a Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng d luôn cắt đồ thị P tại hai điểm phân biệt.. Cho góc nhọn Oxy và một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc đó tại A và B.[r]
(1)ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG LỚP 10 Năm học: 2013 – 2014 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề ) Câu I: ( điểm ) x−9 x+ x +3 + + Cho biểu thức: M = (Với điều kiện: x≠ 2; x≠ 3) x −5 x+ x −3 2− x a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm giá trị x để M =− x Câu II: ( điểm ) Cho parabol (P) có phương trình: y= - x2 và đường thẳng d có phương trình y = (4-m)x+1-m a) Chứng minh với giá trị m thì đường thẳng d luôn cắt đồ thị (P) hai điểm phân biệt b) Gọi x1,x2 là hoành độ giao điểm d và (P), tìm tất các giá trị m cho: |x − x 2| nhỏ Câu III: ( điểm ) ¿ x 2+ y − x −2 y − 19=0 Giải hệ phương trình: xy ( x −1 ) ( y − )+ 20=0 ¿{ ¿ 2 Giải phương trình: 2014 x − 2013 x √ 35 x −196=35 x −196 Câu IV: ( điểm ) Cho góc nhọn Oxy và đường tròn tiếp xúc với hai cạnh góc đó A và B qua điểm A kẻ đường thẳng song song với OB cắt đường tròn điểm C Gọi K là trung điểm OB Đường thẳng AK cắt đường tròn điểm E (E khác A) a) Chứng minh rằng: KB2 = KE.KA, các tam giác ∆KOE và ∆ KAO đồng dạng từ đó suy ba điểm O, E, C thẳng hàng OE DE b) Đường thẳng AB cắt OC điểm D Chứng minh OC =DC Trong mặt phẳng cho 2014 điểm tạo thành đa giác lồi có chu vi Chứng minh tồn đường tròn có bán kính chứa đa giác đó Câu V: ( điểm ) Cho ba số thực x,y,z thỏa mãn : x+y+z = 0; x+1 > 0, y+1 > 0, z + > Tìm giá trị lớn biểu thức P= x y z + + x+ y+ z+ Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: …………………………………………………… Số báo danh: ………… Chữ ký giám thị số 1: ……………………… Chữ ký giám thị số 2: ……………………… (2) Câu ý 1.a 1.b ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 10 Năm học: 2013 – 2014 Nội dung x−9 x+ x +3 M= + + (Với điều kiện: x ≠ 2; x≠ 3) x −5 x+ x −3 2− x x −9 x +1 x+3 x +1 + − = Do điều kiện: M = ( x −2 ) ( x −3 ) x − x −2 x −3 x +1 Vậy: M = x −3 Để M =− x thì Điểm 0,75đ 0,25đ x +1 =− x ⇔ x −2 x+1=0 ⇔ x=1 ( Thỏa mãn) x −3 0,75đ Vậy x = 2.a 2.b 3.1 0,25đ 0,25đ 0,5đ + Xét phương trình hoành độ giao điểm là: x2 +(4-m)x+1-m =0 2 Δ=( −m ) − (1− m)=m − m+12 + ∆ = ( m− )2+ 8>0, ∀ m∈ R phương trình có nghiệm phân biệt Vậy : Đường thẳng d luôn cắt đồ thị (P) hai điểm phân biệt với m + Do phương trình luôn có nghiệm phân biệt x1, x2 nên theo định lý Viét ta có: ¿ x 1+ x 2=m− x x 2=1 −m ¿{ ¿ 2 2 + Đặt A= |x − x 2|⇒ A =( x1 + x ) − x x 2=m −4 m+12=( m− ) + ≥8 +A nhỏ √ m = ¿ 2 x + y − x −2 y − 19=0 Giải hệ phương trình: xy ( x −1 ) ( y − )+ 20=0 ¿{ ¿ ¿ x ( x −1 ) + y ( y − )=19 + Hệ phương