=x − x2 +1 và y=2 m+1 độ Dựa vào đồ thị hàm số ⇒ cùng trên cùng hệ trục tọa 0.25 0.25 điều kiện để pt có nghiệm phân biệt là −3<2 m+1<1 ⇔ −2<m<0 Vậy giá trị cần tìm là −2<m<0 0,25 (1,0 điểm) a,(0,5điểm) 0.25 Đk: x> log ( x −1 ) log x=2 log ( x − ) ⇔log ( x −1 ) ( log3 x − )=0 ⇔ log ( x − )=0 log x −1=0 x=3 Đối chiếu điều kiện suy nghiệm pt là x=2 và x=3 ⇔ x=2 25 b,(0,5điểm) (3) 2 sin x −sin x +cos x −sin x=0 ⇔ ( sin x − cos x )( sin x −1 ) =0 ⇔ sin x − cos x=0 sin x −1=0 ⇔ tan x =1 sin x= π x= +k π ¿ 5π π +k π ⇔ x= + kπ x= ¿ ¿ ¿ ¿ 0.25 0.25 (1,0 điểm) e e I =∫ xdx+∫ 1 e Tính ( ln x dx x √ ln x+ ) 0.25 I =∫ xdx=x 2∨❑e1 =e − 1 e Tính Đặt ln x dx x √ ln x +1 t=√ ln x+1 ⇒ ln x=t −1 Đổi cận dx=2 tdt x ¿{ I =∫ 2 0.25 ¿ x=1 ⇒ t=1 x=e ⇒ t=2 ¿{ ¿ t 2− 1 tdt=2∫ ( t −1 ) dt=2 t − t ¿21= Khi đó I =∫ t 3 1 Vậy I =e + 3 ( ) 0.25 0.25 (1,0 điểm) ± i √ 31 a,(0,5điểm) Ta có: Δ=−31<0 ⇒ z 1,2 = 0.25 (4) 2 Khi đó: |z 1| +|z 2| =5 b,(0,5điểm) Mỗi hành khách có cách chọn toa để lên tàu nên số cách hành khách chọn toa để lên tàu là : 4 =256 (cách) ⇒ n ( Ω ) =256 Gọi biến cố A” hành khách từ sân ga lên tàu cho toa có ba hành khách, toa có hành khách và toa không có hành khách” 0.25 0.25 0.25 + Chọn hành khách từ hành khách và xếp hành khách vừa chọn lên toa tàu có C34 4=16 (cách) + Xếp hành khách còn lại lên toa tàu còn lại có 3(cách) ⇒ n ( A ) =16 3=48 Vậy P ( A )= n ( A ) 48 = = n ( Ω ) 256 16 (1,0 điểm) a,(0,5điểm) Vì ¿ Δ // ( P ) Δ⊥ d ⇒ ¿⃗ uΔ ⊥ ⃗ nP u Δ ⊥⃗ ⃗ ud ⇒⃗ u Δ=[ ⃗ n P , u⃗d ] = ( ; − 2; ) ¿{ ¿ 0,25 (5) Δ: x =1+ t Vậy PT đường thẳng qua M ( ; 2; ) là y=2 −2 t z =1+ 3t ¿ {{ b,(0,5điểm) Vì tâm mặt cầu là I ∈ d nên I ( 1+t ; t ; −1 ) Vì mặt cầu có tâm I , bán kính và tiếp xúc với mp(P) nên |2 ( 1+ t ) +2 t − ( −1 ) −1| ⇔ =3 ⇔|4 t+3|=9 ⇔ √4 +1+4 t +3=9 ¿ t +3=− ¿ t= d(I,(P))=3 ¿ t =−3 ¿ ¿ ¿ ⇔¿ ¿ ¿ ¿ 5 ( 2 ( ) t= ⇒ I ; ; −1 ⇒ S : x − + y −3 ) + ( z +1 ) =3 + 2 + t=−3 ⇒ I (− ;− ; −1 ) ⇒ ( S ) : ( x+2 )2 + ( y +6 )2+ ( z+1 )2=32 ( 2 ( ) S : x − + y − ) + ( z+ ) =3 ( S ) : ( x+2 )2 + ( y +6 )2+ ( z +1 )2=3 Vậy ( ) 0,25 0.25 ( ) 0.25 ( ) (1,0 điểm) Gọi K là trung điểm AB HK AB (1) Sj SH ABC nên SH AB (2) Vì Từ (1) và (2) suy AB SK SAB Do đó góc với đáy góc M B H C SK và HK và Ta có K ❑ ∠ SKH=60 a SH=HK tan ∠SKH= √ 0.25 A 1 a3 VS ABC S ABC SH AB AC.SH 3 12 Vậy 0.25 d I , SAB d H , SAB Vì IH / / SB nên IH / / SAB Do đó HM SAB d H , SAB HM Từ H kẻ HM SK M 0.25 (6) 1 16 a a HM d I , SAB 2 HK SH 3a Vậy Ta có HM 0,25 (1,0 điểm) G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm cạnh AB MG ME = = ⇒EG // CD ⇒ EG ⊥ KD Mà ABC là tam giác cân nên MC MD KG ⊥ MD⇒ G là trực tâm tam giác EKD nên KE ⊥ GD ⇒ KE ⊥ BD 0,25 Suy BD : ( x+ y+ 21=0 ⇒ D t ; t +21 −t +15 ⃗ −t − 21 , t>0 ⃗ DP= −t − 1; , DK= −t +1; 6 ) ( ) ( − t+15 −t − 21 ( −t − )( − t+1 ) + ( =0 ⇔ )( ) ) 0,25 t=3 ¿ − 117 t= 37 ¿ ⇒ D (3 ;4 ) ¿ ¿ ¿ DP ⊥ ⃗ DK nên Vì ⃗ AC qua D và P ⇒ AC: x +2 y − 11=0 AK qua K và vuông góc với DE nên KA : x −1=0⇒ A ( 1; ) Kết hợp D là trung điểm AC ⇒C ( ; ) 0,25 BC qua C và vuông góc với AK nên BC : y −3=0 ⇒B ( − ;3 ) Vậy A ( 1; ) , B ( − ; ) ,C ( ; ) 0,25 ¿ x+ √ x ( x −3 x +3 ) =√ y+ 2+ √ y +3+1 ( ) √ x −1 − √ x − x+ 6= √3 y +2+1 ( ) ¿{ ¿ (1,0 điểm) (7) x ( x − x+3 ) ≥ y +3 ≥ x −1 ≥ x − x +6 ≥ ⇒ x ≥ 3+ √ ¿ ≤ x ≤ 3− √ ¿ ¿ ¿ y ≥− ¿ () ¿ ¿ ¿¿ Đk: 0,5 Đặt a=√3 y+ 2≥ −1 ⇒ y +3=a3 +1 Khi đó , phương trình ( ) trở thành 3 √ ( x −1 ) +1+ ( x − )=√ a +1+ a (3 ) 3t +1>0 , ∀ t ⇒ f ( t ) √ t +1 ( ) ⇔ f ( x −1 )=f ( a ) ⇔ x −1=a ' f ( t )= Xét hàm số f ( t )=√ t 3+1+t , t ≥− là hàm đồng biến trên R ¿ √ x −1 − x ≥ ( ** ) x −6 x +6=9 ( x − )+ x2 −6 x √ x −1 ( ) ¿ ( ) ⇔ x √ x − 1=5 ( x −1 ) ⇔ √ x − 1=0 ¿ √ x − 1=2 x ¿ ⇔ ¿ ¿ ¿ x≥0 ¿ x − 25 x +25=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ ¿ ¿ ¿ ¿ x≥0 ¿ ¿¿ Khi đó Đối chiếu với (**) và () thấy x=5 thỏa mãn ⇒a=4 ⇒ y=62 Vậy hệ có nghiệm là ( x ; y ) =( 5; 62 ) (1,0 điểm) Ta có x xy xyz x 1 x.8 y x.8 y.32 z 0,5 (8) x x y x y 32 z 32 x y z x y z 24 24 t x y z ; t 0 3 f t ; f t 0 t 1 P f t t t 2t 3t Pmin t=1 Lập bảng biến thiên hàm f(t) ta 16 x 21 x y z 1 y 2 x 8 y 21 2 x 32 z z 21 Dấu “=” xảy và 0,5 0,25 0,25 (9)