trình tương đương: x ( x − ) y ( y − )=− 20 ¿{ ¿ ¿ x ( x − )=a a+b=19 y −2=b ab=−20 ¿ +Đặt Thì a,b là nghiệm phương trình: t2-19t-20 =0 ¿ ⇔ ¿{ ¿{ y¿ ¿ t=−1 ¿ t=20 đó ¿ ¿ ¿ ¿ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ Khi 0,5đ 0,25đ (3) ¿ x2 − x +1=0 y − y −20=0 hệ vô nghiệm ¿{ ¿ x − x − 20=0 y − y +1=0 ⇔ x=− ¿ ¿ a=20 x=5 + b=−1 Thay vào đặt: ¿ ¿{ ¿ y =1 ¿ ¿ ¿ ¿{ ¿ ¿¿ + Kết luận: Nghiệm hệ là: (-4;1), (5;1) Giải phương trình: 2014 x − 2013 x √ 35 x −196=35 x −196 196 + ĐK: x ≥ 35 Đặt √ 35 x −196 = t ( t ≥ 0) thì phương trình là: 2014x2 – 2013xt - t2 = ( x > ) suy nghiệm phương trình là x = t ¿ a=−1 + b=20 thay vào đặt: ¿{ ¿ 3.2 + x = t thì: √ 35 x −196 = x đ/k ta có phương trình tương đương: x2– 35x+196 = ∆= 441 suy x = 28; x =7 + Vậy phương trình có nghiệm: x =28; x =7; 4.1a A I E D 0,25 0,5đ 0,25đ C H O K B a) + Ta có ∆EKB đồng dạng với ∆BKA ( Vì ∠ AKB chung, ∠ EBK =∠KAB vì cùng chắn cung BE ) Suy ra: KB KA OK KA = ⇒ KB 2=KE KA ⇒ OK2=KE KA ⇒ = KE KB KE OK Mà ∠ OKA chung, suy ra: ∆KOE đồng dạng với ∆KAO ( Tam giác có cạnh tỷ lệ 0,5đ và góc xen nhau) + Do ∆KOE đồng dạng với ∆KAO →∠ EOK =∠OAK (1) 0,25đ Mặt khác ta có ∠ OAK =∠ACE ( góc nội tiếp cùng chắn cung AE) (2) Từ (1) và (2) suy ra: ∠ EOK =∠ ACE mà ∠ EKO =∠EAC Do AC//OB Xét hai ∆OEK và ∆AEC ta có hai góc suy ra: ∠ OEK =∠AEC Do A,E, 0,25đ (4) K thẳng hàng nên O,E,C thẳng hàng 4.1b + Qua E kẻ đường thẳng song song với OB cắt AO I và AB H ta có EI = EH (3) OE IE DE EH = = + Mặt khác: (4) ; (5) OC AC DC AC OE DE = + Từ (3), (4), (5) ta có: Điều phải chứng minh OC DC 4.2 M A 0,25đ 0,5đ 0,25đ B I N + Giả sử có điểm A,B nằm trên cạnh đa giác ( Kể trùng với các đỉnh) cho A,B chia chu vi đa giác thành phần, phần có độ dài là nửa chu vi Với điểm M nắm trên đa giác thì ta luôn có: MA+MB ≤ (1) + Gọi I là trung điểm AB, vẽ đường tròn tâm I bán kính R = Giả sử M là điểm nằm trên cạnh đa giác, M nằm ngoài đường tròn Gọi N là điểm đối xứng với M qua I.Ta có: MA+MB = AM+AN ≥ MN > 2R =2 (2) + Từ (1) và (2) suy điểm M phải nằm đường tròn (I) Vậy ta luôn có đường tròn bán kính chứa đa giác Cho ba số thực x,y,z thỏa mãn : x+y+z = 0, x+1 > 0; y+1 > 0; z+4 > x y z + + Tìm giá trị lớn biểu thức P= x+ y+ z+ 1 + + + P=3 − x+1 y+1 z+ 1 + ≥ + Ta có a, b dương ta luôn chứng minh ⇔ ( a− b ) ≥0 a b a+ b 1 + + Đặt Q = Áp dụng vào Q ta có: x +1 y +1 z + 1 4 16 Q= + + ≥ + ≥ = x+ y+ z+ x + y +2 z +4 x + y + z +6 ( ) 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ (5) ⇒ P ≤3 − = 3 Vậy P Lớn nhất= ¿ x= y x+ y+ 2=z +4 x+ y + z =0 ⇔ ¿ x= y= z=− ¿{{ ¿ GHI CHÚ: Đáp án này gồm trang Mọi cách giải đúng cho điểm tối đa Bài hình vẽ hình sai không vẽ hình, không chấm điểm (6